ALGEBRA LINEAL Prof. Alejandro Ram´ırez Facultad de

ALGEBRA LINEAL
Prof. Alejandro Ramı́rez
Facultad de Matemáticas, PUC
18 de Octubre, 2016
Interrogación 2
(1) [1.3pt] Demuestre que si H es una matriz hermı́tica, todos sus valores propios son reales.
Solución: Sean a un valor propio de H con vector propio x. Luego
ā = (x, Hx) = (Hx, x) = a.
(2) [1.5pt] Calcule los valores propios, vectores propios genuinos y vectores propios generalizados
de la siguiente matriz.
2 0
−1 2
Encuentre además la forma canónica de Jordan correspondiente a esta matriz y la transformación de similaridad asociada.
Solución: El único valor propio de esta matriz es 2. El único vector propio genuino es (0, 1)
y como vector propio generalizado (1, 0). Luego si elegimos la matriz
0 1
1 0
S :=
vemos que
S
−1
AS
2 1
2
es la forma canónica de Jordan.
(3) [1.7pt]
a) [0.8pt] Demuestre que el polinomio mı́nimo pM de una matriz siempre divide al su
polinomio caracterı́stico p. Es decir
p = qpM ,
donde q es un polinomio.
Solución: Supongamos que pM no divide a p. Luego, por el algorı́tmo de división
tenemos que existen polinomios r 6= 0 y q con deg(r) < deg(pM ) tales que
p = r + qpM .
Pero luego r(A) = 0 lo que contradice el hecho que pM es el polinomio mı́nimo.
b) [0.9pt] Calcule el polinomio caracterı́stico [0.2pt] y el polinomio mı́nimo [0.7pt] de la
matriz
1
2











7
0
0
0
0
0
0
0
1
7
0
0
0
0
0
0
0
0
7
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
5
0
0
0
0
0
0
0
1
5
0
0
0
0
0
0
0
1
5











Solución: El polinomio caracterı́stico de esta matriz es
p = (s − 7)3 (s − 2)2 (s − 5)3 .
El polinomio mı́nimo es
pM = (s − 7)2 (s − 2)(s − 5)3 .
(4) [1.5pt] Considere una función D : Rn → R con las siguientes propiedades: (i) D(a1 , . . . , a
0 si ai = aj para algún par de ı́ndices i 6= j; D(a1 , . . . , an ) es una función lineal de cada
de sus argumentos. Demuestre que D es una función alternante: es decir, si ai y a
intercambian, el valor de D cambia por el factor (−1).
Solución: Sin perdida de generalidad mostraremos que D(a1 , a2 ) es una función alterna
En efecto, tenemos que
D(a1 , a2 ) = D(a1 , a1 ) + D(a1 , a2 ) = D(a1 , a1 + a2 )
= D(a1 + a2 , a1 + a2 ) − D(a2 , a1 + a2 ) = −D(a2 , a1 + a2 ) = D(a2 , a1 ).
Justifique todas sus respuestas. TIEMPO: 2 horas 30 minutos.