EJEMPLO: Hallar las dimensiones de una lata común de refresco

EJEMPLO: Hallar las dimensiones de una lata común de refresco de forma
cilíndrica, de 350 ml, que llevará la cantidad mínima de metal.
Sea:
r = el radio de la base
h = altura del cilindro
El área de la base es r2 igual al área de
la tapa. El área lateral es 2rh, producto de la
circunferencia por la altura del cilindro. Por lo
tanto, el área total (AT), que es la función a
minimizar, está dada por:
fAT: f(r,h) = 2rh + 2r2
El otro dato del problema es el volumen
del cilindro (r2h), que debe ser igual a 350 ml.
De este se despeja la altura, para sustituir en la
función área total.
r2h = 350
f
AT
f´
h
2
: f( r )  700  2r 
r
AT
: f´( r ) 
 700  4r
2
r
350
2
r
f
: f( r )  2  r 350
AT
2
r

se deriva con respecto a r
f´
AT
3

que se anula en: 
Que es un mínimo de la función.
La altura es:

r3
: f´( r ) 
700
4
 2r
2
 700
 4r
2
r
 3.82 cm
El símbolo  significa
aproximadamente igual.
h  7.63 cm
Las dimensiones de la lata cilíndrica de 350 ml que tiene menos superficie lateral son:
una base de aproximadamente 3.82 cm de radio y una altura de aproximadamente 7.63 cm.
NOTA
En general, para cualquier volumen se cumplirá que el cilindro
de menor área total es aquel que tiene iguales su altura y el
diámetro de la base.
La demostración del caso general puede hacerla el
estudiante.