Movimiento de rodadura de un cilindro en función de la posición de

Movimiento de rodadura de un cilindro en función de la posición de

Revista Colombiana de Fı́sica,Vol. 41, No.1, Enero 2009
Movimiento de Rodadura de un Cilindro en Función de la
Posición de un eje Asimétrico
L. A. Peña A., D. Vanegas F., y F. Fajardo T. a
a Departamento
de Fı́sica, Universidad Nacional de Colombia.
Recibido 22 de Oct. 2007; Aceptado 15 de Oct. 2008; Publicado en lı́nea 5 de Ene. 2009
Resumen
En este trabajo se estudia el movimiento por un plano inclinado de un cilindro hueco no simétrico de masa
M y radio R. La asimetrı́a del sistema se debe a que el cilindro de masa M tiene adherido a su superficie
interna un cilindro de masa m y radio r. Se midió la posición y velocidad del sistema con un sensor de
movimiento, a medida que variaba el radio r del cilindro interno. Para la construcción del sistema se utilizan
cilindros de PVC con diferentes radios r. El montaje experimental permite observar claramente los dos
tipos de movimiento que el sistema puede presentar, traslación y oscilaciones. A medida que disminuye r,
el eje asimétrico se desplaza desde el centro del cilindro de radio R, observando que el tiempo de rodadura
disminuye bajo las mismas condiciones iniciales de lanzamiento. Este resultado y los tipos de movimiento
observados, se explican de forma general al plantear el lagrangiano del sistema.
Palabras Clave:Eje asimétrico, movimiento cilindro, lagrangiano.
Abstract
In this work is studied the movement by an inclined plain of an asymmetric hollow cylinder of mass
M and radio R. The system asymmetry is due that the cylinder of mass M has a cylinder of mass m
and radio r fixed to its internal surface. We measure with a movement sensor the system position and
speed as the radio r of the internal cylinder was changed. To construction of the system PVC cylinders
with different radios r were used. The experimental assembly allows observe clearly the two types of
movement that the system have, translation and oscillations. As r decreases, the asymmetric axis moves
from the center of cylinder of radio R, finding that the rolling time diminishes under the same initials
launching conditions. These results and the types of movement observed can be explained from a general
way when the system lagrangian is established.
Keywords:Asymmetric axis, cylinder movement, lagrangian.
c
°2009.
Revista Colombiana de Fı́sica. Todos los derechos reservados.
1. Introducción
Un cilindro simétrico cuando se coloca en lo alto de un
plano inclinado, tiene una energı́a total constante, que
es independiente de la orientación angular. Sin embargo, lo más interesante de éste problema es que debido
a la distribución no-simétrica de la masa del cilindro,
el cero de energı́a potencial se puede modificar, de tal
manera que la energı́a inicial será diferente (y por lo
tanto la dinámica del sistema). De aqui, la condición
inicial de lanzamiento determina, si el cilindro llega al
final de la rampa más rápido o más lento que un cuerpo rı́gido convencional. Otra cuestión interesante que
será objeto de nuestro estudio es lo qué sucede cuando
Movimiento de Rodadura de un Cilindro en Función de la Posición de un eje Asimétrico
M
m
r2
r1
(XCM ,YCM)
φ
R 2 cos γ
x
(L−x) sinγ
γ
Figura 1. Esquema del sistema con sus parámetros geométricos y montaje experimental
Cilindro (r1 ± 0,001) cm (r2 ± 0,001) cm (m ± 0,1) g
1
0.795
1.065
37.3
2
1.165
1.335
38.0
3
1.510
1.670
38.0
4
Cuadro 1
Medidas de los tubos de masa m y radio r.
2.175
2.395
37.0
ẍ =
se deja una condición inicial de lanzamiento fija y se
varia el radio r.
Para responder la anterior pregunta plantearemos la
dinámica del sistema. En la figura 1 se muestra el esquema del sistema con sus parámetros geométricos y
una fotografı́a del montaje experimental utilizado. La
idea es a partir de la geometrı́a de la configuración
(ver Fig. 1) y con las coordenadas del centro de masa
(XCM , YCM ), determinar la ecuación de movimiento
del sistema, teniendo en cuenta la condición de rodadura (x = R2 (φ − φ0 )) y el formalismo Lagrangiano.
Para ello determinamos la energı́a potencial, la energı́a
cinética y se plantea el Lagrangiano el cual esta dado
por la ecuación 1 [1].
(m + M )gR22 sin γ−
µ
¶
µ
¶
x
x
mgRR2 sin γ +
+ φ0 − mRẋ2 sin
+ φ0
R2
R2
(2)
¢
¡
M
mR2 + (m + M )R22 +
R12 + R22 +
2 µ
¶
¢
m¡ 2
x
2
r1 + r2 − 2mRR2 cos
+ φ0
2
R2
¢
¡
2
2
Donde el término m
2 r1 + r2 es el momento de inercia del cilindro interno masa m y radio r, este momento
de inercia podrı́a ser en general cualquiera [2].
2. Arreglo experimental
1
L = (m + M )
µ
¶¸
·2
ẋ2
x
ẋ2
2
2
ẋ + RCM 2 − 2RCM
cos
+ φ0
+
R
R2
R2
· µ 2 2 2¶
¸
µ
¶
1
R1 + R2
M r2
ẋ2
m
+ µR2 +
−
2
2
2
R22


(L − x) sin γ + R2 cos γ−
µ
¶

(1)
(m + M )g 

x
RCM cos γ +
+ φ0
R2
Tal como se ve en la figura 1 el sistema fı́sico es un cilindro hueco (tubo de PVC) de masa M = (371,0 ± 0,1) g
y radio R el cual tiene adherido a superficie interna un
cilindro de masa m y radio r, con el que se introduce la
asimetrı́a del sistema. Siendo R = (R1 + R2 )/2, donde
R1 = (5,36 ± 0,01) cm y R2 = (5,73 ± 0,01) cm son
los radios interno y externo del cilindro de masa M respectivamente. Similarmente r = (r1 + r2 )/2 son los
radios interno y externo del cilindro de masa m. La
posición del cilindro conforme rueda por el plano inclinado se mide con la ayuda del sensor de movimiento
pasco CI-6742. La rampa de lanzamiento es una tabla
de longitud L = (140,0 ± 0,1) cm. Un transportador
fijo a la rampa permite medir la condición inicial de
Usando las ecuaciones de Lagrange, la aceleración lineal del sistema es:
189
rev.col.fis,vol.41,No 1(2009)
1
0,8
0,8
Posición x [m]
Posición x [m]
1
Cilindro vacio
r1
r4
0,6
0,4
0,2
0
0,6
Cilindro vacio
r1
r4
0,4
0,2
0
0
0,5
1
1,5
-0,2
0
2
Tiempo t [s]
0,5
1
1,5
2
Tiempo t [s]
Figura 2. Posición del cilindro variando r. A la izquierda aparecen las curvas experimentales y a la derecha la simulación usando la ecuación
2 por Runge-Kutta.
2,61 ◦ y φ0 = 180 ◦ . Nótese que la simulación tiene la
misma tendencia que los resultados experimentales, la
diferencia basicamente se debe a que en la ecuación 2
no se considera un término disipativo.
lanzamiento, es decir, el ángulo φ que se observa en la
figura 1.
3. Variación con el radio r
4. Movimiento oscilatorio
Debido a la cantidad de parámetros libres de nuestro
sistema (como lo son las masas, los radios y la inclinación del plano), podemos variar cada uno de ellos para encontrar una configuración que minimice el
tiempo de descenso. Uno de los parámetros fácilmente
variables es el radio del cilindro interior r. La pregunta a responder serı́a: ¿Existe un radio r para el cual el
cilindro llega más rapidamente al final de la rampa que
otros sistemas (simétricos o no)?. Para solucionar este
interrogante, vamos a mantener constantes los demás
parámetros del sistema y variaremos el radio r (ver
tabla 1), con lo que se obtiene la curva de la figura 2.
Ahora consideremos el cilindro 3 (ver tabla 1). Uno de
los ángulos para los cuales podemos tener oscilaciones
con éste cilindro es φ0 = 350 ◦ . En la gráfica (Fig. 3
izquierda) se muestran cuatro curvas, la primera curva (Experimental) muestra las oscilaciones del sistema,
con presencia de cierto amortiguamiento; la siguiente
curva (Libre), representa las oscilaciones del sistema
como si no existiera factor de amortiguamiento. Existen dos diferencias significativas entre ambas curvas,
la primera es el máximo de los picos, esto se debe al
amortiguamiento; la segunda, la curva teórica (libre) se
corre hacia la derecha. Estos dos factores están representados por el término disipativo que actúa sobre el
sistema oscilante.
En la grafica 2 a la izquierda, podemos ver que independiente del radio todos los cilindros con eje nosimétrico llegan al final de la rampa primero que el
cilindro vacio (el cual es de eje simétrico) para cualquier
tiempo del rango experimental. Adicionalmente podemos ver que el cilindro con eje no-simétrico que llega
primero al final de la rampa es el de valor de r1 , que
es el de menor radio. La masa de los cilindros se logro
que fuera constante, hasta del orden del gramo, puliendo los cilindros con un torno.
Primero se intenta hacer un ajuste teórico a los
datos experimentales, para ello se utiliza af = −0,20 v
esto se representa en la curva (Fig. 3 izquierda) y se
observa que los picos experimentales y teóricos coinciden bastánte bien, en otras palabras la envolvente de
amortiguamiento se ajusta con este factor; sin embargo, ésta curva sigue estando corrida hacia la derecha,
luego hace falta otra contribución; para ello se propone
el termino disipativo af = −0, 20 v − 10 v 2 , en el cual
se tiene ambas contribuciones, el termino af = −10 v 2
barre la curva teórica a la derecha, y se ajusta mucho
mejor para la primera oscilación y media.
En la figura 3 (derecha), observamos las oscilaciones
experimentales, evidentemente existe amortiguamiento,
sin embargo en nuestro modelo teórico si a la aceleración libre (Ec. 2) se le agrega un término disipativo
af = −0,1 v, entonces tenemos que el ajuste teórico y
En la figura 2 a la izquierda, se muestran las curvas
experimentales de la posición del cilindro en función
del tiempo. La curva continua es el cilindro simétrico (cilindro hueco), las otras dos corresponden a los
cilindros 1 y 4 (ver tabla 1). Los cilindros 2 y 3 no se
muestran ya que caen dentro de las curvas anteriores.
Los parámetros utilizados en la simulación (Fig. 2 a
la derecha) son los que aparecen en la tabla 1, con γ =
190
Movimiento de Rodadura de un Cilindro en Función de la Posición de un eje Asimétrico
a f= -0.2v + 10v
Experimental
2
0,1
0
Experimental
Teorico
0,2
Velocidad v [m/s]
Velocidad v [m/s]
0,3
Libre
af=-0.2v
0,2
0,1
0
-0,1
-0,2
-0,1
0
2,5
5
7,5
10
0
2,5
Tiempo t [s]
5
7,5
10
Tiempo t [s]
Figura 3. Movimiento oscilatorio con ajustes disipativos.
disipación diferente cada vez que se varı́a dicha condición inicial de lanzamiento.
experimental coinciden de manera bastánte precisa.
Concluyendose que, a medida que disminuye r, el eje
asimétrico se desplaza desde el centro del cilindro de radio R, observando que el tiempo de recorrido es menor
que el que tendrı́a un cilindro con eje simétrico. Las
oscilaciones dependen de la condición inicial φ0 para
cada cilindro de radio r. Debido a la no linealidad del
sistema, la dinámica de éste es variable según la condición inicial y por lo tanto hay que proponer un factor de
Referencias
[1] A. Carnevali, M. Russell. Am. J. Phys. 73 (10). Pág 909–913,
(2005).
[2] H. Goldstein, Mecánica clásica. Ed reverté. 2da edición.
Barcelona (1987).
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