PROBLEMA A.2. Se dan las rectas α α Obtener razonadamente

PROBLEMA A.2. Se dan las rectas α α Obtener razonadamente

Matemáticas II
Junio 2016
x − 2 y + z + 3 = 0
PROBLEMA A.2. Se dan las rectas r : 
3 x + y − z + 1 = 0
y
x = 1

s :  y = 2α .
z = α − 2

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a) La recta paralela a r que pasa por el punto (0,1,0). (3 puntos)
b) El plano π que contiene a la recta r y es paralelo a s. (3 puntos)
c) La distancia entre las rectas r y s. (4 puntos)
Solución:
a) ¿Recta t? / t // r y ( 0 , 1 , 0 ) ∈ t
Obtengamos la ecuación paramétrica de r.
1 −2
En la recta r,
= 1+6 =7 ≠ 0
3 1
x − 2 y = − z − 3
Por tanto resolvemos el sistema: r : 
3 x + y = z − 1
− z−3 −2
z −1
x=
7
1
− z − 3 + 2z − 2 − 5 + z − 5 z
=
=
=
+
7
7
7 7
1 − z−3
3 z −1
z − 1 + 3z + 9 8 + 4 z 8 4 z
y=
=
=
= +
7
7
7
7 7
 −5 8 
 Pr  7 , 7 , 0 
 

→ r:
→ 1 4
v  , , 1  ≈ (1 , 4 , 7 )
 r  7 7 
 punto (0,1,0 )
De la recta t hemos obtenido 
como t // r → vt // vr
x = µ

de la recta t será:  y = 1 + 4 µ
µ ∈ℜ
z = 7 µ

b) ¿Plano π? / r ⊂ π y π // s
−5 8 
Como r ⊂ π → Pr 
, , 0  ∈π
 7 7 
−5 λ

x = 7 + 7

8 4λ

→ r : y = +
7 7

z = λ


→ vt = (1,4,7 )
→
→
Como π // s → vs es vector director de π .
La ecuación general del plano π la obtenemos:
1
0
5
7
y−
4
2
8
7
→
por lo que la ecuación paramétrica
y vr es vector director de π .
x+
λ ∈ℜ
z
7 =0
1
5
5 
8


 x +  4 + 2 z − 14  x +  −  y −  = 0
7
7 
7


5
8


− 10  x +  + 2 z −  y −  = 0
7
7


50
8
− 10 x −
+ 2z − y + = 0
7
7
− 10 x − y + 2 z − 6 = 0
10 x + y − 2 z + 6 = 0
Solución: π: 10 x + y – 2 z + 6 = 0
c) ¿d(r,s)?
Estudiemos la posición relativa entre las rectas r y s.
→
vr (1,4,7 )
→  →
 vr  vs (0,2,1)
→ 
Debemos estudiar el rango de la matriz  vs . P  − 5 , 8 ,0 

 12 − 8

r
,−2 
7 7  → Pr Ps  ,
P P 

r
s


7 7


 Ps (1,0,−2 ) 

 1
Rango de la matriz  0
 12

7
 1 = 1 ≠ 0 → rango ≥ 1


1 4

7 

= 2 ≠ 0 → rango ≥ 2
0 2

→ 
1


− 2
4
7
 1

48
8
 0
2
1 = −4 +
− 24 + = −20 ≠ 0 → rango = 3
7
7
 12 − 8
−2

7
7
4
2
−8
7
Por tanto las rectas r y s se cruzan y d (r , s ) =
→ →

vr vs Pr Ps 
→
→
vr × vs
→ →

vr vs Pr Ps  = {lo hemos obtenido en el cálculo del rango} = −20
→
→
→
→
→
i
j
k
vr × vs = 1
0
→
→
→
→
→
2
1
→
vr × vs = (−10 ) 2 + (−1) 2 + 2 2 = 105
Finalmente, d (r , s ) =
→
→
→
4 7 = 4 i + 2 k − 14 i − j = −10 i − j + 2 k = (− 10,−1,2 )
− 20
105
=
20
105
Otra forma de obtener d(r,s) es la siguiente:
El plano π del apartado anterior contiene a la recta r y es paralelo a la recta s → d(r,s) = d(s,π) y
como la recta s es paralela al plano π → d ( s, π ) = d (Ps , π ) .
Ps es un punto de la recta s, por ejemplo, Ps (1,0,−2 )
y el plano π: 10 x + y – 2 z + 6 = 0
10 .1 + 0 − 2(−2) + 6 10 + 4 + 6
20
Luego, d (r , s ) = d (Ps , π ) =
=
=
2
2
2
105
105
10 + 1 + (−2)