Control 2B Mate 4

Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Departamento de Matemática
Control 2B Mate 4
22 mayo, 2012
1. Resolver la ecuación de calor de estado estacionario
urr +
1
1
ur + 2 uθ θ = 0
r
r
en el anillo 1 < r < 2 , si se sabe que u(1, θ) = 0 y u(2, θ) = 1 + sen(θ)
Solución:
1
1
Haciendo u(r, θ) = R(r)T (θ) = RT la ecuación queda R00 T + R0 T + 2 RT = 0 . Separando
r
r
variable se tiene
r2 R00 + rR0
T 00
= −
= −λ
T
R
Asumiendo que u(r, π) = u(r, −π) y uθ (r, π) = uθ (r, π) se tiene las ecuaciones
T 00 + λT = 0
T (π) = T (−π)
T 0 (π) = T 0 (−π)
(1)
r2 R00 + rR0 − λR = 0
R(1) = 0
(2)
La ecuación (1) tiene soluciones no nulas cuando λ = 0 , T0 = cte. ; y λ = n2 ,
Tn = An cos(nθ) + Bn sen(nθ)
Para (2) y utilizando que R(1) = 0 :
cuando λ = 0 , R0 = A0 ln(r)
1
2
n
cuando λ = n , Rn (r) = En r − n
r
Luego por el principio de superposición se tiene:
∞ X
1
n
u(r, θ) = A0 ln(r) +
r − n (An sen(nθ) − Bn cos(nθ))
r
n=1
Evaluando en r = 2 queda A0 =
1
, An = 0
ln(2)
n = 1 , 2 , 3 . . . , B1 =
2
y Bn = 0 para
3
n = 2, 3,... .
La solución queda
2
1
u(r, θ) =
ln(r) +
ln(2)
3
MAT024
1
r−
sen(θ)
r
1
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Z
∞
|f (x)| dx converge.
2. Sea fb(w) = F[f (x)](w) tal que
−∞
(a) Probar que: F[f (x − a)](w) = fb(w) e−iaw .
(b) Resolver la ecuación
ut + et ux + 2tu = 0
x∈R; t>0
con u(x, 0) = f (x) .
Solución:
(a) Haciendo el cambio y = x − a la integral queda:
Z ∞
1
F[f (x − a)](w) = √
f (x − a) e−iwx dx
2π −∞
1
=√
2π
Z
∞
f (y) e−iw(y+a) dy
−∞
= e−iwa
1
√
2π
Z
∞
f (y) e−iwy dy
−∞
= fb(w) e−iwa
(b) Aplicando la Transformada de Fourier directamente queda:
ut + et ux + 2tu = 0
⇒
u
bt + et (iw)b
u + 2tb
u = 0
Por otra parte F[u(x, 0)](w) = u
b(w, 0) = F[f (x)](w) = fb(x) .
Resolviendo la ecuación para u
b en la variable t .
u
bt + et (iw)b
u + 2tb
u = 0
⇒
u
b
= −(2t + iw et )b
u
dt
db
u
= −(2t + iw et ) dt
u
b
MAT024
2
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Integrando
⇒
ln(b
u) = −(t2 + iw et ) + C
⇒
u
b = K(w) e−t e−iwt
2
Evaluando en t = 0 se tiene u
b(w, 0) = fb(w) = K(w) . Por lo tanto
2
u
b(w, t) = fb(w) e−t e−iwt
Aplicando la Transformada Inversa y la propiedad dada en (a)
2
u(x, t) = e−t f (x − et )
MAT024
3