t - MC Manuel Amarante - Universidad Autónoma de Nuevo León

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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
DEPARTAMENTO DE CONTROL
Práctica N° 8 de Control Moderno
Asignación de Polos
OBJETIVO
Junto con la teoría vista en clase, las tareas realizadas en casa y el buen uso de los comandos de
Matlab ayudar al alumno para que adquiera la competencia de compensar sistemas de control
retroalimentando el estado para lograr que el sistema de control tenga los polos de lazo cerrado en la
posición necesaria para que cumpla con los requerimientos de funcionamiento.
MARCO TEÓRICO
El método de asignación de polos es algo análogo al método del Lugar Geométrico de las
Raíces ya que se colocan los polos en lazo cerrado en las posiciones deseadas. La diferencia básica es
que en el Lugar Geométrico de las Raíces (diseño convencional) se sitúan los polos en lazo cerrado
dominantes, mientras que el diseño por Asignación de Polos se coloca todos los polos de lazo cerrado
en las posiciones que se deseen. Sin embargo, hay un costo asociado con colocar todos los polos en
lazo cerrado, porque para realizarlo se requiere tener buenas medidas de todas las variables de estado o
bien incluir un observador de estado en el sistema.
Existe un requisito por parte del sistema para poder realizar la asignación de polos en forma
arbitraria, esta exigencia es que el sistema sea de estado completamente controlable.
Sea un sistema de control
x(t ) = Ax(t ) + Bu (t )
y (t ) = Cx(t ) + Du (t )
o
Donde
x(t) = Vector de estado (vector de dimensión n)
y(t) = Vector de salida (escalar)
u(t) = Señal de control (escalar)
A = Matriz de coeficientes constantes n x n
B = Matriz de coeficientes constantes n x 1
C = Matriz de coeficientes constantes 1 x n
D= constante escalar
Se selecciona una señal de control como:
u = -Kx
(1)
Laboratorio de Control Moderno
Esto significa que la señal de control se determina mediante un estado instantáneo. Este esquema se
denomina retroalimentación del estado. Se supone que todas las variables de estado están disponibles
para su retroalimentación. Se asume que no hay restricciones para u.
D
u(t)
∫
B
x(t)
C
y(t)
A
K
Sistema de control de lazo cerrado con u = -Ks
Este sistema en lazo cerrado no tiene entradas. Su objetivo es mantener la salida en cero. Como
pueden existir perturbaciones, la salida se desviará de cero. Esta salida retornará a la entrada de
referencia cero debido al esquema de retroalimentación del estado del sistema. Un sistema de esta
naturaleza en la que la entrada de referencia es siempre cero se conoce como un sistema regulador. (Si
la entrada de referencia al sistema es siempre una constante distinta de cero, el sistema se denomina
también un sistema regulador)
Al sustituir u = -Kx(t) en la Ec. (7.1) se obtiene:
x(t ) = Ax(t ) + B (− Kx(t ))
o
x(t ) = ( A − BK )x(t )
o
La solución de esta ecuación esta dada por x(t ) = e ( A− BK )t x(0 ) , donde x(0) es el estado inicial
provocado por perturbaciones externas.
La estabilidad y las características de la respuesta transitoria se determinan mediante los valores
propios de la matriz A – BK. Si se elige la matriz K de forma adecuada, la matriz A – BK se convierte
en una matriz asintoticamente estable y para todos los x(0) ≠ 0 es posible hacer que x(t) tienda a cero
conforme t tiende a infinito. A los valores propios de A – BK se les denomina polos del regulador. Si
éstos se colocan en el semiplano izquierdo del plano “s” entonces x(t) tiende a cero cuando t tiende a
infinito.
Para solucionar el problema de asignación de polos con Matlab utilizaremos los comandos
acker y/o place, estos comandos nos servirán para el cálculo de la matriz de ganancias de
retroalimentación K.
El comando acker se basa en la formula de Ackerman y este comando sólo se aplica a sistemas
con una sola entrada y una sola salida (SISO). Los polos en lazo cerrado pueden incluir polos múltiples
(polos ubicados en el mismo lugar).
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Práctica 8 Asignación de Polos
Para sistemas que poseen múltiples entradas y múltiples salidas (MIMO), para un conjunto
especificado de polos en lazo cerrado la matriz de ganancias de retroalimentación del estado K no es
única y se dispone de un grado de libertad adicional (o de varios grados) para determinar K. la
asignación de polos basada en este método se llama asignación de polos robusta. Para estos sistemas se
utiliza el comando place. Aunque este comando también se puede utilizar en sistemas con una sola
entrada, requiere que la multiplicidad de los polos, en los polos en lazo cerrado deseados, no sea mayor
que el rango de B (o que la multiplicidad de los polos no sea mayor al número de entradas). Esto es, si
la matriz B es una matriz de n x 1, el comando place necesita que no haya polos múltiples en el
conjunto de polos de lazo cerrado deseados.
Se utilizará el comando inicial para obtener la respuesta en el tiempo del sistema:
D(t)
u(t)
•
x(t)
B(t)
-
y(t)
x(t)
∫
C(t)
A(t)
Al utilizar el comando initial se obtiene la respuesta transitoria del sistema con u = 0, el sistema
quedaría de la forma siguiente:
x(t ) = Ax(t ) + Bu (t )
o
y (t ) = Cx(t ) + Du (t )
Note que no importa el valor de las matrices B y D ya que u = 0 (aunque normalmente se
consideran matrices unitarias). C tomara el valor de la matriz identidad para que la salida sea igual a los
estados.
Sistema de lazo cerrado con u = -Kx
DD(t)
BB(t)
•
X(t)
B(t)
-
∫
x(t)
CC(t)
y(t)
A(t)
-K
AA = A - BK
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Laboratorio de Control Moderno
Utilizando la matriz de retroalimentación de ganancia en el sistema anterior para ubicar los
polos en las posiciones deseadas, el sistema quedaría:
x = AAx(t ) + BBu (t )
y = CCx(t ) + DDu (t )
Utilizando el mismo comando initial la matriz A sería ahora AA=A – BK de igual manera las
matrices BB y DD no importa su valor en el análisis ya que el comando initial considera u = 0, la
matriz C debe ser igual a la identidad para que la salida sea igual a los estados del sistema.
o
Procedimiento para utilizar los comandos place y acker
1. Se introducen las matrices del sistema a analizar (A, B, y J)
2. La matriz J contiene los polos de lazo cerrado deseados J = [µ1 µ 2 L µ n ]
3. Introduzca el comando acker o place según sea el caso para obtener la matriz K,
ejemplo:
K = acker(A, B, J)
o biern
K = place (A,B,J)
4. Para obtener la respuesta transitoria del sistema original así como del sistema regulador,
utilice el comando initial.
REPORTE
Sea un sistema regulador, en donde la planta esta dada por:
o

1
0   x1 (t ) 0
 xo 1 (t )  0

 x 2 (t ) = 0
0
1   x2 (t ) + 1 u (t )

o

 x 3 (t ) − 1 − 5 − 6  x3 (t ) 1 


El sistema usa el control mediante la retroalimentación del estado u = Kx. Se requiere colocar
los polos en lazo cerrado en:
s1 = −2 + 4 j
s 2 = −2 − 4 j
s3 = −10
Para la respuesta a condición inicial utilice:
1
Tiempo de 0 á 4 seg. Con incrementos de 0.01 seg. Y con condiciones iniciales x(0 ) = 0
0
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Práctica 8 Asignación de Polos
Imprima el procedimiento para cada uno de los siguientes incisos explicando cada línea de
comando:
a. Demuestre que el sistema es completamente controlable.
b. Obtenga la matriz de retroalimentación de ganancia.
c. Compruebe que los valores propios de la matriz A – BK sean los polos de lazo cerrado
deseados.
d. Obtenga la gráfica de respuesta en el tiempo de los estados del sistema original e indique
con etiquetas cada gráfica.
e. Obtenga la gráfica de respuesta en el tiempo de los estados del sistema con u = -Kx e
identifique con etiquetas cada gráfica.
f. Haga un informe detallado del procedimiento seguido en la práctica con su debida
fundamentación matemática.
g. Explique cada comando utilizado en la práctica.
h. Conclusiones
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