0{ − IR 2 senh eex − = )( )( xtg xK = 0)(` ≥ xf ≥ )(` ],[ bax

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Cálculo I (1921)- Análisis Matemático I (2230). Prof. y Lic. en Matemática- Lic. Física. Año 2014
Departamento de Matemática-Facultad de Cs Exactas Fco-Qcas y Naturales- UNRC
TRABAJO PRÁCTICO Nº6: Aplicaciones de la derivada
Ejercicio N°1:
Graficar funciones que satisfagan las siguientes características:
a) El dominio sea IR − {0} , corte al eje x en 2, posea una discontinuidad evitable en 4, tenga
derivada positiva en los intervalos (-5;0) y (4;+ ∞ ), derivada negativa en (- ∞ ;-5) y (0;4), no sea
derivable en 5.
b) El dominio sea IR , corte al eje y en -1, corte al eje x en 1 y 5, no sea derivable en 4, tenga un
mínimo local en -2 y un máximo local en -8, que (- ∞ ;-8) y (-2;4) sean intervalos de crecimiento,
que (-8;-2) y (4;+ ∞ ) sean intervalos de decrecimiento de la función.
Ejercicio N°2: Graficar las siguientes funciones, calculando dominio, cortes con los ejes
coordenados, puntos de discontinuidad (y el tipo de discontinuidad existente en cada caso),
asíntotas (verticales, horizontales y oblicuas), puntos críticos, intervalos de crecimiento y/o
decrecimiento, máximos y/o mínimos locales, intervalos de concavidad y puntos de inflexión.
a)
M ( x ) = −3 x 5 + 5 x 3
b)
F ( x) =
c)
K ( x ) = tg ( x )
x4 +1
x2
e) V ( x) = e
−1
x
f) senh x =
e x − e−x
2
g) cosh x =
e x + e−x
2
d) h( x ) = ln(1 + x 2 )
Observación: Las funciones de los incisos (f) y (g) reciben los nombres de seno hiperbólico y
coseno hiperbólico, respectivamente.
Ejercicio N°3: A partir de una pared de 100m. de largo, un granjero quiere construir un corral
rectangular añadiendo 400m. de alambrado como se muestra en la figura. Encontrar los valores
de n y de m de modo tal que el área sea máxima.
Ejercicio N°4:
Demostrar que
a) si f es creciente y derivable en un intervalo abierto I, entonces f ' ( x ) ≥ 0 sobre I.
b) si f ' ( x) ≥ M para todo x ∈ [a, b] , entonces f ( x) ≥ f (a) + M ( x − a ) .
Ejercicio N°5:
a) Supóngase que f ' ( x) ≥ g ' ( x) para todo x y que f (a) = g (a) . Demostrar que f ( x) > g ( x)
para x>a y que f ( x) < g ( x) para x<a.
1
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b) Demostrar mediante un ejemplo que estas conclusiones no son válidas sin la hipótesis
f (a) = g (a) .
Observación: Lo que probamos en (a) se utiliza en numerosas ocasiones para demostrar que una
función es mayor o menor que otra en ciertos intervalos.
c) Demostrar que e x > x + 1 para x>0.
Ejercicio N°6:
a) Aproximar, usando diferenciales, los siguientes números:
ii) ln (1.4 )
sen(−0.3)
i)
iii)
3
7.
b) La medida del lado del cuadrado es de 12 cm, con un posible error de 1/64 cm. Aproximar,
usando diferenciales, el posible error al calcular el área de ese cuadrado.
Calcular los siguientes límites usando la Regla de L’Hospital si es necesario:
Ejercicio N°7:
3
a) lim
x →k
3
x− k
x−k
x2
b) lim − x
x →−∞ e
e 2x − 1
x→ 0
x
2 
 3
g) lim 
−

x −1
x→1+  ln x
d) lim
 x +1 
h) lim 

x→∞ x − 2 
−x
e) lim e . x
x →+∞
1
c) lim x x −1
f) lim
x → +∞
x →1
ln x
(
i) lim 1 − e − x
x → +∞
x
x2
ex
)
.
Ejercicios optativos
Ejercicio N°1: Graficar una función que satisfaga las siguientes características:
• f definida en R − {− 1},
• posee asíntota vertical x = -1 y la recta y=2x+1 sea asíntota oblicua.
• Posea mínimo local en x=0 y máximo local en x=-2
Analizar si la función f ( x) = 5 ( x − 1) 4 satisface las hipótesis del teorema de
Ejercicio N°2:
Rolle en el intervalo [0,2] . En caso afirmativo determinar todos los números en (0,2) tales que
f ´(c) = 0 .
Ejercicio N°3: Graficar las siguientes funciones, calculando, dominio, cortes con los ejes
coordenados, puntos de discontinuidad (y el tipo de discontinuidad existente en cada caso),
asíntotas (verticales, horizontales y oblicuas), puntos críticos, intervalos de crecimiento y/o
decrecimiento, máximos y/o mínimos locales, intervalos de concavidad y puntos de inflexión.
1
a) f ( x ) = x 2 ( x + 2)
c) g ( x) = cos ec( x)
2
b) h( x) = 2 − x
Ejercicio N°4:
d) F ( x) = log( x − 1 )
2
Demostrar que ln x < x para x > 1 .
2
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Ejercicio N°5: Demostrar el Teorema de Valor medio generalizado (de Cauchy), que establece:
Si f y g son dos funciones continuas en [a,b] y derivables en (a,b), entonces existe un número x
en (a,b) tal que:
( f (b) − f (a) )g ′( x) = (g (b) − g (a) ) f ′( x) .
Ejercicio N°6: Calcular los siguientes límites, usando, cuando sea necesario, la Regla de
L´Hospital.
cot g 2 ( 3 x )
1 
8x − 2x
 4
3
−
b)
lim
sec
(
2
x
)
c)
lim
a) lim 2

x →0 x − 4
x →0
x →0
4x
x −2

(
)
Ejercicio N°7: De acuerdo con los reglamentos postales, la suma de la altura y contorno de la
base de los paquetes enviados por correo de cuarta clase no puede exceder de 72 pulgadas. ¿Cuál
es el mayor volumen posible de un paquete rectangular con los lados cuadrados que se puede
enviar por correo de cuarta clase?
3