Recuerdese que la fórmula general de un polinomio de n)ésimo

CAPÍTULO 4
Secuencias Didácticas con Excel
Recuerdese que la fórmula general de un polinomio de n-ésimo orden es:
f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + :::: + an xn
Para n + 1 puntos, existe uno y sólo un polinomio de n-ésimo orden o menor
que pasa a través de todos los puntos. Por ejemplo, hay sólo una línea recta (es
decir un polinomio de primer orden) que conecta dos puntos. El polinomio de
interpolación consiste en determinar el único polinomio de n-ésimo orden que se
ajusta a los n + 1 puntos dados. Este polinomio proporciona una fórmula para
calcular los valores intermedios.
Aunque existe uno y sólo un polinomio de n-ésimo orden que se ajusta a los
n + 1 puntos, existen una gran variedad de fórmulas matemáticas mediante las
cuales se puede expresar este polinomio.
Aspectos importantes de la interpolación
Determina cuales son las mejores funciones para interpolar un conjunto
de datos.
Considera la posibilidad de derivar o integrar los datos.
Especi…ca como debe comportarse la función entre los datos.
Determina si la función debe representar propiedades de los datos como
suavidad, monotonicidad, convexidad y/o periodicidad.
Interpolación y Aproximación
Un problema estrechamente ligado con el de la interpolación es la aproximación de una función complicada por una más simple. Si tenemos una función
cuyo cálculo resulta costoso, podemos partir de un cierto número de sus valores
e interpolar dichos datos construyendo una función más simple.
A diferencia de una función aproximada, una función interpolante si pasa
por todos los puntos de la tabla, pero la interpolación no es apropiada cuando
los datos tienen mucho error, en estos casos es mejor suavizar primero los datos
con, por ejemplo, el método de mínimos cuadrados.
La interpolación no es un procedimiento complicado, pero tiene el defecto
de que sus resultados son muy sensibles cuando elegimos de apoyo puntos de
interpolación, dadas las variaciones que se pueden producir debido a la función
interpoladora empleada, que como se sabe son polinomios. Este tipo de variaciones se pueden incrementar al aumentar el grado del polinomio interpolador.
Por ello hay que plantearse buscar procedimientos de ajuste o aproximación
discreta que sean poco sensibles a la elección de los puntos de apoyo, ya que
estos en general vendrán de…nidos previamente.
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