Propiedades de las funciones de Bessel: Jn(x)=(-1)nJn(x)

Propiedades de las funciones de Bessel: Jn(x)=(-1)nJn(x)

Métodos matemáticos III
Alberto Martín Pérez
Propiedades de las funciones de Bessel: J-n(x)=(-1)nJn(x)
Para demostrar esta propiedad se tendrá en cuenta la forma en serie de potencias de
las funciones de Bessel:
+∞
𝐽𝑚 (𝑥 ) = �
𝑠=0
𝑥 𝑚+2𝑠
(−1)𝑠
� �
𝑠! (𝑚 + 𝑠)! 2
Para una función de Bessel de orden negativo se tendrá:
+∞
𝐽−𝑛 (𝑥 ) = �
𝑠=0
𝑥 −𝑛+2𝑠
(−1)𝑠
� �
𝑠! (−𝑛 + 𝑠)! 2
A continuación se hace el cambio de índice del sumatorio j=s-n.
+∞
+∞
(−1)𝑗+𝑛
𝑥 −𝑛+2(𝑗+𝑛)
(−1)𝑗 (−1)𝑛 𝑥 2𝑗+𝑛
� �
=�
� �
𝐽−𝑛 (𝑥 ) = �
(𝑗 + 𝑛)! 𝑗! 2
(𝑗 + 𝑛)! (−𝑛 + 𝑗 + 𝑛)! 2
𝑠=0
= (−1)𝑛 𝐽𝑛 (𝑥)
𝑠=0
Por lo tanto, queda demostrado que 𝐽−𝑛 (𝑥) = (−1)𝑛 𝐽𝑛 (𝑥).
Bloque 3