práctica n° 7 universidad autónoma de nuevo león
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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA LABORATORIO DE CONTROL MODERNO PRÁCTICA N° 7 ASIGNACIÓN DE POLOS OBJETIVO Hacer uso de los comandos del Matlab para hacer que el sistema de control tenga polos de lazo cerrado deseados. Introducción El método de Asignación de Polos es algo análogo al método del Lugar Geométrico de las Raíces ya que se colocan los polos en lazo cerrado en las posiciones deseadas. La diferencia básica es que en el Lugar Geométrico de las Raíces (diseño convencional) se sitúan los polos en lazo cerrado dominantes, mientras que el diseño por Asignación de Polos se colocan todos los polos de lazo cerrado en las posiciones que se deseen. Sin embargo hay un costo asociado con colocar todos los polos en lazo cerrado, porque para realizarlo se requiere tener buenas medidas de todas las variables de estado o bien incluir un observador de estado en el sistema. Existe un requisito por parte del sistema para poder realizar la asignación de polos en forma arbitraria, esta exigencia es que el sistema sea de estado completamente controlable. Sea un sistema de control • x = Ax + Bu y = Cx + Du Se selecciona una señal de control como: u= −Kx Esto significa que la señal de control se determina mediante un estado instantáneo. Este esquema se denomina realimentación del estado. Se supone que todas las variables de estado están disponibles para su realimentación. Se asume que no hay restricciones para u. (ecuación 1.1) donde: x = vector de estado (vector de dimensión n ) y = señal de salida (escalar) u = señal de control (escalar) A = matriz de coeficientes constantes n × n B = matriz de coeficientes constantes n × 1 C = matriz de coeficientes constantes 1 × n D = constante (escalar) Sistema de control de lazo cerrado con u = − K x Este sistema en lazo cerrado no tiene entradas. Su objetivo es mantener la salida a cero. Como pueden existir perturbaciones, la salida se desviará de cero. Esta salida retornará a la entrada de referencia cero debido al esquema de realimentación del estado del sistema. Un sistema de esta naturaleza en la que la entrada de referencia es siempre cero se conoce como un sistema regulador. (Si la entrada de referencia al sistema es siempre una constante distinta de cero, el sistema se denomina también un sistema regulador). LABORATORIO DE CONTROL MODERNO PRÁCTICA N° 7 1 M.C. ELIZABETH GUADALUPE LARA HERNÁNDEZ M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ Al sustituir u = − K x en la ecuación 1.1 se obtiene • x(t ) = Ax(t ) + B (− K x(t )) • x(t ) = ( A − BK ) x(t ) La solución de esta ecuación está dada por x(t ) = e ( A− BK ) t x(0) , donde x(0) es el estado inicial provocado por perturbaciones externas. La estabilidad y las características de la respuesta transitoria se determinan mediante los valores propios de la matriz A − BK . Si se elige la matriz K de forma adecuada, la matriz A − BK se convierte en una matriz asintóticamente estable y para todos los x (0 ) ≠ 0 es posible hacer que x (t ) tienda a cero conforme t tiende a infinito. A los valores propios de A − BK se denominan polos del regulador. Si estos se colocan en el semiplano izquierdo del plano “s”, entonces x (t ) tiende a cero cuando t tiende a infinito. Para solucionar el problema de asignación de polos con Matlab utilizaremos los comandos acker y place, estos comandos nos servirán para el cálculo de la matriz de ganancias de realimentación K. El comando acker se basa en la fórmula de Ackermann y este comando solo se aplica a sistemas con una entrada. Los polos en lazo cerrado pueden incluir polos múltiples (polos ubicados en el mismo lugar). Para sistemas que poseen múltiples entradas, para un conjunto especificado de polos en lazo cerrado la matriz de ganancias de realimentación del estado K no es única y se dispone de un grado de libertad adicional (o de varios grados) para determinar K. La asignación de polos basada en este método se llama asignación de polos robusta. Para estos sistemas se utiliza el comando place. Aunque este comando también se puede utilizar en sistemas con una entrada, requiere que la multiplicidad de los polos en los polos en lazo cerrado deseados no sea mayor que el rango de B (o que la multiplicidad de los polos no sea mayor al número de entradas). Esto es, si la matriz B es una matriz de n × 1 , el comando place necesita que no haya polos múltiples en el conjunto de polos de lazo cerrado deseados. Se utilizará el comando initial para obtener la respuesta en el tiempo del sistema Al utilizar el comando initial se obtiene la respuesta transitoria del sistema con u = 0 , el sistema quedaría de la forma siguiente: • x = Ax + Bu y = C x + Du Note que no importa el valor de las matrices B y D ya que u = 0 (aunque normalmente se consideran matrices unitarias). C tomará el valor de la matriz identidad para que la salida sea igual a los estados. Utilizando la matriz de realimentación de ganancia en el sistema anterior para ubicar los polos en las posiciones deseadas, el sistema quedaría: Sistema de lazo cerrado con u = − K x • x = AA x + BB u y = CC x + DD u Utilizando el mismo comando initial la matriz A sería ahora AA = A − BK de igual manera las matrices BB y DD no importa su valor en el análisis ya que el comando initial considera u = 0 , la matriz C deberá ser igual a la identidad para que la salida sea igual a los estados del sistema. LABORATORIO DE CONTROL MODERNO PRÁCTICA N° 7 2 M.C. ELIZABETH GUADALUPE LARA HERNÁNDEZ M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ Procedimiento para utilizar el comando place y acker 1. 2. 3. Se introducen las matrices del sistema a analizar (A, B, y J) La matriz J contiene los polos de lazo cerrado deseados J = [µ1 µ 2 K µ n ] Introduzca el comando acker o place según sea el caso para obtener la matriz K, ejemplo: K = acker( A, B, J ) o bien 4. K = place( A, B, J ) Para obtener la respuesta transitoria del sistema original así como del sistema regulador, utilice el comando initial. Reporte: Sea un sistema regulador, en donde la planta está dada por: • x = Ax + Bu donde: ⎡∗⎤ ⎢ x1 ⎥ ⎡− 3 10 24⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡1⎤ ⎢∗⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x 2 ⎥ = ⎢ 1 0 0 ⎥ ⎢ x 2 ⎥ + ⎢0 ⎥ u ⎢ ∗ ⎥ ⎢ 0 1 0 ⎥ ⎢ x 3 ⎥ ⎢0 ⎥ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ x3 ⎥ ⎣ ⎣ ⎦ El sistema usa el control mediante la realimentación del estado u = − K x . Se requiere colocar los polos en lazo cerrado en: s = −1+ 2 j , s = −1− 2 j , s = −5 Para la respuesta a condición inicial utilice: ⎡0 ⎤ Tiempo de 0 a 10 con incrementos de 0.01 y condiciones iniciales x(0) = ⎢⎢0⎥⎥ ⎢⎣1⎥⎦ Imprima el procedimiento para cada uno de los siguientes incisos explicando cada línea de comando a. Demuestre que el sistema es completamente controlable b. Demuestre y diga si el sistema es estable o inestable c. Obtenga la matriz de realimentación de ganancia d. Compruebe que los valores propios de la matriz A − BK sean los polos de lazo cerrado deseados y diga si el sistema es estable y ¿porque? e. Obtenga la gráfica de respuesta en el tiempo del los estados del sistema original e identifique con etiquetas cada grafica f. Obtenga la gráfica de respuesta en el tiempo del los estados del sistema con u = − K x e identifique con etiquetas cada grafica g. Explique cada comando utilizado en la práctica h. Conclusiones LABORATORIO DE CONTROL MODERNO PRÁCTICA N° 7 3 M.C. ELIZABETH GUADALUPE LARA HERNÁNDEZ M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ
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