1 Modelo Logístico. E: Compruebe que, para una población que

1
Modelo Logístico.
E: Compruebe que, para una población que satisface al modelo logístico, la máxima razón de
K
rK
, y se alcanza cuando el tamaño de la población es .
crecimiento de la población es
4
2
dP
P
. Siendo
D: H La razón de crecimiento de la población según la ED logística es
D rP 1
dt
K
ésta una función continua y diferenciable para toda t 0, su máximo se alcanza en un punto
en que su derivada se anule, esto es,
d dP
d
d
P
P
P
dP
D
Dr
C rP D
rP 1
1
1
dt dt
dt
dt
K
K
K
dt
dP
rP dP
rP dP
dP
2P
:
Dr
Dr
1
dt
K dt
K dt
dt
K
dP
2P
Como la razón de crecimiento
es positiva, la anterior se anula sólo cuando 1
D 0, o
dt
K
K
sea P D . Que éste es un punto máximo se sigue del hecho que
2
K
2P
2P
d dP
dP
2P
P <
Dr
> 0;
)
<1 ) 0<1
)
1
2
K
K
dt dt
dt
K
mientras que
2P
d dP
dP
)
Dr
1
K
dt dt
dt
K
2P
P >
)
>1 ) 0>1
2
K
es decir,
2P
K
< 0I
dP
K
pasa de ser creciente a ser decreciente, así que en P D
hay un máximo para
dt
2
dP
. El valor de dicho máximo es
dt
K
P dP D rP 1
Dr
1
2
K P D K
dt P D K
2
2
K
2
K
K
Dr
1
2
1
2
D
rK
;
4
como deseábamos comprobar.
9. canek.azc.uam.mx: 29/ 11/ 2010