Razonar si son ciertas o falsas las siguientes igualdades: Asociar

Razonar si son ciertas o falsas las siguientes igualdades: Asociar

Razonar si son ciertas o falsas las siguientes igualdades:
(1) (a + b)2 = a2 + b2
(10)
√ 2
e x = ex
(2)
1
1
1
=
+
2a + b
2a b
(11)
(3)
x
= x · e−x
ex
(12) e− ln x = x
(19) Si x2 > 0, entonces x > 0.
(20) 1 + tan2 x =
1
1
x
−
= 2
2
x −1 x+1
x −1
(21) 2 + ln x = ln(e2 + x)
1
a2 + ab
(4)
=a
b+a
√
√
√
(5) 8 + 2 = 3 2
(22)
(13) ln 0 = 1
√
1
(14) eln(2)+ 2 = 2 e
′
1
ln π =
π
′
cos x
sin x
=
(24)
x3
3x2
(16) (sin x + cos x)2 = 1
1
(8) √
= x−4
4
x
(17)
sin2 x
sin x
=
2
cos x
cos x
(9) 9x · 3x = 33x
(18)
cos(2x)
cos x
=
sin(2x)
sin x
√ ′ √
√
e x = x · e x−1
(23)
(15) cos(−x) = − cos x
(6) (a3 )2 = a5
√
3
3
(7) a2 = a 2
1
cos2 x
(25)
sin x
tan x
′
= − sin x
(26) (x · ex )′ = (x + 1) · ex
Asociar cada función con su gráfica
x+2
x−1
√
(d) f (x) = x + 2
(a) f (x) = ex − 2
(e) f (x) = 1 − sin x
(c) f (x) =
(b) f (x) = −x2 + 4
(f) f (x) = ln(x + 1)
4
3
−3 −2
3
2
2
1
1
−1
−1
1
2
3
−2 −1
−1
2
1
2
3
4
5
6
7
−2
−2
−2 −1
−3
−3
A
2
1
1
−1
−2
D
2
3
4
5
6
7
8
C
6
5
4
3
2
1
2
−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
1
−1
B
1
1
−6−5−4−3−2−1
1 2 3 4 5 6
E
Hallar, razonadamente, dominio, recorrido y las traslaciones efectuadas.
HOJA-1
−9−8−7−6−5−4−3−2
−1 1 2 3 4 5 6 7 8 910
−1
−2
−3
−4
−5
F
1
(
2x + y = 1
Dado el sistema de ecuaciones lineales
−x + 2y = 7
a) El sistema es compatible determinado.
se cumple:
c) El sistema tiene infinitas soluciones.
b) El sistema tiene solución única que es: x = −1 e y = 3. d) Las respuestas a) y b) son ambas ciertas.
2
3
Dada la función f (x) =
x2
x
se cumple:
−1
a) Es simétrica respecto al origen de coordenadas
c) No tiene ası́ntotas verticales
b) La recta y = 0 es ası́ntota horizontal
d) Las respuestas a) y b) son ambas ciertas.
Dada la función f (x) =
1
se cumple:
x−1
a) El lı́mite cuando x tiende a 1 de f (x) no existe.
b) El lı́mite lı́m f (x) = +∞.
c) Las respuestas a) y b) son ambas ciertas.
d) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.
x→1+
4
La función f (x) =
x+1
es:
x2 + 2x + 1
a) Positiva ∀x ∈ Df
c) Positiva si x > −1 y negativa si x < −1.
b) Negativa ∀x ∈ Df
5
6
d) Negativa si x > −1 y positiva si x < −1.
La pendiente de la función f (x) = (2x + x2 )2 en x = 1 es:
a) 3
c) 12
b) 6
d) 24
Si f y g son funciones derivables, entonces la derivada del producto f · g es:
a) f ′ · g ′
c) f · g + f ′ · g ′
b) f ′ · g + f · g ′
d) Ninguna de las anteriores
x
x
+
3 es:
7 La derivada de la función f (x) =
x2
−2x − 3
a) f ′ (x) = 2
x (x + 3)2
−2x + 3
b) f ′ (x) =
x(x + 3)2
c) f ′ (x) =
x2 (2x + 9)
(x + 3)2
d) Ninguna de las anteriores es correcta
√
8 La derivada de la función f (x) = arctan x2 − 1 es:
a) f ′ (x) =
1
x2
c) f ′ (x) =
1
b) f ′ (x) = √
x x2 − 1
1
1 + (x − 1)2
d) Ninguna de las anteriores es correcta
 2
 x − 25
9 Dada la función f (x) =
x−5

0
si x 6= 5
, se pide:
si x = 5
a) Demostrar que f (x) no es continua en x = 5.
b) ¿Existe una función continua que coincida con f (x) para todos los valores x 6= 5? En caso afirmativo, dar su
expresión.
c) ¿Existe alguna ası́ntota oblicua de f (x)? En caso afirmativo, calcularla.
10 Se considera la función f (x) =
x = 0.
x−1
. Determinar la ecuación de la recta tangente y la normal a la gráfica de f (x) en
x+1
HOJA-2
1
x−2
1
El conjunto de números reales que verifican la desigualdad x −
≥ 3x − es:
3
4
11
11
, +∞
c) −∞,
a)
28
28
b) Carece de solución
2
d) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.
Dadas las funciones f (x) =
1
y g(x) = x2 − 25
x
f (x)
es R.
g(x)
f (x)
b) El dominio de
es R \ {−5, 0, 5}.
g(x)
c) Las respuestas a) y b) son ambas ciertas.
a) El dominio de
3
El lı́mite de f (x) =
d) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.
x+1
cuando x tiende a −1 es:
1 − x2
a) −∞
1
b)
2
4
1
3
d) ∞
c)
Dada la función f (x) = 2x2 − 8x + 11, se cumple:
a) f (x) es una parábola de vértice el punto (−2, 3)
c) f (x) es una parábola de vértice el punto (2, 3)
b) f (x) es una parábola de vértice el punto (−2, −3)
d) Ninguna de las anteriores es correcta
5 La derivada de la función f (x) = ln(1 −
a) f ′ (x) =
√
ex ) es:
−1
2
c) f ′ (x) =
−ex
b) f ′ (x) = √ x
2 e − ex
−ex − ex/2
2(1 − ex )
d) Ninguna de las anteriores es correcta
6 La derivada de la función f (x) =
x
a) f ′ (x) = p
2 4 (x2 − 1)3
x
b) f ′ (x) = p√
x2 − 1
p√
x2 − 1 es:
c) f ′ (x) =
1p
3
(x2 − 1)4
4
d) Ninguna de las anteriores es correcta
1
7 El ángulo α está en el cuarto cuadrante y sin α = − , entonces:
3
√
√
2 2
2 2
a) cos α =
c) cos α = −
3
3
√
2
b) tan α =
d) Ninguna de las anteriores es correcta
4
8 Se considera la función f (x) =
x2
4−x
a) Calcular su dominio de definición. Razonar la respuesta.
b) Estudiar su continuidad.
c) Hallar las ası́ntotas de la función.
d ) Hallar, si existen, la(s) tangente(s) a la función que son paralelas al eje de abscisas.

x2 + ax si x < 2
9 Sea f (x) =
2

si x ≥ 2
x
a) Calcular los valores del parámetro a para los que f (x) es derivable en x = 2.
b) Si a = −1, hallar la tangente a la función en el punto de abscisa x = −2
HOJA-3
1 El conjunto de números reales que verifican la desigualdad
a) (−3, −1) ∪ [2, +∞)
c) (−3, −2) ∪ [−1, +∞)
b) [−3, −1) ∪ [2, +∞)
2
d) Ninguna de las anteriores
La recta tangente a la curva f (x) = ln(x) en el punto x = 1 es:
a) y = x + 1
c) y = x − 1
b) y = x
3
x2 − x
≤ 1 es:
x2 + 5x + 6
d) y = 1
La función definida por


si x < −1
 1
2
f (x) = 2x − 1 si − 1 ≤ x < 1 es:


5
si 1 ≤ x
a) Continua en x = −1 y discontinua en x = 1
c) Discontinua en x = −1 y continua en x = 1
b) Continua en x = −1 y en x = 1
d) Discontinua en x = −1 y en x = 1
−
−
→
4 Si el vector AB = (3, −5) y el origen es A(4, −2), entonces las coordenadas del extremo B, son:
a) (0, −3)
c) (7, −8)
b) (8, −7)
d) Ninguna de las anteriores es correcta
p
√
5 La derivada de la función f (x) = 2 3 + x2 + 4 es:
1
a) f ′ (x) = √ +
3
√ x
x2 +4
x
b) f ′ (x) = p
2
3x + 12 + (x2 + 4)3/2
1
c) f ′ (x) = √
x+5
d) Ninguna de las anteriores es correcta
2
6 La derivada de la función f (x) = e−1/x e− ln(1/x ) es:
−1
+ x23 )
x4
b) f ′ (x) = e−1/x (1 + 2x)
a) f ′ (x) = e−1/x (
c) f ′ (x) = ex x(x + 2)
d) Ninguna de las anteriores es correcta
7 Se considera la función f (x) = ax3 + b · ln x siendo a y b parámetros reales
a) Hallar el dominio máximo de la función.
b) Determine los valores de a y b sabiendo que f (1) = 2 y que la derivada de f (x) es nula en x = 1.
√
x3
− 8, g(x) = x3 , h(x) = x2 − ex
4
(
f (x) si 0 ≤ x ≤ 4
b) Razonar si la función m(x) =
es continua en x = 4
g(x) si 4 < x
8
a) Derivar las funciones f (x) =
9
c) Escribir la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función m(x) en x = 9.
a) Aplicando traslaciones, representar la función: f (x) = 1 − ln(x − 2).
b) Hallar, razonadamente, dominio, recorrido y puntos de corte con los ejes.
10 Un jugador de fútbol está situado en una banda y ve los postes de la porterı́a bajo ángulos de 30◦ y 45◦ con la lı́nea de
banda. Si la anchura de la porterı́a es de 7 metros, ¿a qué distancia del banderı́n de corner se encuentra el jugador?
11 Sabiendo que α es un ángulo no situado en el tercer cuadrante y sec α = − 43 , calcular:
(11-a) cos 2α
(11-c) sin 3π
−
2α
2
α
◦
(11-b) sin − α
(11-d)
tan
1980
+
2
2
HOJA-4
x−3
El conjunto de números reales que verifican la desigualdad
≥ 3x − 8 es:
2
13 13
c) No existe solución.
a) − ,
5 5
13
13
, +∞
d) −∞,
b)
5
5
(
x + 2 si x < 2
se cumple:
2 Dada la función f (x) =
x + 3 si x ≥ 2
1
a) La función es continua ∀x ∈ R.
c) La función es discontinua en x = 2.
b) La función es discontinua en x = −2 y x = −3.
3
El lı́mite de f (x) =
a) −∞
d) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta
x
cuando x tiende a −∞ es:
1 − x3
b) −1
4
c) 1
d) 0
Si f y g son funciones derivables, entonces la derivada del cociente
f′
g′
f ′ · g + f · g′
b)
g2
c)
a)
f
es:
g
f ′ · g − f · g′
g2
d) Ninguna de las anteriores
5 La derivada de la función f (x) = xx+1 es:
a) f ′ (x) = (x + 1)xx
c) f ′ (x) = (x + 1)xx + xx+1 ln x
b) f ′ (x) = xx+1 ln x
d) Ninguna de las anteriores es correcta
6 La derivada de la función f (x) = ln ln sin(x2 + 3) es:
2x cos(x2 + 3)
ln sin2 (x2 + 3)
2x tan−1 (x2 + 3)
b) f ′ (x) =
ln sin(x2 + 3)
a) f ′ (x) =
c) f ′ (x) =
2x cos(x2 + 3)
ln2 sin(x2 + 3)
d) Ninguna de las anteriores es correcta
7 El valor del sin 30◦ + cos 120◦ es igual a:
a) −1
1
b)
2
c) 0
d) −
1
2
8 La recta r ≡ (x, y) = (4, 5) + k(2, −1) ∀k ∈ R en forma explı́cita es:
1
a) y = − x + 6
2
b) y = 2x + 6
9 Se considera la función f (x) =
1
x−6
2
d) y = 2x − 6
c) y =
x2
siendo a y b parámetros reales.
a − bx
a) Determine los valores de los parámetros a y b para los que f (2) = −4 y la recta tangente a la gráfica de f (x) en
x = 6 es horizontal.
b) Para a = 1 y b = −1, hallar las ası́ntotas de la función.
10 En una empresa los ingresos y gastos dependen del número de artı́culos elaborados.
Si en un dı́a se fabrican x artı́culos los ingresos y gastos vienen dados por:
I(x) = −2x2 + 150x,
a)
b)
c)
d)
G(x) = 50x
Definir la función, B(x), que expresa los beneficios de esa empresa en un dı́a.
Representar gráficamente la función beneficios diarios.
A la vista de la gráfica, ¿Cuántos artı́culos deben fabricarse para obtener el máximo beneficio?
¿A partir de cuántos artı́culos la fábrica tiene pérdidas?
HOJA-5
1
La función f (x) =
x+1
es:
x2 + 2x + 1
c) Positiva si x > −1 y negativa si x < −1.
a) Positiva ∀x ∈ Df
d) Negativa si x > −1 y positiva si x < −1.
b) Negativa ∀x ∈ Df
2
3
El lı́mite cuando x tiende a 1 de la función f (x) =
x4 − 1
vale:
x2 + 1
a) 0
c) 1
b) ∞
d) No existe tal lı́mite
Sea la función f (x) =
x+1
entonces:
x2 + 1
a) La recta x = −1 es ası́ntota vertical.
c) La recta y = 0 es ası́ntota horizontal.
b) La recta y = 1 es ası́ntota horizontal.
4 La derivada de la función f (x) = tan
cos(1 + x)
sin(1 − x)
2
b) f ′ (x) =
(1 − x) cos2 (1 + x)
d) No tiene ası́ntotas
1+x
1−x
es:
2
c) f (x) =
(1 − x)2
a) f ′ (x) =
′
−2
1+x
cos
1−x
d) Ninguna de las anteriores es correcta
5 Si la tan α > 0 entonces el ángulo α pertenece a los cuadrantes:
a) I y II
c) I y IV
b) I y III
d) Ninguna de las anteriores es correcta
6 La pendiente de las rectas paralelas a 5x + 3y − 8 = 0, es:
a) −
b)
3
5
c)
5
3
7 La solución de la ecuación exponencial 2
8
3
d) Ninguna de las anteriores es correcta
√
x+6
−4
√
x+1− 12
= 0, es:
1
3
d) Ninguna de las anteriores
b) 3
√
√ 8 El valor de la expresión log 17 − 19 + log 17 + 19 − 3 log 3 + log 0, 1, es:
a) −3
c)
a) −1
c) 0
b) 1
d) Ninguna de las anteriores
9 Se considera la función f (x) = (x2 + a) · e2x siendo a un parámetro real.
a) Hallar, razonadamente, el dominio de f (x).
b) Determinar el valor de a para que la gráfica de f (x) pase por el punto (0, −4).
c) Calcular la tangente en el punto de abscisa x = 0.
10
a) Aplicando traslaciones, representar la función: f (x) = 2 − 3 cos(2x).
b) Hallar, razonadamente: dominio, recorrido, periodo principal.
c) Calcular la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función que es perpendicular a la recta r ≡ x + 6y − 3 = 0.
¿Es única la solución? RAZONAR.
HOJA-6
1
x2 − x3 + x − 3
vale:
6x2 + x − 1
1
c)
6
d) +∞
El lı́mite cuando x tiende a −∞ de la función f (x) =
a) 0
b) −∞
2
La derivada de la función f (x) =
x2
en x = 1 vale:
1+x
1
2
b) 2
c) No es derivable
3
d)
4
a)
3
Dada la función f (x) =
a) Df = R \ {2}
1
se cumple:
x−2
c) La recta x = 2 es ası́ntota vertical
b) La recta x = 2 es ası́ntota horizontal
4 La derivada de la función f (x) =
x+2
cos ln
3−x
a) f ′ (x) =
6 + x − x2
1
−1
b) f ′ (x) = sin
5
x2 − x − 6
5 El ángulo que forma la recta r ≡
1
5
d) las respuestas a) y c) son correctas
x+2
es:
sin ln
3−x
c) f ′ (x) =
x+2
3−x
1
cos ln
5
3−x
x+2
d) Ninguna de las anteriores es correcta
2
2
x − y + 1 = 0 con el semieje positivo de abscisas, es
3
3
a) 45◦
c) 60◦
b) 135◦
d) −45◦
−
−
→
6 El módulo del vector AB = (2, −6), es:
√
a) 2 10
c) 4
√
d) 34
b) 8
7 Las soluciones de la ecuación exponencial 9x−3 + 9 = 2 · 3x−2 , son:
a) ±4
c) ±3
b) 4 doble
d) Ninguna de las anteriores
8 La solución de la ecuación logarı́tmica 2 log100 (x − 1) + log(x + 2) − 1 = 0, es:
a) −4
c) −3
b) 3
d) Ninguna de las anteriores
9 La oferta de un bien conocido su precio, p, es S(p) =
(
30p + 200
si 0 ≤ p ≤ 10
2
p − 60p + 1000 si 10 < p ≤ 40
a) Representar la gráfica de la función.
b) A la vista de su gráfica, diga para qué valor del precio se alcanza la máxima y la mı́nima oferta.
10
c) ¿Para qué valores de p la oferta es menor que 200 unidades?
 ax

a) Calcular el valor de a y b para que la función f (x) = x − 1
bx + a
b) ¿Es derivable la función en x = −1? RAZONAR la respuesta.
HOJA-7
si x < −1
si x ≥ −1
sea continua y f (1) = 3.
1
Dada la función f (x) = 4x − 5, se cumple:
a) Es una función lineal
c) La derivada es constante
b) Es una función continua
d) Todas las respuestas son correctas
2 El lı́mite lı́m
x→+∞
a) −
b)
3
2x − 1
3x − 5
!
√
x2 +3
1−x
, es:
2
3
c) +∞
3
2
d) ∄ lı́m f (x)
x→+∞
La derivada de la función f (x) =
−1
en el punto x = −1 es:
x
a) -1
c) 2
b) 1
d) Ninguna de las anteriores es correcta
4 Sea la recta r ≡
(
x = 1 + 2k
y = 2 − 3k
entonces la ecuación de una recta paralela a r, es:
a) 3x + 2y = 0
c) 2x − 3y = 0
b) 2x + 3y = 0
d) 3x − 2y = 0
→
→
u = (4, 5) y −
v = (−2, a) tienen la misma dirección, entonces el valor de a, es:
5 Los vectores −
a) −
b)
5
2
c) −
2
5
2
5
d) N.A.
6 El lı́mite lı́m
x→1
x
(x − 1)2
2
! x−1
, es:
a) 1
c) +∞
b) 0
d) ∄ lı́m f (x)
x→1
√
7 La derivada de la función f (x) = + cos x − 2. es:
− sin x
a) f ′ (x) = √
2 cos x − 2
sin x
b) f ′ (x) = √
2 cos x − 2
8
− sin x
c) f ′ (x) = √
cos x − 2
d) No existe f ′ (x)
8
x2
− 2 , h(x) = 22x−1
8
x
b) La velocidad (en metros/minuto) de un juguete viene dada por


10t − t2 si t ∈ [0, 2] ∪ [8, 10]
V (t) =

 16
si t ∈ (2, 8)
a) Derivar las funciones f (x) = x2 ln(1 − x), g(x) =
(i) Representar la función velocidad.
(ii) A la vista de la gráfica, ¿cuál es la velocidad máxima y en qué momento o momentos se alcanza?
(iii) Calcular la velocidad del juguete pasados 30 segundos desde su puesta en marcha. ¿Hay algún otro momento
en el que lleva la misma velocidad?, en caso afirmativo, calcularlo.
9 Calcular las coordenadas del punto simétrico del P (−2, 3) respecto de la recta de ecuación r ≡ x − 2y + 3 = 0.
HOJA-8
1 Las raı́ces reales de la ecuación 4x4 − 16x3 + 17x2 + x − 6 = 0, son:
2
−1
a) 1, 2, −3
2 , 2
c) 1, 2, 32 , −1
2
b) −1, 2, 23 , 12
d) No tiene raı́ces reales
El conjunto de números reales que verifican la desigualdad (x − 2)(x + 5) ≥ 0 es:
a) [−5, 2]
c) (−∞, −2] ∪ [5, +∞)
b) (−∞, −5] ∪ [2, +∞)
d) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.
2x2 − x − 6
√
, es :
x→2 2x −
3x2 + x + 2
3 El lı́mite lı́m
a) −3
c) 2
b) 1
d)
56
3
4 Dada la función f (x) = x3 − 6x2 + 8x, demostrar que la recta y = −x es tangente a la curva y = f (x) en algún punto.
Hallar las coordenadas del punto de tangencia.
5 Sea la función f (x) =
10x2 + 26x − 8
:
x+3
(5-a) Estudiar la continuidad y clasificar los puntos, si los hay, de discontinuidad.
(5-b) Calcular las ası́ntotas de la función.
(5-c) Esbozar, razonadamente, la gráfica de la función.
6 Sea el polinomio P (x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx − e, hallar los coeficientes:
(a) Radio de la circunferencia: x2 + y 2 + 4x − 6y + 4 = 0.
(b) Solución de la ecuación log2 (x − 3) − 2 log2 (15 − x) + 1 = 0.
(c) Pendiente de la recta tangente a la función f (x) =
p
x2 − 24x + 5 − x .
(d) El valor del lı́m
10x2 + 26x − 8
en el punto de abscisa x = −2.
x+3
x→+∞
→
(e) Distancia del punto P (−8, 3) a la recta r de vector director −
u = (4, 3) y que pasa por el punto Q(0, −1).
Con los valores obtenidos hallar sus raı́ces y factorizar el polinomio.
HOJA-9