Cálculo 1 Clase 1

Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Departamento de Matemática
Coordinación de Matemática I (MAT021)
1er Semestre de 2013
Semana 4: Lunes 1 - Viernes 5 de Abril
Cálculo
Contenidos
• Clase 1: Composición de funciones.
• Clase 2: Funciones inyectivas, epiyectivas, biyectivas, funciones inversas.
1
Clase 1
1.1
Aprendizajes esperados
• Reconoce bajo que condiciones se puede hacer una función y donde está definida.
• Realiza la composición de funciones identificando dominio y recorrido.
• Realiza la composición de funciones de forma gráfica.
1.2
Composición de funciones
Sean f : A → B y g : B → C dos funciones. Se define la composición de f con g como la función dada por
(g ◦ f )(a) := g(f (a))
definida para cada a ∈ dom(g ◦ f ) := {x ∈ dom(f ) : f (x) ∈ dom(g)}.
Observación 1.1. Ilustrar la compuesta con diagramas.
Observación 1.2. Dadas dos funciones f : A → B , g : B → C, entonces se tiene:
1. La composición no es conmutativa, por lo general g ◦ f 6= f ◦ g, incluso existiendo una de las compuestas la
otra podrı́a no existir (ejemplificar)
2. idB ◦ f = f ◦ idA = f (introducir previamente la función identidad de un conjunto).
Ejercicios Propuestos
• Sea f : R → R : x 7→ x2 y g : R → R : z 7→ 3z + 5. Verificar que (g ◦ f ) 6= (f ◦ g).
• Sean f (x) =
x2 − 1
y g(x) = 5 − 2x. Determine las condiciones necesarias para definir (f ◦ g).
x−2
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• Determine si la función compuesta f ◦ g es par o impar en cada uno de los casos siguientes: (a) f y g son
impares; (b) f es par y g es impar; (c) g es par.
√
• Sean f : A ⊆ R → R, x 7→ f (x) = x2 − 1 y g : B ⊆ R → R, x 7→ g (x) = x21−4 encontrar dominio y recorrido
de g ◦ f .
• Si
f (x) =


x−
si
x<1
p1
x + |x| si −1 ≤ x ≤ 1

1
si
x>1
x
y g : R → R, x 7→ g (x) = |x| calcular f ◦ g y g ◦ f .
1.3
Composición de funciones - forma gráfica
Explicar como se realiza la composición de funciones cuando se conocen las gráficas de las dos funciones a componer,
mencionar que esta es una práctica utilizada en cursos de ingenierı́a.
Ejemplo 1.1. Mostrar la técnica para obtener a partir de la gráfica de y = f (x), las gráficas de:
1. y = f (x − a), con a > 0.
2. y = f (−x)
3. y = sen(x − π2 ), si se sabe que f (x) = sen(x)
2
Clase 2
2.1
Aprendizajes esperados
• Reconoce tipos de funciones: Inyectivas, sobreyectivas y biyectivas y sus propiedades gráficas.
• Reconoce y calcula inversas de funciones.
2.2
Funciones inyectivas, epiyectivas o sobreyectivas, y biyectivas
Sea f : A → B una función. Esta se dirá:
• Inyectiva: si ∀x1 , x2 ∈ A, f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 o equivalentemente, ∀x1 , x2 ∈ A, x1 6= x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ).
• Sobreyectiva: si ∀y ∈ B, ∃x ∈ A tal que f (x) = y.
• Biyectiva: si es inyectiva y sobreyectiva.
Ejemplo 2.1. La función f : R → R, x 7→ f (x) = x2 no es inyectiva ni sobreyectiva. f1 : R+ → R, x 7→ f1 (x) = x2
es inyectiva pero no sobreyectiva. La función f2 : R+ → R+ , x 7→ f2 (x) = x2 es biyectiva.
Ejemplo 2.2. Encontrar intervalos infinitos A y B de modo de que la función f : A → B, x 7→ f (x) = x2 + 2x − 3
sea biyectiva.
Propiedades 2.1. Bajo condiciones de compuesta:
1. Si f y g son inyectivas, entonces g ◦ f es inyectiva.
2. Si f y g son sobreyectivas, entonces g ◦ f es sobreyectiva.
3. Si g ◦ f es sobreyectiva, entonces g es sobreyectiva.
4. Si g ◦ f es inyectiva, entonces f es inyectiva.
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Ejercicios Propuestos
• Dada la función f (x) = (x − 2)2 , determinar si f : A → R es inyectiva en los siguientes casos:
– A = R;
– A = R+ ;
– A = [2, +∞[.
• Sea f : R → R una función tal que para cada x ∈ R, f (f (x)) = x − 1. Probar que f es biyectiva.
• Sea f : A → A función tal que (f ◦ f ) ◦ f es biyectiva. Probar que f es biyectiva.
• Si (f ◦ g) (x) = x3 para cada x ∈ R ¿Es f inyectiva y/o sobreyectiva?
2.3
Función Inversa.
Sea f : A → B una función biyectiva. La función inversa de f es la única función g : B → A que satisface:
∀a ∈ A, ∀b ∈ B, f (a) = b ⇔ g(b) = a
Dicho de otro modo, g(b) es el único elemento de A tal que f (g(b)) = b. Normalmente la inversa de una función
biyectiva f : A → B se denota f −1 : B → A. Esta notación generalmente resulta motivo de confusión respecto a
la noción de preimagen. Generalmente f −1 (b) es la función inversa de f aplicada a b ∈ B. Si B 0 ⊆ B entonces
f −1 (B 0 ) es el conjunto preimagen de B 0 . 1
Observación 2.1. Note que toda función es una relación, por ende posee podemos considerar su relación inversa.
En el caso que la función es biyectiva la relación inversa queda definida como una función.
Observación 2.2. Enunciar simetrı́a respecto a la recta y = x.
Ejemplo 2.3.
La función f : R → R, x 7→ f (x) = x3 − 1 es biyectiva y su función inversa es g : R → R,
√
3
x 7→ g (x) = x + 1. Note que f ◦ g = g ◦ f = IdR .
Propiedades 2.2. Si f : A → B es una función biyectiva, entonces:
1. f −1 es biyectiva
2. (f −1 )−1 = f
3. (∀a ∈ A) f −1 (f (a)) = a
4. (∀b ∈ B) f (f −1 (b)) = b
5. f −1 ◦ f = idA y f ◦ f −1 = idB .
6. Si B 0 ⊆ B, se tiene que f −1 (B 0 ) = {a ∈ A|(∃b ∈ B 0−1 (b)|b ∈ B 0 }
7. Si f : A → B y g : B → C son biyectivas, entonces g ◦ f es biyectiva y (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 .
Observación 2.3. Hasta aquı́ son los contenidos de la parte de cálculo que se evaluarán en el certamen 1 del dı́a
20 de abril. Las próximas clases serán dedicadas a ejercicios y consultas.
Ejercicios tipo
• Sea f : R − {3/2} → R − {−1/2} : x 7→
1−x
. ¿Es posible definir su función inversa? Si este es el caso
2x − 3
determine la expresión correspondiente.
q
1
• Sea f (x) = 2x+3
determinar dos conjuntos A, B ⊆ R con tal de que f : A → B sea biyectiva y en tal caso,
determinar su inversa.
1 Sin
embargo si f es biyectiva entonces coincide con el conjunto imagen de B 0 por la función f −1 .
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