F´ısica Matemática 2 Examen Nombre 1. La ecuación de equilibrio
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F´ısica Matemática 2 Examen Nombre 1. La ecuación de equilibrio
Fı́sica Matemática 2 Examen Nombre 1. La ecuación de equilibrio hidrostático para un objeto autogravitante, esférico en Relatividad General es dP m + 4πr3 P = R = 0. (1) + (ρ + P ) dr r (r − 2m) donde Z m(ρ) = m(r) = 4π r ρr̄2 dr̄, y Pr = Pr (ρ). (2) 0 Considere que perturbamos la densidad de la forma ρ + δρ, con lo cual las perturbaciones en la ecuación 1 hasta primer orden se pueden escribir R(ρ + δρ, ρ + δρ, P + δP, m + δm, r) = R(ρ, P, m, r) + δR = R + A(ρ, P, m, r)δρ encuentre la expresión para la A(ρ, P, m, r)1 . (5 ptos) 2. Soponga que una función cualquiera Φ(R) = ∞ X n=0 An R n = ∞ X C n Pn (R) (3) n=0 Es decir, la función Φ(R) se puede expandir en series de potencias y en series de polinomios de Legendre. Encuentre la relación entre los coeficientes An y C n Considere ahora dos sistemas de coordenadas que se encuentran relacionados con la siguiente transformación p R = a (1 + ξ 2 ) (1 − η 2 ) y z = aξη (4) Hacemos una transformación de coordenadas Φ(R) → Φ(ξ, η). Entonces, para plano ecuatorial, es decir el caso ξ = 0 podemos escribir: Φ(R) = ∞ X n=0 An R n → Φ(ξ = 0, η). ∞ X C n Pn (η) (5) n=0 Una vez mas, encuentre la relación entre los coeficientes An y C n . (5 ptos) 3. Un problema muy actual es explicar la curva de rotación de las estrellas en los brazos espirales de las galaxias. Es sin duda uno de los mayores misterios que hoy enfrentamos. Para explicar ese comportamiento anómalo se invoca la existencia de una cantidad importante de materia no luminosa, es decir materia que no vemos y no podemos detectar mas que por sus efectos gravitacionales. En un artı́culo de hace unos años2 Se presentan datos para las curvas de rotación en varias galaxias. 1 Suponga que el gradiente de presiones d P/d r no se ve afectado por las perturbaciones δρ M. A. W. Verheijen y R. Sancisi. The Ursa Major cluster of galaxies. IV. HI synthesis observations. Astronomy and Astrophysics, 370:765? 867, 2001. 2 Luis A. Núñez Universidad Industrial de Santander, Bucaramanga 1 Fı́sica Matemática 2 Examen a) Seleccione los datos correspondientes a las curvas de rotación de la galaxia NGC4389, grafique esos datos y ajústelos con una expansión en polinomios de Legendre. b) De sus cursos de Fı́sica elemental se puede inferir que en el plano ecuatorial de la galaxia ∂Φ(R, z) 2 (6) v =R ∂R z=0 donde v es la velocidad tangencial de las estrellas y Φ(R, z). Entonces, encuentre la gráfica del potencial gravitacional que genera esa distribución de velocidades. c) Encuentre también la gráfica de la distribución de densidad y masa de la galaxia suponiendo que las estrellas son partı́culas de prueba y todo está restringido al plano ecuatorial (5 ptos) Luis A. Núñez Universidad Industrial de Santander, Bucaramanga 2