revista-fulcrum18 - La Escuela de Lancaster AC
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FULCRUM Marzo 2012 Número 18 Dame un punto de apoyo y moveré al mundo Arquímedes ¿Qué es FULCRUM? La Escuela de Lancaster A. C. promueve la formación de individuos pensantes y sensibles, con confianza en sí mismos, que acepten y promuevan la diversidad y los derechos humanos, y rechacen cualquier forma de discriminación, lo cual requiere de todos los miembros de nuestra comunidad una actitud abierta al diálogo, dispuesta al cambio y congruente con los valores Lancaster. FULCRUM significa “punto de apoyo” y bajo este concepto nos reunimos periódicamente un grupo conformado por madres y padres de todos los niveles educativos, representantes de las mesas directivas de las tres Asociaciones de Padres de Familia y personal docente, administrativo y directivo de la escuela. Nuestro interés al editar esta publicación tiene el doble propósito de ofrecer a la comunidad un medio de comunicación que informe sobre las actividades de apoyo académico que cotidianamente se realizan en el Lancaster; así como crear un espacio impreso que promueva el análisis y la reflexión de los aspectos que conforman el proyecto Lancaster: un proyecto dinámico y en permanente construcción. Por ello, cada número del boletín es monográfico y destaca un aspecto particular del proyecto escolar, y cubre una temática orientada a tratar tanto aspectos académicos como sociales, propios del entorno escolar. Quienes colaboramos en la edición de este boletín coincidimos en que una comunidad más y mejor informada será más participativa y estará mejor orientada para la cabal consecución de una de las metas fundamentales de nuestra escuela: consolidarse como una organización de aprendizaje. Cada miembro de la comunidad Lancaster tiene algo único y valioso que ofrecer, por ello, exhortamos a nuestros lectores a que participen activamente en FULCRUM, ya sea mediante su incorporación al Comité Editorial, o con sus colaboraciones, ideas, sugerencias y comentarios. Participa en FULCRUM. Todo el apoyo es bienvenido. Ponte en contacto y colabora con el Lancaster. Escríbenos a: [email protected] CONTENIDO FULCRUM 18 28 Directorio CHANGING PARADIGMS RETHINKING THE WAY WE TEACH MATHEMATICS Órgano Informativo de la Escuela de Lancaster, A. C. 29 Comité de Apoyo Académico Érika Brust Alan Downie Tomás Granados María Eugenia Hinojosa Dave Jones Eréndira Kelly Liliana López Víctor Manuel Lupián Socorro Martínez Lourdes Mondragón Florencia Ruiz Clarissa Santaella Beatriz Sapiña Armando Suárez 5 EDITORIAL 7 WHAT’S THE PROBLEM?: CHALLENGES FOR Alan Downie 33 MATHEMATICS EDUCATION 8 Mathematics: what’s the problem? 36 Alan Downie 39 42 Víctor Manuel Lupián Las matemáticas no son difíciles Jazmín Caloca 43 14 Revisión de estilo: Lucila Rodríguez, Sophia Contreras, Liliana Villasaña FULCRUM es una publicación semestral de La Escuela de Lancaster, A. C., con domicilio en Prol. 5 de Mayo núm. 67, col. San Pedro Mártir, 14650 México, D. F., tel. 5666-9796. La reproducción total o parcial del contenido debe ser autorizada por el Comité de Apoyo Académico; cada artículo es responsabilidad del autor. Registros en trámite. Un Cuento Para Contar Marion Arias Diseño y formación: Impresos y acabados Pérez Hernández Digital Technologies in School Mathematics: a Challenging Situation Ana Isabel Sacristán Alan Downie Impresión : ¿Cómo aprendemos matemáticas? Cynthia Moreno Edición: Fotografía: Socorro Martínez Changing paradigms: rethinking the way that we teach mathematics ¿Cómo aprendemos matemáticas? Una respuesta desde la investigación María Trigueros Un juego: La telaraña Silvia Alatorre, Elsa Mendiola, Mariana Sáiz 49 Applied Problem, Lasagna, and Geometry: A Winning Combination 18 Algunos problemas del aprendizaje de las matemáticas Luis Verde 24 Los retos para la formación matemática María José Arroyo Johnny W. Lott 52 MATEMÁTICAS SE ESCRIBE SIN “S” - REFLEXIONES SOBRE LA NATURALEZA DE LA(S) MATEMÁTICA(S) 53 Matemáticas se escribe sin “s”: un pequeño recorrido de la matemática Edel Pineda 56 En busca de la razón extraviada Armando Suárez 59 ¿Vivimos en tres dimensiones? David Lamb Liliana López Levi 69 IN LOVE WITH MATHEMATICS - THE BEAUTY AND THE UTILITY OF MATHEMATICS 70 ¿Es la estadística una rama de las matemáticas? Silvia Ruiz Velasco Acosta 64 67 73 Las matemáticas son geniales Mirifici Logarithmorum Cristianne M. Butto y Joaquín 77 “When am I ever going to use this in real life?” Alfredo Castañeda Yasir Patel Malinka Monroy 89 78 Andro Asatashvili Matemáticas y Futbol ¿Qué son y para qué sirven las matemáticas? Eugenia Marmolejo CLOSE ENCOUNTERS OF THE MATHEMATICALKIND - PERSONAL STORIES 91 Mamá: descubrí a Pi 93 Tuvalu Martha Zertuche Bryan Slaven Delgado Las matemáticas y el arte Relación entre las matemáticas y la música ¿mito o realidad? 82 Las matemáticas en la vida diaria Jess’ Apology Etienne Ortega Aplicaciones contemporáneas de la Estadística en el siglo XXI Leticia Gracia Medrano V. 65 72 80 Guillermo Pastor Jessica Gospe 63 pag. 85 96 ZONA RECREATIVA 104 DESCUBRE TU BIBLIOTECA VIDA EN LA ESCUELA 52 WHO IS WHO IN THE LANCASTER 138 Maths week 138 Clase abierta de ajedrez 139 LAHC Orchestra Lima 2011 139 Día del Padre muy padre en Lancaster The Lancaster PYP Exhibition 112 113 Organigrama 114 116 Cintia Aurora del Cerro Arenas 117 118 120 122 123 125 129 Ricardo Morales Rodríguez 140 Alejandro Nava Olivares 140 131 133 Teresa Rojas Sánchez Gabriela Trejo Flores pag. 138 145 Grade 1 Camp 146 Ofrendas de Noche de Muertos 147 Ofrenda FRISSAC Philip James Randay 147 Academic Fair 2011-2012 Jenny Ruiz 148 New House point containers! 148 Noche Bohemia 149 Al rescate del Lobo Mexicano 150 Feria Filantrópica – Evento de lanzamiento de nuestra revista FULCRUM No. 17 María Eugenia Hinojosa 153 Comentarios sobre el evento de lanzamiento de FULCRUM 17 “Filantropía” 155 Graduation Speech 2011 Alan Downie Mariana Rudich Cabañas María José Arroyo Karina Galán Aramburu 141 142 Miguel Robledo Guarneros Biblioteca Diligencias Semana de las artes Primer Mural en el Plantel Diligencias Sarah Follen pag. 125 143 La noche mexicana en Lancaster 2011 143 Noche Bohemia 144 Grade 2 Camp 144 Grade Four Experiences Camp Nature Mexico 145 Monólogos L6 EDITORIAL M enciona la palabra matemáticas y seguro obtendrás una reacción. La mera palabra provoca pánico e inseguridad a algunos, en tanto evoca felicidad y gozo para otros. Muchas personas consideran a las matemáticas como el máximo desafío intelectual, la prueba de oro de la inteligencia, en tanto otros ven a las matemáticas simplemente como una poderosa caja de herramientas que sustenta el progreso científico y tecnológico. La mayoría de personas pensarían en las matemáticas como algo “que haces”, otros considerarían a las matemáticas como una manera de pensar, un entrenamiento de la mente y, tal vez, algunos pocos verían a las matemáticas como una oportunidad para el desarrollo de nuestra creatividad. Nuestros padres, maestros y políticos, nos han llevado a creer como estudiantes que necesitaremos de las matemáticas toda la vida, y que éstas son de las materias más importantes -incluso la más importante- en el currículo escolar. Esta percepción de su importancia, junto con la tensión que se origina entre aprender a hacer y aprender a comprender, ha llevado a una considerable controversia en torno a la manera en que se enseñan y aprenden las matemáticas, sin mencionar un alto grado de sufrimiento en muchos estudiantes quienes simplemente no ven la relevancia e importancia de la materia, y a un alto volumen de investigación en educación matemática. En esta edición de FULCRUM abordamos las matemáticas, pero particularmente la educación matemática, así como los problemas y desafíos asociados con ella. En un espacio tan reducido, sería imposible abordar la vastedad de las matemáticas. Se considera que Henri Poincaré, el famoso matemático francés que vivió de 1854 a 1912, fue la última persona en tener un conocimiento pleno y práctico de todas las matemáticas de su tiempo. Como muchas otras ramas del conocimiento, las matemáticas se han tornado altamente especializadas y cuando Andrew Miles finalmente comprobó el celebrado “Último Teorema de Fermat” había en el mundo solo un puñado de personas M ention the word mathematics and you are sure to get a reaction. For some the word provokes panic and insecurity, for others beauty and joy. Many consider mathematics to be the ultimate intellectual challenge, the acid test of intelligence whilst others regard mathematics simply as a powerful toolbox that underpins scientific and technological progress. Most people would immediately think of mathematics as something that you “do”; some would think of mathematics as a way of thinking, a training of the mind, and perhaps a very few would see mathematics as an opportunity for developing our creativity. As students we are led to believe by our teachers, our parents and politicians that we will need mathematics all our lives and that it is one of the most important subjects –if not the most important– on the school curriculum. This perceived importance, together with the tension that arises between learning to do and learning to understand, has led to considerable controversy around the way that mathematics is taught and learned, not to mention a great deal of suffering on the part of many students who fail to see the relevance and importance of the subject and a vast body of research on mathematics education. In this edition of FULCRUM we look at mathematics but particularly at mathematical education and the problems and challenges associated with it. In such a small space we cannot begin to address the vastness of mathematics. It is generally regarded that Henri Poincaré, the famous French mathematician who lived from 1854 to 1912, was the last person to have a working knowledge of all of the mathematics of his time. Like many other branches of knowledge, mathematics has become highly specialised and when Andrew Miles finally proved Fermat’s celebrated “Last Theorem” there was only a handful of people around the world who could get anywhere near to understanding his proof. 6 que podían acercarse limitadamente a entender esta comprobación. Así, esta edición de Fuclrum no pretende abarcar las matemáticas en su totalidad, sino más bien proveer un espacio para que estudiantes, padres, maestros e investigadores compartan sus reflexiones personales sobre las matemáticas y la educación matemática. Primero, afrontamos la problemática y los desafíos asociados con la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, seguido de algunas propuestas para cambiar la forma en que enseñamos matemáticas, aprovechando la tecnología, la experiencia, la interacción social, la historia, los juegos e historietas, la resolución de problemas y la indagación. De la educación matemática volteamos la mirada a las matemáticas en general, primero hacia la naturaleza de las matemáticas y luego a su belleza y utilidad. Finalmente, presentamos algunas experiencias muy personales con las matemáticas para llevarnos después a las secciones tradicionales de FULCRUM: Descubre tu Biblioteca, Who is Who (que incluye esta vez miembros fundadores de la escuela) y Vida en la Escuela. A lo largo de este número presentamos resúmenes de los que hacemos en la Escuela de Lancaster en el área de matemáticas y áreas en las que deseamos desarrollar la enseñanza aprendizaje de las matemáticas. Esperamos que esta breve incursión en las matemáticas y la educación matemática ofrezca cierta esperanza para una experiencia con las matemáticas escolares más placentera y productiva de lo que suele ser mayoritariamente para muchos alumnos. Esperamos que nos lleve a reflexionar sobre lo que es importante y realmente “cuenta” en el aprendizaje y enseñanza de las matemáticas, recordándonos, en las palabras de Einstein, que: “No todo lo que cuenta puede contarse y no todo lo que puede contarse, cuenta“ So this edition of FULCRUM does not pretend to look at the whole of mathematics but rather to provide a space for students, parents, teachers and researchers to share some personal reflections on mathematics and on mathematics education. First we look at the problems and challenges associated with the teaching and learning of mathematics, followed by some proposals for changing the way that we teach mathematics, taking advantage of technology, experience, social interaction, stories, history, games, problem solving and inquiry. From mathematics education we turn to look at mathematics generally: first the nature of mathematics and then the beauty and utility of mathematics. Finally we present some very personal experiences with mathematics to take us into the traditional sections of FULCRUM: Descubre tu Biblioteca, Who is Who (this time including founder members of the school) and Vida en la Escuela. Throughout the number we present summaries of what we do in the Lancaster School in the area of mathematics and where we would like to develop the teaching and learning of mathematics. We hope that this brief tour of mathematics and mathematics education offers some hope for a more enjoyable and productive experience of school mathematics than is often the case for many students. We hope that it provokes reflection about what is important and what counts in the teaching and learning of mathematics and that it reminds us that, in Einstein’s words “Not everything that counts can be counted and not everything that can be counted, counts” a ©Socorro Martínez 8 Por Alan Downie* T he teaching and learning of mathematics is one of the most controversial and problematic issues in education. Mathematics is widely considered to be one of the most important (if not the most important) subjects on the curriculum but at the same time it is almost certainly the subject that causes the most stress , the most “failure” and the greatest sense of frustration on the part of both teachers and students, not to mention parents and governments. * Headmaster, maths teacher. Upper School. Diligencias site. Papá de Sara (U6) y Ángela (exalumna) Downie Ruiz Velasco. Mathematics is an obligatory component of university admission exams in many parts of the world, even for the study of subjects that have little or no mathematical content. The UNAM admission exam requires students to answer more questions on mathematics than any other subject whilst the Chilean PSU exam for university entrance has an even larger mathematical component. The only subject which is compulsory in the IB Diploma is mathematics, and mathematics is one of only two obligatory subjects which students must pass at GCSE level in order to be able to study at a university in the UK. And yet for the vast majority of students mathematics is at best a mysterious box of tricks to be learnt and applied for the purpose of passing exams and then forgotten, never to be used again, whilst at worst it is an impenetrable, dark and sinister world of torture designed to make its inhabitants feel inadequate and unintelligent. For a few, of course, there is no greater joy and beauty than that to be found in the study of mathematics, but these rare creatures are few and far between. There are, of course, many factors which contribute to this state of affairs but in this article I will focus on a few of the major issues. To start with I will look at the nature of the subject itself and its inherent difficulties. I will then look at the problem of the way that the subject has been taught traditionally and the closely related issue of how mathematical knowledge and understanding is assessed. I will then look at the challenge of recruiting and training teachers of mathematics and finally address the politicisation of the teaching and learning of mathematics. Whilst examining these problems I will try to identify opportunities for developing alternative approaches that could lead to much more positive mathematical experiences for both students and teachers, many of which will be taken up in more detail in the articles that follow. The nature of mathematics Mathematics is, by its very nature, a highly abstract discipline. Although the study of mathematics usually starts from practical situations and problems, the mathematician is less interested in the problem itself than what it can reveal about the underlying structure. Mathematicians are constantly seeking to extract the essence of specific results or behaviours with a view to constructing theories with a much wider and more general application. In the process they construct objects and define rules for acting upon those objects that become increasingly divorced from the reality in which they were born until the interest is no longer in the original problem at all but in the behaviour and properties of the objects themselves. By this stage we have moved out of the real world in which we live and into the mathematical world which has its own phenomena, its own rules and most importantly its own symbolic language. Pamela Liebeck (1990) describes the process of developing conceptual understanding in mathematics in four stages: Experience –> Language –> Pictures –> Symbols (ELPS). She argues the case for moving on to each stage only after the previous stage has been fully assimilated but one of the problems that we encounter is that it is generally much harder and clumsier to describe mathematical ideas in our everyday language than in the symbolic language that has been developed precisely to do that job and so there is a tendency to formalise and symbolise too quickly. All too often in school mathematics a relatively simple concept is rendered incomprehensible by an overly formal and symbolic treatment. Another problem that we encounter frequently is that ©Socorro Martínez 9 10 the rules for manipulating mathematical objects become more important than the meaning of the objects themselves. In the same way that a small child can “read” a book or newspaper without actually having any sense of the meaning of what they are reading, or can “play” a passage of music on a manuscript without capturing the musical message of what they are playing, many people only ever manage to understand mathematics as a series of apparently arbitrary rules which if applied correctly will produce a right answer without ever really understanding what it is that they are manipulating. Even at advanced levels technical prowess in the application of mathematical methods is often mistaken for genuine mathematical ability, something that was criticised by one of England’s greatest mathematicians, G. H. Hardy, in the context of the Cambridge University mathematics Tripos exam. In his biography of Hardy, C. P. Snow (1969) writes - giving explanations and checking these have been understood through practice questions. - ‘correcting’ misunderstandings when students fail to ‘grasp’ what is taught. I will argue that this approach is fundamentally flawed on a number of counts which affect the possibility for students of all abilities to realise their potential to the full. In the first place, the methodology described above, which can be found in the vast majority of mathematics classrooms around the world, is firmly rooted in behaviourist theories of learning. Students are conditioned to provide Finally, mathematics is a sequential subject where everything new is built on a foundation of previous knowledge and understanding. Gaps in knowledge, lack of understanding and misconceptions that are not detected and dealt with become obstacles for subsequent learning. So I would argue that there are four major characteristics of mathematics that make it a potentially difficult subject to learn, even before we start: its abstract nature that seems to divorce it from the real world in which we live, the complexity and unfamiliarity of its formal and symbolic expression, the central importance of conceptual understanding which is so often sacrificed for the sake of technical prowess, and the sequential way in which knowledge and understanding is constructed. Whilst these difficulties are inherent to the subject, awareness of them and attention to them in the construction of mathematics curricula and programmes could make an important difference in the mathematical experiences of many people. Teaching and assessing mathematics In arguing for a radical change in the way that we teach and learn mathematics Malcolm Swan (2006) describes the traditional “transmission culture” as one in which: - Mathematics is seen as - a body of knowledge and procedures to be ‘covered’ - Learning is seen as - an individual activity based on listening and imitating - Teaching is seen as - structuring a linear curriculum for the learner. ©Socorro Martínez It was an examination in which the questions were of considerable mechanical difficulty – but unfortunately did not give any opportunity for the candidate to show mathematical imagination or insight or any quality that a creative mathematician needs ... He was to be trained as a racehorse, over a course of mathematical exercises which at nineteen he knew to be meaningless ... it had effectively ruined serious mathematics in England for a hundred years “correct” responses to familiar stimuli through rewarding of desired behaviour. This is an ironic paradox for a subject that is fundamentally conceptual in nature and which requires students to construct their own understanding from experience and discussion. The traditional approach to mathematics places little emphasis on collaboration and discussion. Most of the discourse will be either the teacher asking closed and often highly leading questions with “wrong” answers being glossed over until the “right” answer has been secured or teachers answering students’ questions in a way that does little to enlighten the student. How often is a student’s response discussed by the rest of the class? How often is a “wrong” answer used to explore a misunderstanding or to develop an idea? How often is a student’s question answered by another student? How often do students get to explain how they have arrived at an answer and question each other’s thinking? In Pamela Liebeck’s ELPS scheme I would argue that the first two stages are woefully absent in most mathematics teaching beyond kindergarten (and possibly even in kindergarten). Many mathematics teachers will point to the curriculum and the assessment system to defend their methods. Without doubt most mathematics curricula are outdated, unimaginative, overloaded and heavily focussed on the acquisition of skills. The vast majority of what is learnt at school will never be used again and if it is needed it will probably have been forgotten and will need to be relearnt. Sadly, what would be most useful – to be able to think mathematically and approach unfamiliar problems – is rarely taught. The focus tends to be on the quantity rather than the quality of the mathematics learnt. The effective use of technology as a problem solving tool (and not as a substitute teacher) is almost non-existent, as are real problems. Students are led to believe that all problems have solutions, that they can be found by analytic methods and that we always have exactly the right information to solve them. And the answer will be a whole number! The problem goes back to the abstraction from the real world into the mathematical world. Mathematics teaching tends not to leave the abstract world, which means that we end up with unreal problems – the problem is designed to fit the mathematics being taught, not the other way round. Probably the most outrageous failure to bring curricula in line with reality is in the area of statistics, a subject that has been transformed out of recognition everywhere except in the classroom over the last 30 years with the increasing availability of affordable technology. In schools students are still being trained to draw graphs and calculate statistics which cheap calculators and free software can do far better and in a fraction of the time instead of learning the higher order thinking skills of analysis, interpretation and evaluation that are the true stuff of statistics. But even worse, they usually perform these mindless, routine skills on fictitious data that has no meaning to them when they are surrounded by opportunities to collect and analyse data with real significance. Curricula, in turn, are dictated to a large extent by the way in which mathematics is assessed. The holy grails of validity and reliability have dramatically restricted both the methodology and the content of assessment instruments. It is much easier to test whether a student can solve an equation than it is to test whether a student truly understands what an equation is. It is also far easier to test the application of standard techniques to standard problems than it is to test initiative and creativity in approaching unfamiliar problems. Openended, open book exams with unlimited time are frowned upon by the mathematics establishment; collaborative research and project work even more so. For some reason best known to examining bodies such as the International Baccalaureate and University of Cambridge, mathematics exams are a race against the clock with no choice whilst many other subjects offer a choice of questions and enough time to complete the exam comfortably. Is it speed that is being tested? Or mathematical knowledge and understanding? Were Newton or Gauss great mathematicians because they could solve problems at great speed or because they had a deep insight into the subject and were able to develop new lines of thinking? Without a doubt the illusion of objective, reliable testing has a great influence on mathematics curricula and these in turn have a profound effect on the way that mathematics is taught and learnt but there is still a lot that could be done: taking real, open-ended problems as a starting point, exploring and discussing them to construct meaning and conceptual understanding, making full use of technology as a problem solving tool, using “mistakes” as learning opportunities, giving students more ownership of their learning, and focussing on processes as well as outcomes to promote mathematical thinking and critical reflection. Recruiting and training teachers of mathematics Mathematics teachers are in short supply everywhere. On the one hand a mathematical training opens a lot of doors, practically all of them with a lot more money on the other side than teaching. On the other hand fewer and fewer people are choosing to train as mathematicians, perhaps in part because of uninspiring teaching at school, and so there is a shortage of mathematicians in general, of which a small percentage choose to make a career out of teaching. Money aside, teaching mathematics can be a soul destroying activity because of the ingrained negative attitudes that many students have to the subject. When a group of fifty mathematics teachers was asked what was the most frequent comment made by students in their classrooms they answered in unison “I don’t understand anything”. When a student doesn’t understand something in mathematics it is invariably because “the teacher doesn’t know how to explain it”. 11 So there are few incentives to become a mathematics teacher and a significant number of mathematics teachers are not mathematicians. This is not necessarily a problem in itself – many non-mathematicians are highly competent and well respected teachers – but it almost certainly reaffirms the procedural agenda of the learning of mathematics and the very brightest students who have the potential to become mathematicians may fail to discover the elegance, the depth and the scope of the subject when taught in this way. At all levels teachers find themselves teaching things that they do not fully understand as algorithmic “black boxes”. How many teachers can actually explain why the algorithm for dividing fractions works? Or the formulas for calculating combinations and permutations? How many could prove the chain rule, the product rule or the quotient rule for differentiation? Or explain why the square root of -1 can be represented as the point (0, 1) on the Cartesian plane? Again, when we don’t fully understand what we are teaching we tend to stick to the procedural agenda of teaching how to rather than why, and if we do try to explain things that we don’t fully understand ourselves we can get the students even more confused. So teachers’ knowledge of mathematics plays an important role in determining the way that they teach and the way that students learn. There is a shortage of mathematics teachers, resulting in a significant number of teachers who are in the classroom “by default” rather than because they have a passion and a vocation for the job. Many are not mathematicians, and even those that are will inevitably teach things that they don’t fully understand themselves. The training of mathematics teachers does not focus much on understanding the mathematics that we teach but rather on getting students to perform a series of tasks. As a result there tends to be a focus on controlling the learning and achieving measurable objectives. Many teachers feel insecure leaving the comfort zone of the tried and tested methods of Swan’s transmission culture and many consider that mathematics is best done individually. Again, this tends to be reinforced rather than challenged by teacher training. The result is that students have few opportunities to experience exploratory, open-ended, collaborative learning in which they can construct their own meaning and develop deep conceptual understanding. Instead they acquire an ephemeral “understanding” of how to do mathematics rather than a lasting appreciation of why things work the way they do. The politics of mathematics teaching and learning Education has been on the political agenda of many countries recently and “achievement” in mathematics is one of the indicators that attract a lot of attention. Initiatives like “No Child Left Behind” and “Every Child Matters” are apparently aimed at “raising standards” but in reality they are full of political rhetoric that ignores the inherent diversity of the population and fails to address many of the factors that affect student achievement, such as socio-economic background (Slee et al, 1998) Research on the brain has revealed that there is enormous variability between human beings. There are no normal and abnormal brains – they all work differently. In 1982 the Cockcroft Report found a “seven year gap” between the least and most mathematically developed children of the same chronological age. The National Curriculum for England and Wales brought out in 1988 had built into it the possibility for each child to progress at their own pace and reach a level appropriate to their ability and stage of development. And yet the current trend, at least in the UK and Mexico, born out of a misconstrued concept of equal opportunity, is for whole class teaching with the same targets for every child. Teaching is aimed at the middle of the ability range with little challenge for the brightest and little hope for the weakest. In this context most secondary schools in the UK practise “setting” whereby students are divided into teaching groups by ability under the assumption that the resulting groups are homogeneous and can therefore be taught as if all of the children were the same. Not only does this fly in the face of everything that we know about multiple intelligences and different learning styles but it has also been shown to be a socially divisive practice. Jo Boaler (1997) demonstrated not only that setting in mathematics favoured children from middle class backgrounds over those from working class backgrounds but also that properly conceived mixed ability teaching can produce greater achievement than teaching to setted ability levels because it takes account the individuality of each child as its starting point. So what happened to mixed ability teaching? It was too expensive. Individualised learning schemes for mixed ability teaching such as the SMP and Kent Maths scheme gained great popularity in the UK in the 1980s and made spectacular achievements for all ability levels but they did not fit into the political agenda of the time and large sums of money were devoted to supporting right wing research foundations charged with the task of demonstrating that whole class teaching was the “best” method of teaching mathematics, for the simple reason that class sizes could be increased and as a result money could be saved. There is far more that can be said about the political subversion of education in general and mathematics in particular (Slee, 1998) but the two major political factors that adversely affect mathematics teaching and learning are the use of indicators based on aggregated data which necessarily ignore the diversity and individuality of the population and the exclusive reliance on standardised testing as an indicator of achievement which inevitably focuses teaching and learning on procedural competence rather than genuine understanding. Conclusions I have highlighted what I believe to be the major factors that make the teaching and learning of mathematics problematic and in doing so have also pointed to possible alternatives, either explicitly or implicitly. There are, of course, many wonderful teachers of mathematics and many classrooms in which students’ experiences are enriching and rewarding but in general terms there are many constraints which serve as obstacles to the effective use of the very generous amount of time devoted to mathematics in the course of most students’ schooling. Leaving aside the issues of curriculum, assessment and politics over which we have little influence there are still tremendous opportunities for providing positive and durable learning experiences if we are prepared to take some risks, challenge the received wisdom on what is important and follow in the footsteps of Dewey by making greater use of experience and social interaction as fundamental educational processes. Boaler, J. (1997). Setting, social class and survival of the quickest. British Educational Research Journal, 23, 575-595. Liebeck, P. (1990). How Children Learn Mathematics: A Guide for Parents and Teachers. Harmondsworth: Penguin. Slee, R., Weiner, G. & Tomlinson, S. (1998). School Effectiveness for Whom? Challenges to the School Effectiveness and School Improvement Movements. London: Falmer Press. Snow, C. P. (1969). Variety of Men. Harmondsworth: Penguin. Swan, M. (2006). Collaborative Learning in Mathematics: A Challenge to our Beliefs and Practices. Leicester: NIACE. MATHEMATICS ENHANCEMENT PROGRAMME (MEP) El MEP se desarrolló en Inglaterra, basándose en el modelo europeo (particularmente Hungría y Polonia) donde predomina enseñanza interactiva involucrando toda la clase. El programa inició a nivel secundaria y luego se extendió a primaria. El programa pone especial énfasis en: - altas expectativas tanto de los maestros como de los alumnos enseñanza de las matemáticas como una materia integrada, organizada en un espiral que va ampliándose con una revisión constante de conocimientos y conceptos clases altamente interactivas, con muchas actividades que involucran todos los alumnos la fundación lógica de las matemáticas y el uso en todo momento de lenguaje y notación correcta y precisa el uso de visualizaciones mentales, modelos y manipulativos y la relación de los conceptos a la vida real pensamiento creativo, y discusión y evaluación crítica un atmósfera amigable, disciplinado y colaborativo que involucra a todo el grupo Clases son altamente estructuradas con una gran variedad de actividades y material de apoyo muy completo para el maestro. Nos ha ayudado a unificar criterios y dar continuidad al programa de matemáticas en Rey Yupanqui, sin embargo no satisface todas nuestras necesidades, por lo que estamos desarrollando materiales y actividades para complementarlo. En particular queremos que los alumnos exploren nuevos conceptos de una manera menos dirigida antes de formalizarlos y queremos incluir más diferenciación en las clases de matemáticas para atender al rango de habilidades en cada grupo. Seguiremos utilizando el MEP para desarrollar, formalizar y reforzar conceptos y habilidades matemáticas, pero no será el único material que utilizamos. 13 14 Por María Trigueros G.* L as matemáticas nos parecen, en general, más difíciles de aprender que otras disciplinas, pero ¿son en realidad más difíciles que el español, la historia o la biología? Si se revisa cuidadosamente la forma en que cada disciplina se ha ido conformando, se encuentra que cada una tiene una historia muy distinta de la de las otras porque su desarrollo está determinado por el tipo de problemas que se consideraron importantes en ciertas épocas y por la forma característica de lo que cada disciplina considera como métodos adecuados para resolver esos problemas. Las matemáticas, por ejemplo, son muy antiguas y la forma en que se trabaja en ellas se empezó a conformar desde la época de la Grecia Clásica, mientras que la biología o la sociología se desarrollaron más tardíamente cuando los problemas relacionados con la existencia de distintas especies de seres vivos en la Tierra o con la forma en la que los estados y los grupos sociales se organizan cobraron importancia. Así, cada disciplina se desarrolla de acuerdo a ciertas normas que identifican tanto los problemas a estudiar como la forma de resolverlos y ello hace que el aprendizaje de cada una implique estrategias distintas de estudio. Recientemente se ha visto surgir nuevas áreas de estudio dentro de muchas de las disciplinas tradicionales. Entre ellas ha cobrado importancia el estudio de la forma que varias de ellas se aprenden, para encontrar elementos que permitan lograr mejores aprendizajes y diseñar estrategias efectivas de enseñanza. Las matemáticas no son la excepción, pero ¿cómo las aprendemos? Profesora de tiempo completo, Departamento de Matemáticas, Instituto Tecnológico Autónomo de México. Mamá de María y Francisco Castillo Trigueros (exalumnos). * ¿Cómo aprendemos matemáticas? Una posible explicación La respuesta a esta pregunta es muy compleja. En el aprendizaje de las matemáticas, así como en el de otras ciencias, influyen una gran cantidad de factores. El problema se complica aún más si consideramos que la misma palabra aprendizaje es difícil de definir y que las evidencias del mismo sólo se pueden encontrar de manera indirecta. Actualmente, después de cerca de cuarenta años de investigación sobre los distintos problemas del aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas, se han propuesto distintas teorías que abordan distintas facetas de este complejo fenómeno. Sabemos que, en matemáticas, los conocimientos se han ido conformando siguiendo una cierta estructura lógica, que proviene de “los Elementos” de Euclides. A partir de enunciados que se consideran verdaderos y de definiciones se demuestran nuevos enunciados y se desarrollan distintos procedimientos de solución de problemas que en esta disciplina constituyen los resultados de la investigación. En esa estructura lógica se encuentran las bases que sustentan las matemáticas que se aprenden en la escuela. Pero es conveniente preguntarse ¿se aprende las matemáticas exactamente de la misma manera que se desarrolla su estructura lógica? La respuesta a esta pregunta es muy clara. Una cuestión es la lógica de la disciplina y otra muy diferente es la forma de aprenderla. Se necesita, entonces, desarrollar teorías o modelos que permitan explicar la forma en que las matemáticas se aprenden y esto, como se pueden imaginar, no es una tarea para nada sencilla. Actualmente coexisten distintas teorías que intentan explicar la forma en que se aprendemos las matemáticas. No se trata aquí de mostrar la amplia gama de teorías existentes. Más bien se eligió una de entre ellas. Esta teoría ha probado ser útil en la investigación y ha mostrado ser exitosa al ser utilizada en el diseño de actividades de enseñanza. Es importante insistir, sin embargo, que no se trata de justificar aquí que esta teoría explica completamente la forma en que las matemáticas se aprenden, ninguna teoría lo ha logrado aún, pero conocerla puede ayudar a acercarse a los resultados de la educación matemática y a lo que ahora se sabe sobre el aprendizaje de las matemáticas. para aprender, en general, se requiere que las personas hagan acciones físicas o mentales, sobre objetos reales o abstractos de su realidad y que a partir ellas comienza la construcción de conocimientos cada vez más elaborados. En el caso de las matemáticas, para aprender es importante hacer acciones sobre objetos reales o sobre objetos matemáticos conocidos. Por ejemplo, si se quiere aprender fracciones es necesario hacer acciones sobre objetos reales para partirlos en distintas porciones y también acciones sobre los números naturales que son objetos conocidos para interpretar a la fracción como un cociente, además de acciones de comparación entre distintas fracciones para ver si son equivalentes. ¿Puedes pensar sobre qué objetos tendrías que hacer acciones para aprender el concepto de ecuación? Cuando las acciones sobre los objetos se repiten en distintos contextos y, muy importante, al reflexionar sobre ellas para darles sentido, llega el momento en que las hacemos propias, es decir, las interiorizamos. No tenemos entonces que continuar haciéndolas siguiendo el orden en el La teoría APOE El nombre de esta teoría es un acrónimo de los elementos que la componen: Acción, Proceso, Objeto, Esquema (en inglés se llama APOS) y está basada en la epistemología de Jean Piaget, quien afirmaba que © Socorro Martínez 15 16 que las aprendimos, podemos saltar pasos o generalizarlas para resolver distintos tipos de problemas semejantes. En la teoría se dice que cuando esto sucede, las acciones se han interiorizado en un proceso. En el ejemplo de las fracciones, cuando no necesitamos hacer una por una la acción de dividir el numerador y el denominador de una fracción para encontrar una fracción equivalente, sino que podemos hacerlo casi a simple vista, hemos interiorizado las acciones para encontrar una fracción equivalente en un proceso. Frecuentemente las acciones que se hacen sobre objetos matemáticos se encadenan en algoritmos o “recetas” que son útiles en la solución de problemas. Son estos algoritmos los que solemos aprender de memoria cuando estudiamos matemáticas. Mientras trabajemos siguiendo estas reglas paso a paso o de memoria, por ejemplo, para encontrar la suma de fracciones o la solución de una ecuación de primer grado, lo único que hacemos son acciones sobre objetos matemáticos. Las acciones son muy importantes, con ellas inicia el proceso de construcción del conocimiento, pero si nos quedamos ahí, sin reflexionar sobre ellas, lo que hemos aprendido es muy limitado y generalmente no se puede transferir para resolver problemas distintos a aquellos con los que lo aprendimos. En la teoría APOE el mecanismo más importante de aprendizaje es lo que Piaget llamó abstracción reflexiva, que está basada en la reflexión sobre las acciones. Mediante este mecanismo construimos procesos. Distintos procesos pueden combinarse entre sí, para, por ejemplo, construir un nuevo proceso que permite sumar distintas fracciones o resolver una gran variedad de ecuaciones. Si se han construido procesos, el conocimiento es más duradero, flexible y aplicable. Al utilizar los procesos y reflexionar sobre ellos, llega un momento en que es posible considerar el proceso como “un todo” como una “entidad”. En la teoría se dice que el proceso se ha encapsulado en un objeto. Por ejemplo, hemos construido el objeto fracción cuando podemos pensar en la fracción como un número y ya no tanto pensarla como división de números naturales o como el proceso de partición de un entero. Ese objeto se puede analizar y así encontrar sus propiedades. También, el objeto se puede desencapsular para recuperar el proceso que le dio origen cuando necesitamos utilizar el proceso. Por ejemplo, cuando necesitamos sumar fracciones, podemos volver al proceso, hacer las acciones para sumarlas y regresar al objeto para considerar el resultado de la suma como una nueva fracción. Los esquemas, en esta teoría, son construcciones que se van formando a través de establecer relaciones entre distintos objetos y distintos procesos que solemos utilizar conjuntamente en la solución de problemas matemáticos de cierto tipo. Los esquemas pueden describirse en términos de acciones, procesos, objetos y otros esquemas que están relacionados entre sí de manera más o menos coherente. En el caso de las fracciones un posible esquema podría tener como componentes fracciones de distinto tipo, por ejemplo fracciones propias, impropias y mixtas y los procesos para operar con ellas. En el caso de ecuaciones, un esquema podría estar constituido por distintos tipos de ecuaciones, por el objeto variable y el objeto conjunto solución de una ecuación, por ejemplo. Conforme aprendemos matemáticas estos esquemas se diversifican y también se unen entre ellos de manera que el conocimiento que hemos construido esté disponible para resolver problemas. Aunque esta teoría se limita al aspecto cognitivo del aprendizaje ha demostrado tener poder explicativo. Con ella se han diseñado actividades y estrategias de enseñanza que han mostrado ser efectivas en cursos universitarios y en algunas experiencias en cursos de álgebra y aritmética. De hecho, la teoría incluye una parte ligada a la enseñanza, en la que el diseño de las actividades con base en la teoría va acompañado de el uso de la tecnología y del trabajo colaborativo en clase. A pesar del éxito de la teoría, no se puede negar que hay otros factores importantes que influyen en el aprendizaje de las matemáticas y que no se toman en cuenta en ella, por ejemplo la importancia del contexto en el que se trabajan los 17 conceptos y problemas, el uso de modelos y problemas en el salón de clase, entre muchos otros. Hay teorías que ponen el acento en esos factores, que son muy útiles para entender el fenómeno del aprendizaje de las matemáticas y que es importante conocer. ¿Qué podemos hacer para aprender mejor matemáticas? De acuerdo a esta teoría es importante actuar sobre objetos matemáticos conocidos, pero no a ciegas, sino reflexionando sobre esas acciones para darles un sentido. Todos sabemos que en matemáticas los procedimientos son importantes, pero memorizarlos no es la mejor solución. Si nos apoyamos únicamente en esta estrategia, no podemos usar los procedimientos en problemas distintos y se nos olvidan con facilidad. Si los repetimos varias veces, aunque nos dé flojera, y reflexionamos sobre lo que estamos haciendo, interiorizamos el procedimiento, lo hacemos nuestro y podremos generalizarlo y aplicarlo a nuevas situaciones donde es pertinente. Esto permite además construir nuevos objetos matemáticos y relaciones entre ellos. En muchas ocasiones memorizamos o construimos objetos que no son los aceptados por la comunidad matemática, es decir, que se pueden considerar como errores, o que provienen de generalizar un proceso de manera incorrecta. Cuando esto sucede, es necesario regresar a los procesos o a las acciones que les dieron origen, para construir un nuevo objeto que se relacione con el concepto correcto. Las acciones, los procesos y los objetos construidos de esta manera se relacionan entre sí para formar esquemas cada vez más poderosos que podemos usar para resolver una gran variedad de problemas nuevos tanto en la clase como en nuestra vida cotidiana. La solución de muchos problemas diversos ayuda a relacionar las componentes de un esquema y también de diversos esquemas entre sí, de esa manera las estructuras se vuelven más coherentes y podemos utilizarlas con mayor facilidad. Las matemáticas aprendidas de esta manera se vuelven una herramienta poderosa de pensamiento, y de análisis y solución de problemas muy diversos. Trabajar con compañeros o amigos de manera colaborativa apoya la reflexión. Compartir opiniones, puntos de vista y sobre todo argumentos, ayuda a la interiorización de las acciones en procesos y a la construcción de objetos y esquemas. Estudiar matemáticas en equipo puede ser muy útil, pero sólo cuando se trabaja de manera verdaderamente colaborativa; no se trata de repartir los problemas para trabajar menos, sino de resolverlos juntos para discutir distintas estrategias de solución y argumentar la validez tanto de los métodos de solución como de la solución misma. El contexto que se crea en un ambiente de discusión interesante proporciona las condiciones que se requieren para la reflexión necesaria en el aprendizaje. Por supuesto, el uso de la tecnología y otros medios de comunicación como textos o videos, proporciona oportunidades muy valiosas de aprendizaje. Nuevamente, el requisito para que funcionen de manera exitosa, de acuerdo a la teoría, es utilizarlos como herramientas para hacer acciones físicas o mentales sobre objetos matemáticos, reflexionar sobre ellas, discutir y argumentar. Algunas conclusiones Día con día aprendemos más sobre el fenómeno del aprendizaje de las matemáticas. Queda mucho por hacer, pero ciertamente, la investigación nos da pistas útiles para responder, aunque sea de manera parcial y provisional, la pregunta de cómo aprendemos matemáticas. Nos da también ideas de cómo acercarnos al estudio de las matemáticas para aprender mejor y, si somos profesores, nos proporciona una guía para diseñar actividades para que los alumnos aprendan más y mejor. Las matemáticas se requieren cada vez más en la vida profesional. Podemos evitar que se conviertan en un filtro que limite nuestra actividad. Adentrarse en el estudio de las matemáticas con una actitud positiva y conociendo un poco más cómo se aprenden nos puede llevar a descubrir que aquello que pensábamos difícil y árido es en realidad fascinante. Algunos Problemas del Aprendizaje de las Matemáticas ©Socorro Martínez 18 Por Luis Verde Star* P resentamos algunas observaciones generales sobre diversos problemas de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, basadas en nuestra experiencia durante muchos años de impartir cursos de matemáticas en el nivel universitario. Es bien sabido que todos los estudiantes deben cursar matemáticas en la primaria, la secundaria y la preparatoria. Además, en casi todas las licenciaturas también hay algunos cursos de matemáticas o cursos que requieren conocimientos de ellas, por ejemplo, los de estadística y de economía. ¿Por qué todo el mundo debe estudiar matemáticas? Hay varias razones. Una de ellas es que las matemáticas son una parte importante de la cultura, como lo son la literatura, el arte, la historia, la arquitectura, la filosofía, etc. En todas las culturas de la antigüedad las matemáticas eran una disciplina que todas las personas “cultas” debían estudiar. Otra razón importante es que aprender matemáticas ayuda a la formación intelectual de los estudiantes. Desarrolla habilidades de razonamiento, capacidad de abstracción y de formación de conceptos, destreza en el planteamiento y resolución de problemas, capacidad de intuición numérica y espacial, y capacidad de análisis de fenómenos de diversas disciplinas. Doctorado en matemáticas. Profesor titular del Departamento de Matemáticas, Universidad Autónoma Metropolitana, Unidad Iztapalapa. Papá de Bruno, Julio Alejandro y Luis Darcy Verde Arregoitia (exalumnos). * ¿Cuáles son las causas del deterioro de la formación matemática de los estudiantes en México? Creemos que no es posible dar una respuesta completa a esta pregunta. El problema es muy complejo y requiere de estudios del sistema educativo y evaluaciones del profesorado, de los estudiantes y de lo que realmente hacen los profesores y los alumnos en los cursos de matemáticas en los diferentes niveles y tipos de instituciones educativas. Presentamos a continuación algunas ideas generales que pueden servir como respuesta parcial a la pregunta planteada anteriormente. Debemos aclarar que, debido a la gran diversidad del sistema educativo, nuestras observaciones no son válidas de manera uniforme en todos los tipos de escuelas o niveles educativos. 19 ©Socorro Martínez La tercera razón es que las matemáticas son útiles o necesarias para muchos tipos de actividades profesionales, por ejemplo, las ingenierías, las ciencias físicas, la economía y la computación. Esta última razón es la más conocida y por la cual seguimos teniendo cursos de matemáticas en el sistema educativo mexicano. Con frecuencia aparecen propuestas para reducir o eliminar las matemáticas aduciendo que muchos estudiantes no las van a necesitar en sus actividades laborales y proponen que en lugar de “perder el tiempo” en cursos de matemáticas se debe preparar a los estudiantes para el mercado de trabajo. Por suerte, o por la inercia del sistema educativo, tales propuestas no han tenido un impacto generalizado, aunque en algunas escuelas de ingeniería se han reducido o desaparecido cursos como ecuaciones diferenciales o álgebra lineal porque algunos profesores (o directores) piensan que la mayoría de sus egresados se van a dedicar a la administración, las ventas o al mantenimiento de maquinaria, y que para eso no necesitan matemáticas “avanzadas”. La visión utilitaria de las matemáticas tiene con frecuencia efectos negativos, porque fomenta la enseñanza mecanizada y superficial, así como el uso de fórmulas y recetas sin tratar de entenderlas y sin preguntarse en cuáles casos es válido utilizarlas. Además contribuye a difundir la falsa creencia de que solamente los científicos o ingenieros extranjeros necesitan entender las matemáticas ya que los mexicanos son solamente usuarios de la ciencia y la tecnología producida en el exterior. Durante los últimos 30 años la formación en matemáticas de la mayoría de los estudiantes que ingresan a las universidades en México ha ido empeorando año tras año. Actualmente, estimamos que el porcentaje de alumnos que ingresan a la Universidad Autónoma Metropolitana con una formación aceptable en matemáticas es menor que el 15%. Los requisitos de ingreso, los exámenes de admisión y la forma de tomar en cuenta los resultados de tales exámenes se han ido modificando para que el número de alumnos aceptados cada año se mantenga en un nivel políticamente correcto. Pensamos que algo semejante ocurre en muchas de las universidades públicas y privadas en México. Algunos colegas han realizado estudios en varias universidades que confirman lo anterior. Consideremos primeramente los planes y programas de estdio. Mucha gente cree que casi todos los problemas educativos se pueden resolver con cambios en los planes y programas de estudio. Si esto fuera cierto bastaría con copiar los planes y programas de algún país como Finlandia para obtener un sistema educativo con excelentes resultados. Si comparamos los contenidos de los cursos de matemáticas en un nivel dado, por ejemplo, en secundaria, que se imparten en distintos países, no encontramos diferencias considerables. En los objetivos que usualmente aparecen en los programas de los cursos puede haber más disparidad, pero las diferencias determinantes entre diversos países están en qué acciones se realizan para lograr los objetivos y cómo se evalúa la efectividad de tales acciones. Estas diferencias no se pueden ver si solamente comparamos planes y programas. En muchos países se toman medidas para presionar a las escuelas a fin de que cumplan con los objetivos de los planes educativos. Por ejemplo, para que un estudiante se gradúe de secundaria o preparatoria, debe aprobar exámenes 20 estatales o nacionales elaborados y controlados por organismos independientes de las escuelas. Los exámenes de admisión a las universidades son otro ejemplo importante. En México estos últimos comienzan a tener efectos significativos en una parte de la población estudiantil, especialmente en el caso de la UNAM. En otros países, como Brasil e Italia, los exámenes de ingreso a las universidades son un medio efectivo para que las instituciones de educación preuniversitaria traten de proporcionar una formación de calidad a sus egresados y para que los estudiantes seleccionen las escuelas en donde estudian, con base en la calidad de la formación que proporcionan. Otra idea muy generalizada es que los problemas de la enseñanza se resuelven usando tecnología. La Enciclomedia en las escuelas primarias es un caso reciente con resultados muy pobres. En nuestra opinión, la tecnología educativa solamente es útil para mejorar un sistema educativo que ya funciona razonablemente bien, que tiene profesores capacitados, estudiantes con los conocimientos y habilidades requeridas para la materia que están estudiando y con disciplina de estudio, etc. Nos parece que instalar computadoras y equipo audiovisual en un salón de clase en el que faltan los ingredientes antes mencionados, no resuelve ningún problema. Casi todos los que hemos enseñado matemáticas creemos que, con pocas excepciones, el aprendizaje de las matemáticas es un proceso lento, gradual y acumulativo de adquisición de conocimientos, de desarrollo de habilidades de razonamiento y de capacidad de abstracción. Tal proceso requiere esfuerzo y dedicación, y especialmente que el estudiante realice actividades que requieren pensar, y no solamente memorizar. Es muy difícil acelerar el proceso o saltarse etapas. Por eso no podemos enseñar álgebra en tercer año de primaria, ni cálculo diferencial en primero de secundaria. El aprendizaje de las matemáticas es parecido al de la música, las artes marciales o la danza clásica. Para que un aspirante a músico sea admitido en un curso relativamente avanzado, como dirección de orquesta o composición, necesita tener conocimientos y habilidades que requieren varios años de estudio, y normalmente debe convencer a los profesores que imparten los cursos de que cuenta con los conocimientos y habilidades requeridas. En las artes marciales ocurre algo semejante. Cuando un nuevo estudiante entra a una escuela de Karate o Kung Fu, no es suficiente que muestre un diploma de cinta negra otorgado por otra escuela para que sea aceptado en el nivel que el estudiante solicite. Debe hacer exámenes prácticos para que los instructores le indiquen en qué nivel puede ingresar. Muchos de los problemas en la enseñanza de las matemáticas son consecuencia de que, debido a diversas fallas en nuestro sistema educativo, es frecuente que tengamos que impartir cursos a grupos de alumnos en los que un gran porcentaje de ellos no tiene los pre-requisitos de conocimientos y habilidades para estudiar los temas del curso. El profesor no puede rechazar a ningún alumno, porque ellos ya aprobaron los cursos o niveles anteriores. Además, es común que el profesor sea presionado por las autoridades educativas, o por los sistemas de evaluación de la docencia, para que al final del curso la mayoría de los estudiantes reciban calificaciones aprobatorias. Esto ocurre en todos los niveles, incluso el universitario. Es obvio que en tales condiciones no es posible cumplir con los objetivos de los cursos y que muy probablemente se tenga que recurrir a alguna forma de simulación. Una consecuencia de lo anterior es que muchos estudiantes pueden aprobar un gran número de cursos de matemáticas y llegar a niveles superiores sin haber desarrollado las habilidades de razonamiento correspondientes al nivel alcanzado. Esto hace posible, por ejemplo, que debamos enseñar cálculo diferencial a grupos en los que la mayoría de los estudiantes apenas tienen las habilidades y capacidad de abstracción que corresponden al segundo año de secundaria. Si el curso se imparte con el nivel que le corresponde, es claro que muy pocos alumnos pueden aprobarlo. Cuando esto pasa, las autoridades universitarias y una buena parte de la comunidad concluyen que los profesores de matemáticas no sabemos enseñar y que debemos tomar cursos de didáctica, dinámica de grupos, técnicas de motivación, etc. Algunos profesores de otras disciplinas nos han sugerido que el problema se resuelve dando a los alumnos un repaso de dos semanas para que recuerden las fórmulas de los cursos anteriores que han olvidado y entonces ya no tengan ninguna dificultad en el resto del curso actual. Tales ideas nos recuerdan otra de las causas de los problemas del aprendizaje de las matemáticas: la visión equivocada y muy generalizada de que las matemáticas son una gran colección de definiciones, fórmulas, recetas y problemas tipo, que se encuentran en los libros y que nunca cambian. También se cree que para cada problema hay una fórmula o receta que lo resuelve y que un estudiante que ya sabe “aplicar fórmulas” está preparado para tomar cualquier curso de matemáticas. En la enseñanza, esta visión de las matemáticas se manifiesta en la sistematización excesiva y la atomización de los temas. Pongamos por caso que, cada dos o tres semanas se estudia un tema, el cual consiste en un par de definiciones, una fórmula, varios ejemplos resueltos por aplicación directa de la fórmula y varios ejercicios casi idénticos a los ejemplos resueltos, que el estudiante debe resolver por imitación de la solución del ejemplo resuelto correspondiente. Los estudiantes no tienen que pensar, porque cada vez que resuelven un ejercicio saben cuál es la fórmula que deben usar y cuál es el ejemplo resuelto que deben imitar. Ni siquiera necesitan saber el significado de los problemas ni la naturaleza de los objetos y las cantidades involucradas. Después de varios años de estudiar matemáticas en esa forma los estudiantes creen que esa es la manera correcta de hacerlo. Si posteriormente se encuentran con un profesor que les pida pensar o entender algo, entonces creen que el profesor no sabe enseñar en la forma correcta. Muchos docentes de matemáticas consideran, de manera equivocada, que una parte importante de su labor es presentar los temas y diseñar las actividades de manera que los estudiantes no tengan que pensar. Esto se puede observar en numerosas ponencias en congresos y artículos en revistas. Un objetivo muy importante del aprendizaje de las matemáticas en todos los niveles, en casi todos los sistemas educativos, es que los estudiantes deben entender el material aprendido con suficiente profundidad y manejarlo con suficiente habilidad para poder plantear y resolver problemas nuevos. Así pues, se esperaría que un estudiante de tercero de secundaria o primero de preparatoria pudiera calcular cuántos metros cuadrados de construcción tiene su casa, o cuánto material necesita para construir una pantalla de lámpara en forma de cono truncado de ciertas medidas, o estimar cuántos gramos de “corn flakes” caben en una maleta de 25 cm. por 60 cm. por 80 cm. sin tener que comprar 30 cajas de “corn flakes” y una maleta de las dimensiones dadas. En algunos países los exámenes de terminación de un nivel educativo o de ingreso al siguiente tratan de evaluar la habilidad de plantear y resolver problemas nuevos. Los exámenes de admisión a las universidades brasileñas, llamados vestibulares, son un buen ejemplo. Contienen numerosos ejercicios que no se resuelven con la aplicación directa de una fórmula y otros que sirven para evaluar si los estudiantes entienden conceptos. Es evidente que para desarrollar ese tipo de habilidades los estudiantes tienen que entender los conceptos, manejar algunos aspectos operativos y saber un poco de la metodología para plantear y resolver problemas. Es muy difícil que alguien desarrolle tales habilidades si solamente ha resuelto ejercicios teniendo siempre a la vista la fórmula que debe usar y un ejemplo resuelto que se ajusta exactamente al ejercicio por resolver. Una pregunta que nos planteamos con frecuencia es qué tanto deben entender los estudiantes sobre algún tema o concepto para poder decir que lo han aprendido. En general, parece que no hay acuerdos sobre tal cuestión. Algunos opinan que es suficiente entender la parte operativa que se requiere para resolver los problemas típicos sobre el tema. Otros piden niveles de entendimiento con diversos grados de profundidad. En la práctica, en la enseñanza de temas elementales es común que los estudiantes se queden un poco por abajo del nivel de entendimiento del que son capaces. Para ilustrar esta observación consideremos el problema siguiente. El administrador de una cadena de cines se pregunta cuál debe ser el precio nominal de un boleto de cine para que el precio total, incluyendo el 16% del IVA, sea de $60. Hemos planteado este problema a diversos grupos de estudiantes universitarios y son muy pocos los que pueden resolverlo correctamente en un tiempo razonable. Una parte considerable de los alumnos no entiende el enunciado del problema. De los que intentan resolverlo, muchos proponen un procedimiento equivocado y cuando les mostramos que su procedimiento nos da un resultado incorrecto, no encuentran el error. La mayoría de los alumnos puede resolver 22 el problema directo: encuentre el precio total de un artículo que cuesta $80 si debemos agregarle el 16% de IVA. Algunos alumnos recuerdan que la receta consiste en multiplicar por 1.16 el precio del artículo. Debemos deducir que la mayor parte de los estudiantes no entienden que la operación inversa de la multiplicación es la división, o por lo menos que no lo entienden con suficiente profundidad para poder utilizar este hecho en la solución de un problema concreto. Es obvio que en este caso las dificultades no se deben a que se requiera una gran profundidad en el entendimiento de los conceptos. Más bien se deben a que casi nunca se ha pedido a los alumnos que traten de entender algo más que la parte mecánica. Los problemas “inversos” de los usuales, como el ejemplo anterior, son útiles para evaluar si los estudiantes entienden un concepto o problema. Otro problema interesante de aritmética es el siguiente: ¿por qué debe ocurrir que el promedio de un conjunto de números debe estar entre el mínimo y el máximo de los números que se promediaron? Pocos estudiantes pueden dar una explicación aceptable. Otras deficiencias notables en la enseñanza se deben a la falta de atención al significado y la naturaleza de los objetos que se estudian en las matemáticas. Por ejemplo, pocos estudiantes de preparatoria pueden distinguir entre una identidad algebraica y una ecuación cualquiera, o explicar qué significa que dos expresiones algebraicas sean “iguales” aunque se vean muy diferentes, o decir en qué consiste el método básico del álgebra para resolver los problemas “platicados”. La sistematización de los métodos de evaluación basados en ejercicios estándar de mecanización no solamente permiten, sino que fomentan tales deficiencias y también que los estudiantes aprendan a ignorar todos los aspectos relacionados con significado, teoría, conceptos, lógica, interpretación geométrica, etc. ya sea en los libros o en las explicaciones en clase. Varias veces nos han pedido algunos alumnos de cálculo que dejemos de perder el tiempo con teoría e interpretaciones geométricas y que presentemos solamente ejemplos resueltos como los que aparecen en los exámenes. Además justifican su solicitud diciendo que lo que piden es lo que se hace en otros grupos del mismo curso, y dan a entender que se encuentran en desventaja por estar con el ©Socorro Martínez profesor equivocado. Es claro que tales estudiantes creen que el único objetivo de tomar un curso es aprobar los exámenes. Las deficiencias en la formación matemática de los estudiantes que ingresan a la universidad han llegado a tal grado que algunos colegas consideran que en las condiciones actuales no es posible que un alumno promedio pueda entender conceptos abstractos fundamentales tales como función, relación de equivalencia, continuidad, convergencia, valor esperado, representación paramétrica, independencia lineal, etc. Con el objetivo de tratar de eliminar tales dificultades se han creado cursos remediales y de nivel pre-universitario, cursos especiales enfocados en habilidades de razonamiento y muchos otros. La falta de capacidad de razonamiento para entender y hacer demostraciones que muestran muchos alumnos es también un serio problema. Es interesante recordar que en los programas oficiales de secundaria vigentes hasta alrededor de 1970 había un curso de geometría euclidiana en el que los estudiantes debían hacer demostraciones. En esos tiempos los profesores no pensaban que los niños de 14 o 15 años eran incapaces de entender o escribir una demostración. El libro de texto de ese curso era el clásico de Wentworth y Smith. Había también cursos de álgebra, en los que se resolvían problemas platicados, y cursos de trigonometría, en los que se demostraban identidades. También había en esos tiempos profesores capaces de impartir tales cursos que trataban de alcanzar los objetivos de los planes de estudio. Hemos comprobado que los cambios en los cursos que impartimos en la universidad y los cursos adicionales no pueden ser suficientes para resolver todos los problemas. Es necesario mejorar la enseñanza en la preparatoria, la secundaria y la primaria. Desafortunadamente, en México las universidades poco pueden hacer para inducir cambios en el resto del sistema educativo. La formación de docentes en todos los niveles es probablemente el principal reto. En otros países existen requisitos de certificación de los profesores de secundaria y preparatoria que garantizan que los profesores tienen suficientes conocimientos de la disciplina que deben enseñar y que también tienen formación didáctica. Por cuestiones políticas parece muy difícil que se establezcan sistemas de certificación de los docentes en México. Los exámenes de ingreso a las universidades no son actualmente un mecanismo efectivo para presionar a las instituciones del nivel medio superior a mejorar la calidad de su enseñanza. Esto se debe principalmente a que las universidades públicas deben mantener una matrícula relativamente alta para que su presupuesto no se vea reducido. Por esta razón, con pocas excepciones, los requisitos de ingreso no pueden ser muy exigentes. En conclusión, hay varias acciones que debemos hacer con el fin de mejorar la enseñanza de las matemáticas. La primera es convencer a los estudiantes, los docentes y las autoridades educativas de que las Matemáticas se deben estudiar en todos sus aspectos, el cultural, el formativo y el utilitario. La segunda es mejorar la formación matemática de los profesores en todos los niveles. La tercera es redefinir los objetivos de la enseñanza de las matemáticas en los diversos niveles y modificar los procesos de enseñanza-aprendizaje y los sistemas de evaluación para lograr los objetivos. Es obvio que tales acciones requieren la participación de toda la comunidad y constituyen un proyecto a largo plazo. Implican casi una revolución cultural. Las dificultades para encontrar empleo que actualmente tienen muchos de los egresados de nuestras universidades deberían ser una fuerte motivación para mejorar los sistemas educativos. ©Socorro Martínez 23 24 Por María José Arroyo Paniagua* En este espacio comparto con los amables lectores algunas reflexiones derivadas de mi participación en un proyecto de investigación para evaluar el saber y las habilidades en matemáticas de los jóvenes que ingresan a las instituciones de educación superior. Su propósito fue dar a conocer a la comunidad académica, así como a la sociedad en general, un diagnóstico de las condiciones y las necesidades de los futuros profesionales al inicio de sus estudios. El proyecto se realizó por iniciativa del Consejo Regional del Área Metropolitana (CRAM) de la Asociación Nacional de Universidades e Instituciones de Educación Superior (ANUIES) entre los años 2007 y 2009. En él participaron 10 universidades de la región, cinco públicas y cinco privadas. La publicación resultante estuvo a cargo de la Universidad Autónoma Metropolitana y de la ANUIES. Dra. en Ciencias Matemáticas. Coordinadora General de Información Institucional de la Universidad Autónoma Metropolitana y profesora del Departamento de Matemáticas de la Unidad Iztapalapa. Miembro de la Comisión de Honor y Vigilancia de La Escuela de Lancaster, A. C. Mamá de Giuliana y Mariajosé Castellanos Arroyo (exalumnas) * El proyecto La investigación requirió de la participación interdisciplinaria de diversos especialistas, desde matemáticos con experiencia en impartir los cursos de matemáticas en diversas instituciones, estadísticos, psicómetras, sociólogos, hasta expertos en evaluación educativa. Su objetivo principal fue identificar los niveles de desempeño en matemáticas de los jóvenes al ingresar a la universidad y asociarlos con indicadores de la formación preuniversitaria y de carácter social. Igual de importante en el proyecto fue la contribución de 5,264 estudiantes a los que se les aplicaron los dos instrumentos que se utilizaron para el estudio y que son la base de las conclusiones que aparecen en la publicación de los resultados obtenidos. De los dos instrumentos utilizados, el primero versó sobre aspectos personales y familiares, edad, género, escolaridad y ocupación de los padres, datos sobre la trayectoria escolar previa a la universidad, tales como la exposición y el aprendizaje de las matemáticas en ésta, la impresión de los jóvenes sobre su agrado, dificultad o facilidad para el aprendizaje de las matemáticas y si su formación se realizó en escuelas públicas o privadas; el segundo, sobre conceptos que debieron aprenderse en la formación preuniversitaria en matemáticas. Este último, se centró fundamentalmente en los objetivos establecidos en los programas de primaria, de secundaria y parte del bachillerato; los temas principales tratados fueron el manejo de la información, aritmética, álgebra y geometría. En la medida de lo posible, se procuró que fuera independiente del bachillerato cursado y de la carrera en la que los jóvenes recién habían ingresado, ya que ambos instrumentos se aplicaron a los estudiantes de carreras en las áreas de ingeniería y tecnología, las ciencias sociales, la educación y las humanidades, las ciencias de la salud y las ciencias naturales y exactas. Con los resultados del segundo instrumento se definieron cuatro niveles de desempeño a partir del promedio de aciertos obtenidos y la desviación típica. No pretenderé en este espacio dar cuenta de las conclusiones obtenidas de los análisis que se realizaron, menciono algunas: la gran mayoría de los estudiantes carecen de los conocimientos evaluados, los mejores desempeños se obtuvieron en aritmética y manejo de la información, existen diferencias en el desempeño de acuerdo al tipo de bachillerato de procedencia y la actitud hacia las matemáticas está fuertemente asociada con el nivel de desempeño y con las horas dedicadas en los programas de estudio. Por lo comentado, las universidades enfrentan un doble reto, pues en una alta proporción reciben a estudiantes que carecen del saber elemental en matemáticas y deben también contender con una actitud negativa enraizada hacia ellas desde tiempo atrás. Los resultados son consistentes con las evaluaciones sobre matemáticas que practican varios organismos internacionales y nacionales, ya que su aprendizaje está relacionado con la capacidad de comprender muy diversos problemas y generar sus soluciones en múltiples contextos. Es importante hacer evidente esta realidad para encauzar diversas acciones y medidas de integración vertical en los sistemas educativos. 25 26 Dibujo enviado por Sophia Baker. G5Y La formación en matemáticas Aparecen con más frecuencia de lo que nos imaginamos, desde siempre y hoy en día cada vez más. Sus aplicaciones se implementan en las instancias gubernamentales para la definición de políticas públicas en los sectores de salud y de la economía. Todas las ciencias experimentales requieren de la probabilidad y la estadística para inferir de una situación específica, una general. El uso de las computadoras conlleva la generación de algoritmos que son utilizados para resolver o modelar problemas complejos como el desarrollo de tumores, los flujos de tráfico, el procesamiento de imágenes, sonido y texto, la transmisión y seguridad de la información, por ejemplo, de todas las transacciones económicas que se llevan a cabo por medio de la internet. En la vida cotidiana recibimos información en periódicos y noticieros que debemos analizar para obtener nuestras propias conclusiones, el médico receta los medicamentos de acuerdo al peso y edad, los arquitectos e ingenieros las requieren para el diseño proyectivo, los diseñadores para optimizar los efectos visuales, aerodinámicos y espaciales, al hacer uso de créditos financieros debemos conocer las implicaciones de los compromisos que aceptamos, cocinamos para tres personas y la receta que tenemos tiene escritas las cantidades para 10. Estos ejemplos nos dicen que la creencia de que hay carreras que no utilizan matemáticas es falsa, ya que lo descrito nos confirma que todo aprendizaje les será útil a los jóvenes, de especial relevancia es el logrado en matemáticas debido a las capacidades que desarrollan y que los posicionan de muy diversas maneras para llevar a cabo sus estudios con éxito. Es necesaria una estructura de razonamiento encauzada a resolver los diversos problemas a los que se enfrentan y que ponen en juego la destreza para generar las soluciones. Si bien es cierto que los niveles de conocimiento y habilidades en las matemáticas requeridos para las personas son muy diversos ya que dependen de lo que cada una realice, es muy deseable y necesario que todo ciudadano posea un nivel y una cultura que le permita desenvolverse en la sociedad sin desventajas. Esta cultura se va formando desde el nivel preescolar, en la primaria y la secundaria pasando por el bachillerato hasta los estudios superiores. La mínima cultura matemática, o la capacidad de manejar su lenguaje formal, que se exige en la primaria y en la secundaria, en teoría, es la misma para todos, y constatamos que su apropiación depende de la situación personal y de las escuelas en las que se estudia. En la actualidad, si bien se trabaja en acuerdos en el perfil de egreso del bachillerato, se está lejos de determinar estándares de logro en el aprendizaje de este saber por parte de los jóvenes. La educación es un medio para elevar las condiciones y calidad de vida de las personas, hay que observar que los cambios establecidos en las políticas y en los programas educativos en la educación preuniversitaria tienen un efecto en los individuos, y por ende en la sociedad, que se observa 5, 8 o hasta 20 años después de instrumentarlos. Lo que hacemos hoy para contribuir en la construcción de lo que hoy se llama la sociedad del conocimiento, tendrá impacto pasados varios años. La oportunidad de fomentar el desarrollo de las capacidades de los jóvenes en cada una de sus etapas de formación no debe ser desaprovechada. Lo que no se genera en ciertas etapas, cuesta mucho desarrollarla después. ¿Cómo aprender, cómo enseñar, qué herramientas o cuáles metodologías pedagógicas son mejores? Cada una de las personas que participan en los procesos educativos tiene sus respuestas; sin embargo existe un elemento indispensable para los profesores: tienen que saber (poseer conocimientos) y saber qué hacer con el saber (utilizar, aplicar) de lo que van a enseñar. Si un maestro o maestra tiene conocimientos deficientes, no estará en posibilidad de dirigir el proceso de enseñanza - aprendizaje de una forma adecuada y facilitar el avance de los estudiantes en su proceso cognitivo y, lo que es peor, confundirá y transmitirá conceptos erróneos a sus alumnos quienes, al no entender, mostrarán actitud de rechazo o dificultad para aprender algo, sea de cualquier disciplina, Dibujo enviado por Tao Hernández Arellano U6 y en particular si nos referimos a las matemáticas. A esto se adicionan los programas de estudio y los tiempos establecidos para cumplirlos, así como el material bibliográfico y tecnológico que se utilice en la práctica docente en las diferentes escuelas en los distintos niveles. No debemos olvidar que en los educandos, la actitud de las personas cercanas influye; como padres de familia, ¿hemos puesto atención en la actitud que mostramos y que incide en el aprendizaje de un tópico en nuestros hijos, jóvenes estudiantes? Por su importancia, se debe trabajar en varios aspectos la capacitación en matemáticas de los maestros y maestras en cada uno de los niveles, el intercambio de experiencias exitosas y la integración vertical de los distintos niveles formativos. Las acciones que contribuyan al desarrollo del capital humano en las instituciones educativas redundarán sin duda, en un beneficio a la sociedad. Referencias “Conocimientos y habilidades en matemáticas de los estudiantes de nuevo ingreso a las instituciones de educación superior del área metropolitana de la Ciudad de México”. Coordinadora General del Proyecto: Rosa O. González Robles. CRAM-ANUIES. Universidad Autónoma Metropolitana, 2009. ISBN 978-607-477-139-8. Dibujo enviado por Mariana Romero F1 27 29 Por Alan Downie* T raditional mathematics teaching consists almost exclusively of mastering standard techniques and applying them to standard problems. Strategies for approaching non-standard or unfamiliar problems, which may involve exploring blind alleys, developing new lines of inquiry, and most importantly developing new mathematical understanding are rarely taught in the mathematics classroom but they may well be more relevant and more useful tools in the long term. * Headmaster, maths teacher. Upper School. Diligencias site. Papá de Sara (U6) y Ángela (exalumna) Downie Ruiz Velasco. 30 We are accustomed to thinking that every mathematical problem has a solution, that the solution can be found by analytic methods and that we have exactly the right amount of information available to be able to solve the problem. These are the problems that fill school text books and exam papers and which are designed to test a specific mathematical skill. Here is an example of such a problem: A farmer wishes to make a rectangular field using a wall on one side and fence on the other three sides. He has 200 m of fencing available. What is the greatest possible area of the field? The problem can be represented with a diagram like the one below: From here we can write that the area of the field, A 2 = x(200 – 2x) or 200x – 2x . So the problem is to find the 2 maximum value of 200x – 2x . There are many ways to do this. We could use the theory of quadratic functions to graph the function and deduce the answer by symmetry. We could use calculus to find the maximum value of the function by putting its derivative equal to zero. We could plot the graph of the function using several values of x and estimate the maximum value from the graph. We could use a graphic calculator to do it for us. We could set up the function in a spreadsheet and find the maximum value by searching. And so on. (The answer, by 2 the way, is x = 50 m and A = 5,000 m ). The first issue here is that no farmer is ever going to have such a neat and simple problem to solve. Real problems are not like this. What is much more likely is that the size of the field is fixed and the farmer needs to go out and buy some more fencing. And it is very unlikely that the field will be rectangular and even less likely that the farmer will use calculus. The second issue is that the method of solution that the student is expected to use will depend on the particular mathematical topic that they are seeing at that moment. If they are seeing quadratic functions then they will be expected to use quadratic functions. If they are seeing calculus then they will be expected to use calculus. The context of the problem – the apparent reality of the farmer and the field – is completely irrelevant to the learning process. This is an abstract problem dressed up to look like a real one but the real motivation for the problem is “what can I ask them to do which will require them to use what we have just learnt?” rather than “what have we learnt that could be useful to solve this problem?” or even better “what mathematics could we develop to solve this problem?” The reality is that this is not really a problem at all in the true sense of the word. It is an exercise in the application of a standard technique that has been made to look like a problem. But in reality it is no different from asking the student to find the maximum area of a rectangle for which three sides add up to 200. Genuine problem solving is “the resolution of any task for which the student does not have an immediate method available and which may lead to the development of new mathematical content or processes through a non-linear approach”2. There are two broad types of problem that can fit this description. Type 1 are the problems whose answers are not of primary interest but whose solution leads to the development of mathematical thinking and strategies. Type 2 are the problems whose solution leads to the development and understanding of a new piece of mathematics. Clearly the context of the existing mathematical knowledge of the students is an important factor in determining whether a particular task can be considered a genuine problem. In the case of the farmer’s field, this could be a real Type 2 problem for students who had not yet seen the theory of quadratic functions. By analysing this problem and similar problems and graphing the results they would start to recognise certain patterns and behaviours and could make conjectures about the properties of the functions generated by the problem. The critical difference here is that the mathematics is developed as a consequence of the solution of the problem rather than the mathematics being developed first and then applied to the problem. This allows students to develop their thinking through exploration and discussion before reaching the abstract, symbolic stage and gives them more of a chance to relate the mathematical objects and symbols to something real and tangible. If we were interested in using the problem to develop an understanding of calculus we would have to get the students to look at how the area changes as the length of one of the sides (x) changes, see that the rate of change of area is a linear function of x and deduce that the maximum value of the area occurs when the rate of change of area is zero. There is nothing wrong with the original problem as an exercise designed to test that a student is able to identify, recall and apply a particular piece of mathematics but what should be made clear is that the solution of the problem using mathematics that has already been learnt does nothing to develop a conceptual understanding of the mathematics being applied – it simply serves as practice in the application of existing knowledge. Malcolm Swan3 offers an alternative approach to the learning of mathematics that challenges deep rooted practices and beliefs about the way that mathematics is taught and learnt. He sees the learning of mathematics as a fundamentally collaborative exercise in which discussion and exploration play a key role. For Swan, collaborative learning is when students - take active roles in the classroom - are responsible for their own learning and the learning of others - discuss (rather than just talk) together * share and explain their own reasoning * listen to, reflect on, and challenge the reasoning of others * ‘argue’ and resolve disagreements and misconceptions - take joint responsibility for a shared outcome in contrast to many classrooms which reflect a procedural (rather than concept-based) agenda taught through passive learning (listening and imitating) and using unimaginative resources such as worksheets. Swan’s proposal is based on extensive, ground breaking research which provides very strong evidence to support his case. He found that the most common learning strategies in classrooms were: most common learning strategies in classrooms were: - I listen while the teacher explains. I copy down the method from the board or textbook. I only do questions I am told to do. I work on my own. I try to follow all the steps of a lesson. I do easy problems first to increase my confidence. I copy out questions before doing them. I practise the same method repeatedly on many questions. - ©Socorro Martínez Whilst the least common strategies were: I look for different ways of doing a question. My partner asks me to explain something. I explain while the teacher listens. I choose which questions to do or which ideas to discuss. I make up my own questions and methods. He contrasts the traditional “transmission” culture with an alternative “collaborative, challenging” culture and offers practical, tried and tested resources for developing this culture with the most arid and difficult area of the curriculum – algebra. TRANSMISSION CULTURE Mathematics is seen as Learning is seen as: a body of knowledge and procedures to be ‘covered’ a network of ideas which teacher and students construct together an individual activity based on listening and imitating a social activity in which students are challenged and arrive at understanding through discussion structuring a linear curriculum for the learner Teaching is seen as: COLLABORATIVE CULTURE giving explanations and checking these have been understood through practice questions ‘correcting’ misunderstandings when students fail to ‘grasp’ what is taught non-linear dialogue in which meanings and connections are explored recognising misunderstandings, making them explicit and learning from them. Although Swan’s research and his proposals are focussed on older students, there is nothing in what he proposes that cannot be applied to the teaching of mathematics at all levels. It is a radical proposal that for many teachers requires a significant change in deeply held beliefs and ingrained practices but there is no doubt that it holds great promise for drastically changing the mathematical experiences of students and providing them with a more relevant and useful understanding of the subject. References: 1 Institute for Advanced Study/Park City Mathematics Institute International Seminar: Bridging Policy and Practice in the Context of Reasoning and Proof 3-8 July 2006 http://mathforum.org/pcmi/PCMI2006IntSeminar.pdf 2 Collaborative Learning in Mathematics, Malcolm Swan, NIACE, 2006 31 33 Por Cynthia Moreno* Si te preguntara cuándo aprendiste matemáticas, ¿qué me responderías? * Profesora de Kinder. Plantel Rey Yupanqui T al vez te acuerdes de la primaria, miss Chelito hablando horas y horas acerca de cómo resolver un quebrado, o a lo mejor de alguna clase en la preparatoria, cuando las inquietudes propias de la edad no te permitían concentrarte en la trigonometría. ¿Y si te dijera que aprendiste matemáticas antes de la clase de miss Chelito? De hecho, mucho antes. Un ser humano empieza a construir conceptos, aprender, desde su nacimiento, tal vez antes, pero esto no ha sido comprobado. Al momento de nacer, un bebé aprende con su primera inhalación a usar la nariz y la boca para respirar. Poco a poco el bebé empieza a darse cuenta de patrones que lo rodean; si llora, obtendrá alimento y atención, más adelante descubre los primeros patrones lingüísticos, empezará a “contestar” las palabras de papá o mamá con balbuceos y se dará cuenta que incluso puede provocar respuestas en otras personas: sonrisas, cariños, etc.… A medida que el bebé se vuelve más independiente en sus movimientos empezará a explorar los objetos que le rodean y llaman su atención, primero a través de la vista, luego el tacto, el oído, incluso el gusto y el olor, ¿has visto cómo los bebés se llevan todo a la boca? Están aprendiendo. El entorno familiar empezará luego a darle herramientas lingüísticas, nombres para todo: objetos, colores, tamaños, formas. El niño empezará a hacer conexiones. Si es redondo, tal vez es una pelota, pero si es redondo y sabe bien, no es una pelota, es una manzana y aprenderá también que hay manzanas verdes, amarillas y rojas. Día a día, experiencia tras experiencia, los humanos vamos construyendo aprendizajes acerca de lo que nos rodea y que consideramos relevante. Es por esto que es de suma importancia permitir que los más pequeños exploren, conozcan, aprendan, así como proveerles de la mayor interacción posible con otras personas. Al comenzar la educación formal (escuela), la mayoría de los pequeños ya saben discriminar objetos por colores básicos, tamaños grande y pequeño y reconocen formas geométricas. Esto, aunque pudiera parecer sencillo, requiere que el niño maneje muchos conceptos, como saber que no es lo mismo un color que una forma, que dentro del concepto forma están el triángulo, el cuadrado o el círculo y que cada forma puede ser de un color y de un tamaño diferente. En preescolar se procura a los niños con actividades diseñadas tomando en cuenta qué es lo que ya saben, para a partir de esto, poner en práctica estos conocimientos desequilibrándolos constantemente a fin de que la construcción de conceptos y el desarrollo de habilidades continúen. Cuando estaba estudiando para convertirme en maestra, una de mis profesoras me hizo la misma pregunta que te hice al comenzar esta lectura. He tratado de ir tan atrás como me ha sido posible, pero no importa cuanto lo intente, lo que yo recuerdo de mis primeras experiencias con las matemáticas es a la pequeña Cynthia pasando las tardes memorizando las tablas de multiplicar una tras otra por horas y horas, recuerdo incluso un disco, acetato desde luego, que mi mamá consiguió en la Lagunilla con todas y cada una de las tablas de multiplicar cantadas, seguro las oíste también, la canción de la tabla del cinco era mi favorita, la del siete la detestaba. Mucho tiempo ha pasado ya desde que estaba en la primaria y la forma en que se enseña matemáticas ha evolucionado también. La construcción del concepto numérico es un proceso cognitivo altamente complicado, ahora sabemos que no se trata simplemente de saber contar; recitar números no implica que haya comprensión acerca de lo que significa cada uno de esos números y no tiene nada que ver con la edad o acaso, ¿podrías explicar concienzudamente lo que significa el número π? Existen tantas teorías acerca de cómo comprender el concepto numérico como maestros desesperados en las escuelas. Sin embargo, personalmente, he trabajado con la técnica de conteo de Arthur Baroody, incorporando otras metodologías que, a mi parecer, funcionan porque tienen en cuenta las diferentes velocidades a las que cada una de los niños aprende, son metodologías enfocadas al proceso y no al resultado. Baroody dice que un pequeño empezará por recitar la serie numérica. Primero hay que asegurarse que el niño diga la serie numérica del 1 al 10 de forma estable, siempre en orden y sin saltarse ningún número, un dato curioso es que normalmente, sin importar la cultura o el idioma, el número siete es el último en incorporarse a la serie. Una vez que la serie se puede recitar siempre completa y establemente se procede a ayudar al niño a desarrollar lo que él llama técnicas para contar. La primera es el enumerar los objetos a contar aplicando una sola etiqueta (número) a cada uno de ellos, así se le guía al niño a descubrir de qué forma puede llevar el control de los objetos contados, apartándolos o cubriéndolos, por ejemplo. Es muy importante que el ejercicio de estas técnicas se haga siempre primero con objetos concretos, evitando a toda costa el uso de dibujos o representaciones gráficas, ya que los niños en edad preescolar aún no pueden hacer representaciones simbólicas de los objetos. Poco a poco y con entrenamiento el pequeño podrá contar conjuntos de objetos efectivamente . Después de esto los niños descubren que el último número contado es el que representa la cantidad del conjunto. Si observas que, al pedir al niño que cuente, por ejemplo, cuántos peces hay y cuenta todos y cada uno de los peces, sin numerar a un pez con dos números, y te contesta contando otra vez “1,2,3,4,5” sabrás que aún no desarrolla la regla del valor cardinal, algunos niños lo descubren por sí mismos, otros tardan más en descubrirlo, es algo natural, todos hemos pasado por ahí, aunque puedes ayudarle dándole ”pistas”. Si bien se sugiere respetar el proceso natural de cada pequeño, se le puede guiar sin darle las respuestas. Se trata de ayudarlo a que él lo descubra. Una vez adquirido el concepto de la regla del valor cardinal, el pequeño podrá comparar conjuntos y saber que un conjunto con cinco objetos es mayor, más grande, que un conjunto de tres objetos. Es hasta este punto en el que se puede iniciar con la presentación del numeral (número escrito). Es importante que antes de esperar que el niño aprenda lo que significa “5” se le hayan procurado no sólo las experiencias antes descritas, sino muchas otras más, que le ayudarán a comprender por ejemplo que el conjunto de 5 incluye al 4, al 3, al 2 y al 1 y por eso es mayor que el conjunto de 3 que sólo incluye al 2 y al 1. Por esto es necesario que antes de empezar a recitar la serie numérica o a ejercitar las técnicas para contar, los niños hayan tenido oportunidad de clasificar, de juntar por semejanzas y separar por diferencias, de seriar objetos desde el más grande al más pequeño y viceversa, de comparar objetos o de hacer hileras e hileras de cochecitos o de calcetines, sólo así tendrán las herramientas necesarias para en verdad comenzar a contar. Un buen matemático comienza en casa. Las bases de las matemáticas son puramente experimentales. Por favor, permítele a tu niño experimentar, respeta su proceso, su velocidad y no esperes que repitiendo y repitiendo números como lo hicimos tú o yo, ame las matemáticas. Por Ana Isabel Sacristán Rock* Introduction In this day and age when digital technologies permeate almost every aspect of our lives, their use in education and, in particular, in mathematics education, often doesn’t harness their potential. Here we discuss some of the challenges for a meaningful integration of those technologies in the teaching and learning of mathematics. We begin by discussing some of the uses that we find in today’s schools of these technologies. How are digital technologies being used and what are their affordances for mathematics education? Digital technologies have great potential to change the way in which we interact with mathematics. Some of the affordances of digital technologies that can be discerned easily, are to facilitate: computations (from simple arithmetic using a calculator, to those using spreadsheets, to more complex symbolic manipulations using computer algebra systems –CAS); visual – and dynamic – representations and their construction; access to information and means of communication, exchanges and connectivity; and last, but not least, the possibility of interaction and, more importantly, expression. Also, it is important to be aware that digital technologies as representational and communication infrastructures have a potential that can go much beyond of that which is immediately evident. However, the use that is being made of these technologies in schools is often very limited. For example, in a Latin-American survey (Julie et al., 2010) undertaken in 2006 in all school-levels (from primary to university), the top answers on which digital tools were being used in math classes, were word-processing software (e.g. Word, LaTex, PDF) followed by presentation tools (e.g. Powerpoint) –these are communication aids, and not software that can be specifically used for mathematics exploration or expression. In more recent studies, we have again seen that the most frequent use of technologies in math classes is as presentation and/or information tools: for example, some teachers claim that they do use technology because they look, in class, at Powerpoint presentations; applets, videos or pages downloaded from Internet; or graphs. In fact, besides the other presentation uses, the construction of graphs of functions seems to be one of the most frequent means to use those technologies (Rodríguez-Vidal & Sacristán, in * Ph.D. Full Researcher, Depto. de Matemática Educativa, Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del IPN (Cinvestav-IPN). Aunt of Ariana (F5C) and Carmen (F1M) Sacristán Benjet. [email protected] Tel. 5747-3800 ext. 6048 press; Sacristán, Parada & Miranda, in press). In the previous three studies mentioned, the use of spreadsheets, dynamic geometry software and CAS is apparently still very scarce. Another issue is that, when technology-based activities classes are included in schools, these are: either disintegrated from the knowledge generated in regular mathematics classrooms; or are the same kind of activity that could be done without digital technologies. For example, in the first case, students are taken to a computer lab once a week, a month (or even only once in the academic year), and carry out activities that are often not connected to what they are doing in the regular mathematics lessons. In the second case, a classic mathematical problem is solved with the help of technology for computations, construction of graphs or representations, or for verifying results. Neither of these situations truly harnesses the potential of digital technologies for a more meaningful teaching and learning of mathematics. It seems therefore that the predominant use of digital technologies in mathematics education in Mexico is, in some of the best cases, for visualisation, computation and verification of results, and in most cases, simply for information and communication (that is, a use of technologies as “information and communication technologies –ICT”). But digital technologies are much more than simply ICT (which is why I dislike that term, since that name –ICT– doesn’t convey some of the most interesting potentials of digital technologies). In particular, these technologies have a great potential to promote expression and creativity in students. This latter point will be discussed further down. Towards a meaningful integration of digital technologies in mathematics education. Some of the challenges, in order to harness the potentials of digital technologies, include to think “out-of-the-box”: to consider what these technologies can bring that was not possible before those technologies existed; and to be open to changing how lessons are carried out and the types of mathematical activities posed. After all, technologies in themselves do not bring anything; it is how we use these technologies that can help enhance meaningful learning. One vision that seems to have been partly forgotten, even in the English curriculum where it once was promoted, is the “constructionist” idea pioneered by Papert (1980) that students can do mathematics rather than learn about mathematics, by using computers to construct and express their ideas, such as through computer programming (as in the case of Logo programming, or other expressive software). This is a vision, that although it is often difficult to integrate with current school practices, should be (re)considered as central for a meaningful integration of digital technologies in education. In any case, in order to harness the potential of digital technologies and in order to meaningfully integrate them in mathematics classrooms, it is necessary to rethink and modify the teaching and learning processes. In Mexico, there have been many attempts and government policies to integrate digital technologies into classrooms (for example Enciclomedia, and more recently Habilidades Digitales para Todos). However, there is one program that we find it is particularly worthwhile presenting briefly since it provides an example of what we consider is a meaningful way of integrating digital technologies for mathematical learning: that example is the EMAT (Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología) program which began in 1997, had federal support for 10 years, and now continues officially in some states such as Hidalgo. Specifically, the EMAT program (http://www.efitemat.dgme.sep.gob.mx/) aims at promoting the use of digital technologies using a constructionist approach. A comparative study carried out in Mexico and England (Rojano et al., 1996) involving mathematical practices in Science classes, revealed that in Mexico (in contrast to the findings in English schools) few students are able to close the gap between the formal treatment of curricular topics and their possible applications. This suggested a necessity to replace or complement the traditional formal approach in Mexico, with a “bottom-up” approach capable of fostering the students’ explorative, manipulative and communication skills. Thus, a fundamental part of the EMAT program, is its pedagogical model. In this model, emphasis is put on changes in the classroom structure, such as the requirement of a different teaching approach and the way the classroom needs to be set up: from the physical set-up of the equipment, to collaborative work among students working in pairs or teams, to the pedagogical tools (in particular, worksheets of specifically designed activities for the software used in the program), to the teacher having a role as mediator, guide, promoter of discussion and integrator of the knowledge that is generated in the computational context with the more traditional mathematical knowledge. Another important part of EMAT, is the choice of the software and tools; EMAT favours universal, expressive, open tools, which can be used with different didactical objectives and where the user can be in control, has the power of deciding how to use the software, and can express mathematical ideas or construct representations or models of mathematical situations. Some of the main technological tools and software used in EMAT are spreadsheets (Excel), dynamic geometry (Cabri-Géomètre), the TI-92 algebraic calculator, and the Logo programming language. For each tool, activities and worksheets were developed by national experts, in collaboration with external international advisors. In this way, the EMAT pedagogical model tries to combine a spirit of discovery and expression of mathematical ideas, with a traditional curriculum within institutional settings. The challenges in integrating digital technologies and some recommendations Despite careful conceptions for meaningfully integrating digital technologies in mathematics education (such as in the case of the EMAT model described above), the process is far from simple and there are many challenges. As observed in several studies, many teachers in Mexico still have very limited knowledge of the possible and available digital resources for mathematics teaching and learning, and lack technical and pedagogical competencies for their use (e.g. Rodríguez-Vidal & Sacristán, in press); some even lack familiarity of digital tools for the use in their own personal lives (Sacristán, Parada and Miranda, in press) – a concerning digital divide. These deficiencies are in themselves an obstacle for integration of those technologies in classroom, but also create a further obstacle in the sense that it makes teachers afraid of using the new technologies in their practice, preventing them from acquiring the needed experience. Even in the EMAT program, where teachers received training in both the tools used and in the pedagogical model for implementation, many of them found it hard to change their practice and to integrate the technological resources provided by the program to their lessons and to articulate them to curricular, school and institutional requirements; they also faced many unforeseen obstacles including those on administrative and technical levels (Trigueros & Sacristán, 2008). Even those who achieved a successful implementation, admit that it took time and disposition to adapt to the needed changes. Thus, one of the main difficulties for integrating digital technologies in (mathematics) education, is that teachers must develop new competencies; adapt to the changes that these technologies can bring; understand how to use them to harness their potential; and modify their teaching practice. This is far from easy and requires: a disposition for change by both teachers and educational authorities (among others); teacher training on technical, conceptual and pedagogical levels; continuous support; and time for adaptation. Therefore, in order to be able to transform the way in which digital technologies are being used in schools, emphasis must be placed on training programs for teachers, preferably where they have the opportunity to be taught using the same pedagogical models that they will be expected to use (such as, for example, in accord with collaborative and exploratory ways of working) and where they learn also to make explicit and integrate the knowledge generated in digital settings with that of normal school mathematics. They should dare to use the technologies in their real practice, even if they have not yet developed the competencies needed (because only by doing, will they develop those competencies); being open to learn with, and from, their students; and having the opportunity to discuss and reflect on their changes in their practice. And finally, as stated above, they should be given time to adapt and be provided with long-term technical, conceptual and pedagogical support. References: Julie, C., Leung, A., Thanh, N.C., Posadas, L., Sacristán, A.I., Semenov, A. (2010). Some regional developments in access and implementation of digital technologies and ICT. In C. Hoyles and J.-B. Lagrange (eds.), Mathematics Education and Technology-Rethinking the Terrain. New ICMI Study Series, Vol 13 (pp. 261-383). NY: Springer. Papert, S. (1980). Mindstorms: Children, computers, and powerful ideas. NY: Basic Books. Rodríguez-Vidal & Sacristán, A.I. (in press). Introducción a profesores de matemáticas de niveles de secundaria y bachillerato a paradigmas pedagógicos digitales. Actes des Journées Mathématiques IFÉ-ENS de Lyon 2011. Rojano, T., Sutherland, R., Ursini, S., Molyneux, S., Jinich, E. (1996). Ways of Solving Algebra Problems: The Influence of School Culture. In: Puig, L., Gutierrez, A. (eds.) Proceedings PME 20, Vol. 4, pp. 219–226. Valencia, Spain: Universidad de Valencia. Sacristán, A.I., Parada, S.E. & Miranda, L. (in press) The problem of the digital divide for (math) teachers in developing countries. Proceedings of the 10th Int. Conf. on Technology in Mathematics Teaching, Portsmouth, UK. Trigueros, M & Sacristán, A.I. (2008). Teachers’ practice and students’ learning in the Mexican programme for teaching mathematics with technology. International Journal of Continuing Engineering Education and Life-Long Learning (IJCEELL) 18 (5/6): 678-697. Por Marion Arias* H ace muchos años, en algún lugar del antiguo oriente vivía un rey que estaba aburrido. El gran visir, principal consejero del rey y siempre al pendiente de sus más mínimas necesidades, inventó un juego nuevo para distraerlo. Este juego se jugaba con piezas móviles sobre un tablero compuesto por 64 cuadros, mitad negros, mitad blancos. La pieza principal era, naturalmente, el rey. La pieza que le seguía en importancia era, como puede esperarse en un juego inventado por un gran visir, el gran visir. El objetivo del juego consistía en capturar al rey enemigo. El rey quedó encantado con su nueva distracción, tanto, que le pidió al gran visir que pidiese lo que quisiese en recompensa a tan espléndido invento. El gran visir bajó la mirada y respondió: “Su Majestad, yo soy un hombre humilde, sólo os pido esta modesta recompensa, que por el primer cuadro del juego me deis un grano de trigo, por el segundo, dos granos de trigo, por el tercero cuatro granos de trigo, por el cuarto ocho granos de trigo, por el quinto dieciséis granos de trigo, por el sexto treinta y dos…” El rey lo interrumpió en ese momento para decirle: “Está bien, está bien, ya entendí la idea, un grano de trigo en el primer cuadro y vamos doblando la cantidad hasta acabar con todos los cuadros del tablero.” “Su Alteza siempre tan sagaz ha captado estupendamente la idea”, dijo el gran visir. “¡¿Estás seguro de que no quieres un palacio de alabastro, un harem de las doncellas más hermosas del reino o las joyas más brillantes del tesoro real?!”, “No, su real Majestad, sólo dadme mis granos de trigo y este humilde servidor suyo se dará por bien recompensado.” “Está bien, le mandaré tu propuesta al administrador real de granos hoy mismo y mañana puedes pasar a recoger tu costal de trigo.” “Muy agradecido queda tu seguro servidor, oh sabio soberano.” *Lic. Química en Alimentos. Mamá de Ricardo Antonio (F4) Marion (F2) García Arias. Sin embargo, esa misma tarde el rey se llevó una desagradable sorpresa. El administrador real se presentó para comunicarle que en los graneros reales no tenían la cantidad de trigo suficiente para satisfacer la demanda del visir, que de hecho esa cantidad de trigo no existía en el reino entero. El matemático real fue llamado para explicar al rey que, aunque el número de granos empezaba pequeño, para cuando se llegaba al cuadro 64 la cantidad obtenida era colosal, impresionante. De hecho rondaba los ¡18 quintillones de granos! Hay que aclarar que, aun cuando esta historia es sumamente antigua, el conocimiento y manejo de los números enormes, también lo es. El nombre del juego es, por supuesto; ajedrez, la pieza del gran visir se convirtió en la reina. Existen varias versiones de lo que aconteció después, para que escojan la que más les guste: Según Malba Tahan, esta historia aconteció en la India y el nombre del visir era Lahur Sessa, quién se presentó otra vez ante el rey, se postró de rodillas y se desdijo públicamente de su pedido dirigiéndose al monarca de esta manera: “Medita ¡oh rey! sobre la gran verdad que los brahmanes prudentes tantas veces repiten: Los hombres más precavidos eluden no sólo la apariencia engañosa de los números, sino también la falsa modestia de los ambiciosos. Infeliz de aquel que toma sobre sus hombros los compromisos de una deuda cuya magnitud no puede valorar por sus propios medios. Más previsor es el que mucho pondera y poco promete.” Y el rey, con gran sentido del humor, soltó una gran carcajada y se felicitó por tener en su empleo a un hombre con tan portentosa inteligencia. Lahur Sessa, distrayendo al rey con ingeniosas partidas de ajedrez y orientándolo con sabios y prudentes consejos, continuó su servicio muchos años más. Esta versión es, sin duda, la más didáctica; las lecciones del gran visir siguen teniendo una enorme vigencia en nuestros tiempos. Las deberíamos repetir como mantra antes de pedir un préstamo hipotecario o emplear nuestra tarjeta de crédito imprudentemente. Según Carl Sagan, esta fábula ha llegado hasta nosotros de la antigua Persia y el nombre del juego era Shamat, de la palabra persa sha, que significa rey, y mat, la muerte. Sugiere que el rey dijo que él también era muy bueno para inventar jueguitos y que a continuación jugarían uno llamado visirmat… Yakov Perelman, un estupendo autor ruso, en su libro Problemas y experimentos recreativos, comenta que si el rey hubiera sido un buen matemático se habría dirigido al visir de la siguiente manera: “Mi buen visir, ante tanta humildad, no puedo menos que ser justo, te llevarás tu recompensa entera, sólo insisto en que la cuentes tú mismo, grano por grano, para que no te falte ninguno.” Si el gran visir se hubiera puesto a contar sin descanso, pasando un grano por segundo, el primer día hubiera contado 86 400 granos. En contar un millón le llevaría medio año, sin comer ni dormir. Aunque hubiera consagrado el resto de su vida a contar, solo hubiera recibido una parte insignificante del precio que pidió. Les dejo de tarea a los matemáticos aficionados calcular en qué año hubiera terminado el fantasma del gran visir de contar granos si hubiese comenzado en, digamos, 500 A.C. durante el auge del imperio persa. Estas son las cuentas que debería haber hecho el rey antes de acceder a la petición del gran visir: Si le llamamos S al número total de granos en el tablero obtendremos: S= 1+2+22 +23 +24+…+263 Multiplicando por 2 ambos lados de la ecuación obtenemos 2S=2(1+2+22+23+24+ … +263) Sustrayendo la primera ecuación de la segunda 2S-S=(2+22+23+ … +264) – (1+2+22+23+ … +263=264-1 264-1= 18,446,744,073,709,551,615 (Dieciocho trillones cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones setenta y tres mil setecientos nueve millones quinientos cincuenta y un mil seiscientos quince) Que es el número exacto de granos de trigo que pidió el gran visir. Esta cantidad de granos de cereal pesa alrededor de 46,168,602,000 toneladas métricas, lo que formaría una montaña más alta que el Everest. Este cuento podría ser, con múltiples beneficios, el preámbulo obligado para la primera clase de matemáticas acerca de los exponentes; citando a Douglas H. Clements: “Mucha gente tiende a ver las matemáticas como opuestos al lenguaje y la literatura, cuando en realidad hay una gran relación entre ellos y trabajan de la mano. Las matemáticas ayudan a los niños a construir habilidades lingüísticas y es el lenguaje lo que sustenta el aprendizaje de las matemáticas. Ambos construyen habilidades de pensamiento. Las últimas investigaciones revelan que la magnitud en la que un niño es expuesto a conceptos matemáticos durante su primera infancia predice qué tan bueno será en esta asignatura durante la primaria, pero un niño que puede contar o inventar una historia tiende a ser un excelente estudiante. La buena noticia es que esta relación número – letra puede desarrollarse simultáneamente.” El profesor Lorenzo J. Blanco propone amenizar el aprendizaje de las matemáticas y el lenguaje a partir de la lectura de cuentos como un valioso recurso. Así que ya sea que estés de acuerdo con Joseph Fourier, que describió de esta manera a las matemáticas: “No hay un lenguaje más universal y más sencillo, más libre de errores y obscuridades, por lo tanto más digno de expresar las relaciones invariables de la naturaleza…ellas parecen ser la facultad de la mente humana destinada a suplir la brevedad de la vida y la imperfección de los sentidos”, o bien que clames, como Oscar Wilde “Palabras, meras palabras… No se puede escapar de ellas. ¡Pero qué magia sutil poseen! Son capaces de dar forma plástica a las cosas sin forma y tienen una música propia tan dulce como un violín o una guitarra. Meras palabras. ¿Hay algo más real que las palabras?”; si estás de acuerdo con André Bretón “El pensamiento y la palabra son sinónimos”, o te identificas más con Galileo Galilei: “Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el universo”, o para complacer a todos: “Sin matemáticas no se penetra hasta el fondo de la filosofía; sin filosofía no se llega al fondo de las matemáticas, sin ambas no se llega al fondo de nada”, citando a Bordas Desmoulin. De cualquier manera ¡cuenta bien! Cuenta un cuento o cuenta cuántos cuentos cuentas y haz bien tus cuentas. Las matemáticas siempre formarán parte de nuestras vidas, cuenta con ello. Bibliografía: Blanco, B.; Caballero, A. y Blanco L.J. (2010) Matemática y lenguaje a partir de la lectura de cuentos. Aula de innovación educativa 189. Clemens, Douglas H y Sarana, Julie. La lectura y las matemáticas. Scholastic parent and child, octubre 2006. Perelman, Yakov. Problemas y experimentos recreativos. Traducido y preparado por Patricio Barros en www.librosmar avillosos.com Sagan, Carl (1997) Billions and billions. Ed. Random House inc., New York. Tahan, Malba. Matemática divertida y curiosa. Traducido y preparado por Patricio Barros en www.librosmaravillosos.com Wilde, Oscar 2009.The picture of Dorian Gray. Arcturus Publishing Limited Citas de www.juegosdepalabras.com y www.es.wikiquote.org Las Matematicas No son Difíciles Jazmín Caloca Berumen1 En verdad nunca he sido fanática de las matemáticas y en especial porque, a pesar de que son necesarias, al enseñártelas parece que buscan hacerlo de la manera más difícil. Cómo me gustaría que hubiera más maestros que fueran facilitadores del conocimiento y no complicadores de él. Hace poco leí un artículo en donde una profesora de Buenos Aires2, contaba una historia acerca de cómo en tiempos antiguos en Grecia, se buscó una forma eficiente para medir la cantidad de vino que cabía en cada barril, ya que el vino se cobraba en función del volumen del barril. Para medirlo y darle un precio se calculaba el promedio entre los volúmenes de los cilindros imaginarios, uno exterior con base circular medida en medio del barril, y el otro interior, con la base de cualquiera de las tapas del barril. Pero este promedio era una aproximación al verdadero volumen del barril. A uno de los viñateros se le ocurrió la idea de cortar el barril, es decir, “rebanar” el barril en tres cilindros, y así encontró un volumen más ajustado que el promedio usado, luego en 4 rebanadas y por pequeños cilindros con altura fija y así calcular el volumen de cada cilindrito. De este modo se encontró un volumen más preciso, ése justamente es el concepto de volumen como la suma de volúmenes con altura infinitesimal. En el plano del área y unimos el concepto de integral definida. Sin embargo, casi ninguna clase de matemáticas comienza con una historia que facilite el aprendizaje del concepto, algo que sí pasa en las ciencias sociales. Al estudiar derecho, por ejemplo, te explican que en el caso de que se cometa un delito necesitas presentar una denuncia, que existen diferentes instancias, que los problemas se pueden ir escalando, si realmente piensas que tienes la razón y las pruebas para demostrarlo. En el caso de las matemáticas, no sólo son el terror de las personas porque piensan que no las comprenden, sino porque saben que a pesar de que en su vida personal pocas veces van a utilizar el concepto de derivada o integral, es mejor aprenderlo, pues de no hacerlo su futuro podría estar limitado. Al menos para el ingreso a las Universidades. Por ejemplo, para el concurso de ingreso a la UNAM es un tema que no debe dejarse olvidado; si lo olvidas podrías perder suficientes puntos como para no quedarte. En cuanto a las demás universidades, quizá no venga en su primer examen de ingreso, pero cuando tengas la colocación, de no saber estos conceptos, podrías pasar más de un semestre estancado repasándolos, así quieras ser mercadólogo o psicólogo organizacional. Los que van para ingeniería ya saben que lo van a estar viendo detenidamente por varios semestres, además de ecuaciones diferenciales, métodos matemáticos y muchos otros divertidos temas. Volviendo al punto inicial, ya sea para cumplir con algún requisito universitario o por interés propio de la carrera a estudiar, el tema de las integrales y derivadas debería de ser un tema sencillo en el que, entre más atención se ponga, menos tendrá que repasarse luego, sobretodo porque ya en el mundo profesional es difícil que se usen los conocimientos al más puro estilo de la fórmula, ya que, en todo caso, los problemas vienen complejos y con un número mucho mayor de variables que los del pizarrón. Lo que siempre me pregunto, y lo plantee al principio de este escrito, es: ¿por qué los maestros no comienzan una clase de cálculo diferencial e integral explicando que lo básico ya se conoce? Que si sabes sumar, puedes sentirte seguro de que vas a comprender el concepto, que las integrales no son sino una suma grandota y no hay por qué tener miedo de aprenderlas ni pensar que son imposibles, que ya has utilizado el concepto, aun sin saberlo, que, por ejemplo, si conoces cómo sacar el volumen de una figura, ya estás utilizando el concepto. Yo creo que te haría sentir mucho más seguro y encontrarías mejores maneras de comprobar que comprendiste el concepto. En fin, sirva esta pequeña reflexión para decir que las matemáticas tendrían más seguidores si el maestro tratara de darte “trucos” no que te ahorraran el camino, sino que te permitieran una comprobación, pero esto depende de que el maestro tenga el gusto por hacerlo, contagie y comparta su experiencia en el campo, que lo haga de manera divertida y lo más ligera posible. Lo que no quiere decir que no enseñe, por el contrario, que te diera la seguridad de que los conceptos los puedes asimilar porque son fáciles, quitándole así el estigma de difíciles a las pobrecitas matemáticas que nos ayudan tanto. Lic. Ingeniería Electrónica y Derecho. Mamá de Mariana (K2) y Victoria (K1) Martínez Caloca BLOG VERÓNICA ÁLVAREZ. http://veroaprendizaje.blogspot.com/2006/03/el-rea-y-la-integral-definida.html Por Silvia Alatorre1, Elsa Mendiola2, Mariana Sáiz3 Indicaciones Este juego se realiza en las siguientes etapas. 1.Primera etapa: Sin hacer cálculos, elige el camino que crees que te dará más puntos y márcalo con color. Las reglas para moverse en la telaraña son las siguientes: Reglas a. Se empieza el juego con 100 puntos desde el punto de salida.b. Debes llegar a la meta siguiendo el camino de las operaciones que pienses que te darán más puntos. c. No debes pasar dos veces por el mismo segmento ni por el mismo punto. 2. Segunda etapa: Haz los cálculos del camino elegido, para obtener tu total. Puedes usar una calculadora; para ello pulsa la tecla “=” después de cada operación. Por ejemplo, si te vas por el camino de la derecha, pulsas 100 + 0.7 = ÷ 0.5 = ÷ 0.7 = 3. Tercera etapa: Compara tu resultado con los de otros compañeros. Gana quien haya obtenido más puntos. Comenten lo que observen. 4. Cuarta etapa. Pueden repetir el proceso: ¿mejoran la puntuación? SALIDA - 0.09 x 0.9 x 0.09 0.6 + 0.7 + 1.9 x 1.2 x 1.9 2.01 x 0.99 0.4 + 2.1 - 12 x 1.89 0.5 0.8 1.4 x 1.09 x 0.5 - 1.7 1.2 - 0.8 x 1.09 0.87 x 0.97 x1.01 0.7 META 1 Dra. en educación matemática. Profesora de la Universidad Pedagógica Nacional. Mamá de Emilio y Julio Pisanty Alatorre (exalumnos). 2 Profesora de la Universidad Pedagógica Nacional. 3 Profesora de la Universidad Pedagógica Nacional. 43 Acerca de la Telaraña ¿Resolviste el juego de la telaraña? ¿Cuántos puntos obtuvo la persona que ganó el juego? ¿Por qué camino se fue? Es probable que al jugar este juego se hayan sorprendido con algunos resultados. Nosotras pensamos que la sorpresa puede haber surgido porque a veces tenemos ideas acerca de las operaciones que no siempre resultan ciertas. El juego fue diseñado para poner de manifiesto dos de estas ideas, una acerca de la multiplicación y otra acerca de la división. Así mismo, podemos ver que B tiene la mitad del área de A, y que C tiene la mitad del área de B: ¡eso se ve en los dibujos! Vimos también que el área de C es igual al área de B multiplicada por 0.5. Efectivamente, multiplicar por 0.5 es lo mismo que calcular la mitad. De hecho, todas estas operaciones son equivalentes y dan el mismo resultado: ¿Es cierto que multiplicar siempre agranda? Frecuentemente pensamos que al multiplicar un número por cualquier otro, el resultado es más grande que lo que se tenía al principio. Esto es cierto muchas veces; por ejemplo Multiplicar por 0.5....................... como en 6.4 × 0.5 = 3.2 - Al multiplicar 2 × 5 el resultado (10) es más grande que 2 (y que 5 también, pero por ahora sólo nos fijaremos en el primer número) - Al multiplicar 1.32 × 3.172 = 4.18704 el resultado es más grande que 1.32 Debido a esta idea, muchas personas, al jugar a la telaraña, escogen como primera operación 100 × 0.9, pero al hacer la operación (“a mano” o con la calculadora) se encuentran con la sorpresa de que el resultado es 90, ¡menor que el 100 inicial! Entonces, ¿por qué al multiplicar un número a veces se hace más grande y a veces se hace más chico? Pensemos en dos ejemplos. Primero veamos el rectángulo A, que mide 6.4 cm de base y 2 cm de altura. El área del rectángulo es 6.4 cm × 2 cm = 12.8 c m2. Al multiplicar 6.4 × 2 = 12.8, el resultado es mayor que 6. 6.4 2 A Ahora veamos el rectángulo B, que mide 6.4 cm de base y 1 cm de altura. El área de B es 6.4 cm × 1 cm = 6.4 cm2. Ahora multiplicamos 6.4 × 1 = 6.4, y el resultado es igual que 6.4. 6.4 1 B Veamos ahora en el rectángulo C, que mide 6.4 cm de base y 0.5 cm de altura. Para calcular su área ahora multiplicamos 6.4 × 0.5 = 3.2, y el resultado es menor que 6.4: en este caso multiplicar no agrandó. C 6.4 0.5 Multiplicar por 1/2 ...................... como en 6.4 × 1 = 3.2 2 1 6.4 Calcular la mitad ......................... como en × = 3.2 2 2 Dividir entre 2 ......................... como en 6.4 - 2 = 3.2 Calcular el 50% ........................... como en 50% de 6.4 = 3.2, o bien como en 50 × 6.4 =3.2, 100 o bien como en 50 × 6.4 =3.2, 100 Para nuestro segundo ejemplo, pensemos en otro caso de multiplicación: si tengo 5 monedas de $10, ¿cuánto dinero tengo? Pues tengo $50: al multiplicar 5 × 10 = 50, el resultado es mayor que 5. Si ahora las 5 monedas son de $1, lo que tengo son $5; al multiplicar 5 × 1 = 5, el resultado es igual a 5. O sea que en todos estos ejemplos el resultado siempre es mayor que uno de los dos números. ¿Podríamos tener una multiplicación que dé como resultado un número más pequeño que los dos que estamos multiplicando? ¿Se te ocurre cómo? ¿Qué te parece por ejemplo que multiplicamos 0.6 × 0.4? Sería como encontrar el área de un rectángulo como el que aparece aquí abajo: de 0.6 cm de base y 0.4 cm de altura. El área es de 0.24 cm2. Ahora sí tenemos que: 0.4 0.6 En 0.6 × 0.4 = 0.24, el resultado es más chico que 0.6 y más chico que 0.4 ¿Y si uno de los dos números es cero? ¿Y si tengo 5 monedas de 50 centavos, o sea de $0.50? Ahora tengo $2.50, y tenemos que al multiplicar 5 × 0.50 = 2.50, el resultado es menor que 5. ¿Se te ocurre cuál es la regla general? Claro, una regla general no se puede obtener directamente de unos cuantos ejemplos, pero si los ejemplos son variados, pueden sugerir cómo puede ser la regla. Seguramente ya viste que la regla depende de si los números son mayores, menores o iguales a 1. La podemos decir así: si tenemos un número, - al multiplicarlo por otro mayor que 1, el resultado es más grande que el primero; - al multiplicarlo por 1, el resultado es igual al primero; - al multiplicarlo por otro menor que 1, el resultado es más chico que el primero; - al multiplicarlo por 0, el resultado es igual a 0. Entonces, ¿cuándo al multiplicar un número se hace más grande y cuándo se hace más chico? Veamos las multiplicaciones que hemos hecho y comparemos el resultado con los dos números que hemos multiplicado: En 6.4 × 2 = 12.8, el resultado es más grande que 6.4 y más grande que 2 En 6.4 × 1 = 6.4, el resultado es igual a 6.4 y más grande que 1 En 6.4 × 0.5 = 3.2, el resultado es más chico que 6.4 y más grande que 0.5 En 5 × 10 = 50, el resultado es más grande que 5 y más grande que 10 En 5 × 1 = 5, el resultado es igual a 5 y más grande que 1 En 5 × 0.50 = 2.50, el resultado es más chico que 5 y más grande que 0.50 ¿Es cierto que dividir siempre achica? Si regresamos a la telaraña, vemos que el primer camino da 100 × 0.9 = 90 y el segundo da 100 - 0.9 = 99.1. ¡En estos dos caminos vamos perdiendo! En el cuarto vamos ganando, porque 100 + 0.7 = 100.7. Pero, ¿y en el tercero? Muchas personas ni siquiera lo intentan, porque como es una división tenemos la idea de que dividir achica, pero al hacer la operación resulta que 100 ÷ 0.6 = 166.66666.... ¡más grande que 100! ¡Pero si sabemos que por ejemplo al dividir 8 ÷ 4 =2 el resultado es más chico que 8! Nuevamente nos podemos preguntar por qué a veces dividir achica y a veces no. Ahora veremos tres ejemplos. Pensemos primero que estamos repartiendo 4 litros de miel en frascos, y que nos preguntamos cuántos frascos necesitamos para la cantidad de miel que tenemos. Veamos ahora otro ejemplo. En un supermercado vemos distintos paquetes de carnes frías y nos preguntamos a cuánto está el kilo de cada tipo de carne. - si los frascos son de 2 litros, necesitamos 4 ÷ 2 = 2 frascos; el resultado es menor que 4. - Un paquete de 1.100 kg de salchichas cuesta $52.75. El precio por kilo está dado por la división 52.75 ÷ 1.100 = 47.95; es decir que las salchichas están a $47.95 el kilo. En la división 52.75 ÷ 1.100 = 47.95, el resultado es menor que 52.75 - Un paquete de 0.500 kg de jamón cuesta $42.50. El precio por kilo es de 42.50 ÷ 0.500 = 85. El jamón está a $85 el kilo, y en 42.50 ÷ 0.500 = 85 el resultado es mayor que 0.500 - Un paquete de 0.334 kg de lomo embuchado cuesta $50.20. El precio por kilo es de $50.20 ÷ 0.334 = $150.30. En 50.20 ÷ 0.334 = 150.30 el resultado es mayor que 0.500 Un ejemplo más: pensemos en una persona que camina 800 metros (es decir, 0.8 km) en un determinado tiempo, y queremos saber a qué velocidad va, en kilómetros por hora. - si los frascos son de 1 litro, necesitamos 4 ÷ 1 = 4 frascos; el resultado es igual a 4. - Si la persona camina los 0.8 km en 2 horas, su velocidad está dada por la división 0.8 ÷ 2 = 0.4. Esta persona va caminando muy despacio, a razón de 0.4 kilómetros por hora. En 0.8 ÷ 2 = 0.4, el resultado es menor que 0.8. - Si la persona camina los 0.8 km en 1 hora, su velocidad es de 0.8 ÷ 1 = 0.8. Es decir, la persona camina a 0.8 kilómetros por hora. En 0.8 ÷ 1 = 8, el resultado es igual a 0.8. - Si la persona camina los 0.8 km en media hora, su velocidad es de 0.8 ÷ 0.5 = 1.6. Ahora la persona camina a 1.6 kilómetros por hora. En 0.8 ÷ 0.5 = 1.6, el resultado es mayor que 0.8. - si los frascos son de 1⁄4 de litro (o sea de 0.25 litro), necesitamos 4 ÷ 0.25 = 16 frascos; el resultado es aún mayor que 4. - Si la persona camina los 0.8 km en 12 minutos, que son 12/ 60 = 0.2 horas, su velocidad es de 0.8 ÷ 0.2 = 4. Es decir, la persona camina a 4 kilómetros por hora. En 0.8 ÷ 0.2 = 4, el resultado es mayor que 0.8. - Si la persona es un deportista, tal vez podría recorrer esos 0.8 km en 3 minutos, o sea en 3/60 = 0.05 de hora; su velocidad es ahora de 0.8 ÷ 0.05 = 16 kilómetros por hora. En 0.8 ÷ 0.05 = 16, el resultado es mayor que 0.8. Recapitulemos estos ejemplos: En 4 ÷ 2 = 2, el resultado es más chico que 4 En 4 ÷ 1 = 4, el resultado es igual a 4 En 4 ÷ 0.5 = 8, el resultado es más grande que 4 En 4 ÷ 0.25 = 16, el resultado es más grande que 4 En 52.75 ÷ 1.100 = 47.95, el resultado es más chico que 52.75 En 42.50 ÷ 0.500 = 85, el resultado es más grande que 42.5 En 50.20 ÷ 0.334 = 150.30, el resultado es más grande que 150.30 En 0.8 ÷ 2 = 0.4, el resultado es más chico que 0.8 En 0.8 ÷ 1 = 0.8, el resultado es igual a 0.8 En 0.8 ÷ 0.5 = 1.6, el resultado es más grande que 0.8 En 0.8 ÷ 0.2 = 0.4, el resultado es más grande que 0.8 En 0.8 ÷ 0.05 = 16, el resultado es más grande que 0.8 En una operación como 0.8 ÷ 0.05 = 16, llamamos a 0.8 el dividendo y a 0.05 el divisor. Ahora podemos plantear la pregunta: ¿de qué depende si al hacer la división el dividendo se agranda o se achica, del dividendo o del divisor? Como dijimos antes, si queremos tener una regla general no la podemos obtener de unos cuantos ejemplos, pero los ejemplos nos pueden dar una idea (¡y luego les toca a los matemáticos demostrar las reglas!). En seguida vamos a dar la regla como la demuestran los matemáticos, pero antes de leerla procura sacarla tú... He aquí la regla. Si tenemos un número, - al dividirlo entre otro mayor que 1, el resultado es más chico que el primero; - al dividirlo entre 1, el resultado es igual al primero; - al dividirlo entre otro menor que 1, el resultado es más grande que el primero. ¿Y al dividirlo entre cero? ¡Eso no se puede hacer! ¿Por qué? Piénsalo así: cuando queremos resolver 0.8 ÷ 2, buscamos un número que multiplicado por 2 nos dé 0.8. Y ese número es 0.4, porque 0.4 × 2 = 0.8. Así, si quisiéramos dividir 15 ÷ 0 buscaríamos un número que multiplicado por 0 nos dé 15. ¡Pero no hay ninguno, porque todos los números multiplicados por 0 dan 0! Puedes verificar con tu calculadora qué pasa si le pides que resuelva 15 ÷ 0. ¿Y cero se puede dividir entre otro número? Por ejemplo, ¿se puede hacer 0 ÷ 15? ¿Qué buscaríamos? ¿Hay un número que multiplicado por 15 dé 0? ¡Verifícalo con la calculadora! Bueno, pues ahora que sabes que multiplicar no siempre agranda y que dividir no siempre achica, puedes volver a jugar el juego de la telaraña. ¿A cuántos puntos llegas ahora? El máximo al que hemos llegado nosotras es 54,595.8325, ¿encuentras por qué camino llegamos a ese resultado? ¿Encuentras tú otro mayor? ¡Háznoslo saber! El juego se puede jugar también con otras variaciones. Pueden jugar a llegar a la menor puntuación posible (el mínimo al que hemos llegado es 14.1170, ¿encuentras por qué camino llegamos a ese resultado?). También pueden usar la meta como punto de salida y la salida como meta, o usar otros puntos del hexágono exterior como salida y meta. ¡Suerte y diviértete, pero sobre todo piénsale bien...! Este artículo y la actividad correspondiente fueron apoyados por el proyecto CONACYT-SEB 85371-07/08 For Johnny W. Lott* Abstract Word problems in student texts can provide a good source for connections in geometry. Sometimes those problems provide a springboard for the innovative teacher. A fifth grade geometry connections problem is shown that has an easy answer but could require analytic geometry to find a solution. Applied Problem, Lasagna, and Geometry: A Winning Combination Geometry is often taught in the United States as a stand-alone subject in secondary schools. But geometric lessons that can be taught and learned appear in very different guises and come from very different places. In a search for geometry items that have a real world context to meet the connections standard for Principles and Standards for School Mathematics (2000), at all grade levels, an unexpected word problem appeared that allowed a discussion of geometry that had the potential to go far deeper than the original problem appeared to allow. A discussion of the problem and a consideration of where most teachers find “connections” problems and how those are approached provide the foci for this article. * 800 Royal Oaks Drive, Oxford, MS 38655, Phone: 662-234-2171, Email: [email protected] Background and the Problem Problem Analysis In textbooks in the United States, teachers often opt for the “real world” examples relegated to word problems in the books. These word problems may miss the mark for what is desired or they can provide a springboard to issues that writers of the problems may not have envisioned. Consider the problem below from a fifth-grade mathematics book (Charles, et al., 2008): A piece of lasagna measuring 3 inches by 4 inches has 450 calories. What are possible dimensions of a piece that has 900 calories? The authors of the text and problem likely expected answers like a piece measuring 6 inches by 4 inches or 3 inches by 8 inches, and those answers would certainly be appropriate. Those answers require a minimum of reasoning and are well within the grasp of most fifth graders. However, an innovative teacher might also use the problem for a different look at the situation and its reality. Consider the following discussion of an innovative look at the problem. Figure 1 depicts a photograph of a serving of lasagna. The photograph is accompanied at the given website with information in quotation marks that gives some degree of credibility to the stated problem. If the photograph of Figure 1 is to be mathematized, the serving of lasagna could be considered as a right rectangular prism with one base having measure 3 in. by 4 in. No height of the prism is given. Hence no volume can be automatically determined with the information given. However, the problem does relate that the serving with the given base has 450 calories. What does that mean? Energy units in the United States typically include the calorie and the British Thermal Unit, and a calorie is typically defined as the amount of heat energy required to raise the temperature of one gram of water by one degree Celsius. [See http://www.metricconversion.us/.] With 450 calories assigned to a 3 in. by 4 in. piece of lasagna, not water, an issue arises immediately on how to make an interpretation of the meaning. To simplify the problem, suppose the serving of lasagna was the same-sized serving of water. This assumption allows a method to think through the mathematics and to eventually answer the question based on this assumption. Because 1 g of water is the mass of a cube of water that is 1 cm on a side, conversion tables frequently assign 1 g as being 3 equal to 1 cm , the volume of the water in the 1 cm cube. Thus if the lasagna were water, its volume could be considered as 3 having a mass of 450 g with a volume of 450 cm . The given measures of the base of the lasagna are 3 in. and 4 in. respectively. And 1 in. is 2.54 cm. So one measure of the lasagna is 3 in. = (3 in.)(2.54 cm/in.) or approximately 7.6 cm, and the other is 4 in. = (4 in.)(2.54 cm/in.) or approximately 10.2 cm. The height of the lasagna is not mentioned but if the height is h, the volume of the lasagna is (7.6 cm)(10.2 cm)h = 450 cm3. Thus the height h is approximately 5.8 cm. A lasagna of this type would likely be considered a thin lasagna but with the assumption given, it is the height determined. A teacher and students might question the reality of this assumption. Back to the original question, students are asked to determine possible sizes of a serving of lasagna containing 900 calories. If the same assumption is continued, the 900 calories 3 has a mass of 900 g or a volume of 900 cm . Also if the serving of the lasagna desired is to be a right rectangular prism, and is from the same batch as that given, it must have a height of 5.8 cm. Students are to determine its base measurements, labeled l for length and w for width. Hence the volume of the lasagna desired must be lw(5.8 cm) = 3 900 cm . Simplifying the arithmetic, lw is approximately 155 2 cm . Table 1 depicts different values for l and w using an Excel spreadsheet. The values of l are restricted to being greater than 0 because the real world context implies that the length must be 0 or positive. Only integer values of l are depicted. Table 1. Values for lw = 1 “Nutrition Info: Each serving (1 piece, 3 “ x 4 “) contains 450 calories….” The posed problem provides an opportunity for a secondary teacher and a geometry class to think through the use of geometry in a modeling situation from a cooking arena outside of mathematics. Likely the authors of the text chose the problem as a “real world” problem involving food of interest to fifth graders. But the problem did ask for possible values for the dimensions of a piece of lasagna with the 900 calories. Issues surrounding some approaches to the problem give rise to an analytical geometry problem requiring reasoning about measurements, conversions between measurement systems, and certain assumptions upon which to base an answer. Concepts of traditional geometry are linked to analytic geometry, numeracy, and modeling in an integrated fashion. Figure 2 shows a graph approximating the values from Table1. Figure 2. Graph of lw =155 [or xy = 155] Looking at the graph of Figure 2 or at Table 1, there are multiple answers. Any point of the graph has coordinates that represent a possible solution, so the problem is technically solved at this point. [It could have been solved without looking at the volume and without a conversion to metric units.] It is fairly clear that a solution that is 1 cm by 155 cm probably would not be realistic. (Why?) But there are some points that can be found that are realistic. One is the 10 cm by 15.5 cm piece of lasagna. With a thickness of about 5.8 cm, it is expected that with the assumptions given, the number of calories would be about 900. To make this serving make sense in terms of the original problem, the measures have to be converted back to inches. Thus, the serving of lasagna with the given assumptions is approximately 3.9 in. by 6.1 in. This serving have an area across 2 that is about 24 in. which is twice the area of the area of the serving mentioned 2 in the original problem 12 in. . This is basically the observed solution. Which others might be realistic? Was the modeling process reasonable in solving the problem? The greatest error is likely in claiming that the number of calories in water and lasagna is the same for computational purposes. But the most important feature of the problem is that secondary students could start with what is ostensibly a fifth grade problem and follow it to the use of a hyperbola for a determination of a solution. Is that solution path reasonable? For fifth graders the answer is no. The major question for most teachers is how far they are willing to go to allow their students to attack the problem. It certainly could be appropriate for secondary school students. For all who attempt to solve the problem, it can be more complex than simply looking at the area of a presumed rectangular piece of lasagna and deciding on the size of a serving with twice the calories. However, this is truly not simply an area problem. On even a simplistic level, it is involved with measures and volumes, or at very minimum the assumption that the lasagna is at a constant thickness. And More Discussion of Issues with Real World Problems As observed in the analysis of the lasagna problem, students may be encouraged to encounter issues beyond what the problem writers may have envisioned. Often students do not do that and hence may not gain desired experiences with real world problems. So what are bigger issues in using typical text word problems to form connections in mathematics? Li (2010) says “People assume “students’ experience in solving word problems in the classrooms can develop their ability of applying mathematical knowledge to solve problems in real world.” Further Li says, “Specifically, it is generally taken for granted by many educators that … word problems are real-world-like problems since word problems can provide certain problem contexts that are absent in purely mathematical problems.” And finally, “What students may obtain through solving purely mathematical problems (mainly procedural proficiency) is different from what they need for solving real-world problems (problem-solving ability).” De Corte (2010) wrote, “…it is obvious that attempts to foster in pupils more realistic mathematical modeling of word problems requires substantial modifications in current classroom practices.” He also says that “a representative example of a design experiment was briefly reviewed, showing that by immersing pupils in an innovative learning environment that constitutes a radical departure from traditional classroom practices, they can learn more realistic beliefs about and strategies for mathematical modeling, and, thus, for connecting word problem solving to the real world.” Bonotto (2010) noted that by using only word problems in texts, there are issues that arise, “During the past decades, a growing body of empirical research (e.g., Freudenthal, Schoenfeld, Verschaffel, De Corte) has documented that the practice of word problem solving in school mathematics promote in the students an exclusion of realistic considerations and a “suspension” of sense-making and hardly matches the idea of mathematical modeling and mathematization.” Conclusion With all the warnings of the use of word problems from texts, the lasagna word problem from a fifth grade book does provide the springboard to relatively interesting analytic geometry arising from a proportion-type problem. The clue is that teachers have to be always on the lookout for such problems, to consider where they could be used and just how they could be used in the classroom. Integration of geometry and other areas in mathematics comes much closer to the true problem solving that is desired in student work than typical text problems, but using integration with standard texts requires much work of teachers. References Bonotto, Cinzia. Suspension of Sense-making in Mathematical Word Problem Solving: A Possible Remedy. www.cimm.ucr.ac.cr/resoluciondeproblemas/PDFs/ Bonotto%20Cinzia.pdf (Accessed March 13, 2010). Charles, Randall. I., Crown, Warren, Fennell, Francis, Caldwell, Joan, & Cavanagh, Mary (2008). Scott ForesmanAddison Wesley Mathematics, Grade 5. Glenview, IL: Pearson Scott Foresman. De Corte, Erik, Verschaffel, Liven, & Greer, Brian. Connecting mathematics problem solving to the real world. from math.unipa.it/~grim/Jdecorte.PDF (Accessed March 13, 2010). http://www.metricconversion.us/. https://www.wegmans.com/webapp/wcs/stores/servlet/ ProductDisplay?catalogId=10002&productId=653350&storeI d=10052&langId=-1. Li, Yeping. The role and use of word problems in school mathematics. http://www.fed.cuhk.edu.hk/~fllee/mathfor/ edumath/9806/10li_yp.html (Accessed March 13, 2010. 53 Matemáticas se escribe sin “s”: un pequeño recorrido de la matemática Por Edel Pineda Torres* “Transeúnte, ésta es la tumba de Diofanto: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad.” Epitafio en la tumba de Diofanto de Alejandría, ejemplo de cómo contar y cosas que se cuentan…. “Transeúnte, ésta es la tu Donde x es la edad que vivió Diofanto, X=84 Lic. Cibernética y Matemáticas. Negocio particular, INNSZ, Universidad Iberoamericana. Papá de Ricardo (F2) y Alejandro Arturo (F5) Pineda Santaella. * a palabra matemática viene del griego μαθημα (mathema), que quiere decir “estudio de un tema” o a lo que ahora nos referimos como “ciencias”. La palabra “tema” en si también nos viene del griego θέμα (thema) y significa asunto o materia principal. Mathematika era el nombre griego de las cuatro ciencias enseñadas por Platón y Pitágoras: aritmética, geometría, música y astronomía. En la edad media, las universidades llamaron estas cuatro materias quadrivium y las consideraban superiores a las trivialis o triviales, las tres materias o artes liberales: la gramática, la retórica y la dialéctica. Aunque el término ya era usado por los pitagóricos en el siglo VI a. C., alcanzó su significado más técnico y reducido de “estudio matemático” en los tiempos de Aristóteles (siglo IV a. C.). Su adjetivo es ... (mathēmatikós), “relacionado con el aprendizaje”, lo cual, de manera similar, vino a significar “matemático”. En particular, ... (mathēmatikḗ tékhnē;), significa “el arte matemática”. La forma plural matemáticas viene de la forma latina mathematica (Cicerón), basada en el plural en griego τα μαθηματικά (ta mathēmatiká), usada por Aristóteles y que significa, a grandes rasgos, “todas las cosas matemáticas”. En la Universidad de La Habana, como primer tema, a los alumnos de nuevo ingreso, se nos inducían que la Facultad se llamaba “FACULTAD DE MATEMÁTICA” no de matemáticas, ya que existía una sola área de conocimientos que agrupaba diferentes disciplinas asociadas a la misma. Matemática es una de las ciencias más antigua y la única que no se menciona entre los premios Nobel que año tras año se adjudican. Es la base de todas las ingenierías, economía, ciencias sociales, medicina, química, el lenguaje para los físicos; es una forma de expresión, lenguaje universal; se impone sobre los idiomas más hablados, el chino, el español, el inglés, el francés entre otros, razón por lo cual desde temprana edad se debe de inducir este lenguaje. El infante, desde que nace, reconoce formas y patrones, por lo que se debe de aprovechar ese conocimiento natural para darle forma, matemáticamente hablando, y lograr que se vincule con el lenguaje y los símbolos. Esta parte que formaliza la estructura de la matemática se conoce como Teoría de Conjuntos, y es la forma gráfica de poder comprender, posteriormente, una parte de la matemática, la Teoría de las Probabilidades. A lo largo de la historia de la enseñanza de la matemática, muchas escuelas han obviado la historia como medio para acoplar la sociedad con la práctica, a través de la teoría. Existen pocos libros que hacen esta conexión de manera amena, como por ejemplo los libros de Aurelio Baldor. En ellos el alumno podrá recorrer la historia y saber cómo se enlaza con el álgebra, con la geometría, la aritmética y la trigonometría, entre otras áreas del conocimiento matemático. A los alumnos que dicen “sufrir por el rudo maestro y lo incomprensible de los términos matemáticos”, basta mostrar la solución y dar el significado a cada paso. Si decimos que ¡una gran formula será la solución de tal problema! sólo veamos con qué simpleza 200 años AC, se podía resolver la edad de alguien que en su momento sí fue reconocido por su sapiencia; después de tantos años redescubrir y ver que ya existían pensamientos capaces de resolver lo que se creía que sólo personas superdotadas podrían resolver. Por otro lado, a Albert Einstein le dan el premio Nobel de Física por la interpretación del Movimiento Browniano, no por la teoría de la relatividad. Esto ha sido una aportación al desarrollo de la humanidad, ya que matemáticamente se aplica a las telecomunicaciones, las finanzas y teorías completas de desarrollo para países de todo tipo: la matemática, ciencia única que engloba a todas las demás áreas que dan el dolor de cabeza al alumno. En cuanto a la vinculación de la matemática con la música, se puede apreciar en el libro “La Eterna Trenza Dorada de Douglas R. Hofstadter. “Bach: precursor de los anagramas musicales”, dedica una de sus obras al rey Federico y envía un código donde hace alusiones de carácter irrisorio sobre rey. En este libro, a través de la música de Bach se ve la aplicación de anagramas y códigos musicales que se encuentran en partituras dedicadas al rey Federico de Alemania y descubiertos 24 años después de su muerte. Otro ejemplo de un artista vinculado a la maravillosa matemática, es Salvador Dalí quien pintaba con base matemática, como se aprecia en el siguiente cuadro, la utilización de las proporciones. A través del análisis matemático con aplicaciones de modelos estadísticos (modelos matemáticos) se ha podido “vaticinar” el futuro, aunque obviamente esta aseveración lleva un gran margen de error, razón de la existencia de las crisis. Con sólo cumplir con las premisas fundamentales se puede llegar al fondo del problema, ejemplo el saber cuánto oro el joyero del rey de Siracusa había robado. De allí la frase de ¡eureka! (descubierto): con sólo plasmar correctamente el modelo se logra saber con exactitud la cantidad sustraída. Para terminar, el concepto de infinito…..y más allá…, es tan relativo como el saber cuántos números existen entre el cero (0) y el uno (1). Sólo se sabe que en un conjunto de agrupación por tipo se contradice a encontrar que sólo puede existir un número en el conjunto de los números naturales mientras en otros grupos numéricos existen infinitos y estos no se cuentan como lo cuento… PRIMARY YEARS PROGRAMME (PYP) The PYP programme is concept driven and inquiry based so its approach to mathematics emphasises the construction of mathematical understanding through exploration and inquiry. These are some extracts from the PYP Mathematics Scope and Sequence document. What the PYP believes about learning mathematics The power of mathematics for describing and analysing the world around us is such that it has become a highly effective tool for solving problems. It is also recognized that students can appreciate the intrinsic fascination of mathematics and explore the world through its unique perceptions. In the same way that students describe themselves as gauthors h or gartists h, a school fs programme should also provide students with the opportunity to see themselves as gmathematicians h, where they enjoy and are enthusiastic when exploring and learning about mathematics. In the IB Primary Years Programme (PYP), mathematics is also viewed as a vehicle to support inquiry, providing a global language through which we make sense of the world around us. It is intended that students become competent users of the language of mathematics, and can begin to use it as a way of thinking, as opposed to seeing it as a series of facts and equations to be memorized. How children learn mathematics It is important that learners acquire mathematical understanding by constructing their own meaning through ever-increasing levels of abstraction, starting with exploring their own personal experiences, understandings and knowledge. Additionally, it is fundamental to the philosophy of the PYP that, since it is to be used in real-life situations, mathematics needs to be taught in relevant, realistic contexts, rather than by attempting to impart a fixed body of knowledge directly to students. How children learn mathematics can be described using the following stages: - use patterns and relationships to analyse the problem situations upon which they are working, - make and evaluate their own and each other fs ideas, - use models, facts, properties and relationships to explain their thinking, - justify their answers and the processes by which they arrive at solutions. En Busca de la Razón Extraviada Armando Suárez* El presente escrito recoge mi respuesta a la convocatoria de esta revista. Se trata de la mirada de un lego en el ámbito de las matemáticas. El proceso de escritura comienza cuando algo llama mi atención: un suceso, una experiencia, un comentario, una imagen, una sensación, una noticia. -¿Qué sucede aquí? –, me pregunto. Entonces, inicia la búsqueda de respuestas. Es una indagación y un extravío. Encontrarán aquí el producto de ambos. El trabajo contiene algunos fragmentos que abordan los temas de la razón y el lenguaje matemático. Éstos pueden leerse a partir de sus coincidencias y divergencias. Hartazgo de razones La fe en la razón, como “base del conocimiento y de la acción”, recibe el nombre de racionalismo. En la antigua Grecia se encuentran indicios racionalistas en el pensamiento de Sócrates, Platón y Aristóteles. El término expresa diferentes ideas a lo largo del tiempo, tales como: demostración de las creencias cristianas, estudio de las propiedades del ser y convicción del progreso de la humanidad por la vía del conocimiento. Con base en pensadores como Descartes y Leibniz, la razón retoma “los descubrimientos matemáticos y sus aplicaciones a la exploración de la naturaleza”. La indagación matemática cartesiana abre la puerta a la indagación de la teoría del conocimiento (García, 2006, p. 21).] Sin embargo, en algún momento la razón perdió su dimensión trascendente y se puso al servicio del utilitarismo: “Habermas, argumenta que la noción progresista de la razón alcanza su punto más alto en el trabajo de Karl Marx, después del cual, ésta se reduce (…) a un instrumento particular para el servicio de la sociedad industrializada” –La razón instrumental. — (Giroux, 1995, p.31) Habermas, señala que: “En la segunda mitad del siglo XIX, durante el curso de la reducción de la ciencia a la fuerza productiva en la sociedad industrial, positivismo, historicismo y pragmatismo, cada uno en su tiempo, aislaron una parte de este concepto de racionalidad que abarcaba todo. El hasta ahora indisputado intento de las grandes teorías de reflexionar en la complejidad de la vida como un todo se ha, de ahora en adelante, desacreditado a sí mismo como un dogma […] La espontaneidad de la esperanza, el arte de tomar postura, la experiencia de la relevancia o de la indiferencia, y sobre todo, la respuesta al sufrimiento y a la opresión, el deseo de una autonomía madura, el deseo de la emancipación y la felicidad del descubrimiento de la identidad propia, todos éstos son abandonados por el interés obligado de la razón” (Giroux, 1995, p. 31). Según Horkheimer, la razón pasa a ser un instrumento: “se considera que la tarea, e incluso la verdadera esencia de la razón, consiste en hallar medios para lograr los objetivos propuestos en cada caso. Para Nietzsche, <<La razón no es más que un instrumento y Descartes fue superficial>>.” La sinrazón La razón es considerada la característica que define al ser humano, su construcción pasa por la elaboración del lenguaje y la formación de la conciencia. Signos y significados: letras, palabras, números, cifras, relaciones y operaciones, conforman sistemas de comunicación que trasmiten representaciones, ideas, medidas, cantidades, criterios, * Lic. Geografía. Papá de Matías (G5Y) y Jhaya (PFY) Suárez López 57 normas, leyes, juicios, valores y creencias. El discurso, fondo y forma, construye universos, comunica, legitima, erige símbolos. La elaboración del lenguaje es fundamental en el proceso hacia la civilización. El paso seguido por la humanidad de un estado salvaje a otro llamado civilización ha sido largo y regresivo. La organización nunca implicó un estado ideal de la sociedad; además, en ella está presente un malestar permanente cuya nitidez actual es cegadora: El Malestar de la Cultura, diría, Freud. Podemos sumar a la situación anterior el hecho de que la idea de progreso subyacente al pensamiento occidental, que permea nuestras percepciones y creencias, se desmorona no porque hayamos arribado al fin de la historia, sino al fin de la ética, a la disolución de la conciencia que da lugar a la sinrazón de la barbarie. Adagios, razón e intuición És una dita, és un adagi: «Aquell que preveu val per dos». Jacques Brel Cada cultura valora la razón. Así, el dicho y el adagio decantan la sabiduría de los pueblos a partir de la experiencia colectiva. Aquél que prevé vale por dos: anticipar es multiplicar. En términos de razonamiento supone evaluar un conjunto de datos, inferir una sucesión de hechos, en virtud de lo cual se optimizan el tiempo y la energía dedicados a obtener un resultado. Los textos sagrados, la historia de la ciencia y la literatura, recogen ejemplos de individuos que resuelven conflictos, actúan con justicia y desentrañan incógnitas haciendo uso de la razón. A esto responden acciones como observar, seleccionar datos, organizarlos y relacionarlos de manera significativa: Salomón, el rey sabio, profundo conocedor de la naturaleza humana, Eratóstenes quien calculó con gran aproximación la circunferencia de la Tierra, y Sherlock Holmes, investigador londinense, personaje que establece un paradigma en la ficción detectivesca, son ejemplo de ello. El actuar con justicia y el conocimiento de la naturaleza humana involucran, en primer término, la oposición presente entre “lo verdadero y lo demostrable”, en segundo, una relación con la intuición. El concepto de intuición pone un pie en la filosofía y otro en la psicología. Por ejemplo, para Descartes la intuición se da a la luz de la razón, en tanto que para Jung la intuición “es una capacidad inconsciente que percibe la armonía o la discordancia de un objeto.” El pensamiento matemático a través de la historia Una forma de ejercer la razón es la reflexión matemática. A través de la historia ésta va del estudio de los números con un sentido práctico - la aritmética, en Egipto y Babilonia- , a la indagación estética y religiosa de propiedades de las formas -la geometría, en Grecia- , donde Tales de Mileto establece el teorema, es decir, la construcción lógica y formal de la argumentación matemática, [los pitagóricos serán los primeros en usarlo plenamente, “La idea de demostración matemática colocó la primera piedra fundacional firme del conocimiento matemático –y, por consiguiente, de la propia ciencia—” (Pernrose, 2008, p. 50)]. En la naturaleza de la investigación matemática ocurre un cambio significativo con Newton, en Inglaterra, y Leibniz, en Alemania; de manera independiente ambos desarrollan el cálculo para el estudio del movimiento y el cambio (Devlin, 1998, p.2). Antes de Newton y Leibniz, “las matemáticas se limitaban a contar, medir y describir formas; después de ellos, se aplican al estudio de los movimientos planetarios, la caída de los cuerpos, el trabajo de la maquinaria, el flujo de los líquidos, esta manera, en un acto de arrogación, se da valor a la acción vital de individuos y comunidades utilizando el referente de la productividad, eludiendo la medición de rasgos significativos como “las capacidades básicas que le permiten a un individuo insertarse en la sociedad”. La manipulación de los datos numéricos es otra forma de manejo sesgado del lenguaje matemático, a esta situación corresponde la cita que hace referencia a la existencia de “mentiras, grandes mentiras y estadísticas”. Tanto la validación ilegítima como la manipulación del lenguaje matemático, construyen una visión distorsionada de la realidad colectiva. Ambas deben diferenciarse del conocimiento matemático y del acto de razonar. El lenguaje matemático abarca un universo en sí mismo, producto de la imaginación y la razón, mantiene profundas relaciones con el arte y la filosofía. Desde la antigüedad permite resolver problemas de carácter práctico e indagar sobre condiciones de la existencia, como su manifestación en términos de tiempo y espacio. El asombro acompaña a la reflexión matemática, esta experiencia se manifiesta ante el hallazgo de las posibilidades y los significados que todo lenguaje trae consigo. Referencias: la expansión de los gases, fuerzas físicas como el magnetismo y la electricidad, el vuelo, el crecimiento de las plantas y los animales, la difusión de las epidemias o la fluctuación de las ganancias” (Devlin, 1998, p. 2). El conocimiento matemático comprende las siguientes subdivisiones y aplicaciones, según Devlin: -Aritmética y teoría de los números: estudio de patrones en números y conteos. - Geometría: estudio de patrones en las formas. -Cálculo: manejo de patrones que sigue el movimiento. - Lógica: estudia los patrones del razonamiento. - Teoría de la probabilidad: analiza los patrones presentes en la casualidad. -Topología: estudia la manifestación de patrones en la proximidad y la posición. Conocimiento matemático vs. manipulación El lenguaje matemático, algunas veces, se asume como expresión depurada de la razón con la finalidad de establecerlo como elemento de validación a través de la mensurabilidad. De Álvarez-Gayou, J. (2010). Cómo hacer investigación cualitativa. México. Paidós Educador. Devlin, K. (2000). The Language of Mathematics. United States of America. A Holt Paperback. García, R., (2006). Sistemas complejos. Argentina. Geodisa Editorial. Giroux, H., (1995). Teoría y resistencia en educación. México. Siglo Veintiuno Editores. Universidad Nacional Autónoma de México. Horkheimer, M. (2007). Crítica de la razón instrumental. Argentina. Caronte Filosofía. Kasner E., et al. (2007). Matemáticas e imaginación. México. Consejo Nacional para la Cultura y las Artes. Kuypers, K., (Supervisor), (1974). Breve Enciclopedia de Filosofía y Psicología. Argentina. Ediciones Carlos Lohlé. Mathus, M., (2008). Principales Aportaciones Teóricas sobre la Pobreza. [En red] disponible en http://www.eumed.net/ rev/cccss/02/mamr.htm Accesado el 8 de octubre de 2011 Vega, L., (2011). Argumento / Argumentación. En Vega et al (Editores). Compendio de Lógica, Argumentación y Retórica. España. Editorial Trota. 59 Liliana López Levi* L argo, alto y ancho. Aparentemente sí. Vivimos en tres dimensiones. Sin embargo, creemos que la distancia más corta entre dos puntos es una línea recta, que las líneas paralelas nunca se juntan o que los ángulos interiores de un triángulo siempre suman 180 grados. Lo anterior es cierto en el caso de planos en dos dimensiones. Son los postulados euclidianos que han dominado la geometría durante más de dos mil años. Sin embargo, en un espacio curvo ya no. En una superficie cóncava o convexa, dichas aseveraciones no se cumplen. Y nosotros vivimos sobre la esfera terrestre. ¿Podría haber más dimensiones? El cuestionamiento no es nuevo. El matemático alemán Bernhard Riemann (18261866), a instancias de su maestro Carl Friedrich Gauss, propuso una dimensión superior del espacio, en la cual las leyes de la naturaleza se simplifican. Su trabajo tuvo enormes repercusiones, no sólo en el ámbito científico, sino también en lo social y lo cultural. Riemann estableció la presencia de una cuarta dimensión espacial. Para explicarla recurrió a la imagen de un grupo de criaturas de un mundo bidimensional que vivían sobre una hoja de papel corrugado. Al no tener una mente tridimensional, no podrían percibir lo abrupto de su paisaje y conceptualizarían su espacio como plano. Debido a que sus cuerpos también estarían corrugados, no notarían su entorno distorsionado, pero sentirían una fuerza que no les permite ir en línea recta. A partir de ello, estableció que la fuerza está supeditada a la geometría. Después Riemann sustituyó su hoja bidimensional con nuestro mundo tridimensional y dijo que éste estaba corrugado en una cuarta dimensión; la cual ocasionaba diversas fuerzas de la naturaleza tales como la electricidad, el magnetismo y la gravedad. Como parte de su trabajo, también desarrolló un tensor métrico que fungió como herramienta para describir espacios de cualquier dimensión. Su maestro, Gauss, utilizó a los gusanos de los libros para hacer un símil entre la posibilidad de pasar de una hoja a otra, a través de un agujero, y la opción de ir de un universo a otro. Apoyado en esta idea, Riemann anticipó otro de los * Investigadora. UAM-Xochimilco. Mamá de Jhaya (PFY) y de Matías (G5Y) Suárez López 60 posteriores desarrollos en física y fue el primero en discutir los múltiples espacios conectados a través de gusanos. Para explicar las posibilidades y características de una dimensión superior es útil recurrir a las dimensiones inferiores. En este sentido podemos pensar en seres que ocupan dos dimensiones y enfrentarlos a uno de la tercera dimensión. Sería un lugar de seres bidimensionales, como el que narra Abbott en su novela Flatland, donde los habitantes se mueven sobre una superficie con la restricción de que no pueden elevarse ni hundirse, subir o bajar ninguna parte de su cuerpo. Digamos que son sombras. En este mundo, la forma de encerrar a un criminal sería simplemente dibujar un círculo alrededor de él. No importa en qué dirección se mueva el maleante, se topa con una pared. Sin embargo, si apareciera un ser tridimensional, podría elevar al individuo y depositarlo afuera de la circunferencia. Desde la perspectiva del carcelero, el prisionero se habría desaparecido de la prisión y reaparecido en otro lado. Si uno tratara de explicarle al vigilante que levantamos al criminal y lo sacamos de su entorno en dos dimensiones, no entendería, pues las palabras arriba, subir, levantar (o sus opuestos), no formarían parte de su vocabulario, ni tendría los elementos para visualizar el concepto. En un mundo bidimensional, los órganos internos de un ser serían transparentes para aquel que tuviera acceso a la tercera dimensión, de forma tal que podría operarlo sin abrir su piel, voltearlo, con la consecuencia de que su parte interna derecha quedaría ahora del lado izquierdo, o verlo aunque se escondiera al interior de una casa. Todo ello parecería magia para los seres planos, sin embargo, no lo es. Se trata simplemente del acceso a una dimensión superior. Las ideas de Riemann fueron popularizadas a través de varios autores y novelistas. Por ejemplo, H.G. Wells se valió de la cuarta dimensión para viajar en el tiempo (La máquina del tiempo) y para desaparecer a un hombre (El hombre invisible). Para ello se basó en “un principio fundamental sobre pigmentación y refracción, una fórmula, una expresión geométrica que incluía cuatro dimensiones”. Por su parte, Lewis Caroll usó un agujero de conejo (Alicia en el país de las Maravillas) y un espejo (Alicia a través del espejo) como gusanos para entrar a mundos paralelos. Otro acontecimiento que le dio amplia difusión internacional al tema fue un juicio londinense en 1877, en el cual se acusó de fraude a un psíquico norteamericano que visitó Londres y llevó a cabo sesiones espiritistas con miembros prominentes de la sociedad británica. Henry Slade afirmaba que podía entrar en contacto con espíritus de la cuarta dimensión. Lo extraordinario de su caso y que le dio gran notoriedad fue el hecho de que grandes científicos lo defendieron y avalaron su discurso. Las ideas de la cuarta dimensión llegaron a Estados Unidos a través de Charles Howard Hinton, quien se enfocó a explicar la cuarta dimensión de manera tal que lo entendiera un ser común y corriente. Para ello, recurrió a los cubos y conceptualizó el hipercubo. Para formar un cubo nosotros dibujamos, en una superficie plana, seis cuadrados en forma de cruz. Después los recortamos y doblamos de una manera específica. Un ser bidimensional no podría, en primer lugar doblar la superficie plana, pues no puede moverse arriba o abajo y menos aún, puede visualizar el cubo una vez que éste ha sido formado. Lo único que podría ver de él es un cuadrado. De manera semejante, un hipercubo de la cuarta dimensión se formaría al doblar una cruz hecha de cubos en tercera dimensión, como se muestra en la figura 1. Nosotros no tenemos la capacidad En la pintura, la cuarta dimensión se vio materializada en el cubismo, donde diversos artistas trataron de plasmar objetos vistos desde todos los ángulos al mismo tiempo. Otros, como Dalí, no representaron figuras desde esta perspectiva, pero hicieron referencia al concepto. Tiempo después, Robert Heinlein (1940) escribió un cuento llamado And he built a Crooked House, sobre el caso de un arquitecto que construye una casa con forma de hipercubo. Una vez terminada, hay un terremoto y la construcción hace los dobleces necesarios para conformarse en una cuarta dimensión. Los futuros habitantes entran y se enfrentan a un laberinto. Tratan de subir a la azotea y se encuentran en medio de otro cuarto, pasan por una puerta que los lleva a la cocina y cuando tratan de nuevo de ir al techo llegan al primer piso; se asoman a la ventana y ven el primer piso, regresan a buscarlo por la escalera y descubren que está en dos lados al mismo tiempo. Por las ventanas aparecen edificios de Nueva York, el mar y Marte. Mientras las ideas de Riemann tenían un gran eco en el campo de las artes y de la vida cotidiana, en el ámbito científico Albert Einstein propuso que la cuarta dimensión fuera el tiempo y dejó aquella que había deslumbrado a los de realizar los dobleces requeridos, ni de ver más allá de un simple cubo una vez que el hipercubo ha sido formado. Otra forma de explicar la cuarta dimensión, por parte de Hinton era la de las sombras. Un habitante de una dimensión inferior no puede ver el objeto en su totalidad, pero si puede ver su sombra. La sombra de un hipercubo, en este caso, reflejaría a un cubo dentro de otro cubo. hombres del diecinueve en la sombra temporalmente. En 1919, Theodor Kaluza retomó la cuarta dimensión (temporal) de Einstein y propuso hacer de la dimensión (espacial) de Riemann, una quinta dimensión. Con ello, Kaluza planteaba avances novedosos para una teoría del campo unificado en la física, donde incorporaba la nueva teoría de la gravedad de Einstein con la teoría de la luz de Maxwell. Con una quinta dimensión, Kaluza tenía suficiente espacio para incorporar la fuerza electromagnética en la teoría de la gravedad. El problema con ello era que aunque la quinta dimensión era matemáticamente muy consistente, empíricamente no parecía haber evidencias de ella. Kaluza, entonces, sugirió que la quinta dimensión se había enrollado en un cilindro. En 1926 Oskar Klein estableció que el cilindro era tan pequeño que no podía observarse. Klein incluso calculó el -33 tamaño: la longitud de Plank, es decir 10 cm. Con ello se dio origen a la teoría Kaluza-Klein. Poco menos de cien años después, nos encontramos ante un panorama científico donde los físicos han establecido, a través de la teoría de las supercuerdas, la existencia de al menos diez dimensiones. Nosotros no las podemos percibir y nos cuesta mucho trabajo imaginarlas. Sin embargo, estamos familiarizados con la posibilidad de mirar adentro de cuartos cerrados, con desaparecer y reaparecer en forma virtual, viajar grandes distancias sin tomar mucho tiempo, con ver a otros desvanecerse y volverse a materializar, observamos simultáneamente cosas que ocurren a grandes distancias, somos capaces de ver al interior de los objetos, de operar un robot a distancia, estar en varios lados al mismo tiempo, hacer transacciones sin movernos de una silla. En fin, una infinidad de cosas que antes hubieran sido sólo objeto de la ciencia ficción y que ahora, con ayuda de las máquinas, son parte de la vida cotidiana. Hemos creado, con base en la tecnología (ciberespacio, internet, realidad virtual, televisión, cámaras, etc.) una cuarta dimensión espacial, parecida a la que se imaginaron los matemáticos, artistas y ciudadanos en el siglo XIX. Referencias: Abbott Edwin A., (1952). Flatland. Dover publications, INC. USA. 103p. Bousso Raphael & Polchinski Joseph., (2004). “The string theory landscape” en: Revista Scientific American. Special Issue. Beyond Einstein. Septiembre 2004. New York, Scientific American. 98p. Gûijosa Alberto (2002) “¿Qué es la teoría de las supercuerdas? [En línea] http://www.nuclecu.unam.mx/ ~alberto/physics/string.html . Heinlein Robert (1940) “And he built a crooked house”. [En línea] http://www.scifi.com/scifiction/ classics/classics_ archive/heinlein/heinlein1 .html Kaku Michio, (1994). Hyperspace. New York, Anchor Books. Random House INC, 359p. Kaku Michio, (1995). Beyond Einstein. New York, Anchor Books. Random House INC, 224p. Schwartz Patricia (2011) The Official String Theory Web Site [En línea] http://superstringtheory.com/ Wells Herbert George (1897) El hombre invisible [En línea] http://ebookbrowse.com/herbert-george-wells-el-hombreinvisible-pdf-d102255390# Dibujo enviado por Daniel Segura Mijares U6 Dibujo enviado por Diego Solano Flores F2 Dibujo enviado por Emlio Bunge González F2 ¿Es la estadística una rama de las matemáticas? Por Silvia Ruiz Velasco Acosta* La estadística, como es entendida por la mayor parte de las personas, es la recolección, organización, análisis e interpretación de datos. Muchas veces se tiene la idea errónea de que la estadística sólo produce medias y varianzas, así como gráficas. Esto es una parte importante en cualquier análisis estadístico que concierne a la estadística descriptiva, que como su nombre lo indica, es una descripción de los datos y que permite darnos cuenta, por ejemplo, si existen valores atípicos o quizá errores en la captura de datos. El análisis estadístico consiste en hacer inferencia (estadística), basados en un modelo, que como cualquier modelo puede o no ser correcto, por lo que también es necesario evaluar las suposiciones del modelo; una parte fundamental en este análisis es el tratamiento de la aleatoriedad o incertidumbre. La inferencia estadística, a partir de una muestra aleatoria, consiste en responder preguntas de interés para la población de donde ésta se obtuvo, eso puede ser a través de la estimación de algún parámetro desconocido y/o pruebas de hipótesis acerca del valor de algún parámetro. Por ejemplo, calcular el ingreso promedio de los habitantes de la ciudad de México o decidir si el ingreso promedio es superior a dos salarios mínimos. Aun problemas tan sencillos como éste requieren conocer conceptos asociados a distribuciones estadísticas, las cuales son funciones que deben cumplir ciertos requerimientos, así como probabilidad para poder decir qué tan probable es equivocarnos en nuestra decisión. El análisis estadístico puede ser tan simple como estimar la media de alguna(s) variable(s) de una población y/o probar que ésta es igual a un cierto valor, pero esto mismo, estimar un parámetro, puede ser dentro de un modelo que sea utilizado para medir la relación entre dos o más variables, para predecir el valor de algún dato futuro o no observado, o para encontrar estructuras en la población, por ejemplo, agrupamientos. En este sentido la estadística es en ocasiones definida como una ciencia matemática que se dedica a la recolección, análisis e interpretación de datos. Por otra parte, las personas dedicadas a llevar a cabo análisis estadístico, requieren el conocimiento de las técnicas o métodos estadísticos, y esto puede ser a diferente nivel: el técnico, que utiliza un paquete estadístico para obtener resultados de un análisis estándar, realizado con anterioridad o sugerido por alguien con mayor conocimiento estadístico, lo cual podría ser suficiente; en este caso no sería necesaria una formación matemática. Un nivel intermedio, donde el análisis no es estándar, pero el problema puede ser resuelto con modelos y métodos propuestos en la literatura, conocidos por personas que han estudiado estadística desde una perspectiva matemática, y por lo tanto, que conocen a fondo los modelos y suposiciones detrás de ellos y son capaces de elegir el modelo adecuado. Para llevar a cabo todo el análisis, utilizamos la probabilidad para determinar la muestra, y dependiendo del método a utilizar en el análisis, será necesario calcular máximos de funciones que pueden ser muy complicadas o encontrar valores y vectores propios de matrices. Más aún, existe una rama de la estadística, comúnmente llamada Teoría Estadística, definida como el estudio de la estadística desde un punto de vista matemático, que consiste en el desarrollo de nuevos métodos estadísticos (modelos), para lo cual se requiere el uso y conocimiento de muchas disciplinas de las matemáticas, la principal, probabilidad, pero otras como teoría de números, álgebra, análisis, ecuaciones diferenciales o geometría. Algunas personas que han contribuido al desarrollo de la estadística son Gauss y Laplace, dos grandes matemáticos. En la gran mayoría de las universidades en el mundo, las personas que se dedican a enseñar y hacer investigación en estadística, están ubicadas dentro de los departamentos de matemáticas. Existen dichos como: “Hay tres clases de mentiras: las chicas, las grandes y la estadística”, sin embargo, las personas que sostienen esta clase de aseveraciones, quizá no se dan cuenta de que efectivamente es muy fácil mentir con la estadística, siempre y cuando el conocimiento que se tenga sobre ésta, sea de tal profundidad, que se sepa cómo hacerlo, lo que implica una buena formación matemática. Por otra parte, para identificar esas mentiras, también es necesario tener un conocimiento adecuado de estadística y de sus fundamentos. En conclusión, para dedicarse a la estadística es necesario ser un buen matemático. Si la estadística es una rama de las matemáticas o no, esa no es la cuestión, sino saber que la estadística es más aplicable y más divertida que casi cualquier otra rama de las matemáticas. Terminaré mencionado que al menos en dos ocasiones el premio Nobel de Economía ha sido entregado en virtud del uso de métodos estadísticos; en 2003 lo obtuvieron Robert F. Engle III y Clive W. J. Granger, por sus métodos para analizar series de tiempo económicas con volatilidad que cambia en el tiempo, y por los métodos para analizar series de tiempo económicas con tendencia común. En 2011 nuevamente los galardonados con el premio, Thomas Sargent y Christopher A. Sims, lo recibieron por el uso de métodos estadísticos en economía, en este caso, por los modelos de regresión para explorar relaciones de causalidad. Doctora. Investigadora en IIMAS UNAM. Mamá de Sara (U6) y Ángela (exalumna) Downie Ruiz Velasco * 63 Leticia Gracia Medrano V.1 L a estadística no es parte de las matemáticas, sino que es otra disciplina que definitivamente hace uso de las matemáticas y en particular de la probabilidad. Quiero comentar que en muchos planes de estudio se imparten temas de estadística dentro del temario de matemáticas. Dada esta relación estrecha entre estas disciplinas es que decidí participar en este volumen dedicado a las matemáticas. Dar una definición de la estadística no es tarea fácil. Así que sólo mencionaré que la estadística nos permite estudiar fenómenos aleatorios a través de modelos de probabilidad, de manera que se puede cuantificar el tamaño del error. Esta disciplina proporciona los métodos para obtener información, para reducirla y para analizar e interpretar los resultados. Situación actual de la estadística. En el siglo XX la estadística tuvo un desarrollo enorme, esto debido principalmente a sus aplicaciones en agronomía, en medicina y por el reciente desarrollo de los equipos de cómputo. Otro aspecto que influyó fue que prácticamente todas las áreas del conocimiento fueron integrando la estadística, netamente cuantitativa, en su área de estudio. Hoy la estadística ocupa un lugar muy importante en nuestra sociedad, basta ver que los países y las organizaciones internacionales como ONU, UNESCO y OMS cuentan con instituciones destinadas explícitamente a desarrollar sistemas de información y análisis estadístico; que anualmente se realizan congresos sobre temas relacionados con la estadística organizados por un sinnúmero de asociaciones. Muchas empresas de muy distintos giros cuentan con sistemas de control de calidad, de medición de riesgo, de medición de productividad, etc.; también en la parte educativa puede observarse que los temas estadísticos se enseñan ahora desde los niveles de secundaria, incluso hay países que los incluyen desde la primaria. Perspectivas para el siglo XXI. En el siglo XXI se tiene un gran porvenir para la estadística. Se necesitará el desarrollo de nuevas metodologías y habrá una mayor demanda de estadísticos. Algunas de las líneas de desarrollo se enlistan a continuación: 1) Con la aparición de las computadoras personales se ha podido almacenar una gran cantidad de información de todo tipo, en todos los ámbitos, compañías, secretarías de estado, universidades, centros de comercio, etc. El reto ahora es manejar ese mundo de información, se necesitarán entonces técnicas específicas para extraer la información de manera que ésta resulte útil; a esto se le ha llamado Minería de Datos (Data Mining), que conjunta algoritmos de procesamiento de información con estadística. Como ejemplo están los “buscadores” de Internet, que hacen un análisis del comportamiento de los visitantes en una página, que son considerados clientes potenciales de cierto mercado y entonces se les ofrece cierta publicidad, seleccionada de acuerdo con los resultados del análisis. 2) Las computadoras manejan ahora tal velocidad en sus cálculos y capacidad de almacenamiento y operación de datos, que están permitiendo el desarrollo de la matemática numérica y del cómputo estadístico, esto se hace a través de métodos de simulación, que permiten evaluar probabilidades que de manera analítica serían muy difíciles o de plano imposibles. 3) Sin duda habrá que propiciar que la cultura estadística llegue a más personas, para que tal conocimiento pueda ser entendido y sobre todo aprovechado por la sociedad. Esto requerirá entonces, de un mayor número de docentes en estadística. En mi opinión, los estudiantes de todas las carreras universitarias deberán tener sólidos conocimientos de estadística y manejar algún software estadístico, de manera que entiendan la estadística no como un conjunto de técnicas, sino como un método interpretativo de una realidad científica. 4) También se deberá avanzar en la forma de enseñar la IASE (International Association for Statistical Education) que nace en 1991 y es la principal impulsora de la Investigación en Enseñanza de la Estadística. En nuestro país sólo el CINVESTAV cuenta con investigadores en esta línea, por lo que hay muchísimo por hacer. 5) Finalmente, de manera natural, el avance en otras áreas del conocimiento necesitará de técnicas y métodos específicos, lo que ya está sucediendo, por ejemplo en las ciencias genómicas, atmosféricas, en psicometría, econometría y finanzas, sólo por mencionar algunas. Bibliografía Raftery, A.E., Tanner, M.A. and Wells, M.T. (2002). Statistics in the 21st century Chapman and Hall, London. Rao, Gabor J. Szekely (2000) Statistics for the 21st century: methodologies for applications of the future. M. Dekker. New York. Maestra en Estadística. IIMAS –UNAM. Mamá de Mariana (F1) y Diana (exalumna) Rubalcava Gracia Medrano. [email protected] Tel. 5622-3483. * Por Alfredo Castañeda* “We think in generalities, but we live in details.” Alfred North Whitehead (1861-1947) A lo largo de la historia, el descubrimiento de cómo están relacionadas las matemáticas con la vida diaria y la percepción que tenemos sobre ellas, ha ido aumentando conforme se ha divulgado el conocimiento matemático a lo ancho y largo del mundo. Tomar como referencia a la cultura griega, que desde un principio encontró la relación de los números con la naturaleza y la proporción (razón) entre ellos, nos ayuda a posicionar históricamente las primeras aplicaciones matemáticas con la música, la arquitectura y la decoración que la cultura humana desarrolló, es decir, el arte. Dichas observaciones de la naturaleza, basadas en proporciones de números, en el descubrimiento del número irracional y axiomas geométricos, permitieron el desarrollo de teorías dentro de un sistema formal y consistente como el de las matemáticas. En nuestro continente saltan a la mente todos aquellos frisos y patrones mayas que podemos encontrar en los templos y que hacen referencia al infinito mediante las grecas y la decoración de sus espacios planos y tridimensionales. Las matemáticas aplicadas al arte se deben a las distintas percepciones de la realidad que han tenido las diversas culturas a lo largo de la historia. Esta percepción también depende de la religión y costumbres de cada pueblo. Un caso muy conocido es el de la razón áurea, que al ser “descubierta”, otorgó enormes aplicaciones al arte; incluidas la música, la geometría, la biología y la arquitectura, ampliando la visión de las antiguas percepciones de la realidad, para dar fruto a nuevas e impresionantes representaciones. Dentro de los casos más conocidos están la proporción entre números para crear distintas escalas musicales para diversos instrumentos, las decoraciones sobre paredes y pisos de palacios árabes, el estudio del comportamiento y desarrollo de elementos y/o sociedades de la naturaleza y las construcciones de edificios que rompen con nuestra concepción de gravedad. 1 La Alhambra, Granada. El arte en las matemáticas puede ser tan variable o dependiente según cómo una comunidad perciba la vida con o sin una religión de por medio. Tal es el caso del Islam, que no hace diferencia entre ciencia y religión para ofrecer belleza a su Dios mediante la decoración de los espacios (planos o tridimensionales) y objetos. Un ejemplo es la Alhambra de Granada, un palacio de sultanes árabes situado en la ciudad de Granada, España, decorado con todos y cada uno de los 17 posibles grupos de simetrías periódicas del plano, mejor conocidos como teselaciones. Este tipo de arte se desarrolla porque para ellos, “Dios es bello y le gusta la belleza” y como la geometría es bella, entonces hacen geometría. Palabras del profeta Mohammed. Otro gran personaje holandés que transformó las teselaciones en impresionantes y bellas transformaciones del plano fue Maurits Cornelis Escher. Así como en este caso, encontramos arte puramente científico, como Exalumno. Profesor de matemáticas. Upper School, Plantel Diligencias. Escher, “Relatividad”. Adentro de un caleidoscopio infinito. el desarrollado por Leonardo Da Vinci, quien mediante la observación y el estudio de la luz, experimentó y desarrolló resultados brillantes tales como el principio de la fotografía, basado totalmente en proyecciones geométricas del espacio en el plano (telas). Esta misma idea de la geometría proyectiva es utilizada por pintores del S. XVI para utilizar el punto de fuga en sus cuadros y así crear una noción de profundidad; tales son los casos de Alberto Durero, Rafael y Miguel Ángel entre otros, quienes aprovecharon el conocimiento desarrollado en su época. Como consecuencias, actualmente la fotografía es el arte de crear proyecciones del espacio en el plano (papel). El arte moderno basado en las matemáticas retoma todo lo anterior para incluirlo dentro de los nuevos avances tecnológicos. Esto permite seguir teniendo un sistema consistente dentro del lenguaje matemático que, en conjunto con la tecnología, nos otorga escenarios y decoraciones tridimensionales que transforman nuestro ambiente para hacernos sentir por momentos fuera de nuestra realidad común. Tal es el caso del cine 3D hoy en día. En la actualidad, una característica muy valiosa que las matemáticas aportan al arte es la creación de nuevos espacios virtuales, ilusorios, pero también reales, que nos permiten habitarlos y decorarlos de infinitas formas, tantas como queramos, para seguir fortaleciendo las relaciones entre el arte y las matemáticas. Estas relaciones seguirán creciendo en la medida que el estudio de las matemáticas y las percepciones de la realidad lleguen a sus límites; citando a L. Wittgenstein “Los límites del lenguaje son los límites del mundo”. La música es para el alma lo que la gimnasia es para el cuerpo Platón (427 AC- 347 AC) Por Malinka Monroy* E n realidad, las matemáticas están inmersas en todo lo que nos rodea, y las artes no son la excepción. Esta relación de las matemáticas la podemos ver claramente en la arquitectura, en la pintura, el diseño y, aunque no sea tan evidente, tienen gran influencia en la música. Creo que hay evidencias suficientes para mostrar que esta relación no es para nada un mito, sino una realidad latente. Podemos empezar por decir, que tanto la música como las matemáticas pueden ser consideradas “lenguajes universales”, ya que en cualquier parte del mundo, sin importar el idioma, la raza, etc., se pueden entender. La verdad es que las dos tienen cierto sentido mágico; son tan abstractas que parecen pertenecer a otro mundo, y sin embargo, tienen un gran impacto en nuestras vidas. Por separado, las dos son grandes herramientas para la sociedad moderna, sin las cuales –creo yo- no podríamos vivir, aunque es cierto que nos afectan o ayudan de formas muy diferentes; la música, siendo un arte, nos ayuda a expresar nuestros sentimientos, emociones, recuerdos, y es muy fácil relacionarse con ella. Por otro lado, las matemáticas nos ayudan día a día, por ejemplo a realizar transacciones comunes de dinero o a impulsar el desarrollo de la tecnología. La música ha cambiado mucho a través de los años; * Alumna de L6 podemos remontarnos a las grandes épocas del Jazz en los 20s, a la Beatlemanía en los 60s y llegar hasta la actualidad con bandas como Phoenix, The Strokes, Lady Gaga, etc., para darnos cuenta de que así seguirá cambiando la textura y carácter de la música según el lugar y la época. Aunque no lo parezca, las matemáticas también tienen su propia evolución; desde la aritmética, la trigonometría y el cálculo diferencial, hasta las aplicaciones modernas como en la nano-tecnología. A pesar de que las matemáticas y la música son tan diferentes, poseen una fuerte conexión entre ellas. Las matemáticas están presentes en varios aspectos de la música, por ejemplo en las afinaciones, en el valor de las notas, en los acordes, armonías, ritmos, tiempos, etc. Un ejemplo un poco alocado sobre dicha relación lo podemos ver en La Quinta Sinfonía de Ludwick Van Beethoven (1770-1827), en la cual el número de compases pertenece a la serie Fibonacci (en la cual cada número subsecuente es la suma de los dos anteriores). Los sonidos musicales son producidos por algunos procesos físicos (hacer vibrar una cuerda, soplar aire adentro de un instrumento, etc.), pero por más diferentes que sean, la mayoría, pueden ser descritos con un mismo modelo matemático. La característica más importante sería la frecuencia. Por ejemplo, en una cuerda, entre más oscilaciones hay en un periodo de tiempo, más alta será su frecuencia por lo tanto más agudo será el sonido. La música de las esferas Fue Pitágoras el primero en darse cuenta que existía una relación numérica entre tonos que sonaban “armónicos”, y ver que la música podía ser medida por medio de razones de enteros. Podemos notar que el sonido de una cuerda depende de su longitud y su grosor. Cualquiera de estas variables afecta la frecuencia de la vibración. Lo que Pitágoras descubrió fue que dividiendo la cuerda en diferentes proporciones sacaba distintos, pero aún agradables sonidos. Hace unos años, incluso, un satélite de la NASA confirmó la tradición de la música de las esferas, según la cual, los cuerpos celestes emiten sonidos armónicos. Se descubrió que el sol emite realmente sonidos ultrasónicos que forman una partitura, por ondas que son unas 300 veces más graves que los tonos captados por el oído humano. En última instancia podemos considerar los números como notas y las notas como números, una ecuación como una sencilla melodía y viceversa, ya que se pueden traducir y convertir de este modo. Así que, la siguiente vez que te topes con una ecuación muy difícil, no la consideres un problema, sino una simpática y agradable melodía. IB Diploma Programme – Mathematics Options Because individual students have different needs, interests and abilities, there are four different courses in mathematics. These courses are designed for different types of students: those who wish to study mathematics in depth, either as a subject in its own right or to pursue their interests in areas related to mathematics (Higher Level and Further Maths); those who wish to gain a degree of understanding and competence better to understand their approach to other subjects (Standard Level); and those who may not as yet be aware how mathematics may be relevant to their studies and in their daily lives (Mathematical Studies). Mathematical Studies is designed to build confidence and encourage an appreciation of mathematics in students who do not anticipate a need for mathematics in their future studies. There is a focus on applications of mathematics, with more statistics and less calculus than the other courses and an introduction to financial mathematics. Mathematics Standard Level caters for students who will expect to need a sound mathematical background as they prepare for future studies in subjects such as chemistry, economics, psychology and business administration. They receive a firm foundation in calculus, trigonometry, algebra, functions and linear algebra. Mathematics Higher Level is for students expecting to include mathematics as a major component of their university studies, either as a subject in its own right or within courses such as physics, engineering and technology. It is a demanding and challenging course which covers topics such as complex numbers and differential equations. A very few students around the world take Further Maths, which allows them to look at a few specialised areas of mathematics in considerable depth. The aims of all courses in group 5 are to enable students to: - appreciate the multicultural and historical perspectives of all group 5 courses enjoy the courses and develop an appreciation of the elegance, power and usefulness of the subjects develop logical, critical and creative thinking develop an understanding of the principles and nature of the subject employ and refine their powers of abstraction and generalization develop patience and persistence in problem solving appreciate the consequences arising from technological developments transfer skills to alternative situations and to future developments communicate clearly and confidently in a variety of contexts. Having followed any one of the mathematics courses in group 5, students are expected to know and use mathematical concepts and principles. In particular, students must be able to: - read, interpret and solve a given problem using appropriate mathematical terms organize and present information and data in tabular, graphical and/or diagrammatic forms know and use appropriate notation and terminology formulate a mathematical argument and communicate it clearly select and use appropriate mathematical strategies and techniques demonstrate an understanding of both the significance and the reasonableness of results recognize patterns and structures in a variety of situations, and make generalizations recognize and demonstrate an understanding of the practical applications of mathematics use appropriate technological devices as mathematical tools demonstrate an understanding of and the appropriate use of mathematical modelling. Imagen enviada por Fernanda Quiroz Bolivar U6 Jess’ Apology In 1940, mathematician H.G. Hardy wrote an essay, called A Mathematician’s Apology. In it, he defended his reasons for being a mathematician, commenting on its aesthetic appeal and criticizing applied mathematics. H.G. Hardy used the word “apology” in the sense of a formal defense, not a need to ask for forgiveness. This is my attempt to do something similar—consider it a love letter to mathematics. In my brief career as a teacher, and slightly longer career as a lover of math, I have come to a startling conclusion: not everyone shares my passion! How can this be? Are they not aware of the beauty of numbers? Of shapes? I do not teach mathematics because of its uses (of which there are many.) To me, the appeal of math lies not in its connections to the world, but in its intrinsic, simple beauty. There are some properties that are just plain cool. Did you know that, if the sum of the digits of a number is divisible by 3, then the entire number itself is also divisible by 3? Why is this true? I thought you’d never ask. Let’s demonstrate with a 3-digit number, whose digits are abc. We can rewrite as 100a +10b + c. Let’s assume that the sum of its digits is divisible by 3, and we’ll show that this means that the whole number is also divisible by 3. Ok, if the sum of its digits is divisible by 3, then there exists some integer, k, such that . 3k=(a+b+c). We can rewrite abc again as 99a+a+9b+b+c, which would be the same as (99a+9b)+(a+b+c). Wait a minute! We said that 3k=(a+b+c), so we can rewrite abc yet again, this time as (99a+9b)+(3k). Hold on, can I factor something out of this? Yes, I can. This is the same as 3(33a+3b+k). Because I can factor out a 3, that means that the whole number is divisible by 3! Proof done. Does this proof have anything to do with anything? Not particularly. Will knowing if a number is divisible by 3 solve world hunger? Probably not. But look how cool that is! It’s not just some mystical property—it has a reason that you can easily prove with basic algebra. Did you know that eπ +1 =0? This is called Euler’s Identity (pronounced oiler, not you-ler…please don’t make that mistake when talking to a mathematician.) Let’s consider this identity. An irrational number, raised to the power of another irrational number that’s been multiplied by an imaginary number, plus 1, equals 0? What?? It’s true, and can be proven (although in much more space and with much more advanced mathematics than our previous proof.) How about this—the Pythagorean Theorem. We all know that a2 +b2 = c2, where a and b are legs of a right triangle and c is the hypotenuse. One lovely example of this is that 32 + 42 = 52Are there any other possible right triangles with three Mathematics Teacher, Upper School, Diligencias site. c4nsecutive numbers as the lengths of its sides? Nope. Let me show you why…it’s simple algebra! Instead of a, let’s use x. If the other side were one number bigger, it would be x+1, and if the hypotenuse were the next consecutive number, it would be x + 2. By Pythagoras, the following must be true: x2+(x+1)2 = x+2)2 Let’s expand: x2+x2+2x +1=x2+4x+4. So, combining like terms and moving everything to the left gives us: x2 - 2x -3 = 0. To solve for x, I can factor this into (x -3)(x+1)=0. This means that I have two possible solutions: x=3 or x = -1 . Since a triangle can’t have a length of -1, that means that 3 is my only viable answer, and that also means that 3-4-5 is the only right triangle in existence with side lengths that are three consecutive whole numbers! Incredible! Math has such a bad reputation, and it’s entirely undeserved. People tend to think that it’s all about memorizing equations and that there’s no room for creativity. Not so! It takes huge amounts of creativity to tackle a difficult math problem! Yes, some basics must be learned, but that’s true of all subjects…how can you expect to play the game when you don’t know the rules? Once you know the foundations, it’s up to you to think of how to use them. And there are multiple ways! Your partner’s method will not always be the same as yours! And that is fantastic. You know what else is fantastic? That you can be RIGHT in math. You can be 100% correct, and that’s it. No one else can interpret your answer differently. One person won’t read your answer and say it’s fantastic, while another says it’s horrible. You are either right or wrong in mathematics--there is no gray area! How simple and calming. It’s true what they say about mathematics—it’s the only subject that contains universal truths. Everything about math has been built up from its foundations proof by proof. Nothing is taken for granted. Why do I teach mathematics? Because it’s so cool that you can find any angle or side of a triangle with trigonometry. Because using the power rule to take derivatives of polynomials is amazing. I want my students to feel the same way I do about math. I leave you with a quote that sums up everything I have been trying to say. Thank you, Bertrand Russell, for being much more eloquent than I am. “Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty \a beauty cold and austere, like that of sculpture.”1 Referenses: Russell, Bertrand. http://www.quotationspage.com/quotes/ Bertrand_Russell . Dibujo enviado por Katia Molina Higuera F2 Dibujo enviado por Sofía de la Parra F1 Dibujo enviado por Andrés Ramírez Corona F2 Dibujo enviado por Héctor de Jesús Prado F2 Dibujo enviado por Simón Cruz Vázquez F1 Dibujo enviado por Regina Torres F1 Dibujo enviado por Brenda Soberón Sánchez F2 Las Matemáticas son Geniales 72 Por Etienne Ortega Flores* Las matemáticas pueden ser divertidas, interesantes, de cualquier forma y medida que tú lo desees, y ¡puedes hacer muchas cosas con las matemáticas! Podrías jugar y entretenerte con los variados conceptos de matemáticas, con divertidos temas como sumas, restas, las tablas de multiplicar, geometría, y muchas más. El Cubo de Rubic es un ejemplo; se necesita una gran mente matemática para saber que al hacer ciertos movimientos mueves una pieza, o la mueves sin mover otras, debes usar matemáticas para hacer muchas cosas de la vida. Puedes olvidarte de los problemas que tuviste hoy y desahogarte con las matemáticas, podrás encontrar que además de divertidas las matemáticas son relajantes, porque para todo te dan respuesta. Mi experiencia con las matemáticas en el Lancaster ha sido extensa, ya que soy hábil en ellas, y he aprendido que no tienes que ser bueno para que te diviertan. Y no todas las matemáticas son difíciles, por ejemplo: 1+1=2, y 71,635 x 2,748–1,747=196, 851,233. Hay diferencia, ¿no? Además, practicar las matemáticas te hace inteligente y ágil mentalmente. Las matemáticas sirven para casi todo en nuestra vida cotidiana. La fecha usa matemáticas. Las cantidades, (litros, gramos, onzas, libras, etc.) usan matemáticas. Las medidas (metros, pies, yardas, pulgadas, etc.) usan matemáticas. Hasta las computadoras, la televisión y los radios usan matemáticas (código binario). ¿Qué haríamos sin las matemáticas? ¿Podrías hacer las cuentas? ¿Sabrías cuántos dedos tienes en las manos? ¿Contarías borregos cuando te duermes? ¿Existiría la escasez o abundancia? ¿Sabrías qué hora es...? Interminable sería la lista de restricciones sin las matemáticas, así que... hay que agradecer que las matemáticas existan. Por todo esto pienso que… ¡las matemáticas son geniales! * Alumno de G5B Mirifici Logarithmorum Por Cristianne M. Butto1 y Joaquín Delgado2 En este castillo vivía la numerosa familia Napier, que estaba formada por John Napier, su esposa Agnes y sus doce hijos. Todos los días se podía ver a los aldeanos trabajar afanosamente en estas tierras, sembrando y cultivando cereales. Mientras tanto, John Napier ocupaba su tiempo observando todo, dibujando, haciendo anotaciones y trabajando por largas jornadas en su taller, acompañado siempre de Luciano, su mascota, un gallo negro de muy buena garganta. Su taller se encontraba en la única torre del castillo, desde donde el gran Barón alcanzaba a ver todas sus propiedades. John Napier tenía una especial predilección por las estrellas y la navegación, le encantaba imaginar cosas y crear máquinas que facilitaran el trabajo. Resumen Historia ficción basada en hechos reales sobre la vida de John Napier inventor escocés, autor de varios inventos, entre ellos la tabla de logaritmos y diversas máquinas e instrumentos, como las barras de multiplicar que en su honor llevan el nombre de “los huesos de Napier”. Hace 450 años, en un lejano lugar llamado Merchiston, en Escocia, vivía el famoso Barón John Napier. Como todos los Barones de esa época, era dueño de una enorme extensión de tierra. En ella se podían encontrar colinas y praderas, bosques y planicies, y un río que se hacía notar por el ruido de su cascada; había también una aldea, donde se encontraba un molino y un granero. Y en el centro de todo esto se levantaba un elegante castillo. Es así que cuando estaba a punto de tener una gran idea, hacia cantar a Luciano. El canto de su gallo era una señal para que sus trabajadores pararan inmediatamente el molino; no fuera a ser que el ruido que producía este enorme aparato, terminara por espantar alguna de las grandes ideas que John Napier estaba a punto de alcanzar. Cuando esto sucedía, la familia Napier y los trabajadores apresuraban el término de sus labores para reunirse frente a la puerta del castillo. Allí esperaban intrigados y ansiosos a que el Barón bajara de la torre y les explicara su nuevo invento. Doctora en la especialidad en Matemática Educativa por el CINVESTAV. Profesora Titular en la Universidad Pedagógica Nacional. Mamá de Andrea Carolina Delgado Butto (K3B). 2 Doctor en Ciencias Matemáticas. Jefe del Departamento de Matemáticas de la UAM-Iztapalapa. Papá de Andrea Carolina Delgado Butto (K3B). 1 Un día John Napier encontró que parte de sus sembradíos estaban cubiertos de lama, hierba, y otros más estaban inundados, así que subió a su taller y trabajó por muchos días. Una tarde se escuchó la señal: qui-quiriqui…! En ese momento el molino fue detenido, todos esperaron a que el digno Barón bajara. Al reunirse con ellos, los organizó en dos grupos; el primero construyó una máquina que hacía correr el agua estancada, el segundo se encargó de esparcir cuidadosamente sal a los campos sembrados. Al poco tiempo, ya se podían ver los sorprendentes resultados de ambos inventos. Los campos estaban más verdes que nunca y su cosecha fue magnífica. En otra ocasión el Barón Napier observó que los pájaros picoteaban las plantas y semillas recién sembradas así que puso su ingenio a trabajar. Ese mismo día se escuchó cantar al gran Luciano: qui-quiriqui…! Los trabajadores nuevamente pararon el molino y esperaron. John Napier ordenó que todos los pájaros deberían pasar una noche en el granero y ser liberados el día siguiente. Sus órdenes fueron seguidas al pie de la letra, cada uno de los pájaros fue atrapado y encerrado en el granero. Al día siguiente cuando las puertas de la gran jaula se abrieron, todos comenzaron a reír, al ver que los pájaros que decidían escapar, sólo podían volar en círculos y chocaban unos contra otros; mientras que los que prefirieron quedarse, no podían mantenerse en pie ni un segundo. La gente asombrada le preguntó al Barón si los había embrujado. Él, entre risas, les contestó -”No, tan solo están borrachos”-. Esta vez John Napier les dio una inolvidable lección a las glotonas aves. Les había dejado dentro del granero una gran dotación de peras envinadas. Ideas como éstas y muchas más hacían a John Napier cada vez más famoso; tanto que la gente comenzó a llamarlo el maravilloso Merchiston. A pesar de su gran fama, John Napier no dejaba de hacerse preguntas como éstas: ¿a qué velocidad caminan las hormigas?, ¿cuántos granos necesito para sembrar mis tierras?, ¿cuántos platos de cereal comieron hoy los escoceses?, ¿cuál es el camino más corto al nuevo continente?, ¿a qué distancia está la luna?, ¿de qué tamaño es el sol?, ¿a qué distancia están las estrellas más brillantes?, ¿cuántas estrellas hay en el universo?... y se dio cuenta que contestar estas preguntas le llevaría, quizá, toda su vida. En seguida imaginó cómo otras personas se estarían preguntando cosas similares y que tampoco tendrían tiempo suficiente para responderlas. John Napier subió a la torre sabiendo que el problema por resolver esta vez no era sencillo; la lista de pendientes era larga. Así que trabajo día tras día, se esforzó muchísimo. Tanta fue su dedicación que toda la gente que lo conocía sabía el por qué de tal sacrificio. El reto era enorme, así que Luciano tuvo que esperar muchos años antes de volver a cantar. Por fin, el gran día llegó. Luciano pidió silencio, con una fuerza con la que jamás a un gallo se le había escuchado: qui-quiri-qui-quiri-qui…! El molino se paralizó. Esta vez todo mundo corrió a la puerta del castillo sin importarles nada, apenas llegaron a tiempo. John Napier los sorprendió saliendo del castillo con tremendos gritos y saltos de felicidad: “¡Esto es increíble!, ¡sorprendente!, ¡sensacional!” gritaba una y otra vez. Nunca antes se le había visto al maravilloso Barón de Merchiston, ni a Luciano, perder la compostura de esa manera. Ante tantos festejos, todos esperaban empezar la construcción de la máquina más grande del mundo, pero John Napier tan sólo sostenía un cuaderno con miles de anotaciones y les dijo emocionado: “¡He inventado los logaritmos!, un método para la simplificación de operaciones.” La gente sorprendida le contestó a coro: “loga… quééééé?” Él al escucharlos les dijo: “¡Logaritmos! A todos nos gustaría multiplicar y dividir más rápido. Mi invento convierte las multiplicaciones en sumas y las divisiones en restas” y de su abrigo sacó una enorme tabla de números con la que se ayudó a explicar el funcionamiento de su invento. El Barón de Merchiston lo explicó así: “Constrúyase una secuencia cualquiera, comenzando por cero, en progresión aritmética, donde cada número se obtiene del anterior sumando una cantidad fija (por ejemplo dos): Hágase corresponder a la anterior, comenzando por 1, una secuencia geométrica, donde cada número se obtiene del anterior multiplicando por una cantidad fija (por ejemplo tres). Pues bien, para multiplicar dos números de la última lista, por ejemplo 9 x 81, basta sumar los números que le corresponden en la primera lista: 4+8=12, y buscar el número correspondiente en la segunda lista: 12 ↔ 729. ¡Este es el resultado! Bastará entonces construir dos listas, una en forma de una progresión aritmética y otra en progresión geométrica, ¡lo suficientemente larga y fina para poder multiplicar dos números cualesquiera! Con la ayuda de la computadora podemos experimentar con otras secuencias. En la tabla de la izquierda se tiene una secuencia aritmética de razón .020; en la izquierda una progresión geométrica con razón 0.3; tratemos de multiplicar los números de la segunda columna que aparecen en los renglones sombreados de amarillo: Para multiplicar 0.000729000000000000 x 0.000001771470000000, simplemente sumamos los números correspondientes en la primera columna: 0.120+0.220 = 0.340; ahora buscamos el número en la segunda columna que le corresponde a 0.340 que es 0.000000001291401630 (en verde); ¡ justamente el producto buscado! Considérese una sucesión aritmética que inicia en 0 y con razón aritmética a > 0: 0, a, 2a, 3a, 4a,... y una sucesión geométrica que inicia en 1 y razón geométrica r > 0: 1, r, r2, r3, r4,... Cada número en la primera sucesión, según el coeficiente de a, corresponde a un número en la segunda sucesión, según el exponente de r: 0 ↔ 1, a ↔ r, 2a ↔ r2, 3a ↔ r3,..., La multiplicación de dos elementos de la segunda sucesión corresponde a la adición de los correspondientes elementos de la primera sucesión: rm rn = rm+n ↔ (m + n) a = ma + na Los logaritmos fueron todo un éxito, son tan útiles y eficaces que navegantes, astrónomos, científicos y gente de todo el mundo, los continúan usando hasta nuestros días. La misteriosa casa con la que Napier explicó aquella tarde los logaritmos, resultó ser una poderosa herramienta con la que cualquier persona podía resolver rápida y fácilmente operaciones de la vida diaria. 75 En otra ocasión, Napier inventó un método muy sencillo por el que todos sus trabajadores aprendieron a multiplicar fácilmente. El invento consistía en unas barras de cuatro lados, con números convenientemente escritos de manera que multiplicar se volvía un juego de niños, como se muestran en la siguiente imagen. Para multiplicar 37 x 2568, basta notar que 37 x 2568 = 30 x 2568 + 7 x 2568. Ya hemos calculado 7x 2568 =17979, así que sólo falta calcular 30 x 2568, pero para multiplicar por 10 basta calcular 3 x 2568 y al resultado agregar un cero. Calculamos 3 x 2568 a partir del renglón correspondiente al 3 en la barra guía: que deben sumarse en diagonal de derecha a izquierda. No olvidar que debe acarrearse la cifra cuando la suma pase de 10, así que: 3 x 2568 = 7704, por lo tanto 30 x 2568 = 77040. Finalmente sumamos los resultados parciales: 37 x 2568= 30 x 2568 + 7 x 2568 = 77040+17976 = 95016. Valdría la pena recordar el método que usamos para multiplicar “recorriendo” las decenas: Para multiplicar 7 x 2568, se coloca la barra guía que contiene los números del 1 al 9. Luego se colocan las cuatro barras una al lado de la otra correspondientes a los dígitos 2, 5, 6 y 8. Los números que quedan en el renglón del 7 (sombreado) se suman de derecha a izquierda en diagonal, dando el resultado: 17976. 2568 x37 17976 7704 95016 Por su forma y para honrar a su inventor, a estas barras se le llamó “los huesos de Napier”, pues en forma póstuma las barras inventadas por Napier se construyeron por primera vez con marfil, para que duraran por una eternidad. Bibliografía 1. A History of Mathematics. Florian Cajori (third edition, 1980). Chelsea Publishing Company. 2.Historia de las Matemáticas. Sotero Prieto Rodríguez (1991). Instituto Mexiquense de Cultura. 3. A source book in Mathematics (125 selections from the classic writings). D. E. Smith (1959). Dover Publications, N.Y. 4. Learn from the masters! Eds. F. Swetz, J. Fauvel, O. Bekken, B. Johansson, V. Katz, (1994). The Mathematical “When am I ever going to use this in real life?” Yasir Patel* 2.30pm signals the end of another day, another teaching day dealing with THAT question, THAT annoying, frustrating yet oh so valid query, “When am I ever going to use this in real life?” The honest answer probably is, “never”, nevertheless we persist in sharing our passion and enthusiasm for the subject. We continue in trying to share its importance with the world, and let’s face it; we think it is the MOST important of all. We still feel we are the cornerstone, heart and the core so to speak of the school curriculum. Rene Descartes is quoted as saying; “Mathematics is a more powerful instrument of knowledge than any other that has been bequeathed to us by human agency.” We still have a privileged position in all educational systems (mathematics is the only subject that all students must study for the IB Diploma) and people still look at mathematicians with a sense of awe. Even the great Isaac Newton once remarked, “Number rule the universe.” Mathematics is hard, let us be honest; it is not a natural talent for everyone. “Do not worry about your difficulties in Mathematics. I can assure you mine are still greater” said the great Albert Einstein. If difficulty equated to importance, then this article could end now, however it is not so simple. “Mathematics is like love - a simple idea but it can get complicated” and complicated it does become. Using lego to add numbers quickly becomes mental addition, using a straight edge and compass to bisect lines and draw polygons soon becomes a list of properties and rules, calculating the rate of change ends up with the most amazing (or horrific depending on your outlook!) calculus questions. It is all very exciting and intriguing for us; us being mathematicians. So what, if mathematics was the language of choice to communicate with possible extraterrestrials? So what, that coding theory was used at Bletchley Park during world war two to crack German war communications? Buying items, calculating percentages, using recipes, saving funds, budgeting are all concrete examples when Mathematics is being used. However, why does an author need to learn trigonometry? Or a secretary logarithms? We cannot deny that these are valid questions, which lead us back to our favourite question, “When am I ever going to use this in real life?” Yes mathematics is all around us and most people accept that. “Go down deep enough into anything and you will find mathematics” - Dean Schlicter. Most people admit, maybe hesitantly, that mathematics is required and is within everything that we see around us. Unfortunately that still doesn’t address the valid question of those individuals who truly do not see a use of topics such as vectors, matrices and dare we mention it again, * Maths exteacher. Upper School. Diligencias site calculus, but are forced to learn them during those normally challenging teenage years. Mathematics teaches students to think logically, systematically, rationally and critically. Students tend to become better decision makers due to the clear and clever reasoning skills they have developed during lessons. They are pragmatic, thinking and acting methodically most of the times. At other times they improvise, think outside the box and act on their feet. Many students become better organisers as a result of years of mathematics classes. They solve problems by making quick decisions yet staying balanced throughout. Judging at face value rarely occurs and plans are thorough, well thought out with all possibilities considered. Leadership qualities are commonly found amongst mathematicians. Unfortunately for Mathematics teachers and mathematicians we cannot show or “prove” that mathematics is responsible for these vital characteristics! I guess if all else fails, we can always tell students that mathematics can make them very rich and point to the top twenty jobs in the world in which at least 17 require a high level of mathematics (with the others being footballers, actors and directors). And if we really want to be arrogant, we can simply tell them that it will make them look good and feel important! “The highest form of pure thought is in mathematics” Plato Bibliography http://shareranks.faqs.org/2772,20-Highest-Paying-Jobs-in-the-World http://weusemath.org/ http://math.furman.edu/~mwoodard/mqs/data.html 77 ¿Qué son y para qué sirven las matemáticas? Eugenia Marmolejo Rivas1 Los matemáticos solían preocuparse sólo por cuestiones concretas planteadas por la sociedad de su tiempo, por ejemplo, en el Renacimiento les interesaba saber cuál era el alcance de una bala de cañón. Niccoló Fontana (1499-1557), mejor conocido como Tartaglia, propuso el siguiente modelo: Asumió que la trayectoria de la bala estaba compuesta por tres partes, un segmento de recta, seguido por un arco de círculo y finalmente un segmento vertical como se muestra en la figura 1. Con este modelo no se pudo predecir el alcance del proyectil. Fue Galileo Galilei (1564-1642) el que dio una descripción correcta del fenómeno. Él se dio cuenta de que el movimiento podía considerarse como el resultado de componer dos movimientos simultáneos e independientes entre sí: uno, horizontal y uniforme; otro, vertical y uniformemente acelerado. El modelo de Galileo permitió constatar que, sin tomar en cuenta la resistencia del aire, la bala seguía una trayectoria parabólica. Con las ecuaciones del tiro parabólico de Galileo se supo que el alcance máximo de la bala se obtiene cuando el ángulo de tiro es de 45º. * El siguiente ejemplo es de probabilidad. Chevalier de Mére fue un personaje de la corte de Luis XIV; no era matemático. Era un jugador apasionado y planteaba a Blaise Pascal (16231662) sus dudas sobre sus probabilidades de ganar en sus apuestas. Pascal a su vez, le escribía a Pierre de Fermat (16011655) y le comentaba las inquietudes de Chevalier. El siguiente problema aparece en una carta de Pascal a Fermat, fechada el 29 de julio de 1654: “(Yo Pascal) No he podido pensar en un problema que inquieta a M. de Mére. Si usted (Fermat) puede resolver la dificultad sería perfecto. Chevalier de Mére dice haber encontrado falsedad en la teoría de los números por la siguiente razón. Si me propongo obtener un seis en el lanzamiento de un dado, tengo ventaja si es en cuatro lanzamientos. Si me propongo obtener un doble seis con dos dados, tengo desventaja si es en 24 lanzamientos. Además 24 es a 36 como 4 es a 6. Esto es un escándalo… (comenta Pascal)” Por un lado, el razonamiento de Mére era el siguiente: 4 (lanzamientos) es a 6 (números: 1,2,3,4,5,6,) como 24 (lanzamientos) es a 36 (pares de números: (1,1), (1,2)…), la probabilidad de ganar debe ser la misma. Sin embargo, de su experiencia en el juego se daba cuenta que en el segundo caso perdía, mientras que en el primero ganaba con mayor frecuencia. Maestra de matemáticas del ITAM y de la UNAM. Estudiante de doctorado del Departamento de Matemáticas Educativas del Cinvestav, IPN. Y por lo tanto concluye que hay una gran falsedad en los números. Fermat resolvió el problema. Explicó porque el primer juego es favorable y el segundo desfavorable. Como la probabilidad de no tener un seis en 4 cuatro lanzamientos es (5/6) , la probabilidad de tener al menos un seis en cuatro lanzamientos 4 es (1-(5/6) )=0.5177. Mientras que la probabilidad de obtener al menos un doble seis en 24 lanzamientos es (1-(35/ 24 36) )=0.4914. La conclusión a la que llegó Mére de forma experimental es la correcta, su idea de proporcionalidad es falsa y no hay ningún escándalo. Las ideas que surgieron durante el intercambio de cartas entre Pascal y Fermat en la resolución de éste y de otros problemas permiten reconstruir los conceptos más importantes de la probabilidad. En los dos ejemplos anteriores se desarrollaron las matemáticas necesarias para contestar las preguntas que se tenían. A continuación vamos a mostrar un ejemplo en el que un área de las matemáticas se desarrolla sin aparentemente tener una aplicación práctica: La teoría de nudos. Si tomas un cordón, haces un nudo y amarras los extremos, habrás hecho un nudo en el sentido matemático. Los matemáticos lo definen de la siguiente manera: Un nudo es una curva cerrada sin auto-intersecciones en el espacio tridimensional. El nudo más sencillo es el círculo. En realidad hay una infinidad de ellos. Los ‘nudistas’ se dedican a clasificarlos, les interesa saber cuando dos nudos, que pueden verse diferentes son en realidad iguales. Buscan ‘recetas’ para distinguir un nudo de otro. Aunque uno pudiera pensar lo contrario, la teoría de nudos es inútil para los marineros. De hecho en cincuenta años no se tenía ninguna aplicación. Recientemente se descubrió que la molécula de ADN, puede estar enrollada y anudada. Una molécula de ADN es una cadena delgada y larguísima. Resulta que los experimentos muestran que la función de la molécula en la célula puede depender del nudo que ella forma. A raíz de este descubrimiento los biólogos se empezaron a hacer muchas preguntas: ¿Qué nudos pueden aparecer en las moléculas de ADN? ¿Cómo dependen las propiedades de la molécula del nudo que ella forma? Para contestar estas preguntas han estado utilizando algunos resultados de la teoría de nudos. ¿Inexplicables, incomprensibles, inútiles? Seguramente no eres el primero en describir así a las matemáticas. Sin embargo, constantemente se encuentran aplicaciones que podemos usar en nuestra vida diaria. Pueden pasar de un día a otro del papel a la realidad, como hizo Steve Jobs con el iPod, o pueden tardar años como la teoría de los nudos. Tarden lo que tarden, se usen como se usen, las matemáticas siempre sirven y hay que estar preparados para usarlas. 79 Referencias: Caballero, María Emilia (2001). Aportaciones de Fermat a la teoría de probabilidad. Miscelánea Matemática 34. Mostovoy, Jacob (2011), Teoría de Nudos: entre las matemáticas y la realidad, Hypatia - Revista de Divulgación Científico - Tecnológica del Estado de Morelos, Instituto de Matemáticas Unidad Cuernavaca (UNAM) 80 Por Andro Asatashvili Antón* Las matemáticas fueron descubiertas hace cientos de años por los griegos. Son muy viejas, pero cada vez se van reinventando por los descubrimientos que físicos, astrónomos, astronautas y actuarios, entre otros, van realizando durante el paso del tiempo. Las matemáticas se aplican en muchas áreas, como los deportes, la educación o en el trabajo. Pero, también, ayudan mucho en cosas tan simples como el hogar y, aunque cueste creerlo, también en el entretenimiento. Por ejemplo, las matemáticas se aplican en cosas obvias como concursos de sumar, multiplicar, restar y dividir o contando del 1 al 50 en kínder. Pero las matemáticas fueron utilizadas también en experimentos realizados hace muchos años por los científicos y que hoy resultan de lo más divertido. Uno de ellos es el giroscopio, que se creó en 1852 por León Foucault. El giroscopio es como un trompo al que das cuerda, pero aparentemente desafía las leyes de la gravedad. El giroscopio puede balancearse en una cuerda, un lápiz, una pluma, en tu mano y hasta en la mera punta de tu dedo y también puede hacer algunos trucos inexplicables. Sin las matemáticas, eso no hubiera sido posible. Existen varias situaciones en donde las matemáticas se aplican sin darnos cuenta: como las medidas de la tele, las proporciones de la cara de un peluche, el tamaño de la letra en un libro, los controles del videojuego, la circunferencia de la pelota de futbol, el tamaño del palo de golf o billar, ¡y más! Las matemáticas se encuentran prácticamente en todo lo que vemos. Si te asomas en tu ventana, encontrarás cosas que sin matemáticas no existirían, como el puente que te lleva a tu casa, tu edificio, tu casa, tu cuarto, tu cama, tu coche, tu bicicleta, * Alumno de 5 grado, Yellow. 1 tu escuela, tu trabajo y otras cosas más que ves a diario. Por eso, las matemáticas son esenciales para que nosotros hagamos cosas que nos gustan o que dependemos de ellas. Las matemáticas nos ayudan en la escuela para aumentar la capacidad de nuestro cerebro, en el trabajo para planear y en el hogar para administrar de mejor manera los ingresos de la familia. El término matemáticas viene del griego “máthema”, que significa aprendizaje, estudio y ciencia. Y por eso las matemáticas son una ciencia que estudia la cantidad, el espacio, la estructura y el cambio, lo que hace que si las matemáticas no hubieran sido descifradas por los griegos, la vida no sería tal cual la conocemos. El siguiente poema, de Mary O’Neill, nos explica muy bien lo que será la vida sin las matemáticas: No rulers or scales, No dates or numbers On house or street, No prices or weights, No determining heights, No hours running through Days and nights. No zero, no birthdays, No way to subtract All of the guesswork No inches or feet, A mí, como alumno de 5 grado, me gusta (como deporte que ejerce las matemáticas) la natación. Las matemáticas se aplican, por ejemplo, en la medida de la alberca, el ancho de los gogles, el cronómetro para checar mis tiempos; el reloj que me indica el tiempo que hice en ese mismo instante, o cuánto tiempo falta para hacer el siguiente ejercicio en el entrenamiento o la siguiente prueba en una competencia. Las matemáticas se aplican, también, en algo tan sencillo como la distribución por carriles de los nadadores. También me he dado cuenta, gracias a las matemáticas, qué tiempo hago; si lo bajé tanto como para ir por mi medalla, o para clasificar a una competencia más importante, o si lo subí y entonces debo trabajar más duro. Lo que me gusta de las matemáticas es que te hacen más inteligente. Si las utilizas podrías tener aun más éxito en la escuela o en la carrera. Podrías obtener una beca e irte a estudiar a otro lado y podrías tener aun más éxito en la vida. Quizás a ti no te gustan las matemáticas. Tal vez no te gustan por lo difíciles que a veces son, por los difíciles ejercicios en la escuela. Pero, aunque no lo creas, las gozas haciendo tu deporte favorito, tu activad favorita, cuando cocinas o cuando te entretienes con tu juego favorito. Si las matemáticas no existieran, no estarías aquí leyendo este artículo. Así que si no te gusta hacer los largos y aburridos ejercicios en la escuela, goza las matemáticas de la manera que todos sabemos: ¡disfrutándolas en cosas que nos gustan hacer a diario! ¡Gracias! THE SEP AND MATHEMATICS EDUCATION The SEP introduced a major reform in 1993 which had a lot to say about the teaching and learning of mathematics. The two principal purposes of mathematical education were defined as ga way of thinking h and ga tool for solving problems h. Important changes were proposed to teaching styles to include less emphasis on formal mathematics and a change of role whereby the teacher is meant to select, analyse and pose mathematical problems. Through the solution of problems, students learn mathematical notions and conventional procedures by: - exploring - trying different answers - establishing relationships - conjecturing - proving - validating The word problem is understood to mean a situation that presents a challenge for which the student does not have an immediate answer. Problems should: - be challenging - allow students to explore relationships between previously acquired concepts - contain elements that allow students to validate their conjectures, procedures and answers The more recent 2006 reform did not make significant changes in terms of syllabus content but did introduce the idea of competencies, identifying the following key mathematical competencies: - pose and solve problems - explain and justify answers - communicate information, results and conclusions - apply techniques effectively 81 ©Socorro Martínez Por Guillermo Pastor * Semana a semana los medios de comunicación nos arrojan estadísticas sobre los resultados de las diferentes jornadas de futbol. Es claro que los aficionados y conocedores aprecian sobremanera esta información. Sin embargo, en la presente nota veremos que las matemáticas se pueden emplear no sólo para describir los puntos, porcentajes de descenso y posibilidades de clasificar a la liguilla. Abordaremos específicamente un problema que todo aficionado mexicano se ha cuestionado con frecuencia: ¿estamos los mexicanos condenados a perder los juegos en las series de penaltis? Esta suerte de maldición nacional ha preocupado por supuesto a entrenadores y directivos del balompié mexicano. Sin embargo, las pláticas con psicólogos o viajes a Catemaco no han arrojado a la fecha resultados positivos. El uso de las matemáticas en la solución de problemas reales requiere del desarrollo de modelos. Así pues, debemos tomar en consideración y simplificar algunos aspectos a los que se enfrentan un tirador y un portero en un tiro penal. Una primera consideración es que al encararse, el tirador elige una zona de la portería a la que debe dirigir su disparo, mientras que el portero debe seleccionar una zona de la portería en la que intuye que será dirigido el balón y en la cual lo puede detener y evitar el gol. Estas elecciones representan las estrategias de los jugadores. Una vez que los jugadores eligen sus estrategias debemos evaluar la probabilidad de que el tiro resulte en un gol. Esta probabilidad depende claramente de las habilidades técnicas de cada jugador y nuestro modelo debe ser lo suficientemente * flexible para incorporar la destreza de los jugadores. Un tirador puede ser clasificado en relación a qué tan certero es su disparo. Un tirador certero y frío logra que sus disparos se desvíen muy poco de la meta que se propuso, mientras que los tiros de uno más torpe o más nervioso se desviarán mucho de su objetivo, llegando en ocasiones a enviar su tiro fuera de la portería. Con respecto a las habilidades del portero, investigadores de la Universidad de Greenwich trabajaron con el West Ham United de la Liga Premier y encontraron que el tirador que dispara el penalti emite señales (como la inclinación del hombro y de la pierna de apoyo) sobre cuál será la dirección de su tiro. Un portero hábil es capaz de interpretar correctamente estas señales y adivinar con frecuencia la dirección del disparo, y por el contrario, un portero menos diestro interpretará erróneamente las señales y será engañado en muchas ocasiones. Estas ideas se pueden formalizar matemáticamente y estimar así, con el apoyo de una computadora, la probabilidad de que el disparo resulte en un gol. Nuestro modelo es del tipo ‘piedra, papel o tijeras’. Esto es, suponemos que antes de realizar el disparo, el tirador elige la zona a la que lo va a dirigir, mientras que de manera independiente el portero elige la zona de la portería que va a cubrir. La única modificación a esta conducta decidida de antemano la realiza el portero, que a último momento puede cambiar un poco la zona que va a cubrir, de acuerdo con la lectura que hace de las señales del tirador. El objetivo del tirador es entonces encontrar una estrategia que le garantice una alta probabilidad de alcanzar el gol, mientras que por Investigador del Departamento de Matemáticas del ITAM y padre de Andrés y Julio Pastor Marván (exalumnos) su parte el portero busca que esta probabilidad sea lo más pequeña posible. Con una computadora es posible encontrar estas estrategias óptimas de cada jugador. Los resultados obtenidos de esta forma no son en realidad sorprendentes. El modelo indica que un tirador poco preciso o muy nervioso debe enviar todos sus disparos a media altura, y distribuirlos el 42% de las veces a la izquierda, el 42% a la derecha y el restante 16% tirarlo al centro. Al emplear estas estrategias la probabilidad de anotar es del 78%. Por otro lado, un tirador más hábil debe distribuir sus disparos enviando el 33% a cada uno de los ángulos superiores, el 14% a cada uno de los ángulos inferiores y sólo el 6% al centro a media altura. La probabilidad de que este tirador certero anote sube como es de esperarse, y alcanza ahora el 91%. Las estrategias óptimas que el modelo asigna a los porteros son semejantes, esto es, deben cubrir las zonas óptimas de los tiradores aproximadamente en las mismas proporciones. Sin embargo, un detalle interesante es que los resultados varían muy poco en relación con la capacidad del portero de interpretar correctamente las señales del tirador. De este ejercicio matemático podemos extraer algunas conclusiones: 1. No se debe dejar que el tirador elija en el último momento hacia dónde va a dirigir el disparo. El técnico debe dar recomendaciones específicas como las descritas en el párrafo anterior a cada tirador, de acuerdo con sus habilidades técnicas y nerviosismo. 2. No hay estrategias universales. Quizás a Pelé le funcionó el famoso ‘raso, con potencia y bien colocado’, pero ésta no es una estrategia que deba recomendarse a jugadores nerviosos. 3. Entre mejor sea el tirador al que se enfrenta, el portero debe tirarse a los lados sin esperar las señales con mayor frecuencia. 4. No se debe abusar de los tiros al centro tipo ‘Loco’ Abreu. Estos no deben exceder el 16% para los malos jugadores o del 6% para los certeros. 5. Aun con la ayuda del modelo matemático las recomendaciones óptimas involucran cierto grado de aleatoriedad: los disparos se deben distribuir de manera específica en ciertas zonas de la portería, y el portero debe a su vez tirarse también aleatoriamente a ciertas zonas de la portería. Aun cuando el modelo aquí descrito es muy sencillo y puede ser enriquecido con información más específica de los jugadores involucrados, muestra que las matemáticas podrían ser un elemento importante en la toma de decisiones estratégicas en la planeación de un juego. Por supuesto que no se requiere que los jugadores o técnicos sean expertos en matemáticas, pero ciertamente se podrían beneficiar si como parte de su equipo de asesores incluyesen a un matemático. Medidas como esta indudablemente contribuirían a que los mexicanos nos libremos de la maldición del penalti. Los conceptos y técnicas que nos permitieron investigar la problemática de un tiro penal forman parte de la Teoría de Juegos. Quizás la primera imagen de la teoría de juegos que nos viene a la mente es la de una mesera ofreciéndonos una copa de champaña en un casino de Las Vegas. Si bien esta imagen puede ser muy atractiva, por un juego se entiende una 83 situación de conflicto donde intervienen varios tomadores de decisiones, a los que llamamos jugadores, y donde además el resultado final depende de las acciones de cada uno de ellos. La teoría de juegos es una rama reciente de las matemáticas. Los primeros resultados surgieron a principios del siglo XX, pero se le reconoció como un área de investigación a fines de los años cuarentas, cuando comenzaron a aparecer las primeras aplicaciones en modelos económicos y militares. Es en este periodo inicial cuando John Nash, el matemático de la película ‘Mente Brillante’ publicó los resultados, que más adelante le valdrían el Premio Nobel de Economía. En la actualidad, la teoría de juegos nos permite analizar multitud de fenómenos entre los que podemos mencionar, a manera de ejemplo, el comportamiento de empresas en el mercado, el valor de la información en las transacciones económicas, el poder desproporcionado que pequeños partidos políticos pueden alcanzar, así como los diferentes comportamientos de individuos en algunas especies biológicas. ¿Significa esto que por medio de la teoría de juegos podríamos llegar a ser jugadores invencibles de póquer o de ajedrez? Si bien cualquiera de estos dos juegos puede modelarse por medio de la teoría de juegos, el número de estrategias que cada jugador puede emplear es tan grande que resulta imposible realizar un análisis completo. En el caso del póquer, los investigadores se contentan con el análisis de modelos simplificados donde el número de cartas es muy reducido y las apuestas posibles también son reducidas. De estos modelos simplificados se puede extraer información estratégica del juego. Por ejemplo, todos los modelos recomiendan el uso moderado de faroles (bluff). En cuanto al ajedrez, uno de los primeros resultados de la teoría de juegos asegura la existencia de estrategias óptimas para cada jugador. Sin embargo, no sabemos si las estrategias óptimas conducen siempre a la victoria del jugador de fichas blancas, siempre a tablas, o bien, siempre a que las negras ganen. De conocer estas estrategias, el juego de ajedrez sería tan aburrido como un juego de gato, donde los jugadores siempre empatan al seguir las estrategias óptimas. Así, el saber que existen estrategias óptimas para el ajedrez no tiene relevancia para el jugador serio de ajedrez, donde la astucia, conocimiento, agresividad y creatividad deciden una partida. MATEMÁTICAS EN EL CCH Más que privilegiar la memorización de un cúmulo de contenidos matemáticos (subdivididos en muchas ocasiones en múltiples casos y fórmulas especiales) y la repetición de definiciones o la práctica irreflexiva de algoritmos, el Colegio de Ciencias y Humanidades (CCH) interesa poner énfasis en - el significado y manejo de conceptos y procedimientos - el empleo de estrategias - la integración de conocimientos - el tránsito de un registro a otro y en el desarrollo de habilidades matemáticas, entre las que están: o Generalización (percibir relaciones, formas y estructuras; distinguir lo relevante de lo irrelevante y lo común de lo diferente); o Formalizar “Material Matemático” (operar con estructuras más que con el contexto de una situación, operar con numerales y símbolos, combinando reglas y estrategias); o Reversibilidad de Pensamiento (invertir una secuencia de operaciones o un proceso de pensamiento); o Flexibilidad de Pensamiento (disponibilidad para abandonar estereotipos o procedimientos en los que se ha tenido éxito para utilizar otros nuevos); o Visualización Espacial (percibir esquemas geométricos contenidos en otros más complejos, o bien adelantar mentalmente el tipo de figura resultante al aplicar algún movimiento o transformación a una figura dada). Para lograrlo, resulta importante que los alumnos interactúen de forma activa (organizando, sistematizando, comparando, clasificando, analizando, explorando, argumentando, aplicando, etc.) con la temática que van a conocer, de modo que además de favorecer una mejor comprensión de la misma, se les dote de herramientas intelectuales. Para ello, es de gran utilidad el uso de calculadoras graficadoras y de diversas versiones de software, entre las que destacan Excel, Derive, Cabri, Geometer Sketch Pad; mediante los cuales pueden diseñarse estrategias de aprendizaje que contribuyen a la búsqueda de significados, a la sistematización, a la exploración, a la formulación de conjeturas y al desarrollo de la imaginación espacial, entre otros. Por David Lamb de Valdés1 L a mayoría de nosotros, en algún momento de nuestra vida, en particular durante la infancia, ha asociado a las matemáticas con un pizarrón lleno de simbología ilegible. En un nivel ligeramente más sofisticado, percibimos a las matemáticas como un tema que le pudiera ser útil sólo a los alumnos que piensan estudiar, por ejemplo, física o ingeniería. De hecho, en mis tiempos de preparatoriano, en el sistema de prepa tradicional el ‘Área 1’ se llamaba popularmente “físico-matématicas” y sólo se inclinaban por ella los más ‘nerds’, mientras que él ‘Area 3’ (también conocida por todos en mi cohorte como ‘Playa 3’), relativa a las ciencias sociales y administrativas, la cursaban, en muchos casos, aquéllos que buscaban evitar las matemáticas complicadas, que no querían ser doctores (médicos) y que ‘no sabían pintar’.2 Sin embargo, creo que merece resaltarse que las matemáticas contribuyen a mejorar los niveles de vida de los individuos y las sociedades, no sólo porque se utilizan para el desarrollo de nuevas tecnologías o para la gestión de empresas: son una herramienta fundamental para mejorar los sistemas políticos. Esta, obviamente, no es una idea nueva, pero quiero aprovechar el espacio que amablemente me ofrece FULCRUM para compartir con ustedes, de manera breve e incompleta, mi visión al respecto. En mi opinión, para aspirar al aprovechamiento pleno de las potencialidades de una 1,- Licenciado en Economía por el ITAM y Maestro en Políticas y Administración Públicas por LSE. Actualmente labora en el Gobierno Federal como Secretario Ejecutivo de Compras y Obras de la Administración Pública Federal a la Micro, Pequeña y Mediana Empresa. Ex-alumno. 2.- Yo tuve la suerte de ser alumno del Lancaster y recibir, en mi opinión, una formación pre-universitaria de calidad tanto en matemáticas como en ciencias sociales gracias a la combinación de los sistemas de CCH y Cambridge. 86 democracia (esa que tanto trabajo le está costando nacer en nuestro país), es necesario contar con una sociedad civil, un electorado y un gobierno con un grado mínimo de competencias lógicas y matemáticas. A continuación explico por qué. Como todos sabemos, a grandes rasgos, el objetivo de una democracia es lograr que el gobierno represente, en la mayor medida posible, el interés de los ciudadanos. Asimismo, en una democracia los ciudadanos idealmente quieren entender el actuar del gobierno para poder juzgar si responde a sus intereses. Ello conlleva varias complicaciones, de las cuales quiero resaltar dos: - Casi siempre los ciudadanos son muchos. - Casi siempre los ciudadanos son muy diversos entre sí (tienen diferentes gustos, necesidades e intereses). Comencemos con un ejemplo simple, pero ilustrativo. ¿Cómo puede saber un gobierno si es conveniente construir una carretera para unir dos poblaciones? Recordemos, en primer lugar, que el gobierno no tiene una cantidad infinita de dinero. Aún si resolviéramos a la perfección todos los problemas de ineficiencia y corrupción del gobierno, éste tiene una cantidad limitada de dinero. Por lo tanto, tiene que tomar en cuenta que al construir la carretera de nuestro ejemplo, está dejando de llevar a cabo otras acciones que también podrían beneficiar a los ciudadanos. Volviendo a nuestro ejemplo, es indispensable saber, por lo menos, cuántos ciudadanos se verán potencialmente beneficiados por la construcción de la carretera. De entrada, requerimos combinar las matemáticas con la demografía para poder hacer la cuenta de los potenciales beneficiarios. Sin embargo, es improbable que todos los ciudadanos de ambas poblaciones quieran utilizar la carretera a diario. Por ende, se incrementa la necesidad de información estadística y demográfica: ¿A cuántos les conviene poder ir de una población a otra porque habrán conseguido un mejor trabajo en la población vecina? ¿A cuántos les conviene llevar sus productos a vender a la población vecina? ¿Cuántos días a la semana? ¿Cuántos habitantes de una población irán a visitar la otra como turistas? ¿Cuál será el beneficio de este movimiento de personas y mercancías? Estas preguntas se las debe hacer un gobierno que está construyendo una carretera como la de nuestro ejemplo. También se las deben hacer los ciudadanos que, con sus impuestos, pagan la construcción de la carretera, que se verán beneficiados por ella, y que se verán privados de otros beneficios en caso que se haya decidido construir la carretera. En este ejemplo, las cosas se complican de las dos maneras que señalábamos antes. Con muchos ciudadanos, tenemos que comenzar a pensar, por ejemplo, en la necesidad de carreteras de mayor capacidad. Mientras más diversos sean los ciudadanos, más diversa la utilidad de una carretera, y más variados los factores para estimar el valor que generará la construcción de la carretera en comparación con su costo en términos de los otros proyectos que se sacrificaron a cambio. Estas complicaciones, las preguntas hechas en el párrafo anterior, y muchas otras, se afrontan y responden con mayor éxito con el auxilio de las matemáticas. Para cualquier proyecto, el gobierno necesita recursos que obtiene recaudando impuestos. Ante ello, es relevante preguntarnos: ¿Cuántos impuestos debería cobrar el gobierno y sobre qué productos? Una respuesta sencilla, por ejemplo, podría ser: “Mucha gente compra televisores; que se cobren más impuestos a la compra de televisores para que aumente la cantidad de dinero que tiene el gobierno para construir carreteras, hospitales, escuelas…”. Sin embargo, la realidad no es tan benévola. Aumentar un impuesto de un bien es normalmente equivalente a aumentar el precio que el comprador paga. La economía nos enseña que, normalmente, a mayor precio, menos cantidad de un bien se compra. ¿Qué pasa si el gobierno incrementa demasiado los impuestos a los televisores? Supongamos, por ejemplo, que un televisor en particular cuesta 100 pesos, y el impuesto actual es de 5%, por lo que el comprador paga 105 pesos por su televisor. A ese precio, se venden 100 televisores al año, lo que nos da una recaudación de cinco pesos por cien televisores, es decir, quinientos pesos. Supongamos ahora que buscando recaudar más, el impuesto se incrementa a 50%. Por cada televisor se pagan 150 pesos, de los cuáles 50 pesos son impuestos. El problema ahora es, sin embargo, que a 150 pesos (un precio mucho más alto) sólo se adquieren 9 televisores. Ahora el impuesto recaudado es 50 pesos por 9 televisores, sólo 450 pesos, 50 menos que cuando el impuesto era de 5%. Saber cuántos impuestos se pueden cobrar por la compra de un bien o servicio sin disminuir la recaudación total requiere análisis matemáticos sofisticados que conllevan ciertos márgenes de error (ya que hace falta estimar conceptos económicos como las elasticidades de las demandas de muchos bienes y servicios). Estos análisis debe poder hacerlos el gobierno que cobra los impuestos, y debe haber por lo menos un número de ciudadanos suficiente que entienda estos análisis y las decisiones que se toman a partir de ellos, para que podamos saber si las medidas que toma el gobierno son las que más convienen a los intereses diversos de la ciudadanía. Volvamos a las complicaciones mencionadas antes. Por ejemplo, es más difícil cobrarle impuestos a un mayor número de gente. Asimismo, mientras más diversos sean los ciudadanos, por ejemplo, en sus niveles de ingreso, mayores consideraciones deben hacerse sobre cómo cobrar impuestos. ¿A todos los ciudadanos se les deben cobrar los mismos impuestos? ¿Se les debe cobrar más a los ciudadanos con mayor nivel de ingreso? Ante estas complicaciones, y muchas otras que pudieran surgir, las matemáticas ofrecen una herramienta útil para afrontar las decisiones que deben tomar los gobiernos y las sociedades de manera más informada y con mejores resultados. Finalmente, las matemáticas son útiles para los ciudadanos en una democracia no sólo porque permiten entender mejor el actuar y las decisiones del gobierno, sino que permiten entender mejor cómo los gobernantes llegan a ocupar sus posiciones. Por ejemplo, entender la metodología que se utiliza para la realización de encuestas electorales permite al ciudadano tener una mejor idea de qué tan confiables son, y saber si las tendencias que muestran se reflejarán o no en un futuro en políticas públicas que los beneficien. Asimismo, las matemáticas permiten entender mejor cómo los votos en una elección legislativa resultan en diferentes números de escaños para los diferentes partidos políticos, y en cómo esta distribución de escaños se reflejará en la emisión de leyes que nos regirán. 87 88 USE OF TECHNOLOGY Technology, in the form of calculators and computers can be a very powerful tool for developing mathematical thinking and problem solving. Rather than using gclosed h programmes designed to develop a specific concept or skill we prefer to use generic software that can be used in an exploratory way to help students answer their own questions and develop their conceptual understanding through experience. The emphasis is on the interactive nature of the situation and the control given to the student to explore gwhat if h scenarios. Here are some examples of how we use technology in school: equations, use different coordinate systems, calculate integrals and derivatives, produce statistical graphs, just to name a few features. Their usefulness is only limited by the imagination of the user. Dynamic geometry software Packages such as Geometer Sketchpad allow students to generate geometric constructions and explore the properties of the resulting figures. Conjectures can be made and tested and concepts can be represented visually and dynamically. Geogebra Graphic display calculator (GDC) Both the IGCSE and IB programmes encourage the use of the GDC for exploring mathematical situations and solving problems that cannot be solved analytically. Every year the Upper 6th go on a maths trip to Six Flags where they make measurements, fit models, calculate areas by integration and estimate gradients using the GDC. In the classroom the use of the GDC is encouraged where its use is appropriate; it does not replace mathematical thinking by the student but rather helps to develop conceptual understanding and expand the range of problems that can be solved. Spreadsheets (Excel) Spreadsheets have a wide range of uses but are particularly powerful for modelling, for developing algebraic thinking and for generating data. They can be used to model a given situation which can then be analysed and explored by the student in order to find general patterns and relationships simply by changing parameters in the model. They can also be used for studying asymptotic behaviour and limits, for fitting models to experimental data and for simulating data to test conjectures to name but a few applications. Graph plotting packages Powerful and easy to use packages like Autograph allow students to explore graphical behaviour and gain a deeper understanding of the properties of the functions being graphed. Students can experiment freely, discover patterns and relationships and make conjectures which can then be verified analytically. They can represent differential equations, vector Geogebra is a unique, powerful (and free) piece of software that combines the characteristics of dynamic geometry software with an algebraic interface, thus allowing students to analyse geometric and graphical behaviour algebraically and understand better the relationship between geometric objects and the algebraic forms that represent them in the Cartesian plane. The possible applications are limitless and constructions can be converted into applets that can be published and accessed from the internet. MyMaths MyMaths is an internet based independent learning platform that provides lessons and exercises for students on a comprehensive range of topics from Primary to 6th Form level. Every homework assignment is generated randomly so no two students get the same set of exercises. Exercises are marked instantly so students get immediate feedback and lessons are available for students who are having difficulty. It is an excellent medium for developing independent learning skills and is also a powerful assessment for learning tool. Rice Virtual Statistics Laboratory This package (available for free from Rice University) contains a whole range of simulations that can be used interactively to explore some deep statistical concepts such as sampling distributions, the Central Limit Theorem, confidence intervals, unbiased and efficient estimation and hypothesis testing. There are comprehensive explanations to accompany the simulations and some searching exercises that provoke reflection and test conceptual understanding. Dibujo enviado por Sofía De La Parra Alvarado F1 90 Dibujo enviado por Ricardo Rosendo G2B Dibujo enviado por Emma Lara G2B Dibujo enviado por Valeria López G4B Dibujo enviado por Manuel Ledezma G1y Dibujo enviado por Rolando G1Y Dibujo enviado por Mariana Martínez K2Y Dibujo enviado por Santiago Izeta Kelli U6 Dibujo enviado por Natalia Ramírez F2 Mamá: Descubrí a Pi Por Martha Zertuche* Un miércoles, hace muchos años ya, nos dijo la maestra María Elena: -mañana traigan a clase un hilo de cáñamo. Yo no sabía, a mis ocho años, qué era cáñamo y afortunadamente en un cajón de la cocina de mi casa lo encontré e intrigada lo llevé a la escuela el día siguiente. En clase, la maestra nos dijo: -con su compás dibujen cinco o seis círculos de muy diferentes tamaños; unos pequeñitos otros muy grandes y no olviden trazar el diámetro-. Yo no era ni soy buena dibujante, pero en cuarto año de primaria ya había aprendido cómo poner una pequeña equis en el papel, abrir el compás de acuerdo a la longitud del radio, con decisión trazar la circunferencia y, al final, dibujar el diámetro: la línea que va de un lado al otro de la circunferencia y que pasa por la equis que originalmente tracé. Ya que dibujamos los círculos, yo me seguía preguntando ¿para qué traje el hilo?... entonces la maestra nos indicó que cortáramos el hilo del tamaño del diámetro del primero de los círculos y que luego midiéramos cuántas veces cabía el hilo en la circunferencia. Lo hice y vi que cabía tres veces y… “un cachito”. Repetí el procedimiento para todos los círculos que había trazado. Con sorpresa comprobé que no importaba de qué tamaño era el círculo, el diámetro siempre cabía tres veces y “un cachito”. Todavía con dudas pregunté a mis compañeros de mesa y… ¡les pasó lo mismo! Fue entonces cuando la maestra María Elena nos explicó que esas tres veces y “un cachito” tenía un nombre: Pi, con un valor aproximado de 3.1416, que ha sido estudiado por muchos matemáticos y que, además, el número de decimales que seguían después del punto nunca acaban… Me invadió la emoción por encontrar una Licenciatura en matemáticas Mamá de Arantza (L6) y Ximena (exalumna) Yáñez Zertuche. * 91 92 regla tan perfecta y me intrigó mucho eso de que “nunca acaba” (pregunta a la que realmente encontré respuesta varios años después en la universidad) Ese jueves regresé feliz y muy emocionada a casa. En cuanto vi a mi mamá le dije: ¡¡hoy descubrí a Pi!! mi mamá, cual inteligente historiadora y no muy amiga de las matemáticas, me contestó: ¡que bien!, años después me di cuenta de que mi mamá no sabía bien de lo que le hablaba… Ese día fue mi primera incursión al mundo apasionante, armonioso, ordenado y con estructura perfecta, que, entre muchos adjetivos y cualidades, tienen las matemáticas. En quinto año de primaria, tracé sobre un cartón triángulos escalenos, equiláteros e isósceles y los corté en tres pedazos; de tal forma que cada parte contuviera uno de los ángulos del triángulo y luego junté las tres partes para comprobar una y otra vez que: la suma de los ángulos del triángulo formaban un “medio círculo” es decir 180 grados. También dibujé los cuadrados que se pueden construir sobre los catetos e hipotenusa de un triángulo rectángulo y con papel lustre de colores pegué todos los cuadritos de 1 cm por 1 cm que cabían en cada uno de los cuadrados. Al contar todos los cuadritos de colores comprobé el conocidísimo teorema de Pitágoras: la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos, es igual al cuadrado construido sobre la hipotenusa. Con éstas y muchas otras maravillosas experiencias fue que decidí, a mis nueve años de vida, ser matemática. Desde luego que esta pasión no implica que todo el mundo deba compartirla, pero creo que todos necesitamos de las matemáticas porque nos enseñan a tener un pensamiento estructurado, a relacionar ideas, a comprender al mundo de forma organizada, a seguir procedimientos paso por paso, a descomponer un enorme y complicado reto, en pequeñas partes que se pueden resolver. Estoy consciente de que hay diferentes tipos de inteligencia o facilidades para desarrollar habilidades que ayudan a comprender ciertos conocimientos. Por eso creo que no a todos les gusta aprender matemáticas o, que a otros, se les dificulta. Además, creo que gran parte del problema radica en la manera en la que se enseña esta asignatura; el aprendizaje se otorga sin experimentar, de forma mecánica y, sobre todo, sin comunicar su esencia: razonar y construir. Soy inmensamente feliz y afortunada por desarrollar mi actividad profesional en el terreno de las matemáticas aplicadas: la estadística. 93 Bryan Slaven* M y Pacific Island adventure starts on a miserable rainy day in London 1996.The meeting with the VSO placement officer is interesting if not too informative. She asks me how I feel about being isolated and I reply that in the past I had been unemployed and had felt pretty isolated. She then said that there was a two year placement in a tiny pacific island country. I asked her where it was and she replied that she could not remember and this answer was to set the tone for the rest of my life. It turned out that my new home would be on the island of Vaitupu an outer island of Tuvalu. At the time of hearing this news I was ecstatic and had visions of the musical South Pacific where a man is washed right out of her hair. After a 26 hour flight from Glasgow, London, LA, Honolulu, Nadi, Suva, (the last leg of my first ever flight aged 30 was with Sunflower Airlines), 5 days in Fiji to get over the jetlag, a white knuckle ride on a bus from Suva to Nadi, another 4 hour flight to Funafuti (island of bananas) and a 12 hour boat trip ,we landed on Vaitupu to find precisely NO ONE, we hauled our luggage 1km in over 100 degrees Fahrenheit to the school and found them in the middle of sports day the staff completely forgot that we were arriving. We proceeded to dump our luggage and head down to the most beautiful turquoise lagoon for the swimming competition. * Maths teacher. Upper School. Diligencias site They had marked out a 20m course in the middle of the lagoon and the students had to complete 1 length without drowning. The exercise was one of survival, the only swimming stroke in evidence was the doggy-paddle no breaststroke, crawl or butterfly only serious thrashing of the water. The irony of these students living on a tiny atoll surrounded by the vast Pacific Ocean and unable to swim properly left me slightly bewildered and a little amused. One of the first of many confusing classroom experiences was when attempting to explain something on the blackboard and then asking do you understand? only to be met with complete silence, after rephrasing my explanation twice more and again asking the question still silence after the 4th attempt realization struck me like a lightning bolt, every student had raised their eyebrows simultaneously when asked the question do you understand? And commonly this means yes. Latterly I found out that it can also mean no. It seems that sometimes speaking requires too much energy and it’s easier to raise your eyebrows. Having just graduated from teacher training college that year I did not expect the request; will you be head of the maths department? Especially after only 3 months in country. At the time my pay was 620 pesos a week and accepting this promotion 94 preference was to put the top section with the bottom section nd th rd th the 2 with the 5 and the 3 with the 4 .This meant classes of 64 62 and 59. These lessons took place in a maneapa (a meeting house) which had no walls and was 2m from the beach. There was 64 barefoot students sitting cross legged on the floor,32 of whom had a good grasp of English and mathematics, and 32 who had no idea what I was rabbiting on about. I had a blackboard 1m by 0.5m and a piece of chalk it was a real struggle to be heard over the sound of the waves crashing against the shore. was not going to change anything except of course the extra responsibility and work. My first and last departmental meeting was a very short affair due to the fact that I was the only person to say anything, all my attempts to get the local teachers involved in the discussion was painful and fruitless as they were incredibly shy, after that everything was done one to one. The promotion turned out to be a blessing in disguise, the task of making tests I found surprisingly enjoyable and the fact that English is the second language meant that to be fair to my students my maths tests focused on the maths rather than the language ,my tests were therefore minimalist in appearance. The next problem was marking and the idea of delegation was not one of my best. The Tuvaluan teachers looked at the answer and if it was wrong they proceeded to wield their red pen a la Zorro, on remarking some students marks went up by 35%.This was not due to the malicious nature of the teachers just the fact that the new methodology had not reached them yet. At some point in my contract there was a serious shortage of teaching staff and the principal decided to merge 6 classes into 3 which seemed like the obvious solution but his own One lovely incident happened as a result of teaching differential calculus. In my introduction I stated that a lot of people find calculus a very difficult topic and I went on to say that it was easy in fact “it’s a piece of cake”. Weeks later I was refereeing the final of the junior football competition and one house was winning easily as the final goal was scored 200 students shouted “IT’S A PIECE OF CAKE”. Finally, some people say you should never go back, I did, and was met by many ex students who wanted to thank me for teaching them. One boy now a man told me he had been inspired by a lesson I did on bearings and navigation and now he is a navigator on an Australian Navy boat and one woman who told me that as a result of my teaching she became the first woman in Tuvalu to work in air traffic control, reduced to tears but truly living in paradise. ENLACE La prueba ENLACE, como todos los exámenes estandarizados, se tiene que tratar con precaución. Cuando se trata de comparaciones públicas entre escuelas es muy fácil perder de vista las necesidades de los alumnos y enfocarnos en la “reputación” de la escuela. Cuando esto sucede, se desvía el propósito fundamental de la educación que la escuela pretende ofrecer y los alumnos se convierten en un medio para un fin institucional en lugar de ser ellos mismos el fin del proceso educativo. También, hay una tendencia de enfocar en la mecanización en lugar de la comprensión, enseñar para el examen y premiar la respuesta correcta sobre el método. Por último, exámenes de este tipo están limitados a evaluar sólo el aprendizaje que se puede medir con un examen de opción múltiple y dejan fuera muchos otros aprendizajes muy valiosos. A pesar de todo lo anterior, el examen tiene sus bondades. Las preguntas están bien planteadas y las respuestas incorrectas permiten identificar errores de comprensión. Además, los resultados tienen mucho detalle que permite diagnosticar problemas a nivel individual, grupal y escuela, lo cual nos ayuda mucho. Por lo tanto, la postura de la escuela es que el ENLACE es un indicador útil que nos ayuda a mejorar nuestra enseñanza y que sirve para fines diagnósticos pero sacar la mayor puntuación posible no es un objetivo de la escuela. Dibujo enviado por Annia Garzón F1 Dibujo enviado por Andrea Sanllán F2 Dibujo enviado por Alejandro Orellana F2 95 Rellenar todas las casillas vacías con números del 1 al 4 (sólo un número en cada casilla): un número solamente puede aparecer una vez en cada fila, columna y región (recuadro) 97 Rellenar todas las casillas vacías con números del 1 al 9 (sólo un número en cada casilla): un número solamente puede aparecer una vez en cada fila, columna y región (recuadro). 98 Sudoku tablas de multiplicar (multiplication tables) 1,2,5,10. Problema de los sacos del molinero Un molinero tenía unos sacos de harina marcados con diferentes números. Un día los colocó en el siguiente orden; tres juntos en medio, dos a ambos lados y uno a cada extremo. De esta disposición resultó algo muy curioso en cuanto a los números. Si multiplicamos el número formado por las cifras correspondientes a los dos sacos de la izquierda, 28, por la cifra del saco del lado, 7, obtendremos 196, esto es, el número formado por los tres sacos del centro. Pero si hacemos la misma operación con las cifras de los otros dos sacos de la derecha, 34, y la del lado, 5, el resultado no será el mismo. Ahora bien; el problema de los sacos del molinero consiste en colocar los nueve sacos, moviéndolos lo menos posible, de modo que, multiplicados los números de dos cifras por los de las esquinas, den siempre el número del centro. 99 Los problemas expuestos a continuación pueden realizarse con palillos o alfileres, con tal de que todos sean de la misma longitud. 1.Tómense 16 palillos y colóquense de modo que no hagan más que nueve. 2. Colóquense quince de modo que formen cinco cuadrados iguales, como se representa en el dibujo.Y quítense luego tres de manera que sólo queden tres cuadrados. 3. Tómense nueve palillos y colóquense de modo que hagan tres docenas. 4. Tómnese tres palillos y colóquense de modo que hagan cuatro. 5. Colóquense tres cerillas de forma que hagan seis. 6.- Pónganse 17 palillos encima de una meso, de modo que conformen seis cuadrados como se representa en el dibujo y luego, quitando cinco tienen que quedar tres cuadrados solamente. 7. Coloquen doce palillos formando cuatro cuadrados, como se observa en el dibujo; luego, quitando cuatro colóquense otra vez de modo que todos hagan tres cuadrados de las mismas dimensiones que los primeros. 8. Colóquense 17 palillos de manera que formen seis cuadrados, como se representa en el dibujo. Quítense seis, dejando solo dos cuadrados. Soluciones en la siguiente página 101 Cómo se puede medir un árbol con un espejo Hay varias maneras de medir la altura de un árbol, de una torre o de un edificio, pero una de las más sencillas se realiza con un espejo ordinario. Alejándonos un tanto del objeto a medir, colocaremos en el piso el espejo, según se indica en el dibujo en que A B es la torre y C es el espejo. Luego nos apartaremos del hasta ver reflejada en su fondo la punta de la torre, edificio, árbol, etc. Hecho esto, mediremos la altura de nuestros ojos, D, desde el suelo, E; la distancia E a C y la de C a B. Para obtener ahora la altura de la torre, plantearemos la siguiente proporción:CE es a ED, como CB es a BA. Ahora; como conocemos tres de las medidas, fácilmente hallaremos la cuarta. Si por ejemplo, la distancia de los ojos al suelo es de metro y medio, y uno ochenta de los pies al espejo, cuando miramos la reflexión del punto A; y, si por otra parte la distancia del pie del objeto a medir al espejo es de siete metros veinte, la altura del objeto será de seis metros. Al colocar el espejo en el suelo es esencial que esté completamente horizontal y nivelado. A falta de espejo, podemos reemplazarlo por una cacerola o bandeja oscura llena de agua y perfectamente tranquila. En este último caso bastará ver reflejada la punta del objeto a medir en la orilla del agua. 103 Resuelve 1.-Es un número de tres cifras; las tres son iguales: La suma total de todas ellas da 9. la suma de todas ellas da 3. No acaba en 0. 3.- Es un número de cuatro cifras. La 1ª y la última son iguales y suman 6. Las dos de en medio son iguales y suman 8. 4.- Es un número par de tres cifras: Las tres son consecutivas; la cifra de las centenas es el doble que la de las unidades. 5.- Es un número par de tres cifras: La cifra de las centenas es el doble que la de las decenas y ésta es el doble que la de las unidades. (Respuestas (142,102, 3443, 432, 842) 104 2.- Es un número par de tres cifras: Descubre Tu Biblioteca 106 Poskitt, Kjartan. More Murderous Maths.Oxford, Scholastic, 1998. 159 p. Is maths making you miserable? Are you frightened by figures and scared stupid by speed? Or maybe you’ve already found out about Murderous Maths. Even if you haven’t, get ready to discover some More Murderous Maths. Find out how to escape the evil clutches of Professor Fiendish, why maths could save us from the utter destruction of life on Earth, and meet perilous Pythagoras, who got so upset about maths that he murdered someone. Plus, One Finder Jimmy and the rest of the gang are here to show you just how catastrophically dangerous maths can be. Tahan, Malba. El hombre que calculaba. México, Limusa, 1986. 227 p. Unir lo útil con lo deleitable ha sido siempre la máxima preocupación de los pedagogos. Entre los intentos que se han hecho, ninguno tan feliz como este libro ameno, repleto de curiosidades que enseñan deleitando. Problemas que, a primera vista parecen insolucionables, son resueltos con lógica deducción por diversos sistemas que no son, en manera alguna, trucos; antes bien, se asientan en conocimientos matemáticos fáciles, ciertos e indiscutibles. Murphy, Stuart. J. Ready Steady, HOP! London, Collins, 1996. 31 p. How many hops does it take? Cheer for two frog friends as they complete to see who needs to take fewer hops to win. By the end of the book you`ll know how to build a simple equation and who`s the better hopper! Now, hop to it! Murphy, Stuart. J. The Best Holiday Ever. London, Collins, 1997. 31 p. Does your family need a holiday? This family does, but they don`t know where to go. Read and find out how they collect data and make charts to determine a location for the best holiday ever – it may be closer than you think! Tang, Greg. Math Fables. New York, Scholastic, 2004. 39 p. Whimsical math stories that give young learners a head start on the road to higher math. More than just a counting book, it begins building the foundation for arithmetic and problem solving by encouraging children to think about numbers in creative ways. Tonda, Juan y Noreña, Francisco. Los señores del cero. México, Pangea. 1991. 59 p. Echemos una mirada a la ciencia del nuevo milenio. En órbita sobre la Tierra, en una nave espacial, germinan semillas de amaranto. En un moderno laboratorio europeo se experimenta una nueva técnica de soldadura. Los países de tecnología avanzada investigan plantas medicinales mexicanas. Un grupo de científicos soviéticos descifra, con complejas computadoras, los glifos mayas. Un centro dedicado a la investigación del espacio, en Estados Unidos de América, analiza los calendarios mesoamericanos con ayuda del llamado “reloj atómico”. Ésta es, en verdad, la ciencia de hoy, del momento en que más lejos ha llegado el hombre en el conocimiento y la tecnología. Pero curiosamente es también ciencia del ayer, desarrollada por nuestros antepasados indígenas y olvidada por las grandes corrientes del saber durante más de cuatro centurias. En efecto, las civilizaciones en Mesoamérica desarrollan un complejo conjunto de técnicas, utensilios y conocimientos que apenas hoy, tras siglos, estamos aprendiendo a revalorar. 107 Descubre Tu Biblioteca 108 Skiena, Steven. Calculated Bets: Computers, gambling, and mathematical modeling to win. Cambridge, Cambridge University Press, 2001. 232 p. Calculated Bets is the story of a gambling system that works. With humor and enthusiasm, the author tells how he used computer simulations and mathematical modeling techniques to predict the outcome of jai alai matches and bet on them successfully – increasing his initial stake by over 500% in one year! His system can work for anyone: at the end of the book he tells how to watch jai alai and how to bet on it. He also shows how his jai alai system is similar to a miniature stock trading system. Do you want to learn about program trading systems, the future of internet gambling, and the real reason brokerage houses don’t offer mutual funds that invest at racetracks and frontons? How mathematical models are used in political polling? The difference between correlation and causation? If you are curious about gambling and mathematics, odds are this book is for you. Universidad Autónoma Metropolitana. Cosmos, Enciclopedia de las ciencias y la tecnología en México: Matemáticas. México, UAM, 2009 La matemática, en su amplio contexto, es una ciencia desconocida por gran parte de la sociedad mexicana y requiere ser difundida. Es el propósito de los autores de este volumen: dar una idea a un público más amplio de su quehacer, de su objetivo de estudio, de sus técnicas y de su utilidad. Es por lo anterior que, la mayor parte de los capítulos, están escritos de manera accesible, con la intención de que todo lector, aun aquellos sin una rigurosa formación, pueda conocer y comprender más sobre esta ciencia. Para el estudioso o especialista de la materia, ofrecerá aspectos novedosos que les permitirán recrearse, una vez más, de la belleza de sus argumentos. Matemáticas durante el virreinato Álgebra Análisis matemático Geometría Tendencias actuales en matemáticas Reid, Constance. Del cero al infinito: porqué son interesantes los números. México, Consejo Nacional para la Cultura y las Artes, 2008. 151 p. Ladrillos que sustentan el edificio matemático, los números distan de constituir un conjunto uniforme: como los individuos de una sociedad, muestran propiedades e idiosincrasias que los distinguen entre sí como un copo de nieve de otro. Constance Reid, biógrafa de matemáticos notables, se muestra en este libro como igualmente aguda “biógrafa” de guarismos y presenta unos retratos, admirables y sintéticos, de cada uno de los números naturales, que constituyen un pretexto para abordar grandes temas matemáticos: desde el 0, esa nada que lo dice todo en la notación posicional, y el perfecto número 6, hasta el 7 de graves consecuencias geométricas, y el 9, cuya Mazur, Barry. Números imaginados (en especial la raíz cuadrada de -15). México, Consejo Nacional para la Cultura y las Artes, 2008. 191 p. Todo el que se haya enfrentado a un poema o un escrito matemático –o que conozca a uno de esos raros ejemplares de humanidad que son los poetas y los matemáticos– sabrá hasta qué punto la imaginación creativa es elemento primordial de ambas disciplinas. Sin embargo, no todos reconocen fácilmente que la imaginación matemática pueda parecerse a la poética. A partir de ejemplos literarios –Shakespeare, Kafka, Rilke, Elaine Scarry– y matemáticos –en especial el trabajo de los sabios renacentistas italianos y su afán por lograr una interpretación geométrica de los números complejos–, Barry Mazur emprende precisamente ese acercamiento: en qué se parecen el proceso de escribir poesía y el de lograr una demostración matemática, así como el acto de leer una u otra cosa. Ya se trate de asimilar una frase como “el amarillo del tulipán” o de imaginar la raíz cuadrada de –1, lo que sorprende no es sólo cómo trabaja la mente creativa, sino la permanencia histórica de sus frutos más exquisitos. Osserman, Robert. La poesía del universo: una exploración matemática del cosmos. México, Consejo Nacional para la Cultura y las Artes, 2009. 180 p. ¿Qué forma tiene el universo? La historia y la evolución de las respuestas que la humanidad ha dado a esta pregunta son fascinantes no sólo por el ingenio de quienes las propusieron, y por sus enigmáticas consecuencias, sino porque en el camino ha ido cambiando la noción misma de universo. De lo que nos dicen los sentidos a lo que explica nuestra mente –es decir, de la Tierra plana al espacio tetradimensional curvo– se ha recorrido un gran trecho, empedrado de prejuicios y dificultades conceptuales y, en ese avance, la geometría ha sido uno de los indudables protagonistas. Este libro recoge el devenir de las principales ideas matemáticas que han permitido a los astrónomos dar cuenta de la forma de universo, por lo que aquí aparecen algunos de los más audaces pensadores matemáticos –de Euclides a Mandelbrot–, cuyas ideas, y a menudo sus vidas, deleitarán al lector, pues Robert Ossermand logra transmitir la emoción y el poder de las ideas matemáticas que conforman el núcleo de la cosmología moderna. Beckmann, Petr. Historia de π. México, Consejo Nacional para la Cultura y las Artes, 2006. 167 p. En su redonda belleza, el círculo aloja uno de los conceptos más célebres de las matemáticas. Aquí, el lector recorrerá más de cuatro milenios de la vida de π el número irracional más famoso de la historia, deteniéndose en varios momentos, conceptos y personajes, los avances en: Babilonia, Egipto, China y América; la matemática griega, sobre todo Euclides y Arquímedes; el letargo de la edad media; los esfuerzos de los cazadores de dígitos; Isaac Newton y el nacimiento del cálculo; Leonhard Euler y su prolífico talento; la naturaleza de π como número trascendente y la era de las computadoras. Esta obra conoció su primera edición en 1971. Si bien de entonces a la fecha la matemática ha dado enormes pasos, el valor de este libro no estriba en estar al día sino en su chispa discursiva y sus enunciados categóricos, en la gracia con que se exponen las ideas y los métodos, el progreso y los fracasos de los matemáticos de carne y hueso. Por ello sigue siendo vigente esta historia, capaz de despertar en el lector sorpresa y aun fascinación por el número que expresa la razón entre la circunferencia y el diámetro. 109 Maor, Eli. e: historia de un número. México, Consejo Nacional para la Cultura y las Artes, 2006. 214 p. Descubre Tu Biblioteca 110 La naturaleza parece saber más matemáticas que los seres humanos, pues muchísimos fenómenos x se comportan como si siguieran los dictados de la función exponencial e . En el corazón de ese comportamiento está un número cuya presencia se extiende desde la física hasta las artes plásticas, desde n la ingeniería hasta la música: e, el número irracional que es límite de (1 + 1/n) cuando n tiende a infinito. La invención de los logaritmos hace unos tres siglos le abrió la puerta del reino de las matemáticas y desde entonces supo llamar la atención de los grandes matemáticos, como Newton o Euler. Eli Maor muestra en esta obra cómo e despertó la curiosidad de las mentes más perspicaces, al plantearles retos como el de la cuadratura de ciertas superficies, y cómo se ganó un lugar de privilegio en el cálculo diferencial e integral, entre otras cosas por el hecho de que la exponencial es la única función cuya derivada es igual a la función original. Esto llevará al lector a conocer, con rigor pero con sencillez, conceptos nada triviales como el límite y la derivada, los números complejos, las funciones hiperbólicas y los números algebraicos y trascendentes. Nahin, Paul J. Esto no es real: la historia de i. México, Consejo Nacional para la Cultura y las Artes, 2008. 262 p. Hoy los números complejos casi forman parte de las matemáticas elementales. Sin embargo, su entrada en el corpus de esta disciplina fue dificultosa, pues entrañan una idea difícil de asimilar: la raíz cuadrada de –1, denotada por i. En este libro se recorre la historia del descubrimiento y posterior estudio de este concepto, desde las primeras tentativas, en tiempos de los faraones egipcios, por enfrentar a los números que por error seguimos llamando imaginarios, pasando por los escarceos de los matemáticos griegos y las conquistas renacentistas, hasta los hallazgos del cartógrafo noruego Caspar Wessel, de Carl Friedrich Gauss –El Príncipe de las Matemáticas–, del fecundo Euler; el texto remata con una accesible introducción a la teoría de las funciones de variable compleja. Nahin explica con detalle las nociones matemáticas y las entreteje con fragmentos de historia, unos bien conocidos y otros que el autor rescata y revalora. Y además se muestra cómo un concepto de apariencia tan extraña se ha ganado un lugar inobjetable en disciplinas como la ingeniería o la astronomía, y aun entre los divertimentos matemáticos. Kasner, Edward y Newman, James. Matemáticas e imaginación. México, Consejo Nacional para la Cultura y las Artes, 2007. 256 p. Jorge Luis Borges supo que: “un hombre inmortal, condenado a cárcel perpetua, podría concebir en su celda toda el álgebra y toda la geometría”. Esta escueta parábola, que tiene todo el sabor de los relatos del escritor argentino, resume el poder de la imaginación cuando se aboca a las matemáticas: con suficiente tiempo, todos seríamos capaces de reconstruir la ciencia de los números. Matemáticas e imaginación no aspira a tanto aunque sin duda logra algo más esquivo: despertar la curiosidad del lector. Este libro clásico, publicado hace más de medio siglo y desde entonces leído y admirado por generaciones de personas interesadas en las delicias del pensamiento lógico –entre ellas, por supuesto, el autor de El aleph–, es un luminoso recorrido por campos tan diversos como la topología, las geometrías no euclidianas o la aritmética del infinito. Con excepcional talento didáctico y una prosa clara, Kasner y Newman nos invitan a conocer algunos de los conceptos más inusuales y ricos de la matemática, así como el modo en que trabajaba la mente de algunos de sus más conspicuos practicantes. Estamos seguros de que, con esta nueva edición, se mantendrá vivo el ánimo seductor con que fue concebido este tributo a las matemáticas y a la imaginación. Koestler, Arthur. Los sonámbulos: origen y desarrollo de la cosmología. México, Consejo Nacional para la Cultura y las Artes, 2007. 491 p. ¿Por qué el sistema solar es como es? Esta pregunta de aspecto inocente encierra una enorme complejidad: la danza de los planetas, como verá el lector al asomarse a esta historia de las cambiantes concepciones del universo, sigue una coreografía que ha intrigado (y deleitado) a los hombres desde que detectaron que, allá arriba, los astros no están inmóviles. De Babilonia a Newton, con especial atención en Kepler, esta atípica exposición de las ideas cosmológicas –basadas en la geometría, los registros numéricos, el cálculo diferencial– es una mezcla de biografía, historia intelectual y osados juicios estéticos sobre diversas doctrinas filosóficas. Arthur Koestler, que se permite licencias que un historiador ortodoxo no se concedería, exhibe aquí sus dotes de novelista y autor de ensayos, de periodista que hace un reportaje sobre el pasado más remoto, de pensador que aprecia los aportes del intelecto, venga de donde vengan. Porque Los sonámbulos ha estado fuera del mercado por más de una década, aunque se cita con frecuencia entre divulgadores de la ciencia, historiadores e incluso literatos, estamos seguros de que esta nueva edición alegrará a quienes siguen maravillándose por los movimientos estelares y sus consecuencias intelectuales entre los seres humanos. Who is Who in the Lancaster 112 Who is Who in the Lancaster ©Socorro Martínez 113 Teresa Rojas Sánchez Aux. de Intendencia del plantel Diligencias Hola soy Teresa Rojas Sánchez. Nací en el Distrito Federal el 7 de agosto. Soy casada. Tengo cuatro hijos: Xitlalli de 17 años, quien estudia el 5º semestre de bachillerato; Yidli de 16 años, quien estudia el 1er. semestre en el CONALEP; Alejandro de 14 años, quien estudia 3º de secundaria y Roberto de 5 años, quien estudia preescolar 3. Mi esposo se llama Maximino. ¡Esta es mi familia! Estudié la secundaria y tuve que trabajar para sacar adelante a mis hijos, aunque sí me gustaría seguir estudiando, por lo menos la preparatoria o saber más sobre computación. Bueno, eso sería más adelante. He tenido varios trabajos. Por ejemplo: estuve en una fábrica de serigrafía, en una empresa de polvorones, en una cocina de mesera y, antes de trabajar en la escuela de Lancaster, trabajé en una escuela que se llama Montesorri Unión; ahí trabajé en intendencia cuatro años y un día me dijeron que había terminado mi contrato y así me quedé sin trabajo. Eso fue el 2 de julio de 2008. Al día siguiente decidí buscar trabajo y fui dejando solicitudes en las escuelas del rumbo. Ya había caminado mucho y la última solicitud la dejé en la escuela de Lancaster y me dijeron que si había oportunidad me hablaban. Mientras, vendí elotes y chicharrones preparados afuera de mi casa. Empezando el ciclo escolar 2008-2009 me habló el Sr. Quijano y me preguntó que si quería trabajar, pero sólo por tres meses cubriendo una incapacidad y le dije que sí. Entonces, al día siguiente, me presenté con la Sra. Consuelo para que me entrevistara y así comencé mi interinato. Cuando este primer contrato concluyó, enseguida cubrí otra incapacidad en Rey Yupanqui. Eso fue de diciembre de 2008 a febrero de 2009. Después me dijeron que me hablarían otro día y sí, me hablaron. Eso fue en marzo de 2009 y desde entonces estoy aquí en Lancaster. Espero seguir muchos años así como doña Carmen. Esto es un poco de mi historia y de cómo llegué a la escuela en donde me he sentido a gusto. Les mando muchos saludos. 114 Cintia Aurora Del Cerro Arenas Auxiliar Contable en el plantel Diligencias Dicen, los que saben, que el día en que yo nací nacieron todas las flores y en la pila del bautismo cantaban los ruiseñores… no sé si sea verdad, pero, de lo que sí estoy segura es que yo nací un día de las mulas el 6 de junio de 1985 en la Ciudad de México. Soy orgullosamente politécnica, egresada de la ESCA de Tepepan en la carrera de Contador Público y estudiante de inglés en el CELEX de la ESIME Culhuacán, me gustan las fiestas, me encanta bailar, odio la impuntualidad y que la gente tire basura en las calles, soy fan de las Águilas Blancas del IPN y del Cruz Azul en el soccer… o ¿acaso hay otros?; fiel a Paulo Coelho y recientemente John Katzenbach, amante del cine y sobre todo al teatro. Vivo con una mujer excepcional, mi amiga, cómplice y paño de lágrimas (mi madre) con mi hermana y mi sobrino, disfruto mucho el tiempo que paso con ellos y ellos saben que siempre tendrán mi amor y apoyo incondicional. Las otras partes que complementan mi ser son mi pareja y mis amigos, personas grandiosas que me han apoyado siempre para que lleve a cabo las decisiones importantes de mi vida sin temor, con las que he vivido muy gratas experiencias y concluido etapas importantes de mi propio desarrollo humano, que quedarán marcadas para siempre en mi memoria. Una de mis pasiones en la vida es viajar, conocer lugares donde pueda disfrutar, desde un buen masaje en un spa, hasta realizar actividades un tanto extremas como acampar, practicar rappel y tirolesa así como rafting. Who is Who in the Lancaster Ésta última, ha sido la experiencia que más ha hecho vibrar mi cuerpo lleno de adrenalina, pues recuerdo que mi novio y yo decidimos embarcarnos en una nueva aventura, practicar rafting en Cuernavaca. De esta primera experiencia también recuerdo que en una de las vueltas de los rápidos, a mitad del río por el cual explorábamos, estaba formada una piedra, misma que por la inexperiencia, aunado a la velocidad que llevábamos no pudimos esquivar, golpeando el kayak contra la piedra volteándonos y quedando sumergidos durante unos segundos bajo el agua. Fueron los instantes más largos de mi vida, pues el kayak había quedado sobre mí y no me permitía salir a la superficie hasta que de pronto tomé conciencia de lo que estaba pasando, traté, dentro de lo que pude, de calmarme y en un instante de lucidez, aventé el kayak quedando por fin libre para respirar. Recuerdo haber visto la cara del guía y lo primero que pregunte fue: -¿y mi novio, ya salió? ¿dónde está? ¡él no sabe nadar! A lo que el guía muy calmado me respondió: - allá se encuentra - y cuando volteé la mirada, él estaba no solo agarrado, sino pescado literalmente de manos y piernas, de otra piedra donde el agua era más tranquila. Esa imagen nunca la olvidaré porque ahora que lo pienso (ya después de tiempo) fue muy graciosa, sin embargo, creo que ya estoy preparada para la siguiente parada... los rápidos de Veracruz pues me atrae mucho la idea de poder, al tiempo que recorres el río, admirar su selva húmeda tropical y la arqueología que se encuentra en la zona. Cambiando de tema radicalmente, en el nivel medio estudié Administración en un CETIS, y terminando hice dos exámenes ya fuera para la UNAM o el IPN y como no quedé en ninguna de las dos decidí empezar a laborar formalmente. Mi primer trabajo lo obtuve cuando tenía 18 años de edad y lo realicé en una agencia aduanal como auxiliar contable, ahí, yo era la más pequeña (la verdad era que me consentían mucho) Aunque mi jefe, en ese entonces, me siguió presionando para no desistir en mi empeño de seguir haciendo exámenes para ingresar al nivel superior. Así fue como me inscribí a un curso en el CONAMAT y presenté nuevamente exámenes de admisión para las dos casas de estudios (IPN y UNAM) Mi sorpresa fue enterarme de que me admitieron en la UNAM, pero aunque mi sueño era hacer una carrera, no estaba convencida del todo en quedarme dentro de esta institución; sin embargo, entregué mis papeles y me inscribí, de hecho, hasta horario tenía. Entonces, de un momento a otro, decidí irme de viaje con unos amigos y, sin perder la esperanza, estando lejos, consulté los resultados del IPN. Afortunadamente fui admitida en esta otra institución (además de que era mi más grande deseo) por ello, mi satisfacción fue mucha, pues había logrado quedarme por fin, dentro del IPN. Ahí la cosa se complicó un poco, pues para inscribirme me pedían los mismos papeles que yo ya había entregado a la UNAM, saqué un duplicado de todos los papeles pues ya no me los quisieron regresar y al fin después de dos años y seis exámenes, estaba dentro. Ahora, se suponía que todo iba a ser mejor, ¡pero no!, el destino tenía preparado para mí otro cambio porque la escuela me quedaba lejos, además de que, el mismo jefe quien me dio su apoyo para que continuara con mis estudios profesionales, ahora me decía que no podía dejarme salir temprano por política de la empresa. Entonces, decidí entrar a otra agencia en la que trabajaba medio tiempo (de la que tengo muchos y muy buenos recuerdos) Pasados dos años, salí de ahí, pues mi amiga Lore, ¡sí, esa misma Lore! que trabaja aquí en Recursos Humanos, me dijo que en su trabajo estaban solicitando un auxiliar contable. Inmediatamente me presenté en el plantel Insurgentes, hice algunos exámenes, me entrevistaron y desde septiembre del 2008 estoy trabajando en La Escuela de Lancaster. Puedo decir, con agradecimiento, que Lancaster me ha brindado una oportunidad de desarrollo como pocos trabajos ofrecen, tanto a nivel personal, como profesional, pues pude terminar mi carrera, titularme, seguir estudiando inglés, así como ayudar a mi familia. Me ha permitido conocer a gente muy linda y estoy orgullosa de formar parte de una comunidad comprometida con la sociedad y la ecología, además de que se preocupa por fomentar los valores que tanta falta hacen en nuestros días. No me despido sin antes dejar una frase de Paulo Coelho que dice: “Cuando alguien desea algo, debe saber que corre riesgos y por eso, la vida, vale la pena” 115 ©Socorro Martínez 116 Gabriela Trejo Flores Hola soy Gabriela Trejo Flores. Nací el 17 de enero de 1973. Mi familia la forman mis papás, dos hermanas, mi hermano que emprendió un viaje muy largo el cual lo recordaré y siempre vivirá en mi corazón, mi cuñado, mi sobrina y mi tío que es como mi segundo papá. Después de la secundaria, al no quedarme en la escuela de diseño de modas sólo tomé un curso de corte y confección. En el año de 1997 entré a la escuela de Lancaster en Insurgentes. Comencé a laborar con el puesto de auxiliar de limpieza, en donde empecé a conocer gente, en verdad, muy importante para mi vida; porque bien dicen: el trabajo es tu segunda casa y tus compañeros son como tu familia. Trabajar con gente tan linda es muy gratificante, aunque ya no estén conmigo compañeras como Rita, quien también emprendió un viaje muy largo y, al igual que mi hermano, vivirá en mi corazón. Cuatro años después, me dieron la oportunidad de estar en el puesto de coordinadora y después de cinco años hubo una convocatoria para el puesto de auxiliar de asistente educativa en el plantel de Rey Yupanqui. Al quedarme en el puesto, tuve la suerte de que también me dieran la oportunidad de estudiar la carrera de asistente educadora. Estoy muy contenta al trabajar con los niños. La verdad, con ellos me la paso muy bien; me llenan de alegría. Vivo agradecida, porque Lancaster me han dado la oportunidad de superarme. Gracias. ©Socorro Martínez Auxiliar Educativa de Preescolar en el plantel Rey Yupanqui. Who is Who in the Lancaster ©Socorro Martínez 117 Ricardo Morales Rodríguez Hola, soy Ricardo Morales Rodríguez. Nací en el Distrito Federal. Soy el mayor de cuatro hermanos, dos hombres y una mujer a quienes veo constantemente. En lo laboral estuve en algunas empresas relacionadas con las ventas, ya que creo tener facilidad y gusto por esta actividad. Hoy en día, trabajo en el área de seguridad de Lancaster en el plantel Diligencias. Inicié hace dos años en el anterior plantel conocido como Insurgentes. Mi actividad implicaba vigilar autos y alumnos que transitaban por el Callejón San Fernando donde tuve la oportunidad de relacionarme con vecinos y alumnos; algunos ya graduados. Siendo el último guardia de seguridad en el Callejón San Fernando, me tocó participar de la gran mudanza de plantel, con sus situaciones y gran esfuerzo de parte de todos los integrantes del plantel Insurgentes. Hoy en día, mi labor se centra en el estacionamiento del plantel Diligencias, llevando algunos controles junto con otras áreas como la de transporte. Agradezco a todos los que hicieron posible vivir todas estas experiencias en Lancaster. Gracias a esta oportunidad de trabajo, he podido conocer a integrantes de esta comunidad, algunos con muchos y otros con pocos años de antigüedad; he disfrutado su invaluable amistad, de vivencias inolvidables y situaciones ejemplares. “Gracias Lancaster” ©Socorro Martínez Guardia de Seguridad del plantel Diligencias ©Socorro Martínez 118 Alejandro Nava Olivares Guardia de Seguridad en el plantel Diligencias De nacionalidad mexicana. Nací el 12 de julio de 1981. Soy el tercero de cinco hijos. En mi familia siempre se nos ha inculcado el trabajo y que no importan las adversidades, siempre debemos salir adelante. Como hermanos, nos apoyamos mucho y siempre tratamos de ver por los demás; eso es lo que me caracteriza. Trato de dar lo mejor de mí en todos mis trabajos y siempre he tenido muy buenas experiencias. Cuando era chico e iba a la escuela, me costó un poco, como a todos, aprender las matemáticas; ahora ya les entiendo. Me gustan mucho las ciencias y me encanta la psicología. En mis estudios, me dediqué a lo que es la enfermería, pues conoces muchas cosas sobre el cuerpo humano. No soy una persona que se quede quieta, me gusta conocer de todo, no me cierro a las nuevas ideas y oportunidades. He trabajado en varios lugares y de cada uno me he llevado muchas satisfacciones, pues siempre he sabido ganarme a las personas porque sé convivir con mis compañeros. En cada lugar en el que he laborado, me describen como una persona muy responsable porque mi trabajo, en lo personal, me lo tomo muy en serio. Desde muy jovencito trabajé en diferentes lugares como: cerillo en la bodega de Aurrerá, en McDonalds, en fábricas… Me fui a vivir, por un tiempo, a Lázaro Cárdenas, Michoacán y ahí trabajé de pescador. También laboré como guardia de seguridad custodiando los trenes que ingresan de Estados Unidos, como almacenista, herrero y carpintero. Me gusta el básquetbol y me gustan los deportes de contacto. He practicado el tae kwon do y el box. Me gusta leer, y la verdad me gustaría muchísimo, poder hablar inglés. Este idioma lo he estudiado un poco por mi cuenta, pero no sé cómo practicarlo. Me gustaría saber si aquí en la escuela podría tomar algún curso con algún maestro, para poder complementar lo poco que sé. Llegué a la escuela por recomendación de mi padre, venía con la idea de laborar como personal de mantenimiento, pero me quedé como guardia de 12 horas en el Callejón de San Fernando. En ese tiempo, conocí a la mayor parte del personal. Después surgió la oportunidad de ser guardia de 24 horas. En virtud de que ya había laborado antes como guardia, decidí cambiar de puesto. Llevo laborando, para esta escuela, dos años. Mi estancia en el plantel de Rey Yupanqui fue muy buena. Who is Who in the Lancaster ©Socorro Martínez Los directores, personal, y compañeros de trabajo me recibieron con los brazos abiertos. Ahí la convivencia es muy importante y conozco en lo particular a personas maravillosas dentro de todo el personal administrativo, intendencia, mantenimiento, cafetería, asistentes educativas y maestros. De todos siempre tuve mucha comprensión. No puedo dejar de lado a los padres de familia, pues también, a pesar de tener ciertas diferencias de opiniones, siempre respetaron mi trabajo; todos muy amables y corteses. Fue cuando entendí que la Escuela de Lancaster es una verdadera familia. Cada uno de los valores que representa la escuela los vi reflejados en el plantel de Rey Yupanqui, en el personal, en los niños, en los padres y en la misma comunidad que vive en los alrededores del plantel. Puedo decir orgullosamente que vengo del plantel de Rey Yupanqui, pues ahí he aprendido a convivir, a trabajar en equipo, a ver lo mejor de cada persona y a no desconfiar de los demás. Como persona, siento que he crecido y estoy satisfecho por cada uno de mis logros en la escuela. Ahora aquí en Diligencias me estoy tratando de acoplar y, de igual manera, todos me han recibido nuevamente con los brazos abiertos. También sé que aprenderé a convivir tal y como lo hice en Rey Yupanqui. No cambiaría nada de la escuela pues así como ha llevado su programa es genial. Por algo es una de las mejores escuelas. Mis expectativas para el futuro son: seguir creciendo como hasta ahora, rodeado de excelentes personas; inculcarle a mi pareja e hijos todo lo que he aprendido aquí, porque son muy buenos valores, que creo que todos en el mundo los deberíamos tener. 113 120 Mariana Rudich ©Socorro Martínez Maestra de teatro y tutor de F3R del plantel Diligencias M i nombre es Mariana Rudich y este es mi cuarto año como maestra de teatro en el Lancaster. También es mi cuarto año como tutora y debo decir que es uno de los trabajos más difíciles y a la vez más gratificantes que haya hecho en mi vida, y créanme, he trabajado en muchas cosas diferentes… Mi primer trabajo lo tuve a los 15 años (o sea que ya llovió), dando clases de natación. Aquí empezó a gestarse mi gusto por la docencia. Trabajé en al menos cuatro escuelas diferentes, con bebés, niños y hasta adultos. Más adelante trabajé en lo único que podía, sin tener experiencia y con apenas dieciocho años de edad: ventas. Vendí planes de jubilación, coches, casas, artículos de maquillaje, galletas y comida a domicilio. Conocí a mucha gente, me moví por toda la ciudad y, por primera vez me sentí parte de la clase trabajadora del país, de esa que se las ve negras para “sacar el gasto”. Por supuesto, además de trabajar estaba estudiando. Al terminar la preparatoria hice mi examen para la UNAM y me quedé en la carrera de Pedagogía; pero a los pocos meses me di cuenta de que no era la carrera para mí, que le faltaba algo. Fue entonces cuando entré de oyente a una clase de “Historia del teatro medieval” y me enamoré de la idea de estudiar teatro. Me cambié entonces a la licenciatura en literatura dramática y teatro, en la Facultad de Filosofía y Letras. Sonaba lógico que estudiara un arte pues soy la única hija de una escultora y un escritor y toda mi vida estuvo rodeada de piezas artísticas, libros, debates, teatro, música, museos, películas, televisión y radio. Who is Who in the Lancaster ©Socorro Martínez 121 Creo que en el Lancaster encontré mi lugar pues aprecio mucho la libertad con la que se trabaja, el ambiente de respeto entre maestros y la relación de cuidado que se establece con los alumnos. Creo que es al ambiente propicio para aprender con gusto y ser creativos. La posibilidad de ser parte de una comunidad tan integrada es como tener la oportunidad de adoptar una familia. La mudanza al plantel de Diligencias me enseñó, una vez más, que el teatro puede vivir en cualquier lado siempre y cuando haya quien quiera hacerlo y verlo. La oportunidad de replantear el funcionamiento del departamento de drama desde los cimientos es una experiencia muy gratificante y llena de nuevas posibilidades y sorpresas. Disfruto mucho de mi vida en el Lancaster y me siento orgullosa de ser parte de esta comunidad. ©Socorro Martínez Estando apenas en el segundo semestre de la licenciatura, el 20 de abril de 1999 (día de mi cumpleaños) estalló la huelga en la UNAM. Fuera de dos clases “extramuros” que seguí cursando, todo se había detenido. Fue en ese lapso de nueve meses que trabajé un poco en el mundo de la televisión y pude conocer otra parte de la vida en este país a través de su más popular medio de comunicación. Fue una experiencia muy interesante y también perturbadora pues me enfrenté cara a cara con los peores prejuicios, con la ignorancia más espectacular y con la manipulación más burda e irresponsable. Ahí comprendí que a la televisión de nuestro país le hace falta una verdadera revolución y que son nuestros jóvenes los que deben prepararla. Eventualmente pude regresar a terminar mis estudios en la rama de dirección de teatro en mi segundo hogar: la UNAM. Me reencontré con mis compañeros y conocí a muchos más con los que compartí experiencias maravillosas que me enseñaron a disfrutar de mis estudios y de mi vida en el teatro. En esta época me tocó trabajar en una compañía de espectáculos infantiles en donde conocí el mundo de los títeres, desde su construcción, hasta su interpretación frente al público. ¡Qué mundo tan divertido! Al salir de la carrera, tuve la oportunidad de trabajar como actriz en dos obras muy significativas para mi formación: “Prometeo”, de Rodrigo García, para la que tuve que aprender y entrenar box; e Historias de Animales donde recuperé contacto con mi amiga de la facultad, Edurne Goded, quien escribió y dirigió la obra. Llegué al Lancaster gracias a Edurne y, por supuesto, a Lisandro. “Este bebé trae torta bajo el brazo”- decíamos. Me encargué de las clases de Edurne cuando nació Lisandro (un día 20 de abril, igual que yo) y terminé quedándome en la escuela. 122 Nací en la ciudad de escuela junto con un grupo México en el seno de una de padres emprendedores familia mexicana muy y el grupo de magníficas unida. maestras que la iniciaron Estudié en la UNAM en 1979. la carrera de Matemática Desde que entré como y ahí realicé mi maestría y miembro fundador mantuve doctorado en ciencias, en una participación activa en la especialidad de álgebra. la comunidad Lancaster, Trabajo en la como madre de familia y Universidad Autónoma convencida de que en la Metropolitana desde escuela, uno de sus valores 1983 como profesora eran las capacidades de sus de tiempo completo maestros y maestras. Otro en el departamento aspecto que nos interesó Dra. en Ciencias Matemáticas. Coordinadora General de Matemáticas de la y cautivó fue la fusión de Información Institucional de la Universidad Unidad Iztapalapa. Autónoma Metropolitana y profesora del Departamento de culturas, que da a los Además de la docencia alumnos la oportunidad de de Matemáticas de la Unidad Iztapalapa. Miembro y la investigación en conocer, valorar y respetar de la Comisión de Honor y Vigilancia de La Escuela matemáticas, me interesan la riqueza de la diversidad. de Lancaster, A. C. Mamá de Giuliana y Mariajosé las labores académicoEl contar con grandes Castellanos Arroyo (exalumnas) administrativas en la maestros y maestras que universidad. Fui Directora propician el desarrollo de de la División de Ciencias las capacidades de todos Básicas e Ingeniería de 1998 a 2002 y a partir de 2010 los niños, de manera que comprendieran su propio he regresado a realizar estas labores, ahora en un cargo potencial y lo pusieran en práctica. en la Rectoría General de dicha institución. Esto me llevó a ser Presidente del Consejo Directivo Tengo dos hijas; ambas formadas desde preescolar en una época de incertidumbre para la escuela en la que hasta bachillerato en La Escuela de Lancaster A. C. para cumplir con el compromiso que adquirí en ese Tuve la oportunidad de participar en la escuela desde entonces, conté con el apoyo de un grupo de padres su fundación. Mis hijas ahora son profesionistas con y profesores comprometidos con los objetivos y la posgrado y ejercen profesionalmente fuera del país y filosofía de la escuela. ambas están casadas. Como miembro del Comité de Honor y Vigilancia Mi esposo y yo deseábamos para nuestras hijas de La Escuela de Lancaster A. C., con gusto he podido la “mejor escuela”, una en la que se formaran y se constatar su evolución como institución y, de forma desarrollaran como individuos independientes. Tengo indirecta, conocer los diversos proyectos que mantiene una amistad muy valiosa con Jenny Ruiz quien fuera la y sus perspectivas de futuro, por sus características, primera directora de la escuela y fue el compartir con sus resultados son y serán, fruto de la participación y ella y su filosofía sobre la educación de los niños lo que esfuerzo de su comunidad. nos llevó a mi esposo y a mí a compartir los inicios de la María José Arroyo Paniagua Who is Who in the Lancaster ©Socorro Martínez 123 Karina Galán Aramburú Profesora de Kinder 1 en Preescolar del plantel Rey Yupanqui E ste es mi cuarto año dando clases aquí en el Lancaster aunque conocí la escuela desde mucho antes. Yo soy la mayor de mis hermanos y todos ellos han estudiado aquí, por lo que conocí el plantel de Insurgentes, anterior a Diligencias y pude ir a eventos allá. También pude venir al plantel de Rey Yupanqui a ver a mi hermana pequeña en la primaria y a mi hermano el más chico, recogerlo de preescolar. Desde ese entonces me pareció una escuela diferente y muy bonita. Cuando empecé a dar clases, en un principio fue raro para mí, ya que mi primera carrera es Psicología. Trabajé en dos escuelas muy diferentes, pero eran parecidas en que las dos tenían un modelo de enseñanza constructivista. La verdad es que ninguna de las dos lo era y por lo tanto, me sentía en desacuerdo con la forma de enseñar y comencé a buscar en otras escuelas. Así fue como llegué aquí. De hecho mi papá fue el que me informó que había una vacante. Después de venir a una entrevista, un día me llamaron y me dijeron que tenían una vacante en preescolar. Me preguntaron si estaba interesada y como se imaginarán dije: “claro”. Así fue como llegué aquí. ©Socorro Martínez 124 Durante mi primer año trabajé con Kinder 1. Para mí fue un reto ya que era la primera vez que trabajaba con niños tan pequeños. La verdad, me encantó esta edad; son aún tan pequeños y tienen tanto que aprender; no sólo académico sino de habilidades, lo que es muy gratificante. Al terminar ese año, me pidieron que diera clases en Kinder 3. Claro que era un año nuevo para mí en esta escuela, pero ya tenía experiencia por los grupos anteriores de Kinder 3 con los que ya había trabajado. Aún así, no puedo negar que empecé con nostalgia de dejar Kinder 1. En mi primer año en Kinder 3 tuve una generación hermosa y lo disfruté mucho. Así fue como estuve dos años en Kinder 3 y ahora regresé a dar clases en Kinder 1. Algo que me agrada en lo personal, es que tanto Kinder 1 como Kinder 3 son años decisivos para los niños. En Kinder 1 los niños aprenden mucho en cuanto a desarrollo social y habilidades y en Kinder 3 aprenden mucho a nivel curricular, escritura, lectura, etc. Creo que por eso los hace dos grados de muchos retos y satisfacciones, por eso me encantan. Es fácil ver los grandes cambios que los niños van presentando. Lancaster es una escuela donde sí se da una enseñanza constructivista, con personal comprometido y donde se permite la libertad de cátedra. Es un privilegio poder trabajar y para los niños asistir a una escuela como esta, comprometida a cambiar el mundo. Quiero agradecer a todos los niños que he tenido oportunidad de enseñar, por cambiar mi mundo y por enseñarme. A todas las personas, administrativos, papás y colegas que me han apoyado y ayudado a crecer y mejorar, y al Lancaster por darme la oportunidad de conocer a la persona más importante de mi vida. Gracias. Who is Who in the Lancaster ©Socorro Martínez 125 Miguel Robledo Guarneros Profesor de música del plantel Rey Yupanqui Agradezco de antemano la lectura de mi semblanza. Me vienen muchos recuerdos de todo lo vivido… Nací en la ciudad de México, en una mañana del último día de febrero, en año no bisiesto en el sanatorio del Carmen de la Colonia Roma. Tras el divorcio de mis padres, mi madre empezó a trabajar dejándonos al cuidado de mis abuelos por las tardes. Recuerdo a mi abuelo tocando el piano o escribiendo arreglos musicales. Algo que me llamaba mucho la atención era que en los ya nostálgicos tocadiscos Garrard, él escuchaba la música y la escribía. Un día, le pregunté: ¿Qué haces? Su respuesta fue: “Escribiendo el sonido”. Creo, fue en ese momento que la música me empezó a llamar mucho la atención. La relación que tuve con mi abuelo fue muy estrecha, incluso lo acompañaba a las juntas sindicales o a los ensayos de su orquesta. Recuerdo a varios artistas de aquel tiempo que Trabajé y estudié algún tiempo como profesor de música hasta que acepté la invitación de un cantante para que participara como flautista en el llamado estilo “Canto Nuevo”. También decidí estudiar el saxofón tenor y a partir de ahí y durante muchos años de mi vida trabajé como músico profesional tocando el sax y acompañando variedades, a algunos artistas, incluso, incursionando en el jazz y rock progresivo; pero mi trabajo fundamental siempre fue el acompañamiento de variedades en diversos sitios de la ciudad de México. ©Socorro Martínez 126 lo visitaban para que les escribiera los arreglos, y la imagen que siempre tengo de él es escribiendo música todas las tardes. Hecho que hoy sigue impresionándome en cuanto a la capacidad y habilidad que tenía para hacer música. También solía llevarnos a mis primos y a mí a escuchar los conciertos de alguna orquesta sinfónica y de vez en cuando nos llevaba a eventos deportivos y hasta corridas de toros, ferias y viajes. Fue así como pasé mi niñez dentro de un ámbito musical y la vida de un niño normal. Conservo muchos días felices en mi vida, y uno de ellos es cuando me veo en las listas de aceptación en el Conservatorio Nacional de Música, en la adolescencia. Por azar me tocó Jorge Córdoba como maestro de solfeo. Nunca me imaginé que era el maestro más exigente que había en ese momento y nos dejaba mucha tarea y lecciones que practicar al grado que mis tardes se convirtieron en estudiar con mucha intensidad. Todo esto infundió en mí un gran respeto hacía el estudio de la música. La carrera que elegí fue la de composición y flauta transversal. Estudié armonía, análisis y orquestación con el maestro Guillermo Noriega; maestros que han dejado en mí además del conocimiento de la música mi más grande admiración. Pero uno de mis mejores maestros que he tenido fuera del aula y que hasta la fecha lo consulto para asesorame, si lo juzgo conveniente, es mi tío Alex Guarneros. Alternaba mis estudios convencionales con los musicales y fue un día que tomando la clase de armonía, llegaron algunos maestros de la extinta sección de música escolar del INBA a ofrecernos trabajo como profesores de música en educación media. Fue así que me dieron unas horas en una secundaria oficial, pero fue sorprendente que a la semana, estaba cubriendo todas las horas de dicha escuela. A veces la vida con sus causas y azares nos juega momentos divertidos o quizá causísticos ya que esa secundaria es la No. 276 ubicada en Tlalcoligia. Who is Who in the Lancaster Siempre se quedan en la memoria los momentos importantes: Como cuando me pidieron que dirigiera una orquesta para acompañar shows y variedades. Empecé a hacer arreglos y montar espectáculos. Fue un gran momento en mi carrera y a mis 28 años se volvió muy prometedor… En ese tiempo, me caso por primera vez y la vida de viajes y de noche interfiere al mismo tiempo en mi vida sentimental; por lo que tomo la decisión de regresar a la docencia. Era momento de volver a dar clases y combinarlo con la música viva. Fue un ir y venir al principio entre colegios grupos y orquestas, entre tomar la decisión. Y deshojar la margarita. …Sí, me llevó algún tiempo definirme en lo que quería. Un día yendo a comprar música impresa en la Nacional de Música vi un anuncio que llamó mi atención y es así que entro al Colegio Madrid, y dos años más tarde, me dan el cargo de coordinador de música del colegio. Todavía me es grato pensar que algunos años se trabajó con el proyecto que hicimos para la institución. Del Madrid, pasé por invitación al Instituto Tlalpan. Durante mi estancia en ese lugar y a la muy buena dirección que se tenía, siento, me consolido como profesor de música. Para ello, vinieron muchos cursos y vivencias profesionales. Estando en el I.T. nos seleccionan para ir a un congreso de pedagogía en La Habana, un hecho que marcó mi rumbo dentro de la docencia y mi quehacer como profesor de música. Por primera vez veía una orquesta conformada por niños y sonando bien. Era posible enseñar instrumentos ©Socorro Martínez 127 convencionales dentro de la escuela ¿por qué no llevarlo yo a la práctica? Y todo ello y lo visto se convirtió en mi punto de partida como mi desempeño profesional y que pronto pondría a la práctica. Durante las juntas técnicas de la sección de música escolar, conocí a un maestro que trabajaba en la Escuela de Lancaster. Éramos buenos colegas e intercambiábamos puntos de vista sobre docencia y música. Incluso coincidíamos y competíamos en el concurso del Himno Nacional, el cual, en aquel tiempo lo había yo ganado dos veces consecutivas, y fue que ese día momentos antes del concurso el profesor me dice: “Esta vez, lo ganaré yo”. La sorpresa fue… ¡que lo ganó! y ahí, iniciamos una buena amistad. Me invitó a participar como saxofonista en una orquesta en ciernes y que muy pronto se convirtió en una realidad, La Orquesta de Lancaster, que a la fecha, así siempre lo he pensado, es una de las grandes ideas que tiene la escuela. Es así como entro a esta excelente institución como saxofonista de la orquesta y maestro extra 128 curricular de la clase de saxofón. Durante mi estancia en la orquesta tuve la oportunidad de participar en la producción de algunas comedias musicales como: “The Little Shop of Horrors”, “Rent”, “The Sound of Music”; por cierto esta última, con muy buenos arreglos de Alan Downie. Y cómo olvidar “Wicked” una obra realmente difícil. También con la colaboración y dirección de Alan. En el 2004 viajamos a Lima en un intercambio de orquestas. El aprendizaje seguía y todo ese cúmulo de experiencias me seguían enriqueciendo como docente y lo aplicaba en la escuela donde trabajaba en ese momento: “Belmont American School”. Esta vez con mayor conocimiento y más ánimos que nunca. Por cierto ahora lo sé y estoy seguro de ello; uno de mis propósitos educativos es que los niños hagan música, la canten, la puedan tocar y sentir, así como sean capaces de tocar instrumentos convencionales y participar en conjuntos instrumentales, justo como lo hacen en otros países y en la escuela de Lancaster. “Llega la oportunidad”. En una audición siempre entusiasta y exhaustiva del concierto de solistas, por cierto, la segunda vez que me habían invitado como juez, me hacen saber que la maestra de música de Rey Yupanqui regresaría a su país y buscarán quien ocupe el puesto; y es así que me pongo en contacto con David Jones y me propone dar un día de clase y poder observar mi desempeño docente junto con las directoras del plantel; ya que también tenían otros candidatos y es así como elegirían al nuevo maestro que ocupara el cargo. Durante la entrevista, conozco a Florencia Ruíz, directora de preescolar y a Rosy Murcia, directora de primaria, quienes junto con Dave Jones en la entrevista laboral me bombardean con muchísimas preguntas sobre: ¿Cómo doy clase? ¿Cómo soluciono conflictos? O hasta casi casi ¿Cuál es mi color favorito? Es una entrevista de trabajo que recuerdo, de las más interesantes, cálida y no por ello menos estresante de mi trayectoria. Ahora me siento muy contento y orgulloso de pertenecer a este equipo de trabajo. También les extiendo las gracias por el apoyo que me han dado y a los niños tan maravillosos y llenos de talento que sin ellos no podría haber sucedido nada. También debo agregar el viaje que hicimos otra vez a la ciudad de Lima y participar en la orquesta de LAHC (Latin American Head´s Conference). Otra vez comprobar y confirmar lo que se puede hacer y lograr con la música en las escuelas. Dicha orquesta fue conformada con estudiantes de diferentes países de Latinoamérica y el resultado fue asombroso así como su sonido. Reconozco la gran labor hecha por Alan Downie; que la música sea un factor determinante y significativo en la escuela porque es parte importante dentro de la educación integral del ser humano. Además con el tiempo y la experiencia docente me ha tocado vivir de cerca esos resultados con los chicos que han integrado la orquesta y que ahora hacen sus estudios profesionales en México y otros países. Concluyo reflexionando; recordando tiempos buenos y malos, como nos llega a suceder a todos y hasta lo difícil que fue el tener que hablar de mí. Recordando el dicho “Hablar de uno es vituperio”; pero me fue delicioso recordar, escribir y ahora compartir lo que me ha sucedido en la vida. Hoy soy un docente de tiempo completo y reitero que personalmente tengo la satisfacción de sentirme parte de la comunidad de Lancaster y que la siento como mi segundo hogar. Who is Who in the Lancaster ©Socorro Martínez 129 Philip Randay Geography teacher, Lead Teacher, Lead Tutor. Upper School. Diligencias site I’m Phil and I am currently in my third year of teaching at the Lancaster. This is my second international teaching post after a 3-year stint in Houston, Texas. I’m apparently a big fan of the sprawling city, quite a contrast from my beginnings in small towns and villages in the UK. I was born in Merthyr Tydfil a small iron and coal mining town in South Wales. It is most definitely not the prettiest of places but is very much home even after all these years away. I am a proud welsh man and the sound of a welsh male voice choir singing Calon Lan still brings a tear to the eye, as did the recent performance by the rugby team in the recent Rugby World Cup. I am unfortunately lacking in much rugby talent (the Mexican teams can rest easy) and also any singing talent as my performance at stars in their eyes clearly demonstrated. My parents have been a continued source of help and support throughout. They were however a little shocked when I informed them that I wanted to be a teacher. It was the last thing they had expected, I think that they had tried their hardest to provide alternative options career wise for me but a distinct lack of inspiration on my part and bad experiences in call centres, banks and a publishing company among others meant that I was drawn back to the family business of teaching. I’ve ended up following my Dad into the exciting world of Geography teaching and my sister has followed in my Moms footsteps and became a primary teacher (perhaps a future Lancaster recruit??!!). I was pretty average in my school subjects, I was very good at Geography, I think that the constant and continued Geography lessons from my Dad in any and every single car journey longer than 30mins. was probably the reason for this. My main memories of school were playing sport although there are vague recollections of studying a case study on Mexico City in Geography lessons. Growing up and carrying on to today I’ve never been an especially ambitious person, my main goals have always been related to new experiences and locations, these have always been at the foremost of my mind and as a result I’ve been privileged to visit many fantastic places, from road trips across USA and Canada, climbing Mount Kenya, house building in Costa Rica and to visiting Count Dracula’s castle in Romania, these places always fill me with awe and wonder, and if slightly/ ©Socorro Martínez ©Socorro Martínez 130 massively geeky thing to say, a constant amazement about Geography. I feel that these experiences enrich my teaching even if it is just a holiday snap of a waterfall. This is one of the many reasons why it’s such a privilege to live in such a vastly contrasting and beautiful country like Mexico. My last job was in Houston and I had a great time exploring many of the natural wonders the US possess. Living in Texas was also great for feeding some of my main past times, eating and sport. Although unfortunately one did not necessary help the other. There’s a slight possibility that I over indulged a little in both! I became a big fan of the college football and basketball and was able to fulfil dreams of watching live NBA and NFL games, as well as seeing childhood heroes play their sport at the highest level. I however began to get itchy feet and the desire to explore and discover a new adventure became too much and I looked around for a new opportunity. This is when I saw an advert on the Internet for a job in Mexico. I liked the philosophy and look of the school and so applied. It also meant that I could continue my North American road trip adventure and drive south to Mexico City and continue the adventure. I’m very pleased that I did, the Lancaster is a fantastic place to work. My different roles within the school keep me very busy but the students are a pleasure to teach and I enjoy my lessons even if the students aren’t always as keen. I’m also helping with the reintroduction of a rugby team to the Lancaster, who’d have thought. A definite highlight of my Lancaster experience has been being involved with the ‘Un Techo Para Mi Pais’ project, it was a fantastic experience. It was absolutely amazing to see our students getting involved in the local community. They lived and worked with the people making a real and personal difference in people’s lives. This school and its students have an amazing opportunity to make a real difference in Mexico and the world, I hope and trust they grasp it with both hands. Who is Who in the Lancaster ©Socorro Martínez 131 Jenny Ruiz Fundadora y miembro de la Comisión de Honor y Vigilancia. Mamá de Elizabeth Mary Ruiz Burton Brown (exalumna y profesora de Kinder) I was born in London just at the end of World War 2, my childhood was frugal, food, clothing & housing were rationed or in short supply. As I walked to school through the centre of Croydon, 90% of the buildings I passed were bomb damaged. Oscar, my future husband was studying at Imperial Collage, I was at a teacher training collage, when I met him. We married in 1968 and I’ve lived in Mexico ever since, an Anglo-Chilanga. We have 3 children, and almost 7 grandchildren. Our daughters live here and our son near Hannover in Germany. The Lancaster School began basically because the Board of Governors at the school where I taught would not accept that there were any problems and refused to accept any letters, comments or other kind of communications from the Staff or parents. The situation became intolerable. I resigned and several parents asked me to teach for a year as they were unable to get their children into another school as it was already late in the year. 132 Soon we had 44 children, & Mrs Zolla very kindly offered us a house to use in Tlalpan. The parents worked extremely hard clearing and cleaning so that we could open 2 months later - and that miracle happened despite having no furniture to speak of and not many books either. The early days of the school were lots of fun, despite Ray Baker always being so worried about money. What an enormous leap of faith. It gives me great pleasure to see how the school has grown and prospered, the importance of inclusion, of high academic standards and the community of parents, staff and pupils past and present. It’s delightful to meet my students from years ago who are now parents at school, the tradition continues. We are very fortunate to have a musical Headmaster, Alan plays the french horn and the trumpet and he sings very well too. I hope choirs, at all levels of the school as well as the orchestra will continue to flourish. My hobbies are, playing tennis while I still can!, gardening, cooking and singing in the UNAM choir. Recently we sang Mahlers 8th symphony at the Sala Nezahualcoyotl which was an unforgetable experience. Who is Who in the Lancaster ©Socorro Martínez 133 Sarah Follen Pre-First Blue Teacher, Rey Yupanqui site. “Everyone is a hero. This is a given. We have a call to adventure. We refuse. A crisis ensues. We cannot turn back - and we answer the call. We collect helpers, teachers, guides. And we cross a threshold into the unknown. We lose our identity and enter an abyss, a nadir, the belly of the whale. We emerge. We begin travelling back home to what we have known - recrossing the threshold. We return. We have changed.” Joseph Cambell. I would never have thought, even just three or four years ago, that I would be an optimist. I never thought I would be full of hope, I never thought I would appreciate happiness in the moment. I spent nearly 30 years of my life feeling quite sad, confused and angry. I was the opposite of kind with myself and even when kind with others, had great difficulty accepting that I had done something good. Where had that habit come from? I’ve spent a lot of time thinking about how I am, who I am, what I am and why, and I am sure there exists a great combination of factors that resulted in me being quite miserable. And although at times I feel sad for the person I have been, the person I have treated quite badly, I am thankful for every moment that I have lived, miserable, angry, self-sabotaging or not, I am thankful. 134 When I finished high school in Boston I was too angry at my parents (and probably at myself) to organize applying to college. I had no idea what I wanted to do and didn’t want anyone to tell me what to do, never mind help me decide. My little brother was in middle school the year I was about to graduate and my mom told me that he had an assistant in his class with blue hair. She said that the bluehaired girl was a City Year corps member, a volunteer in the Boston Public Schools. She told me that City Year was a year-long community service program, kind of like an urban Peace Corps. The idea of serving for an organization like the Peace Corps had always interested me and the fact that City Year accepted applicants with blue hair spoke highly of them I thought. When she told me that it was possible to volunteer at the Joseph Lee School in Dorchester, the elementary school I’d attended and loved for three years as a child, I began to have the feeling that serving for a year was for me. I assumed that City Year would accept me because they prided themselves on being diverse and I was part of a rare population. I was a white girl from Boston who had attended innercity schools and who also wanted to return to volunteer in them. I knew that if I were accepted I wouldn’t have to think any more about what to do... so I joined. I worked that whole year as a teaching assistant in 2 classes of autistic-diagnosed children. Only 1 or 2 of those children could speak and all were diagnosed as being severely autistic. It was one of the most physically and emotionally challenging jobs I have ever had. I was covered in food and mucous at the end of every day, I had scratches and bites on my hands and arms, got ring worm and even a broken nose... and I loved it. There was something about the kids that made me eager to wake up in the morning. Travelling by bus to the school one morning I realized that I felt happy. I was surprised by that. Although I had surely been happy in my life before, even if I spent most of my time angry, until that day I had only ever realized I’d been happy retrospectively, I’d never appreciated happiness in the moment I felt it. My year with City Year was difficult. The work hours were very long and the time spent tirelessly on buses and trains and using spare time to work in afterschool programs and paint or clean abandoned lots in the city quite extensive. I lived at home, made very, very little money and although I loved my teammates very much, I spent little time with anyone else. Despite my great relationships with my team members and the children and school, and despite the motivation that feeling happiness in the moment had given me, I wasn’t ready to commit to being happy, nor unconditionally positive, nor an optimist. The City Year program prided itself on wanting to change the world, on working with the youth of tomorrow, of promoting “taking a village to raise a child”. I had always thought those ideas were nice and in theory I agreed, but after dozens of meetings listening to people expressing what I saw as blind, maybe foolish, optimism, I had gotten to the point where I cringed just from hearing someone talk idealistically about making the world a better place. I liked the idea of working towards appreciating happiness in the moment, but with still quite a lot of anger I didn’t have room for being an idealist. I didn’t really trust idealism nor, really, the people that promoted it. I finished the program and worked and studied for a few years but never found myself feeling the same happiness that I felt in the mornings working with those kids at the Lee School. So I went back to work there again and continued practicing being happy. During an April vacation I went to Italy to visit a friend from high school who was teaching English there. I had saved money to do travel to Europe before and in fact had decided by that time that travelling was the only thing I knew for sure that I wanted to do in life. While there I met a Scottish teacher who later became my husband. I left Boston to move to Scotland with him Who is Who in the Lancaster ©Socorro Martínez 135 where I stayed for a year. I did temp work while I was there and realized shortly thereafter that it was quite easy, in an office and in a job that was uninspiring, to stop the practice of being happy. My husband and I moved to Dubai in 2003. I worked in a wonderful International school there, in the “Dyslexia Unit”. I studied for two years to qualify as a teacher of students with dyslexia and trained with some of the best teachers and specialists in that area. I became enchanted with the ideas of auditory and visual processing and learned after years of careful planning and organizing and making resources and games and assigning homework that the most important quality about being a teacher, and maybe also about being a human, is to show love and interest, to be caring, and to try to help other people, students and parents especially, to feel good. I realized leaving Dubai that to be a teacher, the most important job is to make kids feel comfortable and happy in school, and excited about learning. I enjoyed Dubai for the most part. The job was good, the weather hot and the sunsets always beautiful. I could go to the beach every day if I wanted and even the sea water was warm. I tried to practice happiness there but was still far from being an idealist. A lot of people in Dubai are there alone, with no family and few friends, and this breeds a culture of solitude. It was easy to disconnect from people outside of work and this lead to reinforcing my tendency to keep myself closed; I think it might be impossible to be closed and let idealism in. My husband and I separated in Dubai and a couple of years later I decided I had been in Dubai long enough. After living there for four years, my boyfriend at the time agreed that he would like a change as well and within days after deciding that we’d like to leave Dubai, he and I both had jobs at the Lancaster School. I didn’t speak Spanish and had only ever been to Cancun as a “spring break-er” but for some reason I felt Mexico calling. I began to settle in to Mexico and Lancaster and very much enjoyed helping students to get comfortable in school, to start reading and writing and asking questions however it wasn’t until about a year after I started teaching in Pre-First that I really appreciated what I was learning. Through an accidental project with the Pre-First Blue students that year about helping others I started to feel something I had avoided feeling before. I started to feel that it is really possible to change the world. For so many years I had let myself consider that an idealistic way of thinking was kind of unrealistic. I liked the ideas and believed them in theory, but had never fully appreciated the power of those ideas in real life. Then one day, I saw these children with their eyes lit up, listening to each other talk about how to make the world a better place and then later actually going out and taking action. Again, I was shocked. I had felt and appreciated happiness but had never felt idealism or optimism. Or if I had, it had never lasted, I never felt it long enough to realize it. I’d never felt such hope. It hit me hard that those kids were actually doing it, that they were actually, already, at 6 and 7 years old, changing the world. And I 136 knew I had a part in that, I knew that I was changing the world too. It felt huge. Something changed in me that year, and although it is, and I am, still a work in progress, I have begun to open up to good things in a way I never fully did before. For such a long time I’d felt more comfortable not loving myself and being mostly disconnected than I had even thinking about loving myself or genuinely connecting with others. I had loved working with kids, doing a good job, helping them feel comfortable and happy to learn, but I had always kept my distance. That year I learned that to believe it’s possible to change the world, I had to have hope. I had to be connected, I had to risk and I had to have faith and hope. I had to be vulnerable. Being vulnerable was something I had rarely done. I had spent most of my life trying to protect myself, whether I knew it or not, even when I wasn’t loving me at all. Distance and a lack of vulnerability had kept me feeling safe; safe but a pessimist, safe but negative, safe but not very happy. It had taken me about 30 years and a whole lot of life and some lessons from children to realize that the very things I had used to keep me safe were keeping me in a box. And those kids helped me to open that box and start to climb out. I read a story to my students the other day about being thankful. When it came to the page where it read, “I am thankful for my teachers,” I told the kids that I was thankful to them for being my teachers too. They laughed at this but I meant it. I learned from children that it’s possible to change the world. I have learned from the people around me that love and connection is not weak, but essential and powerful. I learned how important every person in your life is, because you are learning from them all the time, because the connections you make, or don’t, are actually what define you. For that reason and others I try hard to be a good example when I can, to be the best I can be. If I am learning from other people they are surely learning from me as well so I have a responsibility to do and be the best I can. I am trying to love myself, learn a lot, treat my body well with nice exercise and yoga and healthy food, try to stay away from harmful things as much as possible, spend time outside when I can, express my feelings productively and be kind and supportive to others. I try. Years ago I think I felt very sorry for myself, for hard times I’d had, for bad decisions I had made, for things I didn’t like and thought I couldn’t control. I used to feel comfortable surprising people with stories about my past, telling them about crazy things I had done or difficult things I had been through. I think I liked that there were bad things to tell, because it gave me maybe an excuse or something or someone to blame (even if that something or someone was me). I think this was normal, as sharing is part of being human, but the thing I like most about remembering feeling like that is that I don’t feel like that anymore. I still know that some decisions I’ve made haven’t been the best, and that I have in fact gone through some difficult times, but my view of those things has changed. I feel lucky to have lived enough now to love all those tough times, for bringing me here. And so, I feel lucky to say I think I have lived through that quote written at the beginning of the article many times, and continue to live through it now. I love to have changed and be changing and I love that on the other side of every crisis, my home is waiting. I am thankful to all of my teachers and guides and look forward to meeting new ones. I am thankful for seeing the world and for all the people I have met and for the love I have felt and been able to give. I am thankful for my family and friends and lovely boyfriend and for learning. I am thankful for Mexico and the Lancaster community. I am thankful that I feel proud to be who I am and that each time I return to see my family I feel I am a better person than I was the time before. I am thankful for feeling responsible and vulnerable, even if it’s a bit scary at times. I’m thankful for my body which has served me very well and for the “second chances” I have been given to use it. I’m thankful for life. 138 Students enjoyed learning Maths through fun activities, such as rallies, contests, the Money mile, guessing how many pieces of candy a container had in it and G4 & G5 students taught Maths to pre-school children. They had a lot of fun! El 12 de abril el grupo de inclusión tuvo su clase abierta de ajedrez impartida por la maestra Rosaura Landa de la Escuela Nacional de Ajedrez. Los chicos pudieron jugar con sus papás y compartir lo que han aprendido. Fue una gran experiencia. La semana del 2 al 6 de mayo se llevó a cabo en Lima, Perú el encuentro de orquestas de Escuelas pertenecientes a LAHC. Felicitamos a nuestros alumnos que representaron al Lancaster en dicho encuentro: Alejandra Pedraza, Sara Downie, Carlos Cantú, Luis Cantú y Adrián Rawlinson, quienes apoyados por los maestros de música Carmen Magaña y Miguel Robledo y con la colaboración de nuestro Director Alan Downie hicieron un excelente trabajo tocando en una gran orquesta de aproximadamente 70 integrantes, que incluía jóvenes de Perú, México, Colombia, Argentina y Brasil. ¡Muchas felicidades! El pasado sábado 18 de junio en el Plantel de Rey Yupanqui festejamos a lo grande a muchos de los padres de la comunidad Lancaster. Equipos de boleyball formados por madres, padres, profesores y algunos empleados de la comunidad se hizo un inigualable juego de este deporte, el cual muchos de ellos mostraron muy buenas técnicas y habilidades para ello, haciendo de cada minuto una verdadera batalla por conseguir los puntos. Al término del juego y para agasajar con broche de oro, todos los padres junto con su familia disfrutaron de una sabrosa parrillada a cargo de nuestro chef oficial; nada más y nada menos que Dave Jones que también además de jugar muy bien, sabe poner la carne en su punto en el asador, sin olvidar el rico guacamole que preparó el profesor Juan Edgardo Catalán para todos ellos. Agradecemos la colaboración de nuestro personal: Andrea González, Paulina Mendoza, Raúl Rojas y Carlos Reyes por la gran ayuda, para hacer posible este gran evento. ¡A todos los padres muchas felicidades! 139 140 The grade 5 Exhibition successfully took place on Thursday, June 16th. Students were strongly motivated to demonstrate to peers, parents and teachers their achievements as dedicated, ambitious PYP learners. As a school community, we pride ourselves in building and developing the Primary Years Programme in which under the transdisciplinary theme Sharing the planet, these young and brilliant minds took part in a transdisciplinary inquiry project, showing the five essential elements of the PYP: Knowledge, Concepts, Skills, Attitudes and Action. They showed self confidence, knowledge and willpower in order to take action in regard to the different problems they addressed: sustainable architecture, sustainability of native cultures; sustainability of animals; big companies and sustainability: relationship man/sustainability; art and sustainability; sustainable energy; sustainable communities; climate change and responsible consumption. Mentors did an excellent job guiding the students during the planning and inquiry process. congratulations to all those who participated in such a wonderful event! Nuestra biblioteca en el plantel de Diligencias está funcionando de nuevo con todos los servicios y en su horario normal. ¡Visítanos! 141 La semana del 20 al 24 de junio se llevó a cabo la semana de las Artes, entre las diferentes actividades que realizaron los alumnos hubieron las siguientes: el martes se llevó a cabo la exposición de los alumnos de F2, en la cual se presentaron muebles hechos con material reciclado y decorados con diseños de diferentes culturas. También se exhibieron pinturas (en acrílico sobre cartulina) de diversos personajes y artistas, en las que se utilizó la técnica de la cuadrícula y algunos trabajos con diferentes temáticas y técnicas como pastel, grafito, acuarela, crayola y lápices de colores. El día jueves los alumnos de F3 de las materias de Artes Visuales y Diseño & Tecnología, presentaron pinturas en acrílico sobre madera con diferentes temáticas y cajitas decorativas de diseños originales. Igualmente los alumnos de Forma 1 tuvieron oportunidad de mostrar piezas bajo el concepto de alto relieve. Estas piezas fueron inspiradas en diseños prehispánicos de diferentes culturas de América y fueron realizadas en plastilina sobre cartón y pintadas con acrílico. También se pudo llevar a cabo el día viernes la inauguración del mural ubicado al lado de la cafetería, el cual contó con la participación de todos los alumnos de la escuela. El diseño original fue obra de Daniel Martínez Hoyo de Lower 6. 142 Primer Mural en el Plantel Diligencias Ficha técnica: Título: “Raíz cuadrada de menos uno” Técnica: Vinílica sobre cemento. Medidas: Tríptico (5x14 m., 1.80 x 5 m., 1.30 x 6 m.) Fecha: Junio, 2011. Diseño: Daniel Martínez Hoyo Elaboración: Daniel Martínez Hoyo, Luis Iván Pahua, Juan Pablo Ramírez y Adriana Solís. El Proyecto para el mural tuvo varias etapas: el trabajo inició desde octubre de 2010 y la convocatoria para propuestas libres del mural, se publicó en enero de 2011. Esto implicó un trabajo laborioso tal como tomar fotografías de las paredes, medidas, hacer diseños a escala, diseñar la convocatoria en photoshop, etc. Se recibieron propuestas y también se hicieron otras durante las clases de Artes Plásticas. Después de esto, se hizo una selección de las mismas con los grupos de IB y las maestras de Artes Plásticas para concluir con diez que se llevarían a votación. La siguiente etapa consistió en ir con cada grupo de tutoría para someter dichas propuestas a la votación de estudiantes, de maestros, de miembros de la dirección, personal administrativo y finalizando con el personal de intendencia. Posteriormente se obtuvo la mayoría de votos para tres propuestas y la elección final se tomó por la funcionalidad del diseño de la superficie, ya que por tratarse de un tríptico, la visión cambia desde todos sus puntos así que esto llevó a la elección del diseño de Daniel Martínez Hoyo alumno de Lower. El trabajo en el mural, tomó cerca de un mes, inició en mayo y se inauguró el viernes 24 de junio en el marco de la clausura de la semana de las Artes. Tanto la preparación del muro como el cuadriculado, se llevó a cabo por Leo Rodríguez y Benjamín Flores. En el mural colaboraron alumnos de Artes Plásticas de las Formas 1, 2, 3 y 4. La elaboración del mural fue a cargo de Daniel Martínez Hoyo, Luis Iván Pahua (Lower) Juan Pablo Ramírez (Lower) y Adriana Solís (F4). La coordinación del proyecto fue a cargo de las maestras Catalina Aroch Fugellie y Liliana Garzón Orijuela. En la organización del proyecto trabajaron Daniel Martínez Hoyo, Luis Iván Pahua y Juan Pablo Martínez. La inauguración se vio amenizada por música presentada por los alumnos que están trabajando en su IGCSE y IB de Música. Se agradece el valioso apoyo a : Alan Downie, Cecilia Suárez, Clara Treviño, Tania Villavicencio, Edgardo Catalán, Óscar Vilchis, Juan Carlos Quijano, Leo Rodríguez, Benjamín Flores, Fernando Escamilla, Paola González, Guadalupe Niño y Pedro Fernández. 143 Cuando la campana sonó a las 14:30 hrs. para indicar el término de las clases, todos los miembros del consejo estudiantil nos apresuramos a comer en la cafetería para después adoptar nuestras posiciones de trabajo previamente asignadas. Así, los comités de logística, decoración y administración pusieron manos a la obra para convertir el Lancaster de todos los días en un deslumbrante y patriótico Lancaster mexicano. Después de unas horas de dibujar cartulinas, colgar lazos tricolores, organizar las mesas y una infinidad de tareas más, los dueños de los puestos comenzaron a llegar para instalarse en sus respectivos lugares. Para entonces, los miembros del consejo estábamos a punto de dar por terminadas nuestras respectivas labores preparativas, lo que fue muy oportuno porque unos minutos después el reloj indicó las 6:00 de la tarde, momento en que inició lo que se convertiría en una muy exitosa y alegre Noche Mexicana. Rápidamente, los miembros que teníamos turnos en la entrada, el banco y en el caso de algunos, puestos, acudimos a ellos y fue entonces cuando se abrieron las puertas y una enorme cantidad de gente empezó a entrar. Así, poco a poco, el patio se llenó de niños que animosamente compraban huevos rellenos de confeti para aplastarlos en la cabeza de sus amigos, jóvenes que disfrutaban casándose, e invitados de todas las edades que disfrutaron de una gran variedad de platillos y bebidas mexicanas. De igual forma, una serie de actividades planeadas por el consejo estudiantil se pusieron en práctica: el eufórico grito de independencia pronunciado por Daniel Segura, en el cual mencionó a los héroes de la independencia, gritó por la institución Lancaster y por sus directores (¡Viva Downie! ¡Viva Ceci!), así como el intenso concurso de tacos, por no mencionar la magnífica elección musical de Fernando. Quedándome con las ganas de describir minuciosamente cada momento de la noche, concluyo esta reseña diciendo que la combinación del deslumbrante color con la entretenida música y las invaluables sonrisas de todos los invitados hicieron que ésta, aunque no muy lejana a las demás, fuera una de las noches mexicanas más memorables y divertidas de la Escuela de Lancaster. El pasado 6 de octubre se celebró la primera Noche Bohemia del ciclo escolar con motivo de la semana de Responsabilidad Social en el Plantel de Diligencias. El evento fue organizado por el Consejo Estudiantil y varios alumnos de distintos grados escolares participaron en la noche al igual que varios alumnos y padres de familia asistieron al evento. Entre las presentaciones, se le explicaron al público los distintos proyectos de responsabilidad social que tiene la escuela, como es el caso de Amnesty International, Alfabetización, Limpieza del Bosque de Tlalpan y Apoyo escolar en San Andrés. Agradecemos la participación de Emilia Smithies, Ángel Melo, Sebastián Toriz, Romina Izeta, Sara Gonzalez, Julián Javier Larroa, Emilio Gutiérrez, Adriana Guinea, Eugenia Morales, Fernanda Cabral, Mariana Castillo, Daniel Segura, Rodrigo Zozaya, Santiago Izeta, Ana Paula Tuirán y María Gimenez Cacho. Esperamos que todos la hayan disfrutado y sigan participando y asistiendo a estos eventos. 144 Grade two enjoyed three fantastic days at Las Estacas in Morelos. All the children enjoyed the experience. Our hosts were wonderful and had many activities planned for us. We all enjoyed jumping into the river, the boat race, wall climbing, games, fishing, and of course swimming. We were set up into teams of 7 or 8 with an Olympic city name for each team. Each night we had a closing ceremony to honour the team with the most points. The team of Rio was the winner of the competition. But of course we were all winners to be very fortunate to come to a place like Las Estacas with all of our friends. On October 11th, the students in grade four had the wonderful opportunity to explore a new part of this beautiful and diverse country. Piling into the bus one chilly Tuesday morning, the students couldn’t contain their excitement. As we made our way to Valle de Bravo the students met their counselors, sang songs and took in the scenery. When we arrived at the camp, ensconced in a green canopy of pine forest, we all immediately rushed to see our cabins. Caroline, Soco, and Dave got to walk around the camp checking with each group and making sure they were settling in comfortably. Once everything was in its place, we went on a tour of the vast variety of facilities camp Nature has to offer: a volleyball court and football field, a zip line and souvenir shop, the dining hall and multipurpose halls, a jacuzzi and mini golf court, the vegetable garden and stables, and an immense area of forest to explore. From then on, the activities and excitement never ceased. We ate at the dining hall from a delightful and abundant buffet which offered balanced meals that we all could enjoy. Despite a few rainy days, we played constantly, challenging ourselves to take risks, expand our relationships with our peers and stop to reflect on our experiences. We woke up each morning having learned more about ourselves. We were constantly struck by our curiosity regarding the flora and fauna of this vibrant place and made a variety inquiries and observations about the natural world surrounding us. In their groups, students joined together in their creativity to create plays that were performed by to warmth of a giant campfire and to invent chants to encourage one another. Between a Rambo Expedition, Bungee jumping, Mission Impossible, Quadriding, Disco night, Paintball, Horseback riding, and Archery, there was constant challenge and constant excitement. Thank you Camp Nature for such a wonderful experience! Los pasados 11 y 12 de octubre tuvieron lugar las presentaciones de los monólogos de los alumnos de Teatro Nivel Superior de L6. Partiendo de un estímulo, el alumno 145 sacó un concepto que representó a través de un mecanismo usando su propio cuerpo como parte de este. Este ejercicio basado en algunas ideas extraídas del teórico Vsvolod Meyerhold y su teoría de la biomecánica fue el primer acercamiento de los alumnos al proceso creativo que conlleva el hacer teatro. Un poco de lágrimas, raspones, caídas, piquetes, caídas, nostalgia, comezón, fueron sólo algunos de los ingredientes que sazonaron nuestro campamento, pero al mezclar con el gran sabor de la convivencia con nuestros compañeros tanto de Blue como Yellow durante el campamento a Las Estacas hizo de esta experiencia una experiencia inolvidable para todos. Tuvimos la oportunidad de relacionarnos con otros niños y trabajamos mucho en equipo en nuestras patrullas mostrando cooperación, tolerancia, escuchando sus opiniones y nos esforzamos para lograr un buen trabajo entre todos. Nuestros monitores nos motivaban para ganar “doblones” pero al final nos dimos cuenta que la mejor recompensa fue ganar muchos aprendizajes como sentirnos con la confianza para mostrarnos autónomos, comprender la importancia de ayudarnos entre todos, tener la mentalidad abierta para relacionarnos con los demás, identificar que como seres sociales necesitamos de la ayuda y apoyo de los demás así como otros necesitan de la nuestra. La pesca, los clavados, nadar, bailar, remar, comer, dormir y hasta extrañar fueron sólo algunas de las actividades que nos acercaron tanto. ¡Definitivamente crecimos mucho como grupo e individualmente! 146 Ofrendas de Noche de Muertos El plantel Diligencias vivió nuevamente la tradición Lancaster de su noche de ofrendas. Cada grupo escogió a un personaje para rendirle tributo de una manera original por el día de muertos. Todos tuvieron un lapso de tiempo para darle vida a estos altares, pero vaya que exprimían cada minuto con entusiasmo, ya que en el momento en que se permitió comenzar a trabajar, fue como una carrera de equipos para crear cada quien una ofrenda maravillosa en la que el estrés y la frustración por acabar a tiempo se apoderó de todos hasta el último momento; pero al acabar, todo esto se olvidó y todos disfrutamos de una noche muy bella con luces y colores de cada una de las espléndidas obras en las que el esfuerzo y dedicación se veía muy claramente. Mucha gente estaba encantada con las ofrendas; había un ambiente muy divertido; disfrutamos del chocolate caliente y el pan de muerto que no podían faltar. El concurso de las ofrendas empezó; muchas de ellas eran sorprendentemente buenas y aunque no ganaron, los alumnos se sintieron orgullosos del esfuerzo y de la diversión que tuvieron haciéndolas. Daniel Robles Lizano Ofrenda FRISSAC Con motivo de la celebración del día de muertos, el equipo de Alfabetización Madrid-Lancaster montó una ofrenda en honor al educador y teórico Paulo Freire. Casa FRISSAC fue la sede de esta ofrenda en donde se daba a conocer al gran personaje brasileño, autor de La Pedagogía del Oprimido y La Pedagogía de la Esperanza, entre muchos otros. A través de esta expresión tradicional, el grupo conformado por alumnos de la escuela y el Colegio Madrid, presentaron al público su proyecto de Alfabetización Urbana y Rural. Entre elementos tradicionales como flores de cempasúchil e incienso, la imagen del pedagogo brasileño se erguía con su blanca cabellera. Palabras como pala, piñata y familia estaban presentes en la ofrenda como muestra del método de lectoescritura propuesto por Freire. Este método conocido como “El método de la palabra generadora” es el que los voluntarios que realizan la alfabetización para adultos, emplean con sus estudiantes. La ofrenda en casa FRISSAC no sólo se adornó con la luz de las velas y el colorido papel picado, sino que contaba también con ejemplares gratuitos de los libros publicados hasta el momento como resultado del proyecto de Alfabetización Rural, estos libros muestran los trabajos y avances de los alumnos que han desarrollado sus habilidades de lectoescritura con la ayuda de los alfabetizadores voluntarios. Al pasar por la ofrenda, los asistentes pudieron disfrutar de la información sobre el gran personaje que fue Paulo Freire (1921-1997) y conocer el proyecto de Alfabetización Madrid-Lancaster para involucrarse en él con su apoyo y donaciones. On November 29th, the Primary Academic Fair took place at the Rey Yupanqui site. Students were very excited to share the things they had learned after weeks of enthusiastic but hard research. Students also worked hard to understand concepts like interdependence, extinction, evolution, impact, pattern, and behavior, amongst others within the transdisciplinary themes: Where we are in place and time, Sharing the planet, How we organise ourselves and Who we are. They demonstrated that they are developing the community IB profile by showing different skills, attitudes and actions, like the fund-raising that second graders decided to do to protect the Mexican wolf after they learned about endangered animals and the concept “extinction”. Parents, pre-school students and the rest of the community enjoyed and learned a lot from primary students. ¡ We are so proud of them!!! We congratulate and thank their teachers for such a great job, as well as people from the community who helped to enrich our students with their knowledge and experience on the academic fair topics!! 147 148 In December a generous family gave us a holiday gift that will keep on giving for years to come. Inspired by Universal Studios’ Harry Potter Park, the Castellanos Ponce de Leon family designed and built our very own house point containers. In order for students to truly feel the growth of their house point totals over the course of the year, each point will now be represented by a small marble, collected in large transparent tubes in the entryway. As the points are tallied every few weeks, the equivalent number of marbles will be added to the tubes. Watch as the totals grow over the year! We hope you and your children enjoy this wonderful new feature of the Lancaster House system as much as we do. An immense thank you to Mr. Castellanos and his family for all their hard work and creativity. Esta noche bohemia tuvo como tema los derechos humanos, y más específicamente el derecho a la cultura. Llegó bastante gente, aunque no tanta como otras veces; lo que fue una lástima ya que hubo espectáculos muy buenos. Los presentadores fueron los mismos que la vez pasada: Daniel Robles y Jimena Orrantia. Entre acto y acto ellos contaban chistes, anunciaban la cafetería (que esta vez la organizaron los responsables de los proyectos de “Amnesty y Un techo para mi país” para recaudar fondos) y leían algunas reformas que se han hecho a las leyes en México respecto al derecho a la cultura. También hicieron un gran trabajo entreteniendo al público mientras se arreglaban algunas fallas técnicas. A pesar de estos pequeños inconvenientes, todo mundo se la pasó muy bien. Se presentó un video sobre el cigarro hecho por las alumnas Ingrid Alejandre y Ana Millán. Las responsables de Amnesty International pasamos a explicar el evento de “Write for Rights” que se llevó a cabo ese día en la escuela e invitamos al público a escribir más cartas. El maestro Mark Blythe nos leyó un poema de C.S. Lewis y, como siempre, lo que más abundó fue la música. Además de las personas que ya estamos acostumbrados a ver en estos eventos como Santiago Izeta y su guitarra, los gemelos Cantú con clarinete y piano, Emilio Gutiérrez solo con su guitarra o acompañado por la bonita voz de Adriana Guinea, Mariana Castillo en el piano, Eugenia Morales y Fernanda Cabral cantado en dueto composiciones de Eugenia. También se presentaron nuevas caras como la increíble banda de Santiago, León, Elliot y César, que a pesar de estar empezando, suena bastante bien. Valeria Cepeda, Mariana Barrientos y Eugenia Morales hicieron algo nunca antes visto al tocar un ritmo con vasos y cantar a capella. Al final y después de haber pasado un rato agradable, entre todos recogimos mesas, manteles, sillas y velas para poder terminar pronto y que todos pudieran volver a sus casas a descansar. Diana González Santillán Al rescate del Lobo Mexicano M ás de dos mil pesos recolectaron once compañeros de segundo grado para ayudar a proteger al Lobo Mexicano. En tan solo tres días, uniendo esfuerzos y con mucho entusiasmo reunieron el dinero que posteriormente entregaron a la fundación encargada de proteger a esta especie. Su interés y preocupación por este animal surgió con la pasada Unidad de Indagación cuyo tema fue “Animales en Peligro de Extinción”. Carolina Matute (G2Y), a través de una investigación se enteró de que esta especie actualmente se encuentra extinta en libertad y buscando más allá dio con la Fundación Lince, una Sociedad Civil dedicada a la conservación de la biodiversidad global a través de varios proyectos ambientales, entre los que se encuentra precisamente la de “Rescatemos al Lobo Mexicano”. Después de ponerse en contacto con esa organización Carolina junto con Alexa Alemán, Alba Fernández, Sofía Peñaloza, Sofía Villavicencio, Alina Real, Fabiana Núñez, Montserrat Posadas, Montserrat Marín, Arturo Sandoval y Alberto Gau Tinoco, apoyados además con el entusiasmo de Constanza y Sofía, hermanas de Caro y Alba, decidieron que la mejor manera de apoyar la causa sería informando sobre la situación del lobo mexicano en nuestro país y recaudar fondos entre la comunidad de la escuela para ayudar a la campaña de Fundación Lince. Rodrigo Lince, director de la Fundación acudió a las instalaciones de Rey Yupanqui para explicar a toda la generación de segundo de primaria por qué el lobo mexicano se encuentra en peligro de extinción. Rodrigo les platicó que por desgracia el lobo mexicano ha sido víctima de historias, fábulas y mitos que han confundido a la gente, haciéndola creer que estos bellos animales son lobos salvajes. La falta de información, la cacería furtiva, los granjeros, los ganaderos y la destrucción de su hábitat le han costado al lobo mexicano su libertad y casi su existencia sobre en el planeta. El lobo mexicano es una especie extinta en libertad. Su situación fue provocada por factores diversos como el crecimiento de poblados y ciudades que ocasionaron la destrucción de los bosques donde habitaba. Otro factor que puso al lobo mexicano en peligro de extinción fue la caza furtiva del venado de cola blanca. Ese animal era la principal presa del lobo mexicano y al casi extinguirse, el lobo mexicano empezó a cazar ganado. Eso provocó que los granjeros iniciaran en contra de él una dura campaña de exterminio en su contra. Después de muchos años, los gobiernos de México y Estados Unidos preocupados por la situación del lobo mexicano trataron evitar su extinción rescatando a los que quedaban vivos, sin embargo tan solo lograron encontrar a cuatro lobos y a partir de ahí iniciaron un programa de reproducción en cautiverio. Esta historia hizo reflexionar a los alumnos de segundo grado sobre la importancia de la conservación de los ecosistemas y las causas del exterminio de las especies. Pero además para hacer más emocionante su visita al Lancaster, Rodrigo sorprendió a todos cuando les presentó a Zachary, un hermoso descendiente de perro y lobo mexicano, el cual pudo convivir y ser acariciado por todos los niños que así lo desearon. Tambien, los niños conocieron la forma de las huellas del lobo mexicano y pudieron moldearlas en plastilina y yeso. Para todos fue una experiencia muy divertida y emocionante. Para recaudar fondos, los niños aprovecharon el bazar navideño de la escuela para vender galletas, brownies y pasteles, algunos hechos en casa por ellos mismos, además de separadores de libros, estuches de lápices, así como pulseritas con el logo de la fundación Lince. Con mucho entusiasmo y emoción se dedicaron a atender su puesto y a pedir dinero para la campaña en contra de la extinción del lobo mexicano. Una vez terminado el bazar, se reunieron todos para contar el dinero y grande fue su sorpresa al juntar $2594.50 (dos mil quinientos noventa y cuatro pesos con cincuenta centavos). Dinero que fue entregado en las instalaciones de la fundación ubicadas en el Bosque de Tlalpan. De esa manera quedó concluida su aportación a esta asociación y luego de la enriquecedora experiencia que tuvieron ya están pensando a que otra institución o causa apoyar. 149 150 Feria Filantrópica Evento de lanzamiento de nuestra revista FULCRUM No. 17 Por María Eugenia Hinojosa* El sábado 11 de junio se llevó a cabo la Feria Filantrópica con motivo del lanzamiento de nuestra revista FULCRUM No. 17. Los alumnos de Rey Yupanqui iniciaron el programa con la canción Que canten los niños. Enseguida se realizó la presentación de la revista, dirigida por Lourdes Mondragón como moderadora. Los ponentes fueron: Dave Jones, Director de Preescolar y Primaria, plantel Rey Yupanqui, papá de Natalia Sian Jones Mondragón (2nd), Ricardo Bucio, Presidente del Consejo Nacional para Prevenir la Discriminación, Papá de María (F3), Ana Paula (5th) y José Alberto (exalumno) Bucio Pérez, Edith Tovar, Maestra de Procura, Faculty de la Universidad de Indiana Escuela de Filantropía, Representante para América Latina en el comité de Etica de AFP, Miembro del advancement comité de AFP, Mamá de la exalumnas Lorena y Elisa Castro Tovar y Rosy Murcia, Directora Técnica de Primaria, Responsable del Comité de Responsabilidad Social, mamá de Sergio Santiago Venegas Murcia (3rdB). 8 Asistente de la Dirección General, responsable del Comité de FULCRUM del plantel Diligencias 152 Las palabras de pre-cierre fueron dirigidas por Ana María Sánchez Rodríguez, directora de Vinculación Social. CDHDF y las de cierre por la Lic. Claudia Fernández Jiménez, directora general de Enlace y Desarrollo con ONG. CNDH. Al término se llevaron a cabo de forma paralela las siguientes actividades y conferencias: Actividades: - Tema musical Color de esperanza. Cantaron alumnos de Rey Yupanqui. - Presentación especial por pate de Mariana Rudich, profesora de drama del plantel Diligencias. - Obra de teatro a cargo de niños del grupo de drama dirigidos por Olwen Kelly y Ruth Hitchcock, profesoras del plantel Rey Yupanqui. - Bailables regionales por parte del grupo regional Lancaster, dirigidos por Tere Álvarez. - Presentación especial por parte de Daniel Gutiérrez, vocalista del grupo La Gusana Ciega, papá de León (PF) y Dante (K1) Gutiérrez Estrada. - Tema musical We are the world. Cantaron alumnos de Rey Yupanqui acompañados por sus profesores y los demás asistentes. Todas las melodías fueron dirigidas por Miguel Robledo, profesor de música de preescolar y primaria. Conferencias: - Centro Mexicano de Rehabilitación de Primates, A. C. Primates que Ayudan a Primates por Carlos Santillán. - Casa de la Amistad para Niños con Cáncer, I.A.P. Plática sobre el video institucional por Diana Camarena. - Comisión Nacional de Derechos Humanos (CNDH). Las mujeres y el tema de violencia por Elsa Ancona y Lourdes Santillán. - Amistad Británico Mexicana por Rabell Navarrete. - Natura y Ecosistemas Mexicanos A.C. Proyecto en la Selva Lacandona por Julia Carabias. Stands de instituciones: - ACUDE Hacia una cultura democrática. Amistad Británico Mexicana. Fundación Barrilito, A. C. Casa de la Amistad para niños con cáncer, I.A.P. Centro Mexicano de Rehabilitación de Primates, A. C. Comisión Nacional de los Derechos Humanos CODIC – Comunidad de Desarrollo Integral Copilco, A. C. Proyecto de Alfabetización de Lancaster Fundación Nacional Cáncer Cérvico Uterino, A. C. Grupo AFRYCA – Grupo de afrontamiento y calidad de vida en tumores óseos, durante el proceso del tratamiento y rehabilitación de su padecimiento. Natura y Ecosistemas Mexicanos, A. C. Omeyocan – Comienzo a una Nueva Vida, A. C. Un Techo Para mi País. Children’s University. Puestos de comida y venta de garaje: También contamos con la valiosa colaboración de los integrantes de las Asociaciones de Padres de Familia, los alumnos y profesoras del grupo de Inclusión y los miembros de la cafetería de la escuela Smarty Meals Café quienes aportaron productos y su tiempo para la recaudación en beneficio de la escuela; al igual que Alicia Palma quien dirigió la venta de garaje para la misma causa. La cantidad que se recaudó de los puestos de comida y la venta de garaje para nuestro proyecto Lancaster Construye fue de $14,382.50 Mural colectivo: Algunos miembros de la comunidad participaron en el Mural colectivo. Agradecemos la colaboración de Dave Jones, Florencia Ruiz, Lourdes Mondragón, Víctor Manuel Lupián, María Eugenia Hinojosa, Gaby Torres y Juan Carlos Quijano por la entusiasta organización de este evento. A Érika Brust, Eréndira Kelly, Armando Suárez, Liliana López, miembros del Comité de FULCRUM, a Christian Hernández y Carlos Reyes, del departamento de sistemas, a todos los miembros de los departamento de intendencia, mantenimiento, seguridad, dirección, etc., y a los integrantes de las Asociaciones de Padres de Familia, quienes participaron ese día. Fue un evento extraordinario. Extendemos una felicitación especial a Víctor Manuel Lupián, papá de Manuel Lupián Mena (2stY) por el diseño de la revista. Comentarios sobre el evento de lanzamiento de FULCRUM 17 “Filantropía” ¿Qué impacto deja en mí este día? --- Muchísima participación; esta es la comunidad Lancaster que debemos ser. Existe aún mucho que hacer y existen muchos proyectos que desconocemos. Debe haber un seguimiento. La voluntad y servicio existen, requerimos de métodos para alentarlos --- Me gustó muchísimo la solidaridad de la comunidad Lancaster, la convivencia. Excelente evento, un buen pretexto para hacerlo más seguido. Este tipo de eventos sí reflejan la filosofía de la escuela. Gracias. --- Varias cosas: La unión hace la fuerza. Un granito más otro granito, forman una montaña. Filantropía: compartir en forma organizada sistematizando recursos. Compartir es el camino para la paz en México --- Siempre hay por quién ayudar, y nos muestra algunas asociaciones, sociedades o grupos en los que podemos apoyar o bien a través de este colegio. Gracias por sensibilizarnos, además de la integración familiar que se fomenta con estos eventos. --- Muy constructivo, me da mucho gusto enseñarles a los niños que con la bondad y la ayuda podemos crear un mundo mejor. ¡Gracias! --- La organización y cooperación de cada uno de los puestos --- Que se transmite a los niños qué es el futuro y se verá reflejado en las nuevas generaciones para una convivencia mejor entre los seres humanos y su entorno. --- Simplemente sigamos por este camino. ¡Felicidades! Hiram Medero --- La reafirmación de pertenecer a una gran comunidad escolar que integra familias, en toda la extensión de la palabra. La enorme satisfacción de ser parte del comité de FULCRUM. --- He conocido sobre la riqueza humana de esta comunidad. --- Me dio gusto sentir una comunidad participativa y entusiasmada. ¡Felicidades! Damos G. --- Felicito a La Escuela de Lancaster por organizar eventos de esta magnitud. Salí con el corazón lleno de entusiasmo y emoción. Creo que todos los que asistimos estamos más conscientes de nuestra obligación como seres humanos, de practicar la filantropía. ¡Gracias! Tere Ruiz --- Me parece fantástico que nuestros niños puedan participar de primera mano con algo tan importante en su formación como la ayuda a los demás. Muchas felicidades. --- Me parece que es muy bueno para convivir. Sigan haciendo esto. Saludos. Roberto Pérez y familia. --- ¡Saber que se puede! --- Que hay que hacer más. --- De maravilla, se nota que lo que predican, lo viven intensamente y que los niños, jóvenes y adultos captan el mensaje de filantropía que es amor a la humanidad, que todo el mundo debería alimentarse aunque fuera un poco, para vivir en paz, armonía y amor. 153 154 --- “Felicidades”, me siento muy orgullosa que mis nietos Andrés y Michelle Lot estén en esta escuela donde se vive un lindo apoyo y respeto a los demás. Bertha Eugenia Berruecos . --- Amor al prójimo, a la naturaleza, a los animales. --- Este día fue muy padre, las actividades, manualidades, los stands, las canciones, las conferencias y todos los proyectos que tienen que ver con la filantropía, llevo 4 años en Lancaster y de todas las revistas de FULCRUM ésta es mi favorita. Me gusta mucho la filantropía. Me gustó mucho la feria filantrópica. Ojalá vuelvan a hacer una feria así. Padrísimo. Felicidades Lancaster. Manuel Peñaloza Mejía (alumno de F1M plantel Diligencias) --- ¡Qué bien que se aborden los temas de derechos humanos en nuestra escuela! Héctor Garduño --- Felicidades, les quedó un evento muuuy padre. --- Yo no soy madre de ningún alumno del Colegio Lancaster; sin embargo, puedo decir gratamente que es una dicha darme cuenta de que todavía podemos soñar con cambiar el mundo a través de las nuevas generaciones y, con el apoyo de colegios como éste, que todavía nos dan muestra de cómo crecer en nuestro lado emocional. Fue una linda experiencia. ---. Aprendizaje para la familia sobre la Filantropía y convivencia en familia y con la comunidad de Lancaster. --- Un rato de reflexión y tranquilidad. Es difícil comprender que somos uno, la unidad, universo-humanidad. --- Me pareció muy padre la idea. Me dejó más consciente de que hay muchas formas de ayudar. Se me hizo muy padre convivir con otras familias y sentir como siempre la cooperación de todos. --- ¡Me encanta que la comunidad se involucre! Pero estaría muy bien que trabajemos el dar y compartir no sólo desde el punto monetario. Compartir nuestro tiempo y nuestros conocimientos, lo que somos. Bien por el proyecto de alfabetización, que además de formativo es 100% filantrópico. --- No vi que tuvieran un control sobre el dinero cuando pasaban a recogerlo. Y esto sí es importante. La participación que tenemos para poder lleva a cabo este tipo de eventos. Graduation Speech 2011 155 Alan Downie* Good morning. Some of you have been here for sixteen years, others for less, but you have all sat through a large number of classes of mathematics, science, English, Spanish, history, geography, etc. in that time, and as I look at you I wonder what you will take away with you. How much of what you have learned will actually be useful to you in the future? And more importantly, what will you need that you have not learned during your time here? As I looked around me last Friday at the graduation party, and then a few hours later at the Philanthropic Fair on Saturday morning, I decided that our last moment together should be devoted to a reflection on probably the most important aspect of human existence – love. A strange choice, perhaps, for a school graduation, but entirely appropriate, I believe, for a school which seeks to foster an ethic of care based on the notion that each and every one of us is a unique individual and that our goodness and our identity are inextricably linked to those around us. Love is a horribly overused, and abused, word. It has been commercialised, sentimentalised, debased and devalued, but in its truest form it is the basic life force that characterises the human condition. Gandhi said of love that “it is the strongest force the world possesses, and yet it is the humblest imaginable”. He also said that “where there is love there is life”. I would go further and say that where there is not love there is not life. It is hard to imagine that we could live a full life without having someone to love. So what is this love that I refer to? Martin Buber claims that all life is encounter and emphasises the need to recognise our interdependence with those we love – to absorb them into our own identity and allow them to become part of who we are. Only then can we find fulfilment and contentment, and truly strive to know ourselves. Through our interactions with our fellow beings we become what we are as we touch their lives and they * Headmaster, maths teacher. Upper School. Diligencias site. Papá de Sara (U6) y Ángela (exalumna) Downie Ruiz Velasco 156 touch ours. So love is about connecting with people in a way that acknowledges our interdependence. But how do we make that connection? I would like to take a little time here to explore some very powerful ideas to do with connection, which I came across recently through a talk by Brené Brown called “The Power of Vulnerability”, which formed part of the 2010 Houston TED talks. I am very grateful to the mother who sent me the link and highly recommend watching the whole talk. But here I will pull out some key ideas. The talk starts from the premise that connection is why we are here. It’s what gives purpose and meaning to our lives. As she began to research connection, Brené Brown found that there was a recurring theme that came up time and again – and it turned out to be shame. Shame, she says, is easily understood as the fear of disconnection – is there something about me that if other people see it or know it I won’t be worthy of connection? And so we are led to the central idea of vulnerability – in order for connection to happen we have to allow ourselves to be seen. Really seen. And she found that people who have a strong sense of love and belonging believe that they are worthy of it. The one thing that keeps us out of connection is our fear that we are not worthy of connection. So what do we need in order to believe that we are worthy of love and belonging? Brené Brown found three things in the people that she encountered. Courage, which comes from the word “cour” or heart. Courage is telling the story of who you are with your whole heart. They had the courage to be imperfect. Compassion. They had the compassion to be kind to themselves first and then to others. We cannot practise compassion with other people if we do not treat ourselves kindly. Authenticity. They had connection as a result of authenticity. They were willing to let go of who they thought they should be in order to be who they were. They fully embraced vulnerability. They believed that what made them vulnerable made them beautiful. They talked about the willingness to say “I love you” first. The willingness to do something where there are no guarantees. The willingness to invest in a relationship that may or may not work out. So it turns out that vulnerability is a complex phenomenon. It is at the core of shame and fear and our struggle for worthiness but it appears that it is also the birthplace of joy, of creativity, of belonging, of love. And many of us struggle with it. We try to numb vulnerability, and with it, shame and fear. But we cannot selectively numb so we also numb joy, gratitude, happiness, and then we are miserable and we are looking for purpose and meaning, and so we feel vulnerable and we fall into a dangerous cycle. 157 158 How do we numb vulnerability? One way is through addiction. But there are others. We try to make everything that is uncertain, certain. We blame. Blame is defined in the research as “a way to discharge pain and discomfort”. We perfect. We take fat from our butts and put it in our cheeks. We pretend. That what we do does not have an effect on people. By rejecting our vulnerability we lose the power to love. By trying to control and predict our lives we lose opportunities to experience happiness, joy and gratitude. Love is about letting people into our lives, allowing them to become part of who we are, accepting our imperfections, and theirs, recognising who we really are, and embracing interdependence. Love works in many ways and on many levels. It can take us by surprise and we can take it for granted. It is messy, unpredictable, uncontrollable and inexplicable. But we cannot live without it, and the more we love the more fully we live. It is not easy, it requires a lot of effort, understanding, patience, forgiveness, faith, trust and humility, as well as courage, compassion and authenticity. There is no subject on the curriculum called “love” but I hope that during your time at this school you have started to learn to love. You will undoubtedly spend the rest of your lives continuing to do so. I will leave you with some concluding thoughts from Brené Brown and a song recommended to me by another good friend, which feels particularly suitable for the moment we find ourselves in today and the theme of this speech. We are imperfect and we are wired for struggle but we are worthy of love and belonging Let ourselves be seen, deeply seen, vulnerably seen Love with our whole heart, even though there is no guarantee Practise gratitude and joy Believe that we are enough. Stop screaming and start listening. Be kinder and gentler to the people around us, and be kinder and gentler to ourselves And in those moments of terror when we are wondering “Can I love you this much?”, “Can I believe in this as passionately?”, “Can I be this fierce about this?” stop and say “I am just so grateful because to feel this vulnerable means that I am alive” I love you all.