ELEMENTOS DE MATEMATICA César A. Trejo 5 Prof. María Esther

ELEMENTOS DE MATEMATICA César A. Trejo 5 Prof. María Esther

ELEMENTOS DE
MATEMATICA
PUBLICACION DIDACTICO CIENTIFICA
ELEMENTOS DE MATEMATICA
Publicación didáctico científica
de la Universidad CAECE - Trimestral
Redacción y Administración:
Avda. de Mayo 1396 - 5Q Piso
Tel.: 38-6250
d e la UNIVERSIDAD CAECE
Director:
Prof. Roberto P.J. Hernández
Secretario de Edición:
VOLUMEKIII
NUMERO XI
Marzo 1 9 8 9
Prof. Miguel García Videla
Colaboradores permanentes:
Dr. Luis Santaló
Dr. César Trejo
Prof. Jorge Bosch
Lic. Nicolás Patetta
Lic. Lucrecia Iglesias
Prof. María E.S. de Hernández
Prof. Elena García
Prof. Ing. Juan José Rodríguez
Con el auspicio del Comité Argentino
de Educación Matemática
Adherido al Comité Interamericano
homónimo
Suscripción anual:
Argentina: 25 A
Exterior: 12 dólares o el equivalente
en moneda de cada país
Ejemplar suelto: 8 A
Ejemplar atrasado: 9 A
Exterior: 4 dólares
Registro Nacional de la Propiedad
Intelectual Ne 42.128
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Editorial
Dharma Gráfica
San José 133 - Tel. 38-5807
(1076) Capital
3
Sobre la conceptuación matemática
5
César A. Trejo
Noticias
14
Los problemas matemáticos en el aula
Prof. María Esther S. de Hernández
Factorización en los enteros. El método de Draim
Dr. Natalio H. Guersenzvaig
Propuesta didáctica
Lucrecia Delia Iglesias
Prof. Olga L. Lescano
La computación como recurso
Bibliografía
15
19
25
Transformaciones del plano en sí mismo
prof. Elena García
Diagramación e impresión:
S U M A R I O
31
41
48
ISSN 0326-8888
Editorial
Iniciamos la presentación de este número, el XI del volumen III de
nuestra revista Elementos de Matemática, solicitando disculpas por un
inconveniente surgido en el número anterior, al incluir el trabajo del Dr.
Natalio H. GUERSENZVAIG titulado "Factorización de los Enteros. El
método de Draim". Por un malentendido entre el cuerpo de correctores
y la empresa impresora se editó en el número X la primera revisión de
imprenta del mencionado trabajo sin haberse concretado la corrección
de errores que, en número considerable, se habían detectado. Resultó de
ello la casi imposibilidad de entender los planteos del autor. Como
estimamos que la publicación de una "fe de erratas" significaría la
realización de un gran esfuerzo por parte del lector interesado, hemos
decidido publicar nuevamente, de manera completa y revisado por el
autor, dicho artículo.
Este número contiene como ya es normal, las secciones fijas a cargo
de los respectivos docentes y dos trabajos originales: Sobre la conceptuación matemática, del ya permanente colaborador de la Revista, Dr.
César A. Trejo, y Resumen de clase, de la Licenciada Olga Lescano. El
primero, es de alguna manera una continuación del trabajo del mismo
autor "El lenguaje matemático"publicado en el número IX, mientras que
el segundo es realmente lo que su título enuncia, un resumen de clase
desarrollada, experimentada y evaluada.
Finalmente, formalizamos la invitación a todos los docentes de nuestra especialidad, anticipada en el N- X, a participar en la Jornadas de
Matemática organizadas por el Comité Argentino de Educación Matemática, con el auspicio del Ministerio de Cultura y Educación de la
Nación, que se desarrollarán en la Universidad CAECE, los días 20,21,
y 22 de abril próximo. Teniendo en cuenta que toda posible demora en
la distribución de la Revista dificultaría la información a tiempo, todos
los suscriptores de la misma recibirán el programa detallado de tales
Jornadas por cuerda separada.
3
Sobre la conceptuación
matemática
César A. Trejo
1. Introducción
1.1 En el desarrollo de unateoríadeductiva se presentan ciertas
proposiciones como ésta:
Diremos que los puntos AVA2,...,
A n están a l i n e a d o s si existe
una recta a la cual pertenecen todos ellos.
Estas proposiciones no se demuestran ni tendría sentido intentarlo, pues no expresan hechos ni contienen nada a demostrar:
simplemente asignan un significado a una palabra, expresión o
símbolo nuevos.
Tales enunciados se llaman definiciones, e importa mucho
(también en la enseñanza) distinguirlos de los demás.
1.2 La introducción de conceptos matemáticos mediante definiciones se hace siguiendo distintos tipos de conceptuación.
En
efecto, además de las definiciones como la de 1.1, que en 2.1
llamaremos nominales explícitas, existen otras llamadas axiomáticas o implícitas (2.2), por abstracción (2.3) y por recurrencia
(2.4).
1.3 Muchas veces un concepto dado se puede introducir de
vahas maneras igualmente válidas desde un punto de vista
puramente lógico pero no igualmente valiosas en el aspecto
metodológico. Porejemplo, una vez definida la distancia entre dos
puntos, la distancia de un punto P a una recta r se puede definir
de estas dos maneras:
D e f i n i c i ó n A. Se llama d i s t a n c i a de un punto P a una recta r a
la distancia PH entre P y el pie H de la perpendicular a r por P.
#p
/
/
// '\
/ /
\
/
\
\
D e f i n i c i ó n B. Se llama d i s t a n c i a de un punto P a una recta r a
la m e n o r de las d i s t a n c i a s de P aun punto de r.
En virtud de un conocido teorema de geometría elemental sobre
perpendiculares y oblicuas, estas dos definiciones son equivalentes desde el punto de vista lógico y conducen al mismo resultado;
pero veremos en 3.1 que la segunda es mucho más valiosa que
la primera.
1.4 Lo anticipado en 1.3 forma parte del propósito fundamental
de este artículo, que será desarrollado en la parte 3 bajo el título
genérico de "Pautas de conceptuación". Pero antes veremos en la
parte 2 lo esencial sobre los tipos de conceptuación señalados en
1.2.
1.5 En una primera lectura de este artículo pueden omitirse las
"Notas". Algunas de ellas (v. gr. las de 3.1) están redactadas en
forma muy sucinta; también algunas notas (v. gr. la de 3.2.2)
suponen conocimientos previos más avanzados.
2. Tipos de Conceptuación
2.1 Definición nominal
2.1.1 Una definición de este tipo, también llamada definición
explícita, es una convención lingüística mediante la cual se
designa por una palabra nueva o un símbolo nuevo, unacombinación lógica de conceptos ya conocidos. Por ejemplo, la definición
de 1.1 asigna un significado a la locución "están alineados",
suponiendo conocidos los significados de "punto", "recta" y "pertenecer".
2.1.2 Muchas definiciones necesitan un teorema que las legitime; por ejemplo la definición siguiente:
Se llama b a r i c e n t r o de un triangulo al punto de intersección de
sus medianas,
sólo tiene sentido sobre la base del teorema:
Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto.
2.1.3 Las definiciones de un conjunto por comprensión y por
extensión, son definiciones nominales. También lo es la definición
siguiente:
Se llama esfera de c e n t r o C y radio 2 cm al conjunto de los
puntos que distan 2 cm del punto C,
que equivale a ésta:
Se llama esfera de c e n t r o C y radio 2 cm al conjunto
{ X; X es un punto y dista 2 cm del punto C}.
2.1.4 Las definiciones nominales corresponden generalmente
al tipo de las llamadas por género próximo y última diferencia o
diferencia específica.En el ejemplo siguiente:
Llamaremos t r i á n g u l o r e c t á n g u l o a todo
triángulo que tiene un ángulo recto.
6
el género próximo es "triángulo", que se supone definido antes, y
dentro de él la diferencia especifica es el cumplimiento de la
condición "tiene un ángulo recto".
2.1.5 Toda definición nominal es eliminable sin más que reemplazar la palabra o símbolo nuevo por su equivalente logico.
2.2 Definición axiomática
2.2.1 Los teoremas de una teoría matemática enuncian propiedades de ciertos objetos o entes ideales, algunos de los cuales
podrán definirse mediante otros, pero es forzoso partir de ciertos
conceptos primitivos u objetos primitivos no suceptibles de definición explícita, y designados por ciertas palabras o signos primitivos, como "proposición", "punto", " e " (pertenencia), etcétera.
Los conceptos primitivos y las proposiciones primitivas se
reúnen en un sistema de axiomas que definen el sistema deductivo. En particular, los conceptos primitivos quedan caracterizados, en todo cuanto interesa a la teoría, por el sistema de axiomas
que satisfacen. Pues bien, esta caracterización de los conceptos
se dice que constituye una definición implícita de ellos, prescindiendo de todo significado material de los mismos. Así, la axiomáticade Peano constituye en su conjunto una definición implícitade
"número natural", "cero" y "siguiente". Tal forma de definición,
objetada como tal por algunos lógicos, es considerada por G.
Peano (1858-1932) y B. Russell (1872-1961).
2.2.2 Cabe comparar este tipo de definición con la de las piezas
del ajedrez. Cada pieza se define (en todo cuanto interesa a ese
juego) por los movimientos que se le asignan, siendo en cambio
accesorios su nombre, forma de materializarla, etcétera. Nótese
que no toda pieza puede definirse independientemente de las
demás, pues sus movimientos pueden depender de ellas (por
ejemplo, "enroque"). Esto tiene más vigencia en la definición
axiomática; solo el conjunto de todos los axiomas define los
conceptos primitivos, y los define a todos a la vez.
2.3 Definición por abstracción
2.3.1 Este tipo de definición se encuentra en la vida diaria a cada
instante. Quien ve unafotografíay una ampliación suede decirque
se trata de una sola fotografía, por suponer sin duda que se ha
obtenido un solo negativo. Las dos figuras tienen de común "algo
a lo que llegamos haciendo abstracción de tamaño, posición,
color, etcétera", y que llamamos forma. La frase entre comillas no
es un modelo de precisión, pero veamos en apretada síntesis,
Cómo se formaliza todo esto mediante una relación de equivalencia: /a semejanza de figuras.
(i) Recordemos que una relación R en un conjunto A se llama
relación de equivalencia si es
reflexiva:
simétrica:
transitiva:
x e A
x R x,
xRy =>yRx,y
(xRy e yRz)=¿xRz,
7
y que una relación de equivalencia R en A determina una partic i ó n del conjunto A en partes llamadas c l a s e s d e equivalencia: laclase de equivalencia C a del elemento a e A es el conjunto
de los elementos x de A que están en la relación R con a:
Ca={x;xRa},
(1)
x e C a <=> x R a.
(1')
o sea
Recordemos también que las clases de equivalencia son dos a
dos disjuntas, o sea, indicando con 0 el conjunto vacío,
C a ^
b
^ C
a
n C
b
= 0,
(2)
y que
C
a
=C
b
«aRb.
(3)
(¡i) Por ser la semejanza una relación de equivalencia, divide o
clasifica las figuras en clases de equivalencia formadas por figuras
semejantes entre sí. Esto permite dar una definición de forma, por
abstracción, reduciéndola a una definición explícita:
F o r m a de una figura es su clase de equivalencia respecto de la
semejanza.
Entonces: Dos figuras tienen la misma forma si pertenecen a la
misma clase de equivalencia, es decir, si son semejantes.
2.3.2 El paralelismo de rectas se define en sentido
conviniendo en que dos rectas iguales son paralelas:
a = b => a (| b,
amplio
(4)
o sea, toda recta es paralela a ella misma.
Veremos en 3.2.1 que la importancia del paralelismo (amplio)
radica en gran medida en que es una relación de equivalencia. En
base a ella se formaliza el concepto de "dirección" de una recta:
Se llama d i r e c c i ó n D a de una recta a a su clase de equivalencia
C a respecto del paralelismo:
Da=C
a
= {x;x||a}.
(5)
Entonces: Dos rectas a,b tienen la misma dirección si pertenecen a la misma clase de equivalencia, es decir, si son paralelas
(a||b).
2.3.3 Consideremos la relación de perpendicularidad de rectas:
a l b. Al reemplazar a y b por otras rectas a' y b' respectivamente
paralelas a ellas, las nuevas rectas siguen siendo perpendiculares, es decir:
(a 1 b, á ||a y b'|¡b) => á I b ' .
(6)
Esta implicación se expresa diciendo que la perpendicularidad
es c o m p a t i b l e con la relación de paralelismo.
Gracias a la compatibilidad (6) tiene sentido la definición siguiente:
8
Definición. Dadas dos dif
I
I
I
|b
,
lb"
recdones D1 y D diremos que
D 1 es perpendicular a D?si
¿
^
una recta cualquiera de t)1 D
1
es perpendicular a una recta cualquiera de D 2 .
Vemos aquí como, para
n
definir una relación (per——
pendicularidad) entre cía^
ses de equivalencia (direcv
D
ciones), se elige en cada
2
clase un elemento o rep r e s e n t a n t e . La compatibilidad (6) puede interpretarse como
invariancia respecto de la manera de elegir los representantes, y
gracias a ella la perpendicularidad entre elementos (rectas) induce una relación entre clases, que seguiremos llamando "perpendicularidad".
Notas
(i) Hemos obtenido, a partirde una relación (perpendicularidad)
en el conjunto A de las rectas de un plano, compatible o invariante
respecto de una relación de equivalencia R (el paralelismo), una
relación entre clases (la perpendicularidad de direcciones). El
conjunto de estas ciases se llama conjunto cociente de A respecto
de la equivalencia R, y se indica por A/R.
Esta manera de definir, a partir de una relación en un conjunto
A otra relación en un conjunto cociente A/R, se llama paso al
c o n j u n t o cociente. De la perpendicularidad de rectas se obtiene
la perpendicularidad de direcciones por paso al conjunto cociente
con respecto al paralelismo.
(¡i) La noción de representante no es una noción canónica, pero
en ocasiones es útil dar un criterio para elegir un representante
(entonces llamado representante canónico) de cada clase de
equivalencia. Por ejemplo, en cada clase de fracciones equivalentes la fracción irreducible de denominador positivo, y en geometría
en coordenadas para cada dirección la recta de ella que contiene
al origen de coordenadas.
(iii) Los matemáticos intuicionistas, como H. Weyl, incluyen las
definiciones por abstracción en una clase más amplia de "definiciones constructivas", señalando que, en último análisis, no importa tanto explicitar qué es un objeto matemático (por ejemplo
una circunferencia o el punto impropio de una recta) como señalar
cómo se lo determina. Dice Leibniz (5 3 carta a S. Clarke): "he
procedido aquí como Euclides, quien al no lograr definir en forma
absoluta el concepto de 'razón' geométrica, convino en qué debía
entenderse por razones iguales".
2.4 Definiciones por recurrencia o inducción
En esta forma de conceptuación se introduce un concepto en el
que interviene un número natural arbirario, y se construye por
inducción el ente E(n) que se define. Por tanto es en realidad un
9
método de razonamiento constructivo que consiste en definir el
objeto E(n) para n=0, es decir, el objeto E(0), y en indicar un
procedimiento para construir E(n+1) a partir de E(n), cualquiera
que sea el número natural n.
Ejemplo:
En lugar de definir la potencia de exponente natural a n (a * 0)
como producto de n factores iguales a a (lo cual no aclararía el significado de a°), podemos definir a n para exponente natural por recurrencia así:
a?
=1,
a n+1 = a n . a,
o sea, llamaremos a ° al número 1, y (supuesto ya definido a n )
llamaremos an+1 al producto de a n p o r a.
Nota
En cada caso el procedimiento indicado debe analizarse sobre
todo con miras a la existencia y unicidad de E(n) y por eso, en
general, una definición por recurrencia se basa en un teorema de
existencia y unicidad, a v e c e s sobreentendido pero en ocasiones
nada trivial.
Es preciso distinguir lo que es propiamente definición, de la
demostración que la justifica.
3. Pautas de Conceptuación
3.1 Alcance o proyección general
En la geometría elemental suele definirse la distancia de un
punto a u n a recta, o de un punto a un plano, o entre rectas ya sea
paralelas disjuntas ya sea no coplanares, o entre planos paralelos,
o entre recta y plano paralelos, mediante las longitudes de ciertos
segmentos de perpendiculares como hemos hecho para el primer
caso en la definición A de 1.3. Esto es posible pero muy inconveniente pues significa dar definiciones suigeneris válidas sólo para
algunos conjuntos especiales (rectas y planos) en lugar de encuadrarlas en definiciones generales, válidas para conjuntos cualesquiera.
Por eso dijimos en 1.3 que la definición B es mucho más valiosa
que la A: es generalizable en forma sencilla y natural para el caso
en que el conjunto r no sea una recta sino otro conjunto cualquiera,
por ejemplo una circunferencia c. Sin más que cambiar "recta r"
por "circunferencia c" en la definición B
de 1.3 tendremos:
Se llama d i s t a n c i a de un punto
P a una circunferencia
c a la med
ñor de las d i s t a n c i a s de P a un punto
""" -de c.
10
Notas
Para ubicar estas consideraciones intuitivas en un marco de
mayor amplitud y precisión recordemos algunos conceptos muy
generales en apretada síntesis.
(i) Una d i s t a n c i a en un conjunto E es una función real d de dos
variables definida en E, es decir, una aplicación
d: E x E - > R
(7)
del producto cartesiano E x E en R (números reales) que cumple
estas condiciones:
D r Carácter definido positivo: d(x,y) > 0 y d(x,y) = 0 <=s> x = y;
D 2 . Simetría:d(y,x)
= d(x,y);
D 3 . Desigualdad triangular: d(x,z) <d(x,y) + d(y,z).
Un conjunto en el cual se ha definido una distancia se llama
espacio métrico . Tales espacios fueron introducidos por el matemático francés M. Fréchet hacia comienzos de siglo, y sus
propiedades métricas y topológicas se han estudiado extensamente.
(¡i) Distancia entre dos conjuntos
Sean X e Y dos conjuntos no vacíos de un espacio métrico E con
la distancia (7). Se l l a m a d i s t a n c i a d e X a Y , y s e i n d i c a p o r d ( X , Y ) ,
al extremo inferíoro ínfimo de las distancias de un punto x de X a
un punto y de Y:
d(X, Y) = inf d(x,y)
para
x e X, y e Y.
(8)
Es inmediato verificar que:
(a)
d(X,Y) > 0;
(b)
d(X,Y) > 0
(c)
d(X,Y) = d(Y,X).
=>XnY=0.
Notemos que no vale la implicación contraria a la de (b). Es
decir:
X n Y = 0 # d ( X , Y ) > 0.
(9)
Por ejemplo en R (números reales) con la distancia d dada por
d(x,y) = [x—y|, es cero la distancia entre los conjuntos d i s j u n t o s .
intervalo abierto (o,1) = {x e R; 0 < x < 1} y {1}
(10)
Este ejemplo muestra también que la distancia entre dos conjuntos puede no seralcanzablecomo
distancia de un punto de uno
a un punto del otro.
(iii) Distancia de un punto a un conjunto
La distancia de un conjunto unitario X = {x} a un conjunto Y se
llama también distancia del punto x al conjunto Y, y se indica por
d(x,Y). O sea, por definición
d (x, Y) = d({x}, Y),
(11)
y en virtud de (8) este número es el ínfimo de las distancias de x
a un punto del conjunto Y:
11
d(xY) = inf d(x,y) para y e Y.
(12)
El ejemplo de (10) muestra que la distancia de un punto a un
conjunto puede ser 0 aunque el punto no pertenezca al conjunto:
1 ^ (0,1) pero d(1, (0,1)) = 0,
y también que la distancia del punto a un conjunto puede no ser
alcanzable como distancia del punto a un punto del conjunto.
Ninguna de estas cosas puede ocurrir si el conjunto es cerrado y
por esta razón en la geometría elemental conviene considerar
conjuntos cerrados, por ejemplo semiplanos, polígonos, círculos,
..., incluidos sus contornos.
3.2 Inserción
Es importante elegir los conceptos sobre los cuales desarrollar
una disciplina matemática procurando insertarlos o enraizarlosen
estructuras generales fecundas y de amplio alcance. Por brevedad nos limitaremos a la inserción del paralelismo entre las
relaciones básicas de la geometría.
3.2.1. En geometría plana se definía antiguamente el paralelismo de rectas estableciendo que dos rectas a, b se llaman paralelas si no tienen ningún punto común. Se define así una relación
que llamaremos de
paralelismo
disjunto:
a |¡ b <=> a n b = 0 .
(13)
El paralelismo disjunto no es una relación de equivalencia pues
no es ni reflexivo ni transitivo. Por eso conviene sustituirlo, como
se hace hoy, por el paralelismo en sentido amplio, en el cual toda
recta del plano es paralela a ella misma (es decir, dos rectas
iguales son paralelas: a = b => a || b).
O sea, se define en el plano el paralelismo en sentido amplio,
llamado simplemente paralelismo, por la equivalencia
a || b <=> (a = b o a n b = 0 ) .
(14)
Es fácil verificar que el paralelismo en sentido amplio es una
relación de equivalencia, y a ello se debe que sea incomparablemente más importante que el paralelismo disjunto.
Como vimos en 2.3, en cada relación de equivalencia se puede
basar una definición por abstracción, y el paralelismo de rectas
permite formalizar el concepto de dirección de una recta.
3.2.2. Análogas consideraciones cabe hacer para el paralelismo de rectas en el espacio y para el paralelismo de planos.
En cuanto a los otros paralelismos de la geometría elemental,
a saber:
paralelismo
de recta a plano
(15)
y su relación inversa
paralelismo de plano a recta,
(16)
no son relaciones de equivalencia (pues no son relaciones en un
conjunto sino de un conjunto en otro), pero también conviene
12
definirlos en sentido amplio, abarcando el caso en que la recta
está incluida en el plano. Pero esta vez por otra razón igualmente
importante: procediendo así, en una etapa más avanzada se
pueden unificar los cinco paralelismos de la geometría
elemental
en uno solo muy general: el paralelismo de variedades lineales.
Nota
El lector que conozca la teoría de variedades lineales recordará
que dos variedades lineales V1 y V 2 se llaman paralelas si de sus
espacios vectoriales asociados E1 y E 2 uno (al menos) de ellos
está incluido en el o t r o ( E 1 c E 2 o E 2 c E 1 ) ; en particular si son
iguales (es decir, el mismo espacio vectorial: E 1 = E 2 ). Y eligiendo
convenientemente las variedades lineales puede ubicarse aquí
cada uno de los paralelismos de la geometría elemental.
3.3. Constructividad
Para dar una ¡dea de la importancia de esta pauta de conceptuación retomaremos un ejemplo que ya hemos considerado en
esta Revista (N 9 4, pág. 10): la semejanza. El concepto de
semejanza es uno de los de tratamiento más infortunado en
enfoques tradicionales. Basta observar que se comienza por
definir la semejanza sólo para triángulos, y luego, por separado,
para polígonos en general, pero nunca se llega a una definición
válida para figuras cualesquiera. Sin embargo, todos tenemos una
noción intuitiva muy clara acerca de la semejanza de figuras
cualesquiera y no dudamos de que una fotografía y su ampliación
son figuras semejantes.
La estrechez del enfoque ofrece un marcado contraste con el
desarrollo de medios instrumentales de fundamento muy sencillo
para producir figuras semejantes a otras. Pensemos en el pantógrafo para re-dibujar croquis o planos en escalas dadas, en
dispositivos ópticos para ampliar fotografías, proyectar diapositivas o películas, etc.
Mientras instrumentos basados en principios geométricos muy
simples construyen figuras semejantes, permanece inmutable
una enseñanza ajena a recursos operativos o constructivos sistemáticos, y aquí hallamos la raíz de su incoherencia. El problema
es superarla eliminando esta raíz, y las consideraciones anteriores nos sugieren un camino natural: si los instrumentos
construyen con eficacia, ¿porqué no imitarlos?
¿En qué se basan todos estos instrumentos?, ¿qué hacemos
siempre al usarlos, por ejemplo al dibujar con un pantógrafo o al
proyectar una transparencia? En todos los casos aplicamos una
homotecia que es una transformación puntual.
Ahora bien, cuando miramos una fotografía y su ampliación
seguimos diciendo que son figuras semejantes aunque ya no sean
homotéticas; pero se puede lograr que lo sean moviendo una de
ellas. Esto nos da la pauta para introducir de una sola vez una
definición general de la semejanza:
13
Llamaremos s e m e j a n z a a toda transformación puntual que sea
una congruencia, o una homotecia, o una composición de congruencias y homotecias.
Además de ser sencilla y completamente general, esta definición es constructiva: no se limita a decir qué es la semejanza sino
que indica cómo se la construye. Por tanto elimina toda engorrosa
cuestión de existencia que surge en el método clásico tan pronto
como se intenta superar un enfoque superficial; pensemos por
ejemplo que en la geometría en una esfera no existe la semejanza salvo si se reduce a la congruencia; dos triángulos esféricos
semejantes, por ser isogonales tienen el mismo exceso esférico y
por tanto igual área.
Nota
Nos hemos limitado a una exposición muy sucinta del concepto
de semejanza. Entrar en los aspectos sólo señalados aquí nos
llevaría a definir formalmente otras transformaciones puntuales
como la homoteciay la congruencia (en particular el movimiento),
así como el proceso llamado paso a las partes o paso al conjunto
de partes para pasar de una transformación puntual a una transformación de figuras. Hemos desarrollado estos temas en el
artículo "Estructuración de la geometría mediante transformaciones", publicado en los números 2, 3 y 4 de esta Revista.
Noticias
COMISION INTERNACIONAL DE EDUCACION MATEMATICA
Los grupos de estudio reconocidos por la Comisión Internacional deEducación Matemática han comunicado los nombres y direcciones de sus responsables, que son los siguientes:
- Grupo Internacional para laPsicología de la Educación Matemática.
Presidente: Profesor Perla Nesher, University of Haifa
Mount Carmel, Haifa 31 999, Israel.
Secretario:
Dr. Joop van Dormole, Institute for Teacher
Education, University of Utrecht, P.B. 80 120,
3508 TC Utrecht, The Netherlands.
- Grupo internacional de estudio para la relación entre la historia y la
pedagogía de la matemática.
Conductor:
Dr. Florence Fasanelli, National Science Foundation,
1800 G St. N/W, 6th Floor, Washington,
D.C. 20550 - U.S.A.
Editor de
publicaciones: Profesor Charles V. Jones, Departament of Editor
Mathematical Sciences, Ball State University,
Muncie, Indiana 47306, U.S.A.
Continúa en pág. 18
14
Los problemas matemáticos
en el aula
Prof. María E. S. de Hernández
1. R e s o l v e r : V x + 1 + a / 2 x + 9
=8
2. Hallar x tal que l o g ^ l o g ^ l o g ^ ] =
0
3. Un problema para aplicar ecuaciones de segundo grado
Un grupo de ex-condiscípulos se reúne en un almuerzo por el
que paga A1.800. Si el grupo hubiese tenido tres personas menos
y hubiese consumido por A 2.040, cada uno de los comensales
habría tenido que pagar A 50 más. ¿Cuántas personas se reunieron?
4. Dada la ecuación de segundo grado ax 2 + bx + c = 0 de raíces
x1 y x 2 , hallar los coeficientes de la ecuación de segundo grado
cuyas raíces son inversas de las de la dada.
5. Probar que si el número complejo x tiene módulo igual a 1,
entonces el número x =
1 + z
es imaginario puro.
(Una ayudita: expresar x en forma trigonométrica).
6. Se da la ecuación de segundo grado
(m + 1 )x 2 - (m - 2)x - 1 = 0
1 2 . ¿Para qué valores de m tendrá dos raíces cuya razón
sea igual a - 2 ?
2Q. Calcular esas raíces.
7. Un problema sobre ángulos en la circunferencia, y semejanza.
Sea una circunferencia de centro O y radio r, BC uno de sus
diámetros y el punto H situado entre B y C tal que MS. = J HC
2
1 2 . Por H se traza la perpendicular a BC; sea A uno de sus
puntos de intersección con la circunferencia. La perpendicular trazada por H a AC corta a AC en I y a la tangente
de la circunferencia por A, en el punto D.
Calcular la razón —
IC
15
2 2 . Comparar los triángulos IAB e IHC.
3Q. Calcularen función de r, la longitud de los segmentos AB
y AH.
Soluciones de problemas del número anterior
3. La diferencia entre los dos tiempos, de acuerdo con los datos
del problema es de 2 horas. Si llamamos t 1 al tiempo empleado por
el esquiador al desplazarse a razón de 10 km por hora y t 2 al
empleado cuando la velocidad es de 15 km por hora, resulta
ta-*,"2
y el tiempo t 3 correspondiente a x km por hora es
W i - 1
En todos los casos el camino es el mismo y de la fórmula e = vt
resulta
e = 10t, y
e = 15(t1 - 2 )
osea
10t1 = 15 t1 - 3 0
;
5t1 = 30
t1 = 6
De aquí se tiene que la distancia e, en kilómetros, es 60.
Como debe verificarse que
e = xt 3 , resulta
60 = x(t1 - 1)
60 = 5 x
Luego x = 12 k m / h
4. Uno cualquiera de los enteros positivos de dos cifras que se
pide, se escribe
n = 10d + u
con u y d menores que 10
A su vez debe ser n = kdu > 0 por lo cual u * 0 y d * 0
Resulta 10 d + u = kdu (1) igualdad de la que surge que d|u
o sea 3 m e IN tal que u = dm (m * 0)
Reemplazando en (1): 10d + dm = kd 2 m con d 0. Simplificando queda:
10 + m = kdm (2) y de aquí surge que m|10
o sea m es divisor no nulo de 10 y también menor que 10 pues
Entonces m e { 1 , 2 , 5 }
Reemplazando en (2) a m por los sucesivos posibles valores
que puede tomar se obtendrán los que pueden tomar k y d, y
reemplazando luego en (1), o bien considerando que d es divisor
de u, los correspondientes de u.
Queda a cargo del lector hallar, entonces, los enteros pedidos.
5. Partiendo de que
y
son fracciones irreducibles con
b
d
b * d hay que probar que la suma de ambas fracciones no es un
entero.
Por el absurdo: Supngamos que
+ 4 = m e Z. Entonces
b
d
U
16
t , b c = m y ad + be = mbd (1)
bd
De (1) resulta que d|ad + be y como d|cd, entonces d|bc pero d
no es primo con c por hipótesis; en consecuencia d|b.
Análogamente, de (1) b|ad + bey como b|bc, entonces b|ad pero
b no es primo con a, resulta b|d.
Si d|b y yb|d, entonces b = d lo cual contradice la hipótesis.
ad
u
Por lo tanto •§- + -§• no es un entero,
b
d
6. Calculamos (1 + i)100 y (1 - i)100 por:
1 9 . Fórmula de De Moivre.
1 + i tiene módulo igual a s¡2. y argumento principal^100 /
/-joo
(1 + i)
=(v2)
(cos257t + i s e n 25tc)
1 - i tiene modulo igual a
y argumento principal .100
.\(1-i)
= SÍ2
(cos( - 2 5 t c ) = ¡ sen ( - 2 5 t c )
(1 - i ) 1 0 0 = 2 1 0 0 ( e o s 2 5 t c - i s e n
j
25n)
Como ambos complejos son conjugados su suma es real
e igual a:
(1 +i) 1 0 0 + (1 - i ) 1 0 0 =
= 2.2 50 eos 25 ti = 2 5 0 . 2 ( - 1 ) = - 2 . 2 5 0
(1)
2 9 . Usando la fórmula del binomio:
< i W
0 0
. .100
•)
= i
.
+
c l i
100
_1
.
=1-C100I
+
c L ^ c l ¡ V . .
100
_2
.2
+ C 100 I
100
_ 3 .3
"'
+
O i o o
100
100_100.
-C100' + - + H )
C 100'
Sumando se obtiene:
(1 + i) 1 0 0 + ( 1 - i ) 1 ° ° = 2 - 2 C ^ 0 0 + 2 C ^ 0 0 - . . . + 2 C 1 ( ° °
=2S
100
(2)
De (1) y 2) 2S100 = - 2 . 2 5 0
S10o=-250
7. Se trata de resolver ax 2 + bx + c = 0 sabiendo que 4a - 6b +
9c = 0.
4
2
La condición dada equivale a:
- — b + c = 0 , lo cual indi2
ca que - — es solución de ax 2 + bx + c = 0.
17
Entonces una de las raíces de la ecuación dada es
La otra raíz es x 2 tal que
Luego:
y
x
x
Y
r
__
3
„ =
, o sea - | x „ = -§-•
1 2 a
3 2 a
= - ——
2
2 3
8. De la expresión log (x2 - 21) - log (x2 - 111) = 1 (log
decimales), se obtiene, por propiedades de los logaritmos, que:
v2 _ p i
L = log 10 y por lo tanto
log —
x -111
x2 - 2 1
x2 - 1 1 1
= 10 , 0 sea:
10 x 2 - 1 1 1 0 = x 2 - 2 1 o 9 x 2 = 1089 o x 2 = 121
Entonces x e {11, - 1 1 } y cualquiera de estos valores satisface
a la ecuación dada como es de verificación inmediata.
-
Organización internacional de la Mujer en la Educación matemática.
Convocante: Dr. Gila Hanna, Department for MECA, Ontario
Institute for Studies in Education,
252, Bloor Street West, Toronto, Ontario,
CANADA M5S 1V6
Editor de
publicaciones: Hele en Verhage,
Research Group OW and OC, University of
Utrecht, Tiberdreef 4, 3561 GG Utrecht,
THE NETHERLANDS.
COMPETICIONES DE MATEMATICA
La Federación Mundial de Competiciones Nacionales de Matemática
(WFNMC) anuncia la realización de su primera conferencia la cual se llevará
a cabo en la Universidad de Waterloo, Waterloo Canadá del 16 al 21 de agosto
de 1990. Los organizadores convocan a todos los interesados en presentar
trabajos sobre: la realización de competencias de nivel internacional, regional,
nacional o local, investigaciones sobre creación de problemas, organización
de competiciones con presupuesto limitado, ideas publicitarias etc. Los interesados deben dirigirse al encargado de la organización:
Profesor R.G. DUNKLEY
Convenor. WFNMC 1990 Conference, Faculty of Mathematics, University
of Waterloo, Waterloo, Ontario, CANADA N2L 361
18
Factorización en los enteros
El método de Draim
Dr. Natalio H. Guersenzvaig
"Elproblema de distinguir números primos de compuestos, y de descomponer los números compuestos en sus
factores primos, es uno de los más importantes y útiles
de la Aritmética.
.. .La dignidad de la ciencia exige ciertamente que
toda contribución a la solución elegante de un problema
tan célebre sea celosamente cultivada."
K.F. GAUSS, Disquisitiones Arithmeticae, Art. 329 (1801)
Sean a y b enteros positivos. Diremos que b es divisor de a si
existe c tal que a = be. En tal caso escribiremos bfa. Naturalmente
b-f a expresa que b no es divisor de a. Dado que a = a1 = 1 a resulta
que 1 y a son divisores de a, llamados divisores triviales de a.
Suponemos de aquí en más a > 2. Diremos que a es compuesto
si tiene un divisor no trivial; en otro caso diremos que a es primo.
Por otra parte y como se sabe, existen únicos enteros q y r (que
pueden obtenerse con el algoritmo de división) tales que
(1)
a = qb + r, 0 < r < b.
Los enteros q = q(a, b) y r = r(a, b) se denominan cociente y resto
de dividir a por b (que suelen llamarse dividendo y divisor,
respectivamente). Se tiene entonces.
(2)
b|a si y sólo si r = 0.
La parte entera del número real x se define como el mayor entero
< x y se denota [xj. De (1) se deduce
lo cual implica
Podemos establecer en consecuencia
(4)
19
Es un hecho bien conocido (llamado Teorema Fundamental de
la Aritmética) que existen únicos primos p 1 < p 2 < ... < p r y enteros
positivos a,, a 2 , ...a r tales que
a
a
a
(5)
a = p1
p2
2 ...
pr
Los primos p r p 2 , . . . , p r se llaman factores de a. Para cada i = 1,
2 , . . . r el entero a¡ se denomina multiplicidad de p¡ en a (si a es
primo entonces r = 1, a, = 1 y a = p,) y se obtiene dividiendo
sucesivamente a por p., p 2 , . . Más precisamente,a¡ es el único
entero positivo que satisface,
(6)
P? U . p r T a
Además, es un hecho que los divisores de a son los enteros de
la forma
(7)
Por ejemplo, si sabemos que 19 y 103 son los únicos factores de
3829849, podemos obtener 3829849 = 19 2 103 2 y concluir que los
divisores (positivos) no triviales de 3829849 son los números
19, 103, 361, 1957, 10609, 37183, 201571.
El número de divisores de a se denota r(a). De (7) se deduce
(8)
x(a) = ( a 1 + l ) ( a 2 + 1)...(oc r + 1).
Por ejemplo x(3829849) = 9. Asimismo
x (32) = x(243) = 6, x ( 3 0 ) = x(105) = 8, x(36) = X (100) = 9
Suponemos ahora que uno de los factores de a, digamos p, es
conocido. Hallamos su multiplicidaday consideramos en lugar de
a el entero a * = a / p a , cuyos factores y multiplicidades son los
factores y multiplicidades restantes de a. Queda claro entonces
que para realizar (5), debemos disponer de un algoritmo que
teniendo como entrada un entero cualquiera> 2, obtenga un factor
de dicho entero.
Nota: Debe señalarse que los algoritmos conocidos son poco
eficientes. Baste decir que para hallar los divisores de un número
con 100 dígitos, el mejor algoritmo disponible a la fecha puede
requerir ¡74 años! de proceso ininterrumpido en un supercomputador (véase Elementary N u m b e r T h e o r y a n d its a p p l i c a t i o n s ,
de Kenneth H. Rosen, Addison Wesley, pp.80). Sin embargo, el
carácter de un número (primo o compuesto) de hasta 100 dígitos
se determina (con métodos matemáticos muy sofisticados) en
menos de un minuto (véase el artículo " A la b ú s q u e d a de númer o s p r i m o s " de Cari Pomerance, Investigación y Ciencia, N 2 77,
Febrero de 1983). Un resumen histórico de los métodos de
factorización se encuentra en el Vol. I de la monumental obra de
L.E. Dickson, H i s t o r y of the t h e o r y of n u m b e r s , Chelsea.
Métodos más modernos pueden verse en el Vol. 2 ( S e m i n u m e r i cal a l g o r i t h m s ) de la obra de D.E. Knuth, The art of c o m p u t e r
p r o g r a m m i n g , Addison Wesley.
20
Uno de los métodos más simples parafactorizaren los enteros,
que aquí llamaremos clásico, proporciona el menor factor de a y
depende del hecho siguiente:
(9)
b a y b | a = > b < a.
Por (7) el menor factor de a es justamente el menor divisor > 2 de
a. Luego un primer método para obtener p 1 (el más rudimentario
por cierto consiste en efectuar la división con resto de a por cada
entero c < a comenzando con c = 2. Si el resto es no nulo entonces
se considera c + 1 en lugar de c. Si no se encuentran divisores
menores que a se puede concluir a primo.
Ejercicio 1. Factorice 39188.
En realidad, será suficiente considerar como posibles valores
de c los enteros < V a T Para ver porqué esto es así, supongamos
a compuesto. Luego, existe un entero c > p 1 tal que a = p ^ .
Entonces a > p ^ . Por lo tanto
(10)
p,<vT
En consecuencia
(11)
a es primo si y sólo si a no tiene factores < V a T
Ejercicio 2. Factorice 1559 y 14007.
Asimismo, conviene tener presente que
(12)
y f a < p 1 < - \ / a = > a * =a/p 1 primo .
En efecto, si a * fuera compuesto tendríamos a* = be con b y c
mayores que \ f a , lo cual implica la contradicción
a = p 1 bc> v / a " v / r a , v 7 a = a .
Con el mismo argumento se prueba
(13)
p > v / a ~ implicax(a) < n.
Ejercicio 3. Factorice 27371.
Ejercicio 4. Escriba un programa para obtener los factores de a
con sus multiplicidades (téngase en cuentaque en el caso a impar
la búsqueda de p. debe comenzar, asumiendo p 0 = 1, en c = p ^ + 2
y continuar con c + 2 en lugar de c). Verifique entonces los
resultados de los ejercicios anteriores. Luego factorice 95550589
y 2826384807.
Ejercicio 5. Escriba un programa para computar los divisores de
a. Obtenga entonces los divisores del 8934146.
Por (10), si se posee una tabla de los primos < - \ / a , bastará
considerar dichos primos como posibles factores de a.
Ejercicio 6. Factorice 1145853 utilizando unatabla de primos (por
ejemplo, la tabla de los primos menores de 10000 incluida en la
Monografía N 9 25 de la O.E.A., A r i t m é t i c a elemental , de E.R.
Gentile, 1985).
Una tabla de los primos < a puede construirse como sigue
(método llamado Criba de Eratóstenes): se escriben ordenadamente los números x, 2 < x < a. Se tachan entonces los múltiplos
21
"
-.1!.., .
de 2 mayores que 2. Se consideran luego los números no
tachados. El menor de estos > 2 (obviamente 3) es primo. Se
tachan entonces los múltiplos de este primo mayores que el
mismo. En general, en el paso k-ésimo se consideran los números
no tachados, digamos
q1=2<q2 = 3<...<qk<...,
y se tachan los múltiplos de qk (k-ésimo primo) mayores que q k . Se
opera de la misma forma hasta agotar los números a tachar< V a .
Los números no tachados son los primos < a.
Ejercicio 7. Escriba un programa para construir una tabla de los
primos < a.
Ejercicio 8. Modifique el programa del Ejercicio 4 de modo que la
búsqueda del menor factor se realice a través de una tab a de
primos.
Para cada real positivo x la cantidad de primos < x se denota
ti (x). Utilizando un bien conocido argumento combinatorio (llamado Principio de Inclusión-Exclusión), se puede probar (véase Int r o d u c c i ó n a la c o m b i n a t o r i a y s u s a p l i c a c i o n e s , A. Kaufmann,
C.E.C.S.A., 1971, pp. 69-88).
(14) 7t(a) = j t ( V ¡ a ) — 1 — a—f
+...
+
q,q 2 .
+ ... +
a
.q,q 2 q 3 .
+ ...+
qs-2qs-iqs
dondes = n ( V a " ) y q1(q2
q s son los p r i m o s < V a "
Ejercicio 9. Compute tc(1600) con (14).
Ejercicio 10. Modifique el programadel Ejercicio 7 de maneraque
la salida incluya n (a).
Por otra parte, para valores g randes de a, el cociente entre n (a)
y la fracción a/ln a (In = logaritmo natural) es próximo a la unidad.
Más precisamente, el famoso Teorema del Número Primo (conjeturado por Gauss en 1793 y probado, por primera vez y en forma
independiente, por J. Hadamard y Ch. de la Vallée-Poussin en
1896) establece (véase por ejemplo I n t r o d u c c i ó n a la teoría
analítica de n ú m e r o s , de T. Apostol, Reverté, Cap. XIII).
lim
Ejercicio 11. Compute
7t(x)
x/ln x
= 1.
paraa=10k; k=1,2,...8.
Describimos en lo que sigue un método interesante y poco
conocido, que mejora la performance del procedimiento clásico y
22
.
-
•
1
, •
•
se debe a N. A. Draim (véase Mat hematíes Magazine, 25 (1952),
pp. 191-194; la fuente de inspiración de este artículo se encuentra
en el libro de H. Davenport, The Higher A r i t h m e t i c , Hutchinson
University Library, London, 1968, pp. 32-35; véase también el ya
citado libro de Rosen, pp. 84-85). En el método clásico, dividimos
a por 3, 5, ..., hasta hallar p r En el método de Draim también se
divide p o r 3 , 5 , . . . , hasta encontrar p r La diferencia radica en que
en el método de Draim el dividendo, cuyo valor inicial es a, va
disminuyendo a medidaque se realizan nuevas divisiones, lo cual
reduce el tiempo necesario para hallar p r
Sin pérdida de generalidad asumimos a impar. Para mostrar
c o m o f u n c i o n a e l m é t o d o h a l l a m o s e l m e n o r f a c t o r d e a = 7483. En
primer lugar dividimos a por 3.
7483 = 3.2494 + 1
A continuación definimos
b 2 = 7483 - 2.2494 = 2495, a 2 = 2495 + 1 = 2496.
Dividiendo a 2 por 5 resulta
2496 = 5.499 + 1.
Definimos entonces
b 3 = 2495 - 2.499 = 1497, a s = 1497 + 1 = 1498.
Dividiendo por 7 ocurre
1498 = 7.214 b = 1497 - 2.214 = 1069.
4
Dado que el último resto es nulo podemos concluir
7483 = 7.1069
Lo hecho se justifica como sigue. Convenimos
b1 = a 1 = a.
Dividiendo por 3 se obtiene
a1 = 3q1 + r1
Definimos
b2 = b1 - 2 q 1 , a 2 = b 2 + r r
Dividimos ahora por 5.
a 2 = 5q 2 + r2.
Definimos seguidamente
b 3 = b 2 - 2q 2 , a 3 = b 3 + r2.
En general, si b k y a k han sido definidos, definiendo por 2 k + 1
resulta
ak = ( 2 k + 1 ) q k + r k
Se define entonces
b
= b k - 2 c l k ' a k
= b k i + r k '
k + i
+ i
+
Manipulando estas igualdades se obtiene
a 2 = 2a - 5q 1
a 3 = 3a - 7 (q1 + q 2 )
23
(*) a k = k a - ( 2 k + 1)(q1 + q 2 + ... + q k - 1 )
b 3 = a - 2(q 1 = q 2 )
b 4 = a - 2(q 1 + q 2 + q 3 )
= a - 2(q 1 + q 2 + ... q k 1 ). (**)
Suponemos ahora a compuesto (en otro caso el proceso termina
cuando k > [ V a ] ) . Sea 2 m + 1 el menor factor de a. Afirmamos
(¡y esta es la esencia del método de Draim!)
(15)
2m + 1/am y a - ( 2 m + 1) b m + 1 .
Para probar (15) observemos que (*) implica
2m + 1 |a si y sólo si 2 m + 1 |am.
Por la definición de a m resulta
a m = (2rn + 1)qm.
Nuevamente por (*) se tiene
m a = (2m + 1) (q1 + q 2 + ... + q m ).
Por (**) con k = m + 1 ocurre
b
= a - 2 ( q + q + ...+ q J = a - 2 „ m a = n a VM1
m+1
2
^m/
2m+1
2m+1
que implica justamente
a = (2m + 1) b m + 1.
Ejercicio 12. Utilice el método de Draim para encontrar los
menores factores de a en los casos a = 137 y a = 1073.
Ejercicio 13. Escriba un programa para obtener los factores de a
con sus multiplicidades en a mediante el método de Draim. Luego
factorice 95550589 y 2826384807.
Ejercicio 14. Escriba un programa para hallar los divisores de a
mediante el método de Draim. Obtenga entonces los divisores de
8934146.
Ejercicio 15. Compare los tiempos empleados para hallar los
divisores de 99400891 con los métodos clásico y de Draim.
24
Propuesta Didáctica
Lucrecia Delia Iglesias
Consideramos que la Matemática ofrece recursos idóneos para
la organización de datos que pueden ser usados para apoyar
trabajos de los alumnos en otras áreas del sabercientífico o sociocultural.
Así se trata de disponer de datos que provengan de otros
contextos: problemas provenientes de las Ciencias Naturales o de
las Ciencias Sociales; de un fenómeno de interés local o regional
referente al tiempo, la educación, algún deporte, la política, el
costo de vida, la producción... cuyos datos aparecen en los
periódicos o se pueden recolectar a partir de encuestas.
En particular, se pueden proponer encuestas que se relacionen
con el propio esquema corporal, tema en general, de interés
especial para los alumnos.
Sugerimos aplicar un cuestionario como el presente:
Cuestionario
1. Indica el número de hijos a q u e perteneces (incluyéndote).
Varones
Mujeres
Total
2. Día de tu nacimiento:
3. Medida de tu altura:
cm.
Medida de tu envergadura
cm (longitud que
abarcas con los brazos extendidos lateralmente).
¿Cómo eres:
4. Número de pulsaciones por minuto estando sentado o en resposo:
25
Número de pulsaciones por
saltar durante 30 segundos
minuto después de
¿Aumentaron?
¿En qué medida?
¿Qué operación usaste para hacer la comparación?
¿Cuál es la razón entre ambos números?
¿En qué forma puedes comparar tu propia
variación de pulsaciones con las de otros compañeros:
con la diferencia o con la razón?
5. Medida de tu peso:
kg.
Medida de la superficie de las plantas de tus pies
(¿Has probado hacerlo dibujando el contorno de tus
pies apoyados sobre una hoja de papel cuadriculado
en cm 2 ?):
cm 2 .
¿Qué presión hace tu cuerpo sobre el piso cuando
estás de pie? (*)
(*) Datos de esta naturaleza son útiles en medicina
pues:
- conocer la medida de la superficie plantal permite
el cálculo aproximado de la superficie total de la piel de
una persona, dato importantísimo en el caso de quemaduras.
- conocer la presión (o sea el cociente entre el piso
y la superficie sobre la que se ejerce) del cuerpo de pie
sobre el piso, ayuda a los traumatólogos a prescribir un
tratamiento adecuado.
Una vez registrados los datos, distintos grupos de alumnos
pueden hacerse cargo de reunir todas las respuestas relativas a
un mismo puntoydiscutircómoconviene organizarías en forma de
tabla o gráfico que permita hacer observaciones generales sobre
el comportamiento del grupo encuestado con respecto al punto
elegido.
Para enriquecer la discusión y favorecer las decisiones sugerimos aportar tablas, gráficos, cuadros, etc., exhibidos en distintas
publicaciones de modo de tener una variada colección de modelos
para analizar: gráficos de bloques, gráficos de barras, gráficos de
puntos, pictogramas, gráficos circulares.
El análisis debe tender a establecer qué convenciones rigen la
forma de representación en cada caso y qué pasos hay que seguir
para su construcción correcta.
Sin embargo, más que la construcción de los gráficos importa
reflexionar acerca de la información que ha sido volcada en ellos,
cómo es posible hacer visualmente comparaciones entre datos de
un mismo gráfico y de distintos gráficos entre sí, qué conclusiones
no explícitas pueden obtenerse de ellos, qué sugerencias pueden
26
recogerse para hacer exploraciones nuevas. Por eso es necesario
destinar un tiempo a la exhibición - s i es posible en forma de
a f i c h e - de los gráficos realizados por los alumnos y a la formulación de observaciones acerca de ellos. Si los gráficos no dan lugar
a procesos reflexivos carece de sentido realizarlos.
Una actividad interesante es considerarque frecuentemente las
apariencias deforman el mensaje aunque no falsees los datos, por
eso proponemos examinar críticamente gráficos como los que
siguen:
INGRESOS DE LA COMPAÑIA
De 1985 a 1987
890
De 1980 a 1984
500
1980
1981
1982
1983
1984
Enero
1985
Enero
1986
Enero
1987
DEFICIT FISCAL (en porciento del P.B.I.)
27
A continuación proponemos abordar el uso de tablas de distribución de frecuencias, su representación en gráfico de barras y la
introducción de algunos parámetros que permiten resolver algunas situaciones particulares. Se sugiere organizar actividades
como las que siguen (algunos de los ejemplos provienen de la
colección Statistcs and Probability, publicada en 1969 por M.
Foulsham S.C. Ltd., Londres).
1. Dados los siguientes datos sobre las notas obtenidas por
diferentes alumnos:
9
8
5
7
5
5
7
9
9
5
9
8
3
6
2
3
2
6
4
3
6
8
6
5
8
5
5
4
8
9
2
2
a) Confeccionar una tabla asociando a cada nota (abscisas de
0 a 10) el número de alumnos que la obtuvieron; o sea, la
frecuencia con que aparece cada nota en esta distribución de
datos.
b) Hacer un gráfico de barras que represente las frecuencias
asociadas a cada nota; esto es, hacer un histograma. ¿Qué
observaciones sugiere el gráfico?
c) ¿Cuál es el promedio del curso? Se trata de la MEDIA de la
distribución.
d) ¿Cuál es la nota más frecuente? Se trata de la MODA de la
distribución.
e) Organizar los datos del punto 1 del cuestionario en un gráfico de distribución de frecuencias. Observe la MODA, ¿le
sugiere alguna reflexión?. Halle la MEDIA, ¿para qué puede
servir?
2. En una competencia de tiro al blanco cadacompetidorejecutó
10 tiros a un blanco situado a 200 m. El número de centros que hizo
cada uno fue el siguiente:
7
3
8
5
10
7
8
5
8
9
2
9
10
Discutir las posibilidades de comparar un sujeto que hizo 5
centros con los demás, organizando convenientemente los datos.
Para hacerlo, ¿qué parámetro es más adecuado, la media o la
moda?
5. En la tabla que sigue se muestra lo que ocurrió con 12
tiradores al blanco en situación análoga a la anterior.
28
NM
N- d e B l a n c o s
Frecuencia
2
1
3
1
4
2
5
2
6
1
7
3
8
2
¿Qué parámetro conviene usar para comparar la actuación de estos tiradores con el desempeño de los del ejercicio
anterior?
6. Entre 20 colegios que participan en un torneo de fútbol
anualmente, se presenta la siguiente cuestión:
Si se jugara todos, una vez como local y una vez como visitante, se tardaría mucho tiempo. Se piensa entonces que
es mejor hacer dos divisiones por la calidad de los equipos y se
toman las cifras oftenidas p o r c a d a uno en el último torneo, para
decidir cuáles son los diez mejores y cuáles los diez inferiores. A
saber:
38
32
41
30
35
51
40
34
17
55
18
46
19
48
58
34
25
40
62
37
Uno de los organizadores propone calcular el promedio. ¿Es
adecuado el procedimiento? ¿Por qué? ¿Y lo sería calcular la
moda? Use su propia iniciativa para resolver.
Con el problema anterior se tiene la oportunidad de definir la
MEDIANA de una distribución como el valor que ocupa el punto
medio de los datos, ordenados de menor a mayor. (Si hay un
número impar de datos, la mediana es uno de ellos; si hay un
número par, la mediana es el promedio de los dos que están en el
centro).
7. Las que siguen son medidas de largos de tornillos en cm que
hay en una caja, con la frecuencia correspondiente.
Se trata de completar la tercera columna, de frecuencias acumuladas, poniendo el resultado de sumar a cada frecuencia la
suma de las anteriores.
29
Medida
Frecuencia
Frecuencia
Acumulada
1,7
4
4
1,8
4
4 + 4=
1,9
3
8 + 3 = 11
2,0
7
2,1
6
2,2
3
2,3
6
2,4
6
2,5
6
2,6
3
2,7
3
2,8
4
8
Discutir acerca del uso de cada parámetro: moda, media,
mediana, y su interpretación en el presente caso. Calcularlas.
Compararlas. ¿Para qué es útil el cálculo de las frecuencias
acumuladas?
GRAGEA
La concentración del volumen en la superficie.
Llamemos volumen de un segmento a su longitud; volumen de un cuadrado, a su área; en general, llamemos volumen de un cubo o hipercubo de lado
a en un espacio euclídeo de dimensión n, al número a". Un hecho geométrico
interesante es el siguiente: a medida que la dimensión n aumenta, el volumen
se va concentrando en las proximidades de la superficie, quedando "en el
centro" una parte cada vez más pequeña con respecto al volumen total. Esto
se explica así: si el lado es a y le restamos de ambos extremos una cantidad
muy pequeña, a la que llamamos e/2, se obtiene un cubo interior de lado a-e
y de volumen (a- e)n; el volumen de la capa próxima a la superficie del cubo de
lado a será entonces an-(a- £)n. La razón entre el volumen del cubo "interior" y
el del cubo grande es
(a-e)"
an-U
[a(1-e/a)]n
a) = 0 - 1 ) "
(i)
Continúa en pág. 40
30
Transformaciones del plano en sí mismo
Resumen de clase
Prof. Olga L. Lescano
1. Repaso de vectores
Definición: Llamamos vector fijo del plano E a todo par ordenado
de puntos de E.
.B
.B (2- punto)
.A
.A (1er punto)
Laflechano es el v e c t o r , los puntos interiores de laflecha no son
puntos del vector.
N o t a c i ó n : (A, B); pero m e j o r e s ÁB =Ü.
El primer punto del vector se llama origen y el segundo se llama
punta. El origen y la punta se llaman extremos del vector. Vector nulo
es el vector para el cual el origen coincide con la punta.
Se llama r e c í p r o c o del vector AB al vector BA.
B
Recta de a c c i ó n de un vector es toda rect§ que contenga a
ambos extremos del vector. Si M ^ N el vector MN n o e s n u l o y t i e n e
una única recta de acción, que es la recta MN. Pero si M = N el
vector Mfifes nulo y tiene infinitas rectas de acción.
V e c t o r e s c o l i n e a l e s o a l i n e a d o s son aquéllos que tienen una
recta de acción común.
/
u y v no nulos
y colineales
u y v^colineales
con v nulo
u y v no nulos
y no colineales
a
u y v no colineales
y Vnulo
31
Paralelogram© de rectas es la figura formada por dos pares secantes de rectas paralelas (y distintas).
Equipolencia de vectores
(i) Definición para vectores no colineales: Si u y v son vectores no
colineales, se dice quetí es equipolente a V s i al unir los orígenes con
una recta y las puntas con otra se obtiene un paralelogramo.
(ii) Definición para vectores colineales: a) Si los vectores son
ambos nulos (distintos o coincidentes) son equipolentes;
O
o
b) Si los vectores son ambos no nulos, son equipolentes entre sí
siempre que ambos sean equipolentes a un mismo vector w, no colineal
con ellos.
' \
^
N
/
s
\
En todo otro caso los vectores no son equipolentes; por ejemplo, si
uno es nulo y otro no nulo, no son equipolentes.
Motación para indicar que Ü es equipolente a v: u #"v.
Propiedades de la equiplencia
(i) Reflexividad. Todo vector es equipolente a sí mismo: Para todo
uesl3#u.;
(ii) Simetría. Si un vector es equipolente a otro, éste es equipolente
al primero: Ú #
V#IT;
(iii) Transitividad. Si un vector es equipolente a otro y éste es
equipolente a un tercero, entonces el primero es equipolente al tercero:
T¡#vyv#w=>Tí#w.
32
Postulado. Dados un vectortTy un punto P, existe y es único el vector
de origen P equipolente a "u. O sea: existe y es único el punto Q tal que
PQ #tT
Para sumar el vector tTcon el vector"v se procede así: se construye
a partir de la punta de ¡Tun vector equipolente a"v; llamémoslo"v1. Sean
O el origen de "u y P la punta de v1. El vector suma es OP. O sea:
t T + V = OP.
A izquierda se ha representado el caso de vectores no alineados, y
a derecha el de vectores alineados; en ambas situaciones los vectores
tT y o d a d o s tienen origen común. La definición de suma que hemos
dado permitiría sumar vectores de orígenes distintos, pero esto acarrearía algunas desventajas. Por ejemplo: la suma no sería conmutativa
en este caso, ya quetí+"v sería un vector de origen en el origen de IT,
y"u + v y v + ÜÍtambién lo son. Por ello conviene restringirse, salvo mención
explícita de lo contrario, a suma de vectores de origen común.
De la definición anterior se deduce, reiterándola, que podemos
sumar n vectores: tT1,U¡, ...,"un, pudiendo ser todos estos sumandos
iguales o distintos. Esto permite multiplicar un vector por un número
natural:
Para multiplicar el vector u por el número natural n > 1, se suman n.
sumandos iguales atT:
n.tT = ü.n = ü + t r + ... +"u (nsumandos).
En la figura siguiente se dan las construcciones para multiplicar a un
vectofu por 2 y por 3 respectivamente:
33
T"-,"1.
I
' '
'
/
_i
/
" \
'
£
/
_ - -j- _
N
"0 +TJ = 2 ."if
^
Se agrega por definición:
tt+u
1.u = u, 0.u = PP, siendo P el origen de u.
1
1
\
g+ u
= 3.u
?¡. Simetría central y traslación.
Para definir una simetría central basta dar un dato: el centro de
simetría, al que podemos llamar O. Dado un punto P cualquiera, su
simétrico respecto de O se construye del siguiente modo: se considera
el vector PO, y se traza a partir de O el vector equipolente a PO. La punta
de e%te nuevo vector es el simétrico P' buscado. Se tiene entonces PO
# OP', y P. se llama también transformado de P por la simetría de
centro O. (Ver figura siguiente a izquierda).
Para definir una traslación basta dar un dato, a saber, un vector
cualquiera tí. (Ver figura precedente a derecha). Dado un punto cualquiera P, para hallar su transformado por la traslación de vector u| se
traza a partir de P el vector equipolente at¡; la punta.de este vector es
el trasladado P. que se busca. Se tiene entonces PP' #IT.
La figura simétrica de la figura F con respecto al centro O está
formada por los simétricos de todos los puntos de F. Y la figura
trasladada de F según el vectortTes la figura formada por los trasladados de todos los puntos de F.
Ejercicios.
Construir simétricos de segmentos y de triángulos respecto de un
centro O; y construir trasladados de segmentos y de triángulos según
un vector dado "u. Se acepta que, en ambos casos, basta hallar los
correspondientes de los extremos o de los vértices, y unirlos adecuadamente.
III. Simetría axial
Para definir una simetría axial es necesario dar dos datos: un eje de
simetría y una dirección no paralela a ese eje. La dirección se da
mediante una recta que la representa. Rectas paralelas representan la
misma dirección. Si la dirección no es perpendicular al eje se tiene una
34
simetría oblicua; si la dirección es perpendicular al eje se tiene una
simetría ortogonal.
Dados un eje de simetría g y una dirección p no paralela a ese eje,
para hallar el simétrico del punto A respecto del eje g paralelamente a
se hace lo siguiente: se traza por A la paralela a p; se llama Ao al punto
de intersección de dicha recta con el eje t ; se traza el vector equipolente
a AA con origen Ao: la punta de este vector es A', simétrico de A.
p
La figura simétrica de la figura F es la que está formada por los
simétricos de todos los puntos de F. Así, la simétrica de F es F' (respecto
de £ paralelamente a p).
Aceptamos que el simétrico de un segmento es un segmento cuyos
extremos son los simétricos de los extremos del segmento dado.
Ejercicios
1) Hallar el trasformado del segmento PQ en la simetría de eje e y
paralelamente a p. Resolver en cada uno de los tres casos representados.
2) Construir la figura simétrica del triángulo ABC con respecto al eje
fi, ortogonalmente al mismo. Se proponen dos casos.
c
35
IV. Composición de simetrías ortogonales
(i) Los ejes son paralelos: e, // e 2 ...
Hallemos la figura simétrica de la figura F respecto del eje e,, y luego
la figura simétrica de la hallada, esta vez respecto de e2. (Simetrías
ortogonales).
V
r
e2
A2
ei
AI'
\
Veamos que, en este caso, la composición de dos simetrías ortogonales de ejes paralelos da una traslación de vectorv"; se comprueba que
este vector v e s equipolente al duplo del vector
que es el que en
cierto modo "mide" la separación entre los ejes. Adoptando una noción
intuitiva de distancia, podemos decirque el módulo de^distancia entre
sus extremos) es igual al doble de la distancia existente entre los ejes
e, y e2. (Estamos aceptando una noción intuitiva de distancia, y
consecuentemente de módulo, que en rigor habría que introducir más
tarde, derivándolas de la noción de congruencia).
(ii) Los ejes se cortan en un punto.
(a) e1 X e2.
Vemos en la figura siguiente que la composición de dos simetrías
ortogonales de ejes perpendiculares entre sí, es una simetría central,
cuyo centro es el punto O, de intersección de los ejes.
e,
\
\
\
o \
i
1
i
1
|
1
\ 1
\ 1
v
(k) e1 es oblicuo respecto de e2.
Es fácil ver que el punto O, por estar sobre e v se transforma en sí
mismo por la primera simetría; y luego, por pertenecer también a e2,
vuelve a transformarse en sí mismo. Tomemos ahora otro punto P
cualquiera: si le aplicamos primero la simetría ortogonal de eje e1f
obtenemos P'; y si a éste le aplicamos la simetría ortogonal de eje e2
obtenemos P". El transformado de P por la composición de las dos
simetrías ortogonales es P"; y como el de O era el mismo O, concluimos
que el transformado del segmento OP por la composición de simetrías
es el segmento OP'.
36
p
Se observa que, al pasar de OP a OP' se ha producido lo que
llamaríamos una "rotación" del segmento OP alrededor de O; y también
parece, intuitivamente, que el ángulo de rotación PC3P' tiene amplitud
doble de la que tiene el ángulo formado por los ejes e^e r
Esto permite definir una rotación de centro O como una composición
de sietrías ortogonales respecto de dos ejes que pasan por O.
Esta definición comprende también el caso (a) (ejes perpendiculares): en efecto, en aquel caso vimos que el resultado es una simetría
central de centro O. Pero esta a su vez puede considerarse como una
rotación de 1809 alrededor de O; luego, en todos los casos se obtiene
una rotación de amplitud doble de la del ángulo que forman los ejes.
Esta definición de rotación es interesante pero su manejo práctico es
engorroso. Pasaremos entonces a una noción intuitiva, que se sirve de
la noción de distancia (también en forma intuitiva) y de una noción
informal de amplitud y de sentido de ángulos.
V. Nociones intuitivas sobre ángulos y rotación.
Definición: Se llama ángulo orientado a todo par ordenado de
semirrectas de origen común.
Notación: (s, t) = st. Angulo orientado de primer lado £ y segundo
lado i.
Diremos que dos ángulos orientados tienen el mismo sentido, si al
pasar del primer lado al segundo se produce en ambos casos un giro en
el sentido de las agujas de un reloj, o en ambos casos un giro de sentido
contrario al de las agujas de un reloj. En este último caso se suele decir
que tienen un sentido de giro "positivo"; y en el primer caso, un sentido
de giro "negativo".
Y finalmente, diremos que el ángulo orientado st tiene igual amplitud
y sentido que el ángulo orientado uv, si ambos tienen el mismo sentido y
además: al llevar el lado s "a superponerse" con el lado u, manteniendo el sentido del ángulo, encontramos que el lado 1 "se superpone" con el lado v.
37
Por supuesto, las nociones de sentido y de superposición que
acabamos de introducir tienen carácter físico más bien que matemático.
Las nociones puramente matemáticas correspondientes reuqieren una
elaboración más delicada.
Definición intuitiva de rotación
Se llama rotación de centro O y ángulo orientado xy, a la
transformación del plano en sí mismo que a cada punto P hace
corresponder un punto P' tal que:
(i) P y P' equidistan de O;
(¡i) el ángulo POP' tiene igual amplitud y sentido que el ángulo dado
xy.
Se puede comprobar que esta definición es coherente con ladada en
IV. (ii) (k), como composición de simetrías ortogonales de ejes concurrentes en O.
Aquella definición es matemática rigurosa, pero la definición intuitiva
que acabamos de dar permite llegar más rápidamente a la construcción
de rotaciones mediante regla y compás.
VI Congruencias
Definición. Una congruencia es una composición de simetrías
ortogonales. Congruencia directa o Movimiento es una composición
de un número par de simetrías ortogonales.
Congruencia inversa es una composición de un número impar de
simetrías ortogonales.
Se puede demostrar que una congruencia directa es una traslación,
o una rotación, o una composición de traslaciones y rotaciones.
Se puede demostrar que una congruencia inversa es una simetría, o
bien la composición de una simetría con cualquier número de traslaciones y/o rotaciones.
Aplicación a figuras cualesquiera
Se dice que una figura F es directamente congruente con la figura
F\ si existe un movimiento (o congruencia directa) que transforma F en
F'. En lafiguraaquírepresentada se ve queel banderín Fes directamente congruente con el banderín F", pues se pasa del primero al último por
medio de la composición de los dos movimientos siguientes: una
traslación de vector AA', que transforma F en F', y luego una rotación de
centro A' y ángulo orientado P' A' P", que transforma F' en F".
38
Se dice que una figura F es inversamente congruente con una
figura F\ si existe una congruencia inversa que transforma F en F'. Por
ejemplo: si F' se obtiene de F mediante una simetría ortogonal, resulta
que F es inversamente congruente con F'.
Significado intuitivo. Si F es directamente congruente con F', se
puede "mover" F sin sacarla del plano y "llevarla a superponer" con F'.
Si F es inversamente congruente con F' (como en el caso de figuras
simétricas respecto de un eje) para "llevar a superponer" F con F' se
hace necesario "sacar" a F del plano, "hacerle dar una vuelta en el
espacio" y luego "aplicarla" sobre F'.
Definición.Una figura F es congruente con una figura F' si existe
una congruencia (directa o inversa) que transforma F en F .
En consecuencia, las figuras congruentes pueden ser directamente
congruentes o inversamente congruentes.
Una figura se puede definir simplemente como un conjunto de
puntos. La definición precedente tiene entonces gran generalidad:
abarca tanto a las figuras sencillas que se estudian en geometría
(triángulos, polígonos, circunferencias, etc) como a conjuntos arbitrarios de puntos. Sin embargo, esta definición de figura no es aplicable a
los vectores, porque éstos no son simples pares de puntos sino pares
ordenados de puntos. Para incluir a los vectores (y a otros entes
matemáticos, como los ángulos orientados) conviene dar la definición
de figura ordenada:
Una figura ordenada es un conjunto ordenado de puntos, o de
rectas, o de segmentos, o de semirrectas, o de vectores, o de una
combinación cualquiera de tales entes.
Así un vector es una figura ordenada, por ser un par ordenado de
puntos. Un ángulo orientado es una figura ordenada, por ser un par
ordenado de semirrectas. Un conjunto ordenado de vectores (por
ejemplo, es un par ordenado de vectores no alineados y de origen
común, que constituyen una base ordenada para un sistema cartesiano) es una figura ordenada.
La definición de congruencia para figuras ordenadas es similar a la
dada para figuras:
La figura ordenada F es congruente con la figura ordenada F" si
existe una congruencia que transforma F en F'.
Es muy importante observar que, al establecer que la figura ordenada
F se transforma en la figura ordenada F', se exige no sólo que los entes
de F se transformen en los de F, sino que esta transformación
conserve el orden. La expresión " conserve el orden" quiere decir lo
siguiente: que si la congruencia transforma los entes a y b de F en los
entes ¿ y b de F, respectivamente, y si a precede a b e n F, entonces
al precede a b en F'.
En particular, el vector AB es congruente con el vector A'B' si existe
una congruencia que transforme A en A' y B en B'._En cambio, para
segmentos la condición es más débil: el segmento AB es congruente
con el segmento A'B' si existe una congruencia que transforma los ex39
tremos de AB en los extremos de A'B^En cambio, para segmentos la
condición es más débil: el segmento AB es congruente con el segmento
A" B' si existe una congruencia que transforma los extremos de AB en
los extremos de A'B'. Esto significa que puede ser que se transformen
A en A' y B en B', o bien A en B' y B en A\_Se demuestra que en tal caso
los puntos interiores de]_segmento AB se transforman en puntos
interiores del segmento A'B'.
Conviene introducir los dos postulados siguientes:
^ P o s t u l a d o de la congruencia de segmentos. Dados un segmento
AB y una semirrecta s de origen O, existe y es único el segmento OP,
incluido en s, que es congruente con AB. (Ver figura siguiente a
izquierda).
Antes de formular el otro postulado, diremos que un ángulo de
semirrectas es simplemente un par de semirrectas de origen común.
Si el par de semirrectas es ordenado, se obtiene un ángulo orientada.
Postulado de la congruencia de ángulos de semirrectas. Dados
un ángulo de semirrectas afc, un semiplano £ y una semirrecta s, de
origen O, incluida en el borde del semiplano
existe y es único el
ángulo de semirrectas sí, incluido en el semiplano
que es congruente
con el ángulo de semirrectas áb.
O
P
s
Estos postulados se usan para demostrar importantes teoremas
sobre congruencias de figuras, que no trataremos aquí.
Si ees pequeño respecto de a (como hemos supuesto) se tiene que 1-JL es
a
un número positivo menor que 1, y en consecuencia la razón entre los citados
volúmenes tiende a 0 al tender n a infinito.
Este hecho tiene consecuencias sorprendentes en física.
40
La computación como recurso
Prof. Elena García
Métodos de ordenamiento
de arreglos unidimensionales
Continuando con la presentación de los métodos directos de
ordenamiento de arreglos unidimensionales analizaremos a continuación el método de ordenamiento por inserción.
Método de ordenamiento por inserción
Mostraremos en primer lugar, y mediante un ejemplo, como
funciona este método y después lo analizaremos en detalle.
Consideremos el conjunto A
A = {7, 3, - 8 , 9, 4}
representado sobre el arreglo unidimensional V
V = (7, 3, - 8 , 9, 4)
y la relación "menor o igual" sobre A.
Q u e r e m o s " r e a c o m o d a r " l o s elementos de V a fin de obtener
sobre V una representación de A que ponga en evidencia el orden
definido sobre ese conjunto. Es decir pretendemos obtener sobre
V la siguiente representación del conjunto A :
V = ( - 8 , 3, 4, 7, 9)
Para ello consideraremos sobre V dos subarreglos. El subarreglo SA formado por el primer elemento de V y el subarreglo SD
conteniendo los restantes elementos de V.
SA=(V(1))
SD = (V(2), V(3) ..., V(N))
en nuestro ejemplo:
SA = 7
SD = (3, - 8 , 9, 4)
41
Estado inicial:
V = ( [ 7 1 , 1 3 , - 8 , 9 , 4 1)
SA
SD
Podemos considerar que sobre SA hemos representado al conjunto unitario A1 = {7} y sobre SD al conjunto A2 = A - A 1 .
Mientras que la representación de A1 sobre SA pone en evidencia la relación de orden elegida (1), no pasa lo mismo con la
representación de A2 sobre SD,por lo que podemos decir que SA
está ordenado y SD no lo está.
Paso 1:
Queremos ahora "pasar" un elemento de SD a SA, por ejemplo el
primer elemento.
V=(m,l(3),-8,9,41)
SA
SD
Insertémoslo en SA de modo tal que este subarreglo permanezca ordenado y eliminemos ese elemento de SD.
-8,9,41)
V = (1 3 , 7
SA
SD
Queda entonces:
SA = (3, 7)
SD = ( - 8 , 9, 4)
Repitamos este procedimiento hasta agotar los elementos de SD.
Paso 2:
V=(
3, 7 ,
(^8), 9, 4 )
SA
Paso 3:
SD
V = ( 1 -8, 3,7
SA
9,4
V = (
®.4
SD
-8,3,7
SA
V = ( [-8,3,7,9
Paso 4:
)
, |_4j )
SD
)
V=(
- 8 , 3, 7, 9, 4 )
SA
42
SD
SA
V=(
)
Ya no quedan elementos por "acomodar" y sobre el arreglo V
tenemos la representación que pretendíamos del conjunto A.
Observemos las distintas representaciones que del conjunto A
obtuvimos sobre el arreglo V a lo largo del proceso de ordenamiento que acabamos de realizar. Al término de cada paso obtuvimos:
ELEMENTOS DE V
PASO
1
2
3
4
5
0
7
3
-8
9
4
1
3
7
-8
9
4
2
-8
3
7
9
4
3
-8
3
7
9
4
4
-8
3
4
7
9
r
..
r
Estrategia del método de ordenamiento de inserción
Para ordenar un arreglo de N elementos según el método de
inserción es necesario un ciclo de N - 1 pasos.
Analicemos cada uno de estos pasos.
Paso K-esimo (1 < K < N):
Estado inicial del paso K:
Los elementos V(1), V ( 2 ) , . . . V ( K - 1 ) conforman el subarreglo
ordenado S A y los elementos V(K), V ( K + 1 ) . . . V(N) conforman
el subarreglo SD no ordenado
Proceso:
El objetivo de este proceso es insertar en SA uno de los
elementos de SD, hablamos de "insertar" porque queremos
agregar ese elemento en SA de modo tal que SA siga estando
ordenado.
¿Cómo lo hacemos?
Asignamos a la variable auxiliar X el valor de V(K).
Debemos determinar ahora la ubicación donde insertaremos
ese valor, pueden suceder dos cosas:
1) que X "siga" atodos los elementos de SA según la relación
de orden elegida.
V j: 1 < j < k - 1
V(j)<X
43
Como sucede en el paso 3 de nuestro ejemplo, y entonces
basta con considerar a SA como el subarreglo (V(1), V(2)
..., V ( K - 1 ) , V(K)) y a SD como el subarreglo (V(K+1) ...
V(N))
2) Que exista un j tal que:
X < V(j)
con
1 < j < k-1
En este caso debemos "desplazar" los elementos de SA a
fin de "dejar libre" el lugar j para X ; esto lo hacemos
asignando a V(K) el valor almacenado en V(K-1), a V ( K - 1 )
el valor almacenado en V ( K - 2 ) y así hasta asignar a V(J+1)
el valor almacenado en V(J). Una vez terminado el desplazamiento "insertamos" X en el lugar j de SA, esto es
asignamos el valor almacenado en X al elemento V(J).
Estado final del paso k:
Los elementos V(1), V ( 2 ) . . . , V(K) conforman ahora un subarreglo ordenado que será el SA inicial del próximo paso.
Establecida la estretegia del método de ordenamiento por
inserción pasaremos a describir un algoritmo apropiado.
Usaremos el siguiente léxico:
N: variable entera
V: arreglo con N elementos
I, J, K: variables enteras auxiliares
X: variable del mismo tipo que los elementos del arreglo V.
Acción "ordenamiento por inserción" es:
inicio
para K desde 2 a N hacer
X < - V (K);
buscar lugar para X;
insertar X en el lugar correspondiente
fin-para
fin.
Acción "buscar lugar para X" es:
inicio
K;
mientras J > 1 A x < V ( J - 1 ) hacer
J
J-1
fin-mientras;
POS<-J
fin.
Acción "insertar X en el lugar correspondiente" es
inicio
si K > POS entonces desplazar elementos;
V ( P O S ) ^ - X.
fin.
44
Acción "desplazar elementos" es
inicio
Para í desde K a POS con incremento - 1 hacer
V(l)<- V(l-1)
fin-para
fin.
P r o g r a m a d o en B A S I C
A continuación presentamos la codificación en BASIC de un
programa que permite el ingreso de la cantidad de elementos que
componen un arreglo numérico y el valor de cada uno de esos
elementos; ordenael arreglo según el método de inserción y emite
este arreglo ya ordenado.
20
30
40
50
Ordenamiento de arreglos unidimensionales
Método de inserción
70
80 DIM V (50)
' fija la dimensión del arreglo
90 CLS
' limpia la pantalla
100 G O S U B 200
' lectura de datos
110 IF N> 1 THEN GOSUB 400 ' ordenamiento del arreglo
120 G O S U B 800
' emisión del arreglo ordenado
130 END
140
150
160
170
180
190
RUTINAS
195
RUTINAS
200
210
220
Lectura de Datos
230
240 INPUT "Ingrese dimensión del arreglo (1 - 50) : " , N
250 IF N<1 OR N> 50 OR N o INT (N) THEN PRINT "Error en dato": GOTO 240
260 PRINT
270 P R I N T " Ingrese los elementos del arreglo"
280 FOR I = 1 T O N
290 PRINT "V ( " ; I ; " ) =" ; : INMPUT " " . V ( I )
300 N E X T I
310 RETURN
' fin de la rutina de ingreso de datos
320'
4 0 0 ' .-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-
45
410
420
430
440
450
460
470
490
500
510
520
530
540
550
560
570
580
590
600
610
620
630
640
650
660
670
680
690
700
710
720
730
740
750
760
770
780
790
800
810
46
ordenamiento por inserción
FOR I = 2 T O N
T=V ( I )
G O S U B 520
G O S U B 630
NEXT I
RETURN
' reserva el elemento a insertar
' busca posición para insertar
' inserción del elemento
' fin de la rutina de ordenamiemto
Búsqueda de la posición para insertar
!
J=l
WHILE J>1 AND T < V ( J - 1 )
J =J -1
WEND
POSI = J
' guarda la posición donde se insertara
RETURN
'fin de la rutina de búsqueda
f
Inserción del elemento reservado
IF I > POSI THEN G O S U B 710
V ( POSI) = T
RETURN
' fin de la rutina de inserción
i
Desplazamiento de elementos
FOR K = I T O POSI STEP-1
V ( K ) = V ( K - 1)
NEXT K
RETURN
' fin de la rutina de desplazamiento
820 '
Emisión del arreglo ordenado
830 '
840 CLS
850 PRINT "Arreglo ordenado"
870 PRINT ; PRINT "V - ( " )
880 FOR l = 1 T O N - 1
890 PRINT V ( I ) ; " , " :
900 N E X T I
910 PRINT V ( N ) ; " ) "
920 RETURN
' fin de la rutina de emisión
930 '
940 '.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.'.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.
950'
9 6 0 ' FIN
970'
980 ' .-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.=.-.-.
Ejemplo de ejecución:
Ingrese dimensión del arreglo ( 1 -50 ) : 6
Ingrese los elementos del arreglo
V ( 1)=
V (2 )=
V (3 )=
V(4 )=
V (5 )=
V(6)=
5.34
-3.12
2.5
18
2.6
-1
Arreglo ordenado
V = ( -3.12,-1 , 2 . 5 , 2 . 6 , 5 . 3 4 , 1 8 )
Ok
( 1 ) Aclaración:
Al tener un sólo elemento SA está siempre ordenado cualquiera sea la relación de orden elegida.