S.Novo y J. Rojo

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S.Novo y J. Rojo
Sobre el espectro continuo de las ecuaciones de la Magnetohidrodinamica
pp. 495-499 in
I Congreso de Matematica Aplicada / XI CEDYA,
Fuengirola, Malaga, Septiembre 1989
1
SOBRE EL ESPECTRO CONTINUO DE LAS ECUACIONES
DE LA MAGNETOHIDRODINAMICA
Sylvia Novo y Jes
us Rojo
Departamento de Matematica Aplicada a la Tecnica
E.T.S. de Ingenieros Industriales, Universidad de Valladolid
47011 Valladolid
Resumen
The spectrum of the linearized Magnetohydrodynamics equations plays an important role in the study of plasma congurations. In this paper we develop a theoretical
and computational method to nd the Alfven frequencies of the Shafranov-Solovev
equilibrium. A comparison is made between the actually computed eigenvalues and
those obtained from the WKB approximation, which is shown to fail for the lower
frequencies. Our method, with obvious modications, may be applied to all toroidal
axisymmetric equilibria.
Clasicacion A.M.S. (1985) : 76W05, 41A60.
1 Introduccion
Las ecuaciones de la magnetohidrodinamica linealizadas en torno a un estado de equilibrio
dado por el campo B, la presion p y la densidad forman un sistema de ecuaciones en
derivadas parciales de tipo mixto elptico-hiperbolico
B rb + b rB , rp , i !u = 0
"
#
1
1
1
(1)
B ru , u rB + (u rp)B , i ! b + (B b)B , p B = 0
p
p
p
B (B ru , u rB) , u rp , (p + B ) div u , i !p = 0
El espectro esencial ([9]) del operador asociado a este sistema es fundamental para determinar la estabilidad de la conguracion de equilibrio ([1],[2]) inicial. Las conguraciones
cuyo objetivo sea connar el plasma incluso a temperaturas de fusion deben poseer buenas
condiciones de estabilidad.
2
Figura 1: Distribucion de las supercies S y de las lneas del campo en cada una de ellas.
El tipo mas apropiado de connamiento toroidal del plasma se obtiene mediante campos
magneticos que conguran el plasma en una familia (S ) de supercies anidadas unas
1
en otras, de manera que las lneas del campo estan contenidas en dichas supercies. Si
suponemos que las lneas del campo cubren ergodicamente las supercies, la presion p = p( )
es constante en cada supercie. En el caso toroidal axisimetrico, los posibles perles de
equilibrio = (R; y) ( donde R, , y son las coordenadas cilndricas relativas al eje de
simetra) no dependen del angulo toroidal, , y vienen caracterizados por la ecuacion de
Grad-Shafranov ([6])
!
!
@
1
@
@
dp
dI
R @R R @R + @y = , R d + I d
(2)
En el presente estudio hemos considerado el equilibrio de Shafranov-Solovev
= R , y , (1 , R )
(3)
considerado como representativo de las conguraciones toroidales.
2
2
2
2
2
2 2
Figura 2: Corte con = cte de las supercies del equilibrio de Shafranov-Solovev.
Esta probado ([1])que, jado un modo de Fourier,m, en el angulo toroidal y excluyendo
el eje magnetico, el espectro esencial de (1) consiste en ! = 0 y en los autovalores de la
ecuacion
P[B rb + b rB] = i !u
(4)
1 (B b)B]
P[B ru , u rB] = i ! [b + p
para todas las supercies de ujo, donde P representa la proyeccion que aniquila la componente normal a la supercie S . Los autovalores de (4) son justamente lo que se conoce
como frecuencias de Alfven.
En la actualidad se ha propuesto el calentamiento del plasma hasta temperaturas que
permitan la fusion nuclear mediante ondas electromagneticas de las frecuencias bajas de
Alfven ([3],[4]). Se trata de hacer que ciertas supercies absorban la energa de ondas electromagneticas con cuya frecuencia son resonantes. Esta resonancia es tambien la causa de
las perturbaciones de corto perodo de la magnetosfera terrestre ([5]).
2 El espectro de Alfven para la conguracion de ShafranovSolovev
Para la conguracion de Shafranov-Solovev, (3), la ecuacion (4) se reduce al siguiente sistema
de ecuaciones diferenciales ordinarias ([7])
02
3
2
31
pK
0
0
0
,
T
0
0
BB66 K p,R H
77
66 0
0p 0 777C
CC
,
1
0
0
Km
R
B
6
7
6
0
R H
K
H
H
x =B
6
7
+
i
I
,
i
!
6
7
B@64 0
CA x ;
0
T
0 75
F
2F 64 1 + ppR2 pR2 0 0 75C
K H 1+
0
0 , KRpH R 1
pR2
R2 0 0
4
2
(1
)
2
2
(1+ )
2
5
2
o, abreviadamente,
x0 = A(R;
donde
)x + i mC (R; )x + i !B (R; )x ;
(5)
2 b (R) 3
66 bv(R) 77
x(R) = 6
4 uv (R) 75
u(R)
q
F (R; ) = y(R; ) = R , (1 , R ) ,
2
2 2
G(R) = R(6 , 4R )
H (R; ) = 4F + G = 4(4R , 13R + 12R , , 1)
R + + 1)
T (R; ) = 4(8R , 13RH
q
K ( ) = I (2 ) = + 1
Aqu, la frecuencia !, el modo m de Fourier para el angulo toroidal y la supercie aparecen
como parametros. Lo que se busca son los valores de ! para los que (5) admite soluciones
no triviales en [R ; R ] para las partes superior e inferior de la supercie que formen una
solucion periodica sobre la supercie. O sea, si denotamos por x0 = M x el sistema (5)
y por x0 = M x el sistema (5) sustituyendo F por ,F (es decir, el correspondiente a la
parte inferior de la supercie), y si (R; !) y (R; !) representan matrices fundamentales
principales en R de dichos sistemas, lo que debe ocurrir es que exista x 6= 0 tal que
(R ; !)x = (R ; !)x . Esto equivale a que
det( (R ; !) , (R ; !)) = 0
Las frecuencias buscadas son pues los ceros de dicha funcion o, equivalentemente, de la
funcion
! ,! det(Im (R ; !));
(6)
como es facil comprobar ([7]). Es posible limitar la busqueda de los ceros a ! real, puesto
que, para la conguracion estudiada, las frecuencias de Alfven son reales ([8]).
2
2
2
6
4
6
1
2
4
2
1
2
1
2
1
1
2
0
2
0
2
0
1
2
2
1
2
2
3 Comparacion con la aproximacion de la optica geometrica
Como es sabido, ([10]), para valores grandes de ! se puede buscar una solucion aproximada
de la ecuacion (5) de la forma
eim i!t R g(R)
cuya diferencia con la solucion real es de orden 1=!. El valor de la fase (R) viene determinado por la ecuacion eikonal
d ) = 0
det(i!B + imC , I dR
Esto signica que d=dR es un autovalor de la matriz
i!B (R; ) + imC (R; )
+
+ ( )
y, dado que C (R; ) es de la forma KF I , los posibles valores de (R) son
ZR
ZR
i! j (R) dR + im F K
(R) dR ; j = 1; ; 4
R1
R1
siendo (R); ; (R) los autovalores de B (R; ). Ahora bien, la fase (R) debe corresponder a una funcion bien denida en la supercie luego el valor que toma la funcion e en
R no tiene que cambiar al sustituir F (correspondiente al camino superior de la supercie)
por ,F (correspondiente al camino inferior). Como con dicho cambio B pasa a ,B y C a
,C debe vericarse que
e R2 = e, R2 ;
de donde se deduce que los ! buscados son las races de la ecuacion
Z R2
Z R2 mK !
Y
sen !
i (R) dR +
dR = 0 :
(7)
R1
R1 F (R)
i
En nuestro caso
p
R
(R) = , (R) = 2F (R)
p qH (R) + 4K + pR
(R) = , (R) =
2pp F (R)
1
4
2
(
)
(
)
4
=1
1
2
2
3
2
4
Como muestra la gura 3, este metodo produce resultados satisfactorios para valores
grandes de !. En dicha gura se han superpuesto las gracas de la funcion (6) y de la funcion
que aparece en la ecuacion (7), en el caso particular de m = 0, = 0 (correspondiente a una
supercie intermedia, lejos de la separatriz y del eje magnetico) y valores de ! comprendidos
entre 100 y 104.
1.5
1
0.5
0
-0.5
100
101
102
103
104
Figura 3: La curva discontinua corresponde a la aproximacion WKB.
Sin embargo, desde un punto de vista practico, las frecuencias mas importantes son las
mas bajas y aqu es donde las discrepancias son grandes. En la gura 4 se han superpuesto
las mismas gracas que en la gura anterior pero ahora para valores de ! comprendidos
entre 0 y 8.
Los resultados numericos han sido obtenidos en un CYBER 930, con NOS/VE FORTRAN (doble precision de 16 bytes).
1.5
1
WKB
0.5
0
-0.5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Figura 4: La curva discontinua corresponde a la aproximacion WKB.
Referencias
[1] Hameiri, E.: On the essential spectrum of ideal Magnetohydrodynamics. Comm. in Pure
and Applied Math. 38, 43-66 (1985).
[2] Freidberg, J.P.: Ideal Magnetohydrodynamic theory of magnetic fusion systems. Rev.
of Modern Phys. 54, 801-902 (1982).
[3] Chen, L., Hasegawa, A.: Plasma heating by spatial resonance of Alfven wave. Phys. of
Fluids 17, 1399-1403 (1974).
[4] Tataronis, J.: RF Energy absorption due to the continuous spectrum of ideal Magnetohydrodynamics. Courant Institute Report (1974).
[5] Kivelson, M.G., Southwood, D.J.: Coupling of global magnetospheric MHD eigenmodes
to eld line resonance. J. of Geoph. Res. 91, p. 4345 (1986).
[6] Bateman, G.: MHD Instabilities. The MIT Press (1980).
[7] Novo, S., Nun~ez, M., Rojo, J.: Alfven resonance in the Shafranov equilibrium. Preprint
(1989).
[8] Goedbloed, J.P.: Spectrum of ideal magnetohydrodynamics of axisymmetric toroidal
systems. Phys. of Fluids 18, 1258-1268 (1975).
[9] Kato, T.: Perturbation Theory for Linear Operators. Springer (1976).
[10] Courant R., Hilbert D.: Methods of Mathematical Physics (II) . Wiley & Sons (1962).