PROBLEMA B.2. Se dan las rectas Obtener razonadamente

Matemáticas II
Junio 2015
x − y + 3 = 0
3 y + 1 = 0
y s:
.
PROBLEMA B.2. Se dan las rectas r : 
x − 2 z − 3 = 0
2 x − z + 2 = 0
Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a) El plano paralelo a la recta s que contiene a la recta r. (3 puntos)
b) La recta t que pasa por el punto (0, 0, 0), sabiendo que un vector director de t es
perpendicular a un vector director de r y también es perpendicular a un vector director
de s. (3 puntos)
c) Averiguar razonadamente si existe o no un plano perpendicular a s que contenga a la
recta r. (4 puntos)
Solución:
a) ¿Plano paralelo a s que contiene a r?
π // s → vs será director de π
r ⊂ π → Pr ∈ π y vr será director de π
Obtengamos los elementos de r y s necesarios. Nos interesa obtener las ecuaciones paramétricas de
ambas rectas.
= −3
1 −1
x − y
r :
como
= 2 ≠ 0 , despejamos x e y en función de z.
2 0
2 x − z = −2
−3
 x − y = −3

2 x = −2 + z
−2+ z
x=
2
→
1
y=
−1
0
−2+ z
z
=
= −1 +
2
2
−3
2 −2+ z −2+ z +6 4 + z
z
=
=
=2+
2
2
2
2
1

 x = −1 + 2 λ

1

→ r : y = 2 + λ
2

z = λ


 Pr (− 1 , 2 , 0 )

Por tanto: r :  →  1 1 
vr  2 , 2 , 1  ≈ (1 , 1 , 2 )

 
x = 3 + 2µ
−1


3 y + 1 = 0
3 y = −1
−1
y =

s:
→ 
→ 
→ s : y =
3
3
x − 2 z − 3 = 0
x = 3 + 2 z
 x = 3 + 2 z

 z = µ
 
−1

 Ps  3 , 3 , 0 

Por tanto: s :  
→

 v s (2 , 0 , 1 )
µ ∈ℜ
→
Luego, del plano π conocemos: punto Pr (− 1 , 2 , 0 ) y vectores directores
vr (1 , 1 , 2 )
→
vs (2 , 0 , 1)
λ ∈ℜ
x+1 y −2
z
1
1
2 =0
2
0
1
x+1+4(y–2)–2z–(y–2)=0
x+1+4y–8–2z–y+2=0
x+3y–2z–5=0
La ecuación del plano π será:
Solución: π: x + 3 y – 2 z – 5 = 0
→
→
→

v
v
y
v
⊥
b) ¿recta t? / ( 0 , 0 , 0 ) ∈ t y t  r
s


→
→
i j
→
→
→
→
→
→


vt ⊥  vr y vs  , por lo tanto vt = vr × vs = 1 1


2 0
→
k
→
→
→ →
→
→
→
2 = i + 4 j − 2 k − j = i + 3 j − 2 k = (1 , 3 , − 2 )
1
x = 0 + λ
x = λ


Y la ecuación paramétrica de la recta t será: t :  y = 0 + 3λ λ ∈ ℜ → t :  y = 3λ
 z = 0 − 2λ
 z = −2 λ


x = λ

Solución: t :  y = 3λ λ ∈ ℜ
 z = −2 λ

c) ¿Existe un plano π / s ⊥ π
Como s ⊥ π
→
→
→
→
λ ∈ℜ
y r ⊂π?
→ nπ = vs = (2 , 0 , 1)
→

nπ vector perpendicular al plano π 
Como r ⊂ π → vr ⊥ nπ
Veamos si esto último es cierto,
→
→
vr ⋅ nπ = (1,1,2) ⋅ (2,0,1) = 2 + 0 + 2 = 4 ≠ 0 , por tanto estos vectores no son perpendiculares.
En conclusión, el plano π pedido no existe.