Examen Junio 2008 opción B

IES La Serna
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
Comunidad de Madrid. Año 08. Junio. Opción B.
Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Un distribuidor de aceite de oliva compra la materia prima a dos almazaras, A y B. Las almazaras A
y B venden el aceite a 2000 y 3000 euros por tonelada, respectivamente. Cada almazara le vende un
mínimo de 2 toneladas y un máximo de 7 y para atender a su demanda, el distribuidor debe comprar
en total un mínimo de 6 toneladas. El distribuidor debe comprar como máximo a la almazara A el
doble de aceite que a la almazara B. ¿Qué cantidad de aceite debe comprar el distribuidor a cada
una de las almazaras para obtener el mínimo coste? Determínese dicho coste mínimo.
Solución
Datos del problema
Coste
Tm almazara A
Tm almazara B Restricciones
x
y
2≤x≤7; 2≤y≤7
x+y≥6; x≤2y
2000x
3000y
C(x,y)=2000s+3000y Minimizar
Región factible:
Dibujamos las seis rectas que delimitan la región factible:
r: x=2
s: x=7
t: y=2
m: y=7
n: x+y=7
p: x=2y
Hallamos los vértices de la región
factible, que vienen dados por la
solución de los sistemas
{ }
x =2
y=7
P1(2,7)
{xx=2y =6}
P2(2,4)
y =6
{xx=2y
}
P3(4,2)
{x=2y
x=7 }
P4(7,7/2)
{x=7
y=7 }
P5(7,7)
Hallamos el valor de la función a minimizar en los vértices de la región factible, y obtenemos:
C(2,7)=2000·2+3000·7=25000
C(2,4)=2000·2+3000·4= 16000
C(4,2)=2000·4+3000·2= 14000
C(7,7/2)=2000·7+3000·7/2=24500
C(7,7)= 2000·7+3000·7=35000
El valor mínimo lo alcanza C en (4,2), por lo que la solución óptima es comprar 4 Tm en la
almazara A y 2 Tm en la almazara B. El coste mínimo es de 14000€.
Ejercicio 2 (Puntuación máxima: 3 puntos)
Se considera la función real de variable real definida por:
x² x2
f  x =
, x≠0
x
a) Determínense las asíntotas de f.
b) Calcúlense sus máximos y mínimos relativos y determínense sus intervalos de crecimiento.
2
c) Calcúlese la integral definida
∫ f  x  dx
1
Solución
Hay una asíntota vertical: x=0.
No hay asíntotas horizontales, porque se trata de una función racional con numerador de mayor
grado que el denominador.
lim x  ∞ f  x=1 , lim x ∞ 
f x
=1 , luego hay una asíntota oblicua: y=x+1
x
b) f es derivable en su dominio.
x²−2
f'(x)=0; x= − 2 ó x=  2 posibles extremos relativos.
x²
f' derivable en x= − 2 y en x=  2
f'( − 2 ) = − 2 <0. f( − 2 )= 1−2  2
( − 2 , 1−2  2 ) es un máximo relativo
f'(  2 ) =  2 <0. f(  2 )= 12  2
(  2 , 12  2 ) es un máximo relativo
f'(x)=
f creciente en −∞ ,−  2∪  2 , ∞
f decreciente en − 2,0∪0,  2
2
c)
∫
1
f xd x =
[
2 ln∣x∣
x²
x
2
2
]
1
= 2ln2
5
2
Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Se consideran dos sucesos A y B de un experimento aleatorio, tales que:
1
1
1
, p(B)=
, p  A∪B  =
.
4
3
2
a) ¿Son A y B sucesos independientes? Razónese.
b) Calcúlese p(Ac|Bc).
p(A)=
Nota: la notación Ac representa al suceso complementario de A.
Solución
a) p  A∪B= p  A p B− p A∩B ;
p  A∩B= p  A p B− p A∪B =
1 1 1 1
 − =
4 3 2 12
1 1 1
p  A∩B= p  A· p B= · =
, luego A y B son sucesos independientes.
4 3 12
3
b) Por ser A y B independientes, p(Ac|Bc) = p(Ac)=1 - p(A)=
4
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 2 puntos)
El rendimiento por hectárea de las plantaciones de trigo en una cierta región, se supone que es una
variable aleatoria con distribución normal de desviación típica igual a 1 tonelada por hectárea. Se ha
tomado una muestra aleatoria simple de 64 parcelas con una superficie igual a 1 hectárea cada una,
obteniéndose un rendimiento medio de 6 toneladas.
a) ¿Puede asegurarse que el error de estimación del rendimiento medio por hectárea es menor que
0,5 toneladas, con un nivel de confianza del 98%? Razónese.
b) ¿Qué tamaño muestral mínimo ha de tomarse para que el error en la estimación sea menor que
0,5 toneladas, con un nivel de confianza del 95%?
a) Nivel 98%, luego
z  = 2,33.
2


1
1
6− · 2,33 ;6 · 2,33 =(5,71 ; 6,29), luego sí se puede asegurar.
8
8

1
b) 0,5≥ z  ·
= 1,96 ·
;  n≥2 · 1,96=3,92 ; n≥16
n
2 n
La muestra ha de ser, al menos, de 16 parcelas.
Intervalo de confianza: