Demostrar que el gradiente es perpendicular a las superficies de nivel

Sea
: R3 ! R un campo escalar diferenciable. Demuestra que r
(x; y; z) = c donde c es una constante.
es un vector perpendicular a la super…cie
Solución:
La variación de la función
d =
está dado como
@
@
@
dx +
dy +
dz
@x
@y
@z
y en el caso en que nos movamos por la super…cie
(x; y; z) = c claramente debemos tener
d =0
ya que en esa super…cie
permanece constante.
Escribimos ahora d como
d =
@
@
@
dx +
dy +
dz =
@x
@y
@z
@ @ @
;
;
@x @y @z
(dx; dy; dz) = r
(dx; dy; dz)
así que
r
(dx; dy; dz) = 0
Como el vector (dx; dy; dz) está localizado en el plano tangente a la super…cie, queda claro que r es ortogonal a la
super…cie (x; y; z) = c.
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