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Transcripción
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FI30A: METODOS MATEMATICOS DE LA FISICA - Primavera 2006 Departamento de Fı́sica, FCFM, Universidad de Chile Prof. H. F. Arellano Auxiliar: Carolina Milad GUIA 11 Entregar martes 24 31 de octubre (hora de cátedra) 11.01 En este problema se buscan solucionesindependientes diferencial de Airy: u tu 0. 2 de2 la ecuación 2 Considere la ecuación de Bessel z w zw z ν w 0. Haga las sustituciones z βtγ y α w t u, y obtenga una ecuación diferencial para u del tipo t2 d2 u dt2 2α du 1t dt F t; α, β, γ, ν u 0, con F una función de los parámetros indicados. Utilice este resultado para obtener las solucions linealmente independientes buscadas. Pista: las soluciones son del tipo J 1 3 . 11.02 Demuestre la fórmula exp 12 z t 1 t n Jn z tn . Una de las tantas formas de lograrlo es separando el lado izquierdo de la forma exp zt 2 exp z 2t , expandir ambas exponenciales y reordenar en potencias de t. 11.03 Considere la ecuación de conducción del calor para un disco circular de radio b: 2 ∇ T 1 T σ t El borde del disco se mantiene a temperatura nula. Encuentre T ρ, φ; t si inicialmente (t mitad del disco estaba a temperatura nula y la otra mitad a temperatura T . 11.04 Evalue la integral 11.05 1 1 P`2 u 0) la du. ik r ikr cos θ ikru Considere la onda plana Φ r e e e . Es claro entonces que podemos expandir k eikru ` 0 F` P` u , con los coeficientes F` funciones de kr t. Obtenga estos coeficientes y demuestre que satisfacen la ecuación de Bessel (esférica): d2 dt2 2 d t dt 1 `` 1 F` t " 0 . ! 2 t Por lo tanto F` t y j` t son proporcionales. Obtenga el coeficiente de proporcionalidad, examinando el comportamiento de ambas cerca del origen (t # 0) y demuestre eikr cos θ %$ 2` 1 i` j` kr ` 0 P` cos θ