Cap´ıtulo 1 Introducción.

Capı́tulo 1
Introducción.
1
2
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN.
Capı́tulo 2
Fórmula de Taylor.
3
4
CAPÍTULO 2. FÓRMULA DE TAYLOR.
Capı́tulo 3
Interpolación.
3.1.
Preliminares.
En muchos problemas prácticos, se conocen unos cuantos valores de una
función en una serie de puntos, pero no la función en sı́. Frecuentemente,
se quiere conocer el valor de esa función en otros puntos intermedios. Por
ejemplo, se conocen los valores
y0 = f (x0 ), y1 = f (x1 ), y2 = f (x2 ), y3 = f (x3 )
y queremos determinar el valor f (x) donde x es un número entre x0 y x1 .
El problema tı́pico de interpolación consiste en construir otra función, digamos g, que se “ajuste” a los datos, es decir, que coincida con f en los
valores de x considerados (los x0 , x1 , ...) que se llaman nodos o abcisas de
la interpolación. En una gran mayoria de casos se eligen funciones sencillas
para ajustar, a saber, polinomios que son fáciles de manejar y evaluar.
Este método se utilizaba en los años sesenta para construir tablas de las
funciones: ex , cos x, sen x, etc. Por ejemplo, sabemos que sen 65◦ = 0,906308,
sen 70◦ = 0,939693, sen 75◦ = 0,965926 y sen 80◦ = 0,984808, pero necesitamos sen 72◦ . La idea entonces es buscar un polinomio g(x) que se ajuste a
los datos anteriores y aproximar sen 72◦ por g(72). Actualmente el uso de las
calculadoras ha hecho innecesario interpolar para calcular los valores de estas
funciones. Sin embargo, hoy en dı́a, en Bachillerato por ejemplo, cuando se
utiliza una tabla de la distribucion normal para calcular P (z ≤ a); si resulta
que a no es uno de los valores que aparecen en la tabla, sino que está entre dos de ellos, a0 < a < a1 , se hace interpolacion lineal entre P (z ≤ a0 )
y P (z ≤ a1 ) para aproximar el valor deseado. Es decir, se busca la recta
que pasa por los dos puntos (a0 , P (z ≤ a0 )) y (a1 , P (z ≤ a1 )). Esta recta
será la gráfica de un polinomio de grado 1, digamos g(x) y lo que se hace es
aproximar P (z ≤ a) por g(a).
5
6
Capı́tulo 3 Interpolacion
En muchos problemas prácticos, se realizan una serie de medidas, y se
necesita predecir un caso del que no se tienen medidas. Por ejemplo, se toman
medidas de la elongación de un material (en porcentaje) en función de la
temperatura (en grados Farenheit)
T
E
400 500
11 13
600
13
700 800
15 17
900 1000
19
20
1100
23
y para predecir el porcentaje de elongación a una temperatura de 780◦ F se
aplica interpolación.
Otro caso, se toman datos del tiempo de fractura (en horas) en función
de la presión aplicada a una pieza de acero (en kg/mm2 )
P
T
5 10
40 30
15 20
25 40
25 30 35
18 20 22
40
15
Para aproximar el tiempo de fractura al aplicar una presión de 33 kg/mm2
se puede utilizar interpolación. Una forma de interpolacion que está de moda
actualmente es la interpolacion con splines (funciones polinómicas a trozos
bien encajadas), porque se utiliza en la construcción de figuras por ordenador.
En este capı́tulo estudiaremos la interpolacion con polinomios y veremos
las formas de Lagrange (importante para deducir resultados teóricos) y en el
siguiente la forma de Newton (imprescindible para hacer cálculos). Estudiaremos además el error que se comete al aproximar una función por uno de
estos polinomios.
3.2.
Interpolación polinomial.
La interpolación polinomial consiste en aproximar una función f tomando
como función g que se ajusta a los datos, un polinomio:
- si el polinomio es de grado 1, la interpolación se llama lineal
- si el polinomio es de grado 2, la interpolación se llama cuadrática, etc.
Si la función f es ya un polinomio, su polinomio interpolador g será la
propia f .
3.2.1.
Interpolacion lineal
Este es el caso más sencillo de interpolación. Conocemos los valores y0 ,
y1 de una función y = f (x) en dos puntos x0 y x1 . Podemos suponer que
x0 < x1 (si no es ası́, nombramos al revés los puntos).
Buscamos entonces un polinomio P1 de grado 1 (ahora la g de antes se
llamará ası́ por ser un polinomio), cuya gráfica será una recta, que se ajuste
Interpolacion polinomica
7
a estos dos datos (los puntos (x0 , y0 ) y (x1 , y1 )). Como por dos puntos dados
pasa una única recta, existe un único P1 que cumple lo que queremos. Para
un punto a ∈ (x0 , x1 ), aproximaremos f (a) por P1 (a) (porque cuando x0 y
x1 están cercanos, la gráfica de f se parecerá a la de P1 que es la recta que
pasa por los dos puntos dados).
Ejemplo. Supongamos que x0 = 3, y0 = f (x0 ) = 2 y x1 = 5, y1 =
f (x1 ) = 6. Buscamos P1 (x) = a0 + a1 x tal que P1 (3) = 2 yP1 (5) = 6, esto
nos da el sistema de ecuaciones lineales con incógnitas a0 y a1 :
¾
a0 + a1 3 = 2
a0 + a1 5 = 6
que podemos resolver fácilmente y obtener a0 = −4 y a1 = 2. (De hecho,
sabemos de antemano que el sistema tiene solución única porque el determinante de la matriz de coeficientes es no nulo
¯
¯
¯ 1 3 ¯
¯
¯
¯ 1 5 ¯ = 5 − 3 6= 0).
Entonces P1 (x) = −4 + 2x y su gráfica es una recta que efectivamente pasa
por los dos puntos dados (3, 2) y(5, 6). Aproximaremos un valor f (a) con
a entre 3 y 5 por P1 (a). Por ejemplo, si a = 3, 2, diremos que f (3, 2) es
aproximadamente P1 (3, 2) = −4 + 6, 4 = 2, 4.
Lo que hemos visto en este ejemplo es que, dados dos puntos (distintos)
(x0 , y0 ) y (x1 , y1 ), existe un único polinomio P1 de grado como mucho 1 que
cumple P1 (x0 ) = y0 y P1 (x1 ) = y1 (decimos como mucho porque la expresión
a0 + a1 x tiene grado 1 (el exponente de la x) si a1 6= 0 y grado 0, si a1 = 0
(porque en este último caso es simplemente el número a0 , es decir, la x aparece
elevada a exponente 0). Este polinomio se llama polinomio interpolador
lineal en los puntos (x0 , y0 ) y (x1 , y1 ). La gráfica de P1 es la recta que pasa
por ambos puntos. Si y0 = f (x0 ) e y1 = f (x1 ) son los valores de una función
f , aproximaremos f (a) cuando a está entre x0 y x1 con el valor P1 (a).
3.2.2.
Interpolacion cuadrática.
Tomemos ahora tres puntos (x0 , y0 ), (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ) del plano, con x0 , x1
y x2 distintos y los yi = f (xi ). Salvo que estén alineados, una recta no puede
pasar por los tres a la vez, pero sı́ lo hará un polinomio de grado 2 que, además
es único y se llama polinomio interpolador cuadrático de la función f .
Este hecho ya no es geométricamente evidente, pero tiene una demostración
sencilla basada en resolver un sistema de ecuaciones lineales.
8
Capı́tulo 3 Interpolacion
Veámoslo: escribimos el polinomio de grado 2 de la forma:
P2 (x) = a0 + a1 x + a2 x2 ,
y buscamos los coeficientes a0 , a1 y a2 imponiendo las condiciones
y0 = P2 (x0 ), y1 = P2 (x1 ) y y2 = P2 (x2 ).
Tenemos el sistema de ecuaciones lineales en las incógnitas a0 , a1 , a2 :

a0 + a1 x0 + a2 x20 = y0 
a0 + a1 x1 + a2 x21 = y1
.

2
a0 + a1 x2 + a2 x2 = y2
El determinante de la matriz de coeficientes es:
¯
¯ ¯
¯
¯ 1 x0 x20 ¯ ¯ 1
¯ ¯
0
0
¯
¯
¯
¯ ¯
¯ 1 x1 x21 ¯ = ¯ 1 x1 − x0 x21 − x1 x0 ¯ = ¯ x1 − x0 x1 (x1 − x0 )
¯
¯ ¯
¯ ¯ x2 − x0 x2 (x2 − x0 )
¯ 1 x2 x22 ¯ ¯ 1 x2 − x0 x22 − x2 x0 ¯
¯
¯ 1 x1
(x1 − x0 )(x2 − x0 ) ¯¯
1 x2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ = (x1 − x0 )(x2 − x0 )(x2 − x1 ) =
6 0.
¯
Como el determinante de la matriz de coeficientes es no nulo, el sistema tiene
solucion única (este resultado se llama Teorema de Rouché-Frobenius).
Ejemplo Dados los puntos (1, 0), (2, −2) y (3, −2) (que corresponden a
los valores que toma una función f en 1, 2 y 3 respectivamente), queremos
aproximar f (1, 8).
Buscamos P2 (x) = a0 + a1 x + a2 x2 y hallaremos los coeficientes a0 , a1 y a2
imponiendo las condiciones
P2 (1) = 0, P2 (2) = −2 y P2 (3) = −2.
Esto nos da el sistema de ecuaciones lineales con incógnitas a0 , a1 , a2 :

a0 + a1 + a2 = 0 
a0 + a1 2 + a2 4 = −2 .

a0 + a1 3 + a2 9 = −2
Interpolacion polinomica
El determinante
¯
¯ 1
¯
¯ 1
¯
¯ 1
9
de la matriz de coeficientes es:
¯
1 1 ¯¯
2 4 ¯¯ = (2 − 1)(3 − 1)(3 − 2) = 2 6= 0.
3 9 ¯
Ası́ que el sistema tiene solución única, que resulta ser a0 = 4,a1 = −5,
a2 = 1 (compruébalo).
Entonces P2 (x) = 4 − 5x + x2 y aproximamos f (10 8) por P2 (10 8) = 4 −
9 + 3, 24 = −20 24.
Ejercicio. Dibuja la gráfica de P2 (x) (la parábola que pasa por los puntos
dados) e identifica el punto (10 8, −20 24).
3.2.3.
Interpolacion polinómica. Método de los coeficientes indeterminados
El método que hemos empleado para hallar el polinomio interpolador
lineal y cuadrático se llama método de los coeficientes indeterminados
(los coeficientes ai del polinomio). El caso general es similar; sólo hay que
trabajar un poco más.
Teorema 1 Dados n + 1 puntos del plano (x0 , y0 ), . . . , (xn , yn ) tales que las
primeras coordenadas son todas distintas entre sı́, existe un polinomio de
grado menor o igual que n, Pn (x), tal que Pn (xi ) = yi , i = 0, 1, . . . , n. Este
polinomio es único entre todos los polinomios de grado menor o igual que n.
La idea de la demostración es que la matriz de coeficientes del sistema que
plantea el polinomio de coeficientes indeterminados
Pn (x) = a0 + a1 x + . . . + an xn
con datos iniciales (x0 , y0 ), . . . , (xn , yn ), tiene como determinante el llamado
Determinante de Vandermonde:
¯
¯
n
2
¯
¯ 1 x0
.
.
.
x
x
0
0
¯
¯
n
2
¯
¯ 1 x1
.
.
.
x
x
1
1
¯
¯
¯
¯ .. ..
..
..
Vn (x) = ¯ . .
¯,
.
.
¯
¯
n
2
¯ 1 xn−1 xn−1 . . . xn−1 ¯
¯
¯
¯ 1 x
x2
. . . xn ¯
10
Capı́tulo 3 Interpolacion
Se puede demostrar trabajando con determinantes que
Y
Vn (xn ) =
(xj − xi ).
0≤i<j≤n
que será distinto de cero (porque los xi son todos distintos) con lo cual el
sistema tiene solución única que nos consiste precisamente en los coeficientes
del polinomio interpolador buscado.
3.3.
Forma de Lagrange del polinomio interpolador
Cuando el número de nodos de la interpolación (los xi ) es grande, el sistema que aparece al aplicar el método de los coeficientes indeterminados es
largo de resolver y, además, de él no se pueden deducir resultados sobre el
error que se comete al aproximar una función por su polinomio de interpolación.
El método de Lagrange para calcular el polinomio interpolador resuelve
estos problemas.
Interpolación lineal: Empezamos con 2 puntos como datos,
(x0 , y0 ), (x1 , y1 ).
Este es un caso sencillo, y en el caso general la idea va a ser la misma.
Calculamos primero el polinomio, de grado 1, L0 (x) que valga 1 en x0 y 0
en x1 . Éste es de la forma L0 (x) = C(x − x1 ) (porque se anula en x1 ), y la
1
constante C se calcula con la condicion L0 (x0 ) = 1 y sale C = x0 −x
. Ası́:
1
L0 (x) =
x − x1
.
x0 − x1
Por ejemplo, si (x0 , y0 ) = (3, 2) y (x1 , y1 ) = (5, 6), entonces L0 (x) = C(x − 5)
1
y
y como en 3 vale 1, tenemos C(3 − 5) = 1, es decir, C = 3−5
L0 (x) =
x−5
.
3−5
A continuación calculamos el polinomio, de grado 1, L1 (x) que satisface
L1 (x0 ) = 0 y L1 (x1 ) = 1. Se obtiene
L1 (x) =
x − x0
.
x1 − x0
3.3. FORMA DE LAGRANGE DEL POLINOMIO INTERPOLADOR 11
En nuestro e mplo,L1 debe valer 0 en 3 y 1 en 5 ası́ que, igual que antes,
L1 (x) =
x−3
.
5−3
Ahora se construye el polinomio:
P1 (x) = y0 L0 (x) + y1 L1 (x)
que resulta ser el polinomio interpolador para (x0 , y0 ) y (x1 , y1 ), ya que
P1 (x0 ) = y0 L0 (x0 ) + y1 L1 (x0 ) = y0 ,
P1 (x0 ) = y0 L0 (x1 ) + y1 L1 (x1 ) = y1 ,
y ya sabı́amos que el polinomio interpolador es único (por el método de los
coeficientes indeterminados que vimos anteriormente).
Volviendo al ejemplo,
P1 (x) = 2
x−5
x−3
+6
3−5
5−3
(comprueba que coincide con el que habı́amos calculado por el método de los
coeficientes indeterminados: −4 + 2x).
En general, para dos nodos cualesquiera x0 , x1 en los que se conoce el
valor de una función f , el polinomio interpolador lineal de f en forma
de Lagrange es:
P1 (x) = f (x0 )
x − x0
x − x1
+ f (x1 )
x0 − x1
x1 − x0
Ejercicio. Interpolación cuadrática. Dados los puntos (1, 0), (2, −2) y
(3, −2), que corresponden a los valores de una función f en los nodos 1, 2
y 3; comprobar que el polinomio interpolador cuadrático de f en forma de
Lagrange es:
P2 (x) = 0
(x − 2)(x − 3)
(x − 1)(x − 3)
(x − 1)(x − 2)
+ (−2)
+ (−2)
.
(1 − 2)(1 − 3)
(2 − 1)(2 − 3)
(3 − 1)(3 − 2)
(Indicación: P2 (x) = y0 L0 (x) + y1 L1 (x) + y2 L2 (x) con Li (x) polinomios de
grado 2 que valen 1 en xi (en su nodo) y 0 en el resto de los nodos.)
En general, el polinomio interpolador cuadrático de f en forma
de Lagrange en los nodos x0 , x1 , x2 es
P2 (x) = f (x0 )
(x − x1 )(x − x2 )
(x − x0 )(x − x2 )
(x − x0 )(x − x1 )
+f (x1 )
+f (x2 )
.
(x0 − x1 )(x0 − x2 )
(x1 − x0 )(x1 − x2 )
(x2 − x0 )(x2 − x1 )
12
Capı́tulo 3 Interpolacion
El procedimiento es similar en el caso general. Consideremos los n + 1
puntos:
(x0 , y0 ), (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn )
con los xj distintos entre sı́. Para cada i = 0, 1, . . . , n, sea Li (x) el único
polinomio de grado n que satisface
¾
Li (xi ) = 1
Li (xj ) = 0 si j 6= i
Que este polinomio exista y que sea único se deduce del Teorema (1). El
mismo teorema muestra que
Pn (x) = y0 L0 (x) + y1 L1 (x) + . . . + yn Ln (x)
es el polinomio interpolador, ya que Pn (xi ) = yi para todo i = 0, 1, . . . , n.
Además, la expresión del polinomio Li (x) se encuentra fácilmente. Como
Li (x) tiene ceros en xj con j 6= i, sera de la forma
Li (x) = C(x − x0 ) · . . . · (x − xi−1 )(x − xi+1 ) · . . . · (x − xn ).
La constante C se calcula con la condición Li (x1 ) = 1:
C=
1
.
(xi − x0 ) · . . . · (xi − xi−1 )(xi − xi+1 ) · . . . · (xi − xn )
Por tanto,
Li (x) =
Y (x − xj )
.
(x
i − xj )
j6=i
Ejemplo: Calcula el polinomio interpolador que pasa por los puntos (0, −1), (1, 2)
y (2, 7) usando la forma de Lagrange. Puesto que
(x − 1)(x − 2)
(x − 1)(x − 2)
=
(0 − 1)(0 − 2)
2
(x − 0)(x − 2)
x(x − 2)
L1 (x) =
=
(1 − 0)(1 − 2)
−1
(x − 0)(x − 1)
x(x − 1)
L2 (x) =
=
,
(2 − 0)(2 − 1)
2
L0 (x) =
el polinomio interpolador es:
P2 (x) = −1L0 (x) + 2L1 (x) + 7L2 (x)
−x2 + 3x − 2 − 4x2 + 8x + 7x2 − 7x
=
2
2
= x + 2x − 1.
Formula del error
3.4.
13
Error de Interpolacion
Como es habitual al hacer cualquier aproximación, nos gustarı́a controlar
el error cometido: en este caso, el que se produce al aproximar una función
por su polinomio interpolador.
Supongamos que hemos calculado Pn (x), el polinomio de interpolación
de grado menor o igual que n que interpola una función f (x) en los puntos
x0 , x1 , . . . , xn , distintos entre sı́. ¿Qué error cometemos al usar Pn (x) en vez
de f (x) para un número x que está entre los nodos x0 , x1 , . . . , xn ?
El error absoluto cometido será ∆(x) = |f (x) − Pn (x)| y lo que queremos
es encontrar una fórmula para estimar cuánto puede valer como mucho este
error absoluto, es decir, queremos acotar el error absoluto. Como ocurrı́a con
las aproximaciones por Taylor, el error está relacionado con las derivadas de
la función f . Veámoslo.
Teorema 2 Sea f (x) una funcion con n derivadas continuas en un intervalo
[a, b], tal que existe la derivada de orden n + 1 en (a, b). Sean x0 , x1 , . . . , xn ,
(n + 1) nodos distintos en a, b y Pn (x) el polinomio interpolador de f en esos
nodos. Entonces, si x ∈ [a, b]
f (x)−Pn (x) =
(x − x0 )(x − x1 ) · . . . · (x − xn ) (n+1)
f
(θ), para algun θ ∈ (a, b).
(n + 1)!
No sabemos qué número es θ pero sı́ que vive en (a, b) y eso nos permitirá acotar el error, igual que hicimos en el capı́tulo anterior con el error de
Taylor.
Si, por ejemplo, encontramos un número, digamos Kn+1 , que acote el
tamaño de la derivada de orden (n + 1) de f en el intervalo (a, b); es decir,
si cuando θ se mueve en (a, b)
|f (n+1) (θ)| ≤ Kn+1 ,
entonces
∆(x) = |f (x) − Pn (x)| ≤
|x − x0 ||x − x1 | · . . . · |x − xn |Kn+1
(n + 1)!
Observación: En la fórmula anterior Pn (x) es un valor exacto pero en la
práctica puede que sea uno aproximado debido a la precisión finita en los
coeficientes de este polinomio y a los errores de operación al evaluarlo en x.
14
Capı́tulo 3 Interpolacion
Ejemplo: Interpolación lineal. Supongamos que tenemos una cota K2 para
la derivada segunda de la función f en (a, b) y que los nodos son x0 = 3 y
x1 = 5, entonces
|x − 3||x − 5|K2
2
Ahora, si el punto x donde evaluamos está en el intervalo (3, 5), ¿dónde se
alcanzará el mayor valor de |x − 3||x − 5|?
Como |x − 3||x − 5| = |x2 − 8x + 5|, esta expresión es el valor absoluto
de un polinomio de segundo grado Q(x) = x2 − 8x + 5. La primera derivada
Q0 (x) = 2x−8 se anula en x = 4, y entonces en x = 4 hay un posible máximo
o mı́nimo de Q(x). La gráfica de Q(x) es una parábola que corta al eje x en
x = 3 y x = 5 y tiene las ramas hacia arriba, ası́ que de todos los x en
(3, 5), x = 4 nos da el mı́nimo valor de Q(x),−1, que cuando tomamos valor
absoluto es el máximo valor de |Q(x)|, es decir, 1.
En definitiva, tendremos que
∆(x) = |f (x) − P1 (x)| ≤
∆(x) = |f (x) − P1 (x)| ≤
K2
.
2
En general, en el caso de interpolación lineal, si tenemos una cota K2
para la derivada segunda de la función f en (a, b) y los nodos son x0 < x1 ,
entonces
|x − x0 ||x − x1 |K2
2
2
y el valor máximo de |x − x0 ||x − x1 | = |x − (x0 + x1 )x + x0 x1 = Q(x)| se
alcanza en el x que anula la primera derivada de Q(x), Q0 (x) = 2x−(x0 +x1 ),
2
0)
1
1
es decir, en x = x0 +x
. Como Q( x0 +x
) = (x1 −x
, entonces para x ∈ (x0 , x1 ),
2
2
4
se cumple:
∆(x) = |f (x) − P1 (x)| ≤
∆(x) = |f (x) − P1 (x)| ≤
(x1 − x0 )2 K2
8
Ejemplo. Supongamos que queremos hacer una tabla de valores de la función
f (x) = ln(1 + x) 0 < x < 1
en una serie de números reales x separados por una distancia fija h. ¿Cómo
debe ser h para que la interpolación lineal dé un error absoluto máximo de
10−6 ?
Formula del error
15
Sabemos que en la interpolación lineal (2 nodos x0 y x1 )
(x1 − x0 )2 |f (00 )(θ)|
, θ ∈ (x0 , x1 )
8
y como la distancia entre los valores de x es h, entonces x1 = x0 + h,
luego:
∆(x) = |f (x) − P1 (x)| ≤
h2 |f (00 )(θ)|
, θ ∈ (x0 , x0 + h)
8
1
y f 00 (x) = − (1+x)
2 , con lo cual:
¯
¯
¯
¯
1
00
¯
¯<1
|f ( )(θ)| = ¯−
(1 + θ)2 ¯
∆(x) ≤
Ahora, f 0 (x) =
1
1+x
puesto que, como θ > 0 (porque en la tabla los x son mayores que 0),
2
entonces 1 + θ > 1 y por tanto, (1 + θ)2 > 1. Entonces ∆(x) < h8 , ası́ que
pedimos que
h2
≤ 10−6
8
es decir
h≤
√
8 · 10−6 ≈ 20 8284 · 10−3 < 10−2 .
Por ejemplo, si x0 = 00 3 y h = 1 · 10−3 , que es menor que 10−2 , entonces
2
−6
∆(x) < h8 = 108 = 00 125 · 10−6 = 10 25 · 10−7 que es menor que 10−6 .
Ejemplo. Dados los valores de la función f (x) = sen x
x
sen x
00 30
00 32
00 29552 00 31457
00 35
00 34290
construir el polinomio de interpolación de Lagrange de grado menor o igual
que 2. Aproximar sen x con x ∈ (00 30, 00 35) y acotar el error cometido.
(x − 00 32)(x − 00 35)
(x − 00 30)(x − 00 35)
0
P2 (x) = 0 29552 0
+0 31457 0
(0 30 − 00 32)(00 30 − 00 35)
(0 32 − 00 30)(00 32 − 00 35)
0
+00 34290
(x − 00 30)(x − 00 32)
(00 35 − 00 30)(00 35 − 00 32)
Si simplificamos este polinomio, se obtendrı́a
16
Capı́tulo 3 Interpolacion
P2 (x) = −00 16333x2 + 10 0537667x + 00 00590997,
pero, para minimizar errores, aproximamos sen x con x ∈ (00 30, 00 35) sustituyendo dicho x en la expresión con denominadores. Por ejemplo, si x = 00 34:
sen 00 34 ≈ P2 (00 34) ≈ 00 345309304.
En cuanto a la cota para el error, sabemos que:
∆(x) = |f (x) − P2 (x)| =
≤
1
|(x − 00 30)(x − 00 32)(x − 00 35)||f 000 (θ)|
3!
1
máx
|(x − 00 30)(x − 00 32)(x − 00 35)| máx
|f 000 (θ)|.
0
0
0
0
x∈[0
30,0
35]
θ∈[0
30,0
35]
6
Ahora f 000 (x) = −cos x, luego
máx
θ∈[00 30,00 35]
|f 000 (θ)| =
máx
θ∈[00 30,00 35]
(porque la función cos x decrece entre 0 y
K3 = cos 00 30 =
√
1 − sen2 00 30 =
π
2
√
cos θ = cos 00 30
= 10 57...). Ası́ que en este ejemplo
1 − 00 295522 = 00 955336553.
Por otro lado, queremos el máximo de
|Q(x)| = |(x − 00 30)(x − 00 32)(x − 00 35)| = |x3 − 00 97x2 + 00 3130x − 00 3360|.
Para encontrarlo, calculamos la derivada Q0 (x) = 3x2 − 2 · 00 97x + 00 3130 y
buscamos los x donde se anula, que resultan ser x = 00 338 y x = 00 309. Pero
Q(00 338) = −00 821 · 10−5 y Q(00 309) = 00 406 · 10−5 , ası́ que el máximo valor
absoluto se alcanza en x = 00 338 y es 00 821 · 10−5 . Con todo esto:
∆(x) = |f (x) − P2 (x)| =≤
1 0
0 821 · 10−5 00 955336553 ≈ 10 31 · 10−6
6
En general, si se usa interpolación de orden n superior a 1, para acotar
el error de interpolación necesitaremos estimar el máximo de la funcion
|(x − x0 )(x − x1 ) · . . . · (x − xn )|
cuando x ∈ [x0 , xn ], supuesto que x0 < x1 < . . . < xn .
3.5. OTROS TIPOS DE INTERPOLACION
17
En el caso de la interpolación cuadrática (n = 2) con tres nodos
equiespaciados, es decir,
x0 , x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h,
se puede comprobar que:
2h3
2h3
máx |(x − x0 )(x − x1 )(x − x2 )| = √ <
.
x∈[x0 ,x2 ]
3
3 3
con lo cual
1
|(x − x0 )(x − x1 )(x − x2 )||f 000 (θ)|
3!
1
≤
máx |(x − x0 )(x − x1 )(x − x2 )| máx |f 000 (θ)|
θ∈[x0 ,x2 ]
6 x∈[x0 ,x2 ]
3
3
1 2h K3
h K3
≤
=
.
6 3
9
∆(x) = |f (x) − P2 (x)| =
3.5.
Otros tipos de interpolacion
Hasta ahora, en los problemas de interpolación para aproximar lo que
vale una función f en un número x, los datos consistı́an en unos cuantos
valores de f en ciertos x0 , x1 , ..., xn , llamados nodos de la interpolación. Con
esos datos se buscaba un polinomio que se ajustara a ellos. Veamos otras
posibilidades.
1. Interpolación trigonométrica
En este caso, conocidos f (x0 ), f (x1 ), f (x2 ), · · · , f (x2n ) (un número impar de valores de f ), se busca una función trigonométrica de la forma:
g(x) = a0 + a1 cos x + a2 cos 2x + · · · + an−1 cos (n − 1)x + an cos nx+
b1 sen x + b2 sen 2x + · · · + bn−1 sen (n − 1)x + bn sen nx
que se ajuste a los (2n + 1) datos. Ası́ se obtiene un sistema de (2n + 1)
ecuaciones lineales en las (2n+1) incógnitas a0 , a1 , · · · , an , b1 , b2 , · · · , bn ,
en el que la matriz de coeficientes tiene determinante no nulo si los
x0 , x1 , x2 , · · · , x2n son distintos (de hecho, se puede demostrar que este
18
Capı́tulo 3 Interpolacion
determinante es igual a uno de Vandermonde dividido por un número
complejo).
Ejemplo. Dados los valores de una función f
x
10 003
f (x) 00 0265
10 004
00 0292
10 005
00 0319
Aproximar f (10 0045) usando interpolación trigonométrica.
Tenemos 3 = 2n + 1 datos, es decir, n = 1 y buscaremos una función
trigonométrica de la forma
g(x) = a0 + a1 cos x + b1 sen x
que se ajuste a los datos, es decir:

g(10 003) = a0 + a1 cos 10 003 + b1 sen 10 003 = 00 0265 
g(10 004) = a0 + a1 cos 10 004 + b1 sen 10 004 = 00 0292 .

g(10 005) = a0 + a1 cos 10 005 + b1 sen 10 005 = 00 0319
El determinante de la matriz de coeficientes del sistema anterior es:
¯
¯ 1 cos 10 003 sen 10 003
¯
¯ 1 cos 10 004 sen 10 004
¯
¯ 1 cos 10 005 sen 10 005
¯
¯
¯
¯
¯
¯
que resulta ser 10−9 .
Resolviendo el sistema de ecuaciones, por ejemplo, por la regla de
Cramer, se obtiene:
20 92 · 10−11
−20 27 · 10−9
10 45 · 10−9
0
0
a0 =
= 0 0292, a1 =
= −2 27, b1 =
= 10 45.
−9
−9
−9
10
10
10
Entonces g(x) = 00 0292 − 20 27cos x + 10 45sen x y aproximamos
f (10 0045) ≈ g(10 0045) = 00 0292−20 27cos 10 0045+10 45sen 10 0045 ≈ 00 03497.
3.5. OTROS TIPOS DE INTERPOLACION
19
2. Dados x0 , x1 , · · · , xn , con x1 , · · · , xn distintos (ya veremos por qué en
esta última lista no hace falta incluir a x0 ) y conocidos los (n+1) datos:
f (x0 ), f 0 (x1 ), f 0 (x2 ), · · · , f 0 (xn ), se busca un polinomio de grado como
mucho n, p(x) = a0 +a1 x+a2 x2 +· · ·+an xn , que se ajuste a esos datos:
p(x0 ) =
f (x0 ) ↔ a0 + a1 x0 + a2 x20 + · · · + an xn0 = f (x0 )
p0 (x1 ) = f 0 (x1 ) ↔ a1 + 2a2 x1 + 3a3 x21 + · · · + nan xn−1
= f 0 (x1 )
1
···
= f 0 (xn )
p0 (xn ) = f 0 (xn ) ↔ a1 + 2a2 xn + 3a3 x2n + · · · + nan xn−1
n







.
con lo cual se obtiene un sistema de (n + 1) ecuaciones lineales en
las (n + 1) incógnitas a0 , a1 , · · · , an . En el determinante de la matriz
de coeficientes, la primera columna tiene un 1 como primer elemento
seguido de ceros, ası́ que desarrollando por ella, el determinante es
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1
1
..
.
2x1
2x2
..
.
3x21
3x22
..
.
. . . nxn−1
1
. . . nxn−1
2
..
.
1 2xn−1 3x2n−1 . . . nxn−1
n−1
1 2xn
3x2n
. . . nxn−1
n
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ = 1·2·3 · · · n ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1
1
..
.
x21
x22
..
.
x1
x2
..
.
. . . x1n−1
. . . xn−1
2
..
.
1 xn−1 x2n−1 . . . xn−1
n−1
1 xn
x2n
. . . xn−1
n
que es de tipo Vandermonde y será no nulo si los x1 , x2 , · · · , xn son
distintos. En ese caso, la solución del sistema es única y, por lo tanto,
también lo es el polinomio buscado (por eso no hacı́a falta incluir a x0
en la lista de nodos distintos entre sı́).
Ejemplo. Si conocemos los datos
f (1) = 2, f 0 (0) = −1, f 0 (1) = 2, f 0 (2) = −1,
encontrar un polinomio de grado menor o igual que 3 se ajuste a ellos.
El polinomio buscado será de la forma p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3
y por tanto su derivada será p0 (x) = a1 + 2a2 x + 3a3 x2 . Queremos que
se cumpla:
p(1)
p0 (0)
p0 (1)
p0 (2)
=
=
=
=
f (1)
f 0 (0)
f 0 (1)
f 0 (2)
↔ a0 + a1 + a2 + a3 = 2
↔
a1 = −1
↔ a1 + 2a2 + 3a3 = 2
↔ a1 + 4a2 + 12a3 = −1







.
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
20
Capı́tulo 3 Interpolacion
Esto nos da un sistema de 4 ecuaciones lineales en las incógnitas a0 , a1 , a2 , a3
cuya matriz de coeficientes tiene determinante
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1
0
0
0
1
1
1
1
1 1
0 0
2 3
4 12
¯
¯
¯
¯ 1 0 0
¯
¯
¯
¯ = 1 · 2 · 3¯ 1 1 1
¯
¯
¯ 1 2 4
¯
¯
¯
¯
¯
¯ = 6 · (1 − 0) (2 − 0) (2 − 1) = 12,
¯
¯
ası́ que el sistema tiene solución única que resulta ser: a0 = 1, a1 =
−1, a2 = 3, a3 = −1 (comprobarlo). Luego el polinomio buscado es
P (x) = 1 − x + 3x2 − x3 .
3. Conocidos (n + 1) valores de f : f (x0 ), f (x1 ), f (x2 ), · · · , f (xn ), se busca
un polinomio especial de grado par, p(x) = a0 + a1 x2 + a2 x4 + · · · +
an x2n , que se ajuste a esos datos:
p(x0 ) = f (x0 ) ↔ a0 + a1 x20 + a2 x40 + · · · + an x2n
0 = f (x0 )
2
4
2n
p(x1 ) = f (x1 ) ↔ a0 + a1 x1 + a2 x1 + · · · + an x1 = f (x1 )
···
p(xn ) = f (xn ) ↔ a0 + a1 x2n + a2 x4n + · · · + an x2n
n = f (xn )







.
con lo cual se obtiene un sistema de (n + 1) ecuaciones lineales en
las (n + 1) incógnitas a0 , a1 , · · · , an . El determinante de la matriz de
coeficientes es
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1
1
..
.
x20
x21
..
.
x40 . . .
x41 . . .
..
.
x2n
0
x2n
1
..
.
1 x2n x4n . . . x2n
n
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯=¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
1
1
..
.
y0
y1
..
.
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
n ¯
. . . yn
y02 . . .
y12 . . .
..
.
1 yn yn2
y0n
y1n
..
.
llamando yi = x2i para i = 0, 1, · · · , n. Este último determinante es de
tipo Vandermonde y su valor es
Y
(yj − yi ) =
0≤i<j≤n
Y
(x2j − x2i )
0≤i<j≤n
y será no nulo si los cuadrados de los nodos son números distintos entre
sı́, ası́ que la solución será única si |xi | 6= |xj | cuando i 6= j.
Ejemplo. Si conocemos los datos
3.5. OTROS TIPOS DE INTERPOLACION
21
f (1) = 2, f (−3) = −1, f (2) = 1,
encontrar un polinomio de grado 4 que se ajuste a ellos.
El polinomio buscado será de la forma p(x) = a0 + a1 x2 + a2 x4 y
queremos que se cumpla:

p(1) = f (1) ↔
a0 + a1 + a2 = 2

p(−3) = f (−3) ↔ a0 + 9a1 + 81a2 = −1 .

p(2) = f (2) ↔ a0 + 4a1 + 16a2 = 1
Esto nos da un sistema de 3 ecuaciones lineales en las incógnitas a0 , a1 , a2
cuya matriz de coeficientes tiene determinante
¯
¯ 1 1 1
¯
¯ 1 9 81
¯
¯ 1 4 16
¯
¯
¯
¯ = (9 − 1) · (4 − 1) · (4 − 9) = −120,
¯
¯
ası́ que el sistema tiene solución única: búscala como ejercicio.
4. Interpolación osculatoria o de Hermite. En muchos problemas es
conveniente considerar los polinomios que interpolen una funcion f (x)
y que, ademas, su derivada interpole la derivada f 0 (x) (ası́ la gráfica
de f y la del polinomio interpolador serán más parecidas, porque no
sólo pasan las dos por ciertos puntos, sino que en ellos tienen la misma
tangente).
El problema general es el siguiente: dados x1 , . . . , xn (distintos) queremos encontrar un polinomio p(x) tal que
p(xi ) = f (xi ) y p0 (xi ) = f 0 (xi ),
i = 1, . . . , n.
Como se dan 2n datos, se busca un polinomio p(x) de grado como
mucho 2n − 1 que se ajuste a los datos, llamado polinomio osculador o
de Hermite.
Para obtenerlo hay que resolver un sistema de 2n ecuaciones lineales con
2n incógnitas, en el que se puede demostrar que la matriz de coeficientes
tiene determinante no nulo y, por tanto, la solución del sistema es única.
Ejemplo Supongamos dados 2 nodos x0 = 1, x1 = 2, y los datos
f (1) = 2 , f 0 (1) = −4
f (2) = 6 , f 0 (2) = 12.
22
Capı́tulo 3 Interpolacion
Queremos encontrar p(x) de grado como mucho 3 que se ajuste a estos
4 datos, ası́ que buscamos un polinomio p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3
que cumpla
p(1) = 2 , p0 (1) = −4
p(2) = 6 , p0 (2) = 12.
Esto da un sistema lineal de 4 ecuaciones con 4 incógnitas cuya solución
es única y corresponde al polinomio p(x) = 14 − 20x + 8x2 (es decir
a0 = 14, a1 = −20, a2 = 8 y a3 = 0).