Problemas de repaso 1. Curvas

Problemas de repaso
Geometría de Variedades
31 Octubre 2004
1. Curvas
1. Demostrad que la curva
r(t) = (2 cos2 (t), sen(2t), 2 sen(t))
es regular y yace sobre una esfera y un cilindro (Ecuaciones implícitas).
2. Dibujad la imagen de la curva (Folium de Descartes)
α : (−1, ∞) −→ R2
α(t) = (
3at
3at2
,
)
1 + t3 1 + t3
Dad ecuaciones implícitas.
3. Representad grácamente y dad ecuaciones implícitas de la curva hoja
de trébol c(t) = (cos 3t cos t, cos 3t sen t).
4. Encontrad las tangentes y normales del astroide c(t) = (a cos3 t, a sen3 t).
Representad grácamente la curva. Dad su ecuación implícita. ¾Que puntos son singulares?
5. Encontrad las ecuaciones de la tangente y la normal a la elipse y a la
hipérbola
c(t) = (a cos t, b sen t) c(t) = (a(t + 1/t), b(t − 1/t))
6. Estudiad y representad la espiral de Arquímedes con ecuaciones
c(φ) = (aφ cos φ, aφ sen φ)
7. Curvas babosa Limaçons de Pascal. Dad ecuaciones paramétricas
de la curva de ecuación polar ρ = 2 cos t + a. Representad dichas curvas
para distintos valores de a. ¾Para que valores de a la curva presenta una
singularidad? Encontrad las inexiones y los vértices de dichas curvas.
1
8. La tractriz. Representad la curva de ecuación
t
α(t) = (sen t, cos t + log tg ) t ∈ (0, π)
2
y demostrad que es regular salvo si t = π2 . Comprobad que la longitud del
segmento sobre la tangente entre la curva y el eje es constante.
9. Estudiad el Deltoide de ecuación θ → 13 (2eiθ + e−2iθ ).
10. La cisoide de Diocles tiene ecuaciones paramétricas
α(t) = (
at2
at3
,
)
2
1 + t 1 + t2
ecuación implícita y 2 (a − x) = x3 y ecuación polar ρ =
a sen2 θ
cos θ .
Estudiad y representad la curva (cambio t = tan θ). Calculad la longitud
de arco de la curva.
2. Supercies
1. Se considera la aplicación x(u, v) = (u + v, u − v, uv) de R2 en R3 .
a ) La aplicación x(u, v) determina una supercie en paramétricas.
b ) La aplicación x es inyectiva, y es un homeomorsmo con su imagen
(carta propia).
c ) Ecuación implícita f (x, y, z) = 0 de esta supercie.
d ) La aplicación x es suprayectiva sobre el conjunto f (x, y, z) = 0.
e ) Plano tangente en uno de sus puntos.
Este es un ejemplo de una supercie con una sola carta. Véase que esto no
es posible para la esfera x2 + y 2 + z 2 − 1 = 0, ni para ninguna supercie
compacta.
2. En que casos la aplicación siguiente de R2 en R3 es una supercie regular
y cuando es inyectiva:
a ) x(u, v) = (u, uv, v).
b ) x(u, v) = (u2 , u3 , v).
c ) x(u, v) = (u, u2 , v + v 3 ).
d ) x(u, v) = (cos 2πu, sen 2πu, v).
3. Determinad las formas fundamentales de la esfera
f (u, v) = (cos u cos v, cos u sen v, sen u) (u, v) ∈ (−π/2, π/2) × R
Calculad la imagen de la aplicación. ¾Es inyectiva?
2
4. Determinad las formas fundamentales del toro
g(u, v) = ((a + b cos u) cos v, (a + b cos u) sen v, b sen u) a > b > 0 u, v ∈ R
Calculad su área y ecuaciones implícitas (es una supercie algebraica dada por un polinomio de grado cuatro).
5. Las dos supercies de los dos problemas anteriores son casos particulares
de la supercie de revolución f (u, v) = (h(u) cos v, h(u) sen v, k(u)) que
se obtiene al girar la curva plana u → (h(u), 0, k(u)) en el plano XZ, y = 0
alrededor del eje Z . Determinad en que condiciones f es una supercie.
6. Helicoide El helicoide o escalera de caracol se obtiene haciendo girar
una recta a medida que se mueve a lo largo de un eje perpendicular. Las
trayectorias que describen los puntos de la recta son hélices. Pueden darse
ecuaciones paramétricas
x(u, v) = (u cos v, u sen v, av) a 6= 0
Comprobad que es una supercie y encontrad ecuaciones implícitas.
7. Supercies de deslizamiento. Un grupo uniparamétrico de movimientos es una aplicación diferenciable γ : R × R3 → R3 de manera que si
t ∈ R y γt : R3 → R3 viene dada por γt (x) = γ(t, x), la aplicación γt es un
movimiento y γs γt = γt+s , i.e. γ es un homomorsmo de R en el grupo de
movimientos.
En resumen, un grupo uniparamétrico de movimientos es una curva en el
grupo de movimientos que es homomorsmo de grupos. Su imagen es un
subgrupo de dimensión uno y queda determinado por la derivada en el
origen.
Una supercie de deslizamiento es una supercie obtenida por la acción
de un grupo uniparamétrico a una curva c = c(v). La supercie tiene
ecuaciones paramétricas f (u, v) = γ(u, c(v)).
Véase que las supercies de revolución y el helicoide son ejemplos de supercies de deslizamiento.
8. Denimos f : U → R3 como f (u, v) = (u2 , uv, v 2 ). Determinad U para
que f sea regular. ¾Cuando es inyectiva? Calculad su imagen.
9. Dada una curva plana c(u) = (x(u), y(u)) puede denirse el cilindro sobre
c como la supercie
f (u, v) = (x(u), y(u), v)
Comprobad que si la curva es regular el cilindro es una supercie regular.
10. Una supercie reglada puede denirse como una familia uniparamétrica
de rectas. En otras palabras se tiene una curva c : I → R3 que se denomina
3
curva directriz y un campo e : I → R3 , e(t) 6= 0 si t ∈ I de forma que la
supercie tiene una parametrización
x(t, v) = c(t) + ve(t)
Cada t ∈ I determina una recta de la familia. Estas rectas se se denominan
generatrices.
Comprobad que el helicoide y los cilindros son ejemplos de supercies
regladas.
11. La desarrollable tangencial de una curva es la supercie reglada generada por sus tangentes. Estudiad sus singularidades.
12. Encontrad ecuaciones implícitas del elipsoide
x(u, v) = (a sen u cos v, b sen u sen v, c cos u)
4