Tarea 7 en formato pdf

Universidad de Chile
Facultad de Ciencias
Departamento de Fı́sica
Métodos de la Fı́sica Matemática I
Tarea No 7
Publicada el 9 de Mayo de 2003
Profesor:
José Rogan
Ayudante: Claudia Loyola
Entregar el 16 de Mayo, antes de las 12:00 hrs.
1. Muestre que
√
a) sen−1 z = −i ln(iz ± 1 − z 2 ).
√
b) cosh−1 z = ln(z + z 2 − 1).
1
1+z
−1
c) tanh z = ln
.
2
1−z
2. La ecuación de movimiento de una masa m relativa a un sistema de coordenadas rotatorio es
d2~r
d~r
d~ω
~
m 2 = F − m~ω × (~ω × ~r) − 2m ω
~×
−m
× ~r .
dt
dt
dy
Considere el caso F~ = 0, ~r = x̂x + ŷy, y ω
~ = ωẑ, con ω constante. Muestre que el
reemplazo ~r = x̂x + ŷy por z = x + iy produce
d2 z
d~z
+ i2ω − ω 2 z = 0 .
2
dt
dt
Resuelva esta ecuación diferencial sustituyendo z = f e−iωt .
3. ¿Qué parte del plano complejo z corresponde al interior de un cı́rculo unitario en el
plano ω, si
z−1
,
z+1
z−i
b) ω =
?
z+i
a) ω =