TEMA IV: LA TRANSFORMADA DE FOURIER

TEMA IV: LA TRANSFORMADA DE FOURIER
La funci¶
on impulso ±
1.
La funci¶
on impulso unitario ±(t), conocida tambi¶en como funci¶
on delta, puede introducirse de la
siguiente manera, para ² > 0:
F² (t) =
8
1
>
>
<
¡²·t·²
2²
>
>
:
es obivio que para cualquier ², se veri¯ca que
jtj > ²
0
Z
1
¡1
F² (t)dt = 1.
Se de¯ne la funci¶
on impulso unitario como
±(t) = lim F² (t)
²!0
Otra forma de introducci¶
on ser¶³a
Z
1
±(t) =
(
±(t)dt =
Z
¡1
0 si t 6
=0
1 si t = 0
²
±(t)dt = 1
(² > 0)
¡²
La funci¶
on delta tambi¶en se puede de¯nir en t¶erminos de las propiedades de sus integrales. Si
se supone que la funci¶
on Á(t) (llamada funci¶
on prueba) es una funci¶
on continua, que se anula fuera
de alg¶
un intervalo ¯nito, entonces ±(t) se de¯ne como una funci¶
on simb¶
olica por la relaci¶on
Z
1
±(t)Á(t)dt = Á(0)
¡1
±(t) se trata como una funci¶
on ordinaria, aunque en realidad no lo es. Nunca se habla del valor
de ±(t), pero s¶³ de los valores de las integrales en que aparece ±(t).
Ejemplos:
1.
Z
1
¡1
±(t ¡ t0 )Á(t)dt =
Z
1
¡1
±(t)Á(t + t0 )dt = Á(t0 )
1
2.
Z
3.
Z
1
1
jaj
±(at)Á(t)dt =
¡1
b
a
±(t ¡ t0 )Á(t)dt =
Z
(
1
1
t
Á(0)
±(t)Á( )dt =
a
jaj
¡1
Á(t0 ) a < t0 < b
. Siendo a < b y Á(t) continua en t0 .
0 en los otros casos
La derivada ± 0 (t) de ±(t) est¶
a de¯nida por la relaci¶
on integral
Z
1
¡1
0
± (t)Á(t)dt = ¡
Z
1
¡1
±(t)Á0 (t)dt = ¡Á0 (0)
an¶
alogamente se de¯ne la derivada en¶esima
Z
1
±
(n)
n
(t)Á(t)dt = (¡1)
¡1
2.
Z
1
±(t)Á(n) (t)dt = (¡1)n Á(n) (0)
¡1
De la serie de Fourier a la integral de Fourier
Comencemos esta secci¶
on obteniendo la forma compleja de las series de Fourier.
Si consideramos la serie trigonom¶etrica de Fourier de la funci¶
on f (t), como
f (t) =
donde w0 =
1
a0 X
+
an cos(nw0 t) + bn sen(nw0 t)
2
n=1
¼
. Dado que
L
cos(nw0 t) =
einw0 t + e¡inw0 t
einw0 t ¡ e¡inw0 t
y sen(nw0 t) =
2
2i
si llevamos estas expresiones al desarrollo de Fourier obtenemos
f (t) =
1
einw0 t + e¡inw0 t
einw0 t ¡ e¡inw0 t
a0 X
+
+ bn
an
2
2
2i
n=1
1
= ¡i, y haciendo
i
teniendo en cuenta que
c0 =
a0
;
2
cn =
an ¡ ibn
2
c¡n =
an + ibn
2
nos queda
f (t) = c0 +
1
X
n=1
inw0 t
cn e
¡inw0 t
+ c¡n e
= c0 +
1
X
inw0 t
cn e
n=1
+
¡1
X
cn e
n=¡1
donde los coe¯cientes cn se calculan mediante la integral
cn =
1
2L
Z
L
¡L
f (t)e¡inw0 t dt
2
inw0 t
(n = 0; §1; §2; :::)
=
1
X
n=¡1
cn einw0 t
sustituyendo estas expresiones en la serie compleja, y usando
1
X
1
[
f (t) =
2¼
n=¡1
Z
L
¡L
w0
1
=
, obtenemos
2L
2¼
f (x)e¡inw0 x dx]w0 einw0 t
haciendo tender L a 1 ocurre que w0 tiende a cero. Considerando w0 = ¢w y que el producto nw0
tiende a w cuando n tiende a 1 y w0 tiende a cero, podremos concluir que
f (t) =
1
2¼
Z
1
Z
[
¡1
1
¡1
f (x)e¡iwx dx]eiwt dw
De¯nici¶
on: Dada la funci¶
on f (t), se de¯ne la transformada de Fourier de f (t) como
F (w) = Fff (t)g(w) =
Z
1
¡1
e¡iwt f (t)dt
y la transformada inversa de Fourier como
f (t) = F ¡1 fF (w)g(t) =
1
2¼
Z
1
eiwt F (w)dw
¡1
La condici¶
on para que exista F (w) generalmente est¶
a dada por
Z
1
¡1
jf (t)jdt < 1
aunque es una condici¶
on su¯ciente pero no necesaria.
La funci¶
on F (w) = Fff (t)g(w) es, en genral, compleja y se tiene
F (w) = R(w) + iX(w) = jF (w)jeiÁ(w)
donde jF (w)j se denomina espectro de magnitud de f (t), y Á(w) espectro de fase de f (t).
Nota: En caso de que f (t) sea real, se tiene:
R(w) =
Z
1
f (t)cos(wt)dt y X(w) =
¡1
R(w) = R(¡w);
X(¡w) = ¡X(w);
Z
1
f (t)sen(wt)dt
¡1
F (¡w) = F (w)
jF (w)j es par y Á(w) impar.
Ejemplos:
a) Pd (t) =
8
1
>
< 1 jtj < 2 d
>
: 0 jtj > 1 d
2
b) f (t) =
3
(
e¡®t t > 0
0 t<0
(® > 0)
De¯nici¶
on: Si f (t) est¶
a de¯nida para 0 < t < 1, se de¯ne la transformada de Fourier coseno de f (t)
como
Fc ff (t)g(w) = Fc (w) =
Fc¡1 fFc (w)g(t) = f (t) =
2
¼
Z
1
f (t)cos(wt)dt
0
Z
1
Z
1
Z
1
0
Fc (w)cos(wt)dw
y la transformada de Fourier seno de f (t), como
Fs ff (t)g(w) = Fs (w) =
Fs¡1 fFs (w)g(t) = f (t) =
2
¼
f (t)sen(wt)dt
0
0
Fs (w)sen(wt)dw
Ejemplo: f (t) = e¡®t para t > 0 y ® > 0.
3.
Propiedades de la transformada de Fourier
1. Si F1 (w) = F[f1 (t)](w) y F2 (w) = F[f2 (t)](w), y a1 y a2 son dos constantes arbitrarias. Entonces
F[a1 f1 (t) + a2 f2 (t)](w) = a1 F1 (w) + a2 F2 (w)
2. Si a es una constante real y F (w) = F[f (t)](w), entonces F[f (at)](w) =
1
w
F( )
jaj a
3. Si F (w) = F[f (t)](w), entonces F[f (¡t)](w) = F (¡w)
4. Si F (w) = F[f (t)](w), entonces F[f (t ¡ t0 )](w) = F (w)e¡iwt0
5. Si w0 es una constante real y F (w) = F[f (t)](w), entonces F[f (t)eiw0 t ](w) = F (w ¡ w0 )
6. Si F (w) = F[f (t)](w), entonces F[F (t)](w) = 2¼ f (¡w)
7. Si F (w) = F[f (t)](w) y f (t) ! 0 cuando t ! §1, entonces
F[f 0 (t)](w) = iwF (w)
es m¶
as
F[f (n) (t)](w) = (iw)n F (w)
cuando exista F[f (n) (t)](w)
4
8. Si F (w) = F[f (t)](w), w 6
= 0, y
Z
1
Z
F[
cuando
Z
1
¡1
f (t)dt = F (0) = 0, entonces
¡1
t
f (x)dx](w) =
¡1
1
F (w)
iw
f (t)dt = F (0) 6
= 0,entonces
F[
Z
t
f (x)dx](w) =
¡1
1
F (w) + ¼F (0)±(w)
iw
9. El producto de convoluci¶
on:
Sean f1 (t) y f2 (t) dos funciones dadas. La convoluci¶
on de ellas est¶
a de¯nida por la funci¶
on
f (t) = f1 (t) ¤ f2 (t) =
Z
1
¡1
f1 (x)f2 (t ¡ x)dx
esta operaci¶
on es conmutativa, asociativa y tiene a la funci¶
on impulso ±(t) como elemento unidad,
es decir, f (t) ¤ ±(t) = f (t).
Si F[f1 (t)](w) = F1 (w) y F[f2 (t)](w) = F2 (w), entonces
F[f1 (t) ¤ f2 (t)](w) = F1 (w)F2 (w)
y adem¶
as
F ¡1 [F1 (w) ¤ F2 (w)](t) = 2¼f1 (t)f2 (t)
o bien
1
1
F1 (w) ¤ F2 (w) =
2¼
2¼
F[f1 (t)f2 (t)](w) =
Z
1
¡1
F1 (y)F2 (w ¡ y)dy
10. Relaciones de Parseval:
(a) Si F[f1 (t)](w) = F1 (w) y F[f2 (t)](w) = F2 (w), entonces
Z
1
1
f1 (t)f2 (t)dt =
2¼
¡1
Z
(b) Si F (w) = F[f (t)](w), entonces
Z
1
1
jf (t)j dt =
2¼
¡1
2
5
1
¡1
Z
F1 (w)F2 (¡w)dw
1
¡1
jF (w)j2 dw