Integrales de l´ınea complejas

Tema 11
Integrales de lı́nea complejas
11.1
Integrales de lı́nea
11.1.1
Funciones complejas de variable real
Una función compleja de variable real lleva asociada una función vectorial de variable real,
por lo que las definiciones y resultados para funciones vectoriales de variable real se trasladan
inmediatamente a las funciones complejas de variable real gracias a la identificación C = IR2 .
Por otra parte, los resultados para funciones complejas en general, son válidos también para
estas funciones.
Ası́ pues, nos limitaremos a recordar un par de definiciones adaptadas a la notación compleja:
Definición 11.1 – Sea A ⊆ IR abierto. Una función f : A −→ C, con f = f1 + if2 , es derivable
en un punto t ∈ A cuando f1 y f2 son derivables en t y, en este caso,
f 0 (t) = f10 (t) + if20 (t).
Definición 11.2 – Sea [a, b] ⊆ IR. Una función f : [a, b] −→ C, con f = f1 + if2 , es integrable
en [a, b] cuando f1 y f2 son integrables en [a, b] y, en este caso,
Z b
a
f=
Z b
a
f (t) dt =
Z b
a
f1 (t) dt + i
Z b
a
f2 (t) dt.
Propiedades 11.3 – Si f, g: [a, b] −→ C son integrables en [a, b] y w0 ∈ C, son ciertas las
siguientes propiedades:
a) f + g es integrable y
b) w0 f es integrable y
Z b
a
Z b
a
(f + g) =
w0 f = w0
Z b
a
Z b
a
f+
Z b
a
g.
f.
c) Si a < c < b, f es integrable en [a, c] y [c, b] y
¯Z
¯
¯ b ¯ Z b
¯
¯
d) |f | es integrable y ¯ f ¯ ≤
|f |.
¯ a ¯
a
Z b
a
f=
Z c
a
f+
Z b
c
f.
Demostración:
a) b) y c) son inmediatas.
d) Si f es integrable en [a, b], sea
tiene que we−iθ = |w|. Luego
Z b
a
f = w ∈ C. Como w = |w|eiθ , con θ = Arg(w), se
¯Z
¯
Z b
Z b
Z b
Z b
¯ b ¯
¯
¯
−iθ
−iθ
−iθ
−iθ
f ¯ = |w| = we
=e
f=
e f=
Re(e f ) + i
Im(e−iθ f )
¯
¯ a ¯
a
a
a
a
Teorı́a de variable compleja.
139
11 Integrales de lı́nea complejas
Z b
como Im(|w|) = 0, se tiene que
Im(e−iθ f ) = 0 y, por tanto,
a
¯ Z
¯Z
¯ Z
¯Z
Z b
¯
¯ b
¯
¯
b
b
¯ b ¯
¯
−iθ
−iθ ¯
−iθ
f¯ =
Re(e f ) = ¯ Re(e f )¯ ≤
| Re(e f )| ≤
|e−iθ f |
¯
¯ a ¯
¯ a
¯
a
a
a
Z b
Z b
Z b
=
11.1.2
a
|e−iθ ||f | =
1|f | =
a
a
|f |.
Integrales de lı́nea complejas
Definición 11.4 – Un camino en C es una función continua γ: [a, b] −→ C.
Si γ(a) = γ(b), el camino se llama cerrado.
Un camino γ: [a, b] −→ C se dice regular cuando tiene derivada continua y distinta de cero
en todo punto de [a, b].
Un camino γ: [a, b] −→ C se dice regular a trozos cuando el intervalo [a, b] puede descomponerse en un número finito de subintervalos de manera que la restricción de γ a cada uno de
ellos sea un camino regular.
La longitud de un camino regular a trozos γ: [a, b] −→ C es, por definición,
Z b
L(γ) =
|γ 0 (t)|dt.
a
Definición 11.5 – Sean I = [a, b], γ: I −→ C un camino regular a trozos y fZ: γ(I) Z−→ C una
función continua. La integral de lı́nea de f a lo largo de γ se designa por f ó f (z) dz y
está definida por
γ
Z
γ
f (z) dz =
Z b
a
γ
f (γ(t))γ 0 (t) dt.
Observación 11.6 – Si f = u + iv y γ = γ1 + iγ2 , entonces
Z
γ
f (z) dz =
=
=
Z b³
a
Z b³
a
Z b³
a
´³
u(γ(t)) + iv(γ(t)
´
γ10 (t) + iγ20 (t) dt
´
u(γ(t))γ10 (t) − v(γ(t))γ20 (t) dt + i
´ ³
u(γ(t)), −v(γ(t) ·
γ10 (t), γ20 (t)
´
Z b³
a
dt + i
´
v(γ(t))γ10 (t) + u(γ(t))γ20 (t) dt
Z b³
a
haciendo γ = (γ1 , γ2 ), F1 = (u, −v) y F2 = (v, u), nos queda
=
Z b
a
F1 (γ(t)) · γ 0 (t) dt + i
Z b
a
´ ³
´
v(γ(t)), u(γ(t) · γ10 (t), γ20 (t) dt
F2 (γ(t)) · γ 0 (t) dt =
Z
Z
F1 dγ + i
F2 dγ.
Luego la integral de lı́nea compleja se construye como las integrales de lı́nea reales de las funciones
F1 y F2 sobre el camino γ de IR2 .
Ejemplo 11.7 –
a) Sean a ∈ C y r un número real positivo. El camino γ: [0, 2π] −→ C definido mediante
γ(t) = a + reit , para cada t ∈ [0, 2π], es regular y su imagen es la circunferencia de centro
a y de radio r (recorrida en sentido contrario al de las agujas del reloj). Su longitud es
L(γ) =
140
Z 2π
0
it
|ire | dt =
Z 2π
0
r dt = 2πr
Teorı́a de variable compleja.
11.1 Integrales de lı́nea
y si f : γ(I) −→ C es una función continua,
Z
γ
f (z) dz =
Z 2π
0
f (a + reit )rieit dt = ri
Z 2π
0
eit f (a + reit ) dt.
b) Sean z0 y w0 dos números complejos. El camino γ: [0, 1] −→ C dado por la expresión
γ(t) = z0 +t(w0 −z0 ), es regular y su imagen es el segmento de extremos z0 y w0 (recorrido
desde z0 hasta w0 ). Suele designarse por [[z0 , w0 ]], y su longitud es
L(γ) =
Z 1
0
|w0 − z0 | dt = |w0 − z0 |
y si f : γ(I) −→ C es una función continua,
Z
γ
f (z) dz =
Z 1
0
f (z0 + t(w0 − z0 ))(w0 − z0 ) dt = (w0 − z0 )
Z 1
0
f (z0 + t(w0 − z0 )) dt.
Propiedades 11.8 – Sean I = [a, b], γ: I −→ C un camino regular a trozos, f, g: γ(I) −→ C
continuas. λ, µ ∈ C. Entonces,
a) Para todos λ, µ ∈ C,
Z ³
γ
Z
´
λf (z) + µg(z) dz = λ
γ
Z
f (z) dz + µ
γ
g(z) dz.
b) Si a ≤ c ≤ b y γ1 y γ2 las restricciones de γ a los intervalos [a, c] y [c, b] respectivamente,
se tiene que
Z
Z
Z
f (z) dz =
f (z) dz +
f (z) dz.
γ
γ1
γ2
c) Si |f (z)| ≤ M , para todo z ∈ γ(I), se tiene que
¯Z
¯ Z
¯
¯
¯ f (z)dz ¯ ≤
|f (z)||dz| ≤ M L(γ),
¯
¯
γ
γ
Z
donde denotamos |dz| =
|γ 0 (t)| dt,
es decir,
γ
Z
|f (z)||dz| =
I
|f (γ(t))||γ 0 (t)| dt.
Demostración:
a) y b) se comprueban fácilmente.
¯Z
¯ ¯Z
¯ Z
Z
¯
¯ ¯
¯
¯ f (z) dz ¯ = ¯ f (γ(t))γ 0 (t) dt¯ ≤ |f (γ(t))γ 0 (t)|dt = |f (γ(t))||γ 0 (t)|dt
¯
¯ ¯
¯
I
ZI
Z I
c) γ
≤
I
M |γ 0 (t)|dt = M
I
|γ 0 (t)|dt = M L(γ).
Definición 11.9 – Dos caminos γ: [a, b] −→ C y β: [c, d] −→ C se dicen equivalentes cuando
existe una aplicación suprayectiva u: [c, d] −→ [a, b] con derivada continua y distinta de cero y
tal que β = γ ◦u. Si u0 (t) > 0 para todo t, se dice que γ y β son positivamente equivalentes;
y si u0 (t) < 0, se dice que son negativamente equivalentes.
Teorı́a de variable compleja.
141
11 Integrales de lı́nea complejas
Proposición 11.10 – Sea γ: [a, b] −→ C un camino regular a trozos y sea β: [c, d] −→ C un
camino equivalente a γ . Entonces, para toda función continua f se tiene
Z
Z
β
f (z)dz =
f (z)dz
γ
si γ y β son positivamente equivalentes, mientras que
Z
β
Z
f (z)dz = −
γ
f (z)dz
si γ y β son negativamente equivalentes.
Demostración:
Cierto, por serlo para las integrales de lı́nea reales.
Proposición 11.11 – Sean I = [a, b], A un subconjunto abierto de C y f una función analı́tica
en A. Si γ: I −→ C es un camino regular a trozos tal que γ(I) ⊆ A entonces
Z
γ
f 0 (z) dz = f (γ(b)) − f (γ(a)).
Z
En particular, si γ es cerrado, de tiene que
γ
f 0 (z) dz = 0.
Demostración:
Podemos considerar γ regular, pues si no lo es basta dividir la integral en una suma finita
de integrales en cada una de las cuales se verifica el resultado.
Sea g = g1 + ig2 : [a, b] −→ C definida por g(t) = f (γ(t)). Como γ es regular y f analı́tica,
g es continua en [a, b] y derivable en (a, b), y g 0 (t) = f 0 (γ(t))γ 0 (t). Luego
Z
γ
f 0 (z) dz =
Z b
a
f 0 (γ(t))γ 0 (t) dt =
³
Z b
a
g 0 (t) dt =
´
Z b
a
g10 (t) dt + i
³
Z b
a
ib
ib
g20 (t) dt = g1 (t)
´
³
a
+ ig2 (t)
´
a
= g1 (b) − g1 (a) + i g2 (b) − g2 (a) = g1 (b) + ig2 (b) − g1 (a) + ig2 (a)
= g(b) − g(a) = f (γ(b)) − f (γ(a)).
Ejemplo 11.12 – Sea f (z) = z n , para n ∈ ZZ.
n+1
¦ Si n = 0, 1, 2, . . ., la función f (z) es la derivada de g(z) = zn+1 en C, luego para todo
camino γ regular a trozos que una z1 con z2 , se verifica que
Z
γ
z n dz =
z2n+1 − z1n+1
;
n+1
Z
y, si z1 = z2 , entonces
γ
z n dz = 0.
n+1
¦ Si n = −2, −3, −4, . . ., la función f (z) es la derivada de g(z) = zn+1 en C − {0}, luego
para todo camino γ regular a trozos que una z1 con z2 y que no pase por el origen, se
verifica que
Z
z n+1 − z1n+1
z dz = 2
;
n+1
γ
n
Z
y, si z1 = z2 , entonces
Observar que si γ pasa por el origen, la función f (z) =
y no tiene sentido la integral.
142
1
z −n
γ
z n dz = 0.
no es integrable en la curva
Teorı́a de variable compleja.
11.2 Teoremas de Cauchy-Goursat
¦ Si n = −1, la función f (z) = z1 es la derivada de Log(z) en C − A0 (el semieje real
negativo), luego para todo camino γ regular a trozos que una z1 con z2 y que no pase
por el conjunto A0 , se verifica que
Z
Z
γ
z −1 dz = Log(z2 ) − Log(z1 );
y, si z1 = z2 , entonces
γ
1
dz = 0.
z
Si γ pasa por el origen, la función f (z) = z1 no es integrable en la curva y no tiene sentido
la integral; sin embargo, si la curva pasa por A0 − {0}, la integral tiene sentido, aunque
no puede aplicarse el resultado anterior.
Por ejemplo, si γ(θ) = reiθ es la parametrización de una circunferencia de radio r que
rodea al origen,
Z
Z 2π
Z 2π
dz
rieiθ
=
dθ =
i dθ = 2πi.
reiθ
γ z
0
0
De hecho, esto puede generalizarse a cualquier camino cerrado γ sin más que tener en
cuenta que, por la observación 11.6, la integral se puede escribir mediante dos integrales
de lı́nea reales
Z
Z
Z
dz
=
(u, −v) dγ + i (v, u) dγ ;
γ z
³
´
³
´
y
x
, x
y, como (u, −v) = x2 +y
y (v, u) = x2−y
son las funciones que apare2 , x2 +y 2
+y 2 x2 +y 2
cen, respectivamente, en el ejercicio propuesto 3.7 y en el ejercicio resuelto 3.48, sobre el
teorema de Green, aplicando los resultados que allı́ se obtienen:
Z
γ
Z
Z
dz
=
(u, −v) dγ + i (v, u) dγ = n0 + i2nπ = 2nπi,
z
donde n indica el número de vueltas que da la curva γ alrededor del origen.
11.2
Teoremas de Cauchy-Goursat
Sea (a, b, c) una terna de números complejos distintos. Designaremos por T (a, b, c) el triángulo
de vértices a, b y c y por ∂T su contorno que está formado por los tres segmentos [[a, b]], [[b, c]]
y [[c, a]].
Teorema de Cauchy-Goursat para un triángulo 11.13 – Sean A un subconjunto abierto de C,
p ∈ A, f : A −→ C una función continua en A y analı́tica en A − {p}. Entonces para todo
tiángulo T contenido en A se verifica
Z
∂T
f (z)dz = 0.
#Demostración#
Haremos la demostración separándolo en tres casos:
Caso 1: Supongamos en primer lugar que p ∈
/ T y descompongamos el triángulo T (a, b, c) en
los cuatro triángulos T 1 (a, c0 , b0 ), T 2 (b, a0 , c0 ), T 3 (c, b0 , a0 ) y T 4 (a0 , b0 , c0 ), donde a0 , b0 y c0 son
los puntos medios de los segmentos [[b, c]], [[c, a]] y [[a, b]] respectivamente.
Teorı́a de variable compleja.
143
11 Integrales de lı́nea complejas
Es claro que
Z
f (z) dz =
∂T
c
4 Z
X
k
k=1 ∂T
BM
B
B
tp
T3 B
¾ -B a0
b0 BM
BM
B T4 B
Á
BBN ­­
B
T1 B T2 B
a
-B
-B b
f (z) dz
pues, al hacer la integral en ∂T 4 , sus lados se recorren
en sentido contrario a como se recorren cuando forman
parte de los otros triángulos. Entonces, si designamos
por T1 a uno de los triángulos T k para el que la integral correspondiente tiene módulo mayor o igual que
el de las otras tres, se tiene que
¯Z
¯
¯
¯
∂T
¯
¯Z
¯
¯
¯
f (z) dz ¯ ≤ 4 ¯¯
∂T1
¯
¯
f (z) dz ¯¯ ,
c0
donde
L(∂T )
.
2
L(∂T1 ) =
Descomponiendo ahora el triángulo T1 en otros cuatro triángulos mediante los puntos medios
de sus lados y repitiendo el razonamiento anterior, se obtiene otro triángulo T2 para el que
¯Z
¯
¯
¯
∂T1
¯
¯Z
¯
¯
¯
f (z) dz ¯ ≤ 4 ¯¯
¯
¯
f (z) dz ¯¯ ,
∂T2
donde
L(∂T2 ) =
L(∂T1 )
L(∂T )
=
.
2
22
Continuando el proceso, se obtiene una sucesión de triángulos T ⊃ T1 ⊃ T2 ⊃ · · · ⊃ Tn ⊃ · · ·
con, llamando L = L(∂T ), longitudes de los perı́metros L(∂Tn ) = 2Ln y verificando que
¯Z
¯
¯
¯
∂T
¯
¯Z
¯
¯
n¯
¯
f (z)dz ¯ ≤ 4 ¯
∂Tn
¯
¯
f (z)dz ¯¯ .
Entonces, si Tn es el triángulo Tn (an , bn , cn ), se tiene que
L
,
2n
luego lim an = lim bn = lim cn = z0 y, en consecuencia, existe un único punto z0 perteneciente
n→∞
n→∞
n→∞
a todos los triángulos de la sucesión. Como f es derivable en z0 , puede escribirse
L(∂Tn ) = |an − bn | + |bn − cn | + |cn − an | =
¶
µ
f (z) − f (z0 )
− f 0 (z0 ) +(z−z0 )f 0 (z0 ) = f (z0 )+(z−z0 )ϕ(z)+(z−z0 )f 0 (z0 )
f (z) = f (z0 )+(z−z0 )
z − z0
donde ϕ(z) =
Z
f (z)−f (z0 )
z−z0
∂Tn
− f 0 (z0 ). Entonces,
Z
f (z) dz = f (z0 )
Z
∂Tn
dz +
Z
∂Tn
(z − z0 )ϕ(z) dz + f 0 (z0 )
∂Tn
(z − z0 ) dz
y, como el primer y tercer sumandos son nulos (ejemplo 11.12),
¯Z
¯
¯
¯
∂Tn
¯ ¯Z
¯ ¯
f (z) dz ¯¯ = ¯¯
∂Tn
¯ Z
¯
(z − z0 )ϕ(z) dz ¯¯ ≤
∂Tn
|z − z0 ||ϕ(z)||dz|.
Pero lim ϕ(z) = 0, luego para cada ε > 0 existe un δ > 0 tal que |ϕ(z)| < ε cuando |z−z0 | < δ .
z→z0
Además, existe un n ∈ IN tal que |z − z0 | < δ para todo z ∈ Tn , luego también se verifica que
|z − z0 | < 2Ln para todo z ∈ Tn . Entonces
¯Z
¯
¯
¯
∂Tn
y, por tanto,
144
∂Tn
¯Z
¯
¯
¯
∂T
Z
y como ε es arbitrario,
¯ Z
¯
f (z)dz ¯¯ ≤
∂Tn
¯
¯
|z − z0 ||ϕ(z)||dz| ≤
¯Z
¯
f (z)dz ¯¯ ≤ 4n ¯¯
L2
ε
4n
¯
¯
∂Tn
f (z)dz ¯¯ ≤ L2 ε
f (z)dz = 0.
Teorı́a de variable compleja.
11.2 Teoremas de Cauchy-Goursat
Caso 2: Supongamos ahora que p es un vértice de T , por ejemplo, p = a. Si a, b y c están en
lı́nea recta, es evidente que la integral es nula. En otro caso, elijamos c0 ∈ [[a, b]] y b0 ∈ [[a, c]] los
puntos medios de los segmentos y los triángulos de vértices T1 (a, c0 , b0 ), T10 (c0 , b, b0 ) y T100 (b, c, b0 ).
Entonces
Z
∂T
Z
f (z)dz =
Z
∂T1
f (z)dz +
Z
∂T10
f (z)dz +
c
∂T100
f (z)dz,
BMB
B
B
T0 B
1
b0 B
Z
BM Z
B
B Z
B
}
ZZ
B
BBN Z
T1 B T100 ZZ B
~B b
a t
-B
- Z
pero como los dos últimos triángulos no contienen a
p, por el caso anterior, sus integrales son nulas. Procediendo como en el Caso 1, se construye una sucesión
de triángulos Tn , con L(∂Tn ) = 2Ln , verificandose que
¯Z
¯
¯
¯
¯
¯
¯Z
¯
f (z)dz ¯¯ = ¯¯
∂T
¯
¯
∂Tn
f (z)dz ¯¯ ≤ sup |f (z)|
z∈T
L
2n
c0
luego también la primera integral es nula.
Caso 3: Si p está sobre el perı́metro o en el interior de T , basta dividir T en triángulos con
un vértice en p y aplicar el Caso 2. Es decir, como en las figuras siguientes:
c
c
BMB
B
B
T2 B
p t
B
}Z
Z
B
ZZ
B
Z
~
Z
B
Z B
T1
Z
a
ZB b
Z
∂T
f (z) dz =
2 Z
X
k
k=1 ∂T
BB
B
B
¤¤º
B
BM
T3 T2 B
t
B
k
3́
´
pQ
QQ
Q
s B
Q
T1
QB
+
a
QB b
Z
f (z) dz = 0;
∂T
f (z) dz =
3 Z
X
k
k=1 ∂T
f (z) dz = 0.
Z
Por consiguiente, para cualquier T , se tiene que
∂T
f (z) dz = 0.
Teorema de Cauchy-Goursat para un abierto convexo 11.14 – Sean A ⊆ C abierto y convexo, p ∈ A y f : A −→ C una función continua en A y analı́tica en A − {p}. Entonces, para
todo camino cerrado regular a trozos y contenido en A se verifica que
Z
γ
f (z)dz = 0.
#Demostración#
Sea a ∈ A. Como A es convexo, para cada z ∈ A el segmento [[a, z]] está contenido en A y,
por tanto, podemos construir la función F : A −→ C definida por
Z
F (z) =
[[a,z]]
f (w) dw.
Si probamos que F 0 (z) = f (z), para todo z ∈ A, entonces, por la proposición 11.11,
Z
Z
γ
Teorı́a de variable compleja.
f (z) dz =
γ
F 0 (z) dz = 0.
145
11 Integrales de lı́nea complejas
En efecto. Sea z0 un punto cualquiera de A. Entonces,
Z
como
F (z) − F (z0 )
1
− f (z0 ) =
z − z0
z − z0
ÃZ
[[a,z]]
Z
[[a,z]]
f (w) dw = −
[[z,a]]
!
Z
f (w) dw −
[[a,z0 ]]
f (w) dw − (z − z0 )f (z0 )
f (w) dw y agrupando las dos integrales, nos queda
1
=
z − z0
Ã
!
Z
−
[[z,a]]t[[a,z0 ]]
f (w) dw − (z − z0 )f (z0 )
y como [[z, a]] t [[a, z0 ]] son dos de los tres lados del triángulo T (z, a, z0 ) (contenido en A por ser
A convexo), por la proposición anterior,
!
ÃZ
1
=
f (w) dw − (z − z0 )f (z0 )
z − z0
[[z0 ,z]]
Z
usando ahora que
[[z0 ,z]]
dw = (z − z0 ), nos queda
ÃZ
Z
1
=
f (w) dw − f (z0 )
dw
z − z0
[[z0 ,z]]
[[z0 ,z]]
Z
³
´
1
=
f (w) − f (z0 ) dw.
z − z0 [[z0 ,z]]
!
Ahora bien, como f es continua en z0 , para cada ε > 0 existe un δ > 0 tal que si |w − z0 | < δ
entonces |f (w) − f (z0 )| < ε. Pero como, si |z − z0 | < δ , también se verifica que |w − z0 | < δ
para cada w ∈ [[z0 , z]], entonces
¯ ¯
¯Z
¯Z
¯
¯
¯ ¯ 1 ¯
¯ F (z) − F (z0 )
¯ 1 ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
− f (z0 )¯ ≤ ¯
|f (w) − f (z0 )||dw| < ¯
ε|dw| = ε,
¯
z − z0
z − z0 ¯ [[z0 ,z]]
z − z0 ¯ [[z0 ,z]]
si |z − z0 | < δ y, en consecuencia, F 0 (z0 ) = f (z0 ) para todo z0 ∈ A.
11.3
Fórmula integral de Cauchy
Definición 11.15 – Sean I = [a, b] y γ: I −→ C un camino cerrado regular a trozos. Se llama
ı́ndice de un punto z0 ∈
/ γ(I) respecto de γ y se designa por Ind γ (α) al número
Ind γ (z0 ) =
1
2πi
Z
γ
dz
.
z − z0
Observación 11.16 – Como el intervalo I = [a, b] es cerrado y acotado y γ: I −→ C es una
función continua, el conjunto γ(I) es cerrado y acotado; luego divide al plano complejo en trozos
disjuntos, que son las componentes conexas del conjunto C − γ(I). Como γ(I) está acotado,
existe un entorno E de centro el origen contiene a γ(I), y, en consecuencia, el conjunto conexo
C − E está contenido en C − γ(I), luego C − E está contenido en una componente conexa de
C − γ(I). Por consiguiente, entre las componentes conexas de C − γ(I) hay una no acotada.
Proposición 11.17 – Sean I = [a, b] y γ: I −→ C un camino cerrado regular a trozos, entonces:
a) Ind γ (z0 ) ∈ ZZ, para todo z0 ∈ C − γ .
b) La función Ind γ : C − γ(I) −→ ZZ es constante en cada una de las componentes conexas de
C − γ(I) y es nula en la componente no acotada.
146
Teorı́a de variable compleja.
11.3 Fórmula integral de Cauchy
Demostración:
Si z0 está en la componente
conexa no acotada, γ no encierra a z0 y, por el tercer caso del
Z
ejemplo 11.12, se tiene
γ
1
z−z0
dz = 0.
Para otra componente conexa, todos los puntos están rodeados por γ de la misma forma
(mismo número k de vueltas) luego para todos ellos,
1
Ind γ (z0 ) =
2πi
Z
1
1
dz =
2πik = k ∈ ZZ.
2πi
γ z − z0
Proposición 11.18 – Sea γ: [0, 2π] −→ C la circunferencia de centro z0 y radio r recorrida en
sentido contrario al de las agujas del reloj. Entonces
(
Ind γ (z) =
1, si |z − z0 | < r
0, si |z − z0 | > r.
Demostración:
Es un caso particular de la proposición anterior.
Fórmula integral de Cauchy 11.19 – Sean A ⊆ C abierto y convexo, y f : A −→ C una función
analı́tica. Entonces, para todo camino cerrado regular a trozos γ: [a, b] −→ C contenido en A y
para todo z0 ∈ A − γ ([a, b]) se verifica
1
f (z0 ) Ind γ (z0 ) =
2πi
Z
γ
f (z)
dz.
z − z0
Demostración:
Sea z0 ∈ C − γ([a, b]). De la condición de derivación de un cociente se deduce que la función
g: A −→ C definida por
(
f (z)−f (z0 )
, si z 6= z0
z−z0
g(z) =
f 0 (z0 ), si z = z0
es analı́tica en A − {z0 }. Además, g es continua en z0 , puesto que
lim g(z) = lim
z→z0
z→z0
f (z) − f (z0 )
= f 0 (z0 ) = g(z0 ).
z − z0
Z
Por el teorema de Cauchy-Goursat para abiertos convexos se tiene que
z0 ∈
/ γ([a, b]), resulta
Z
0=
γ
f (z) − f (z0 )
dz =
z − z0
Z
γ
f (z)
dz − f (z0 )
z − z0
Z
γ
dz
=
z − z0
Z
γ
γ
g(z) dz = 0 y, como
f (z)
dz − 2πif (z0 ) Ind γ (z0 ).
z − z0
Corolario 11.20 – En las condiciones de la proposición anterior, si γ es una circunferencia de
centro z0 recorrida en sentido positivo, entonces la fórmula integral de Cauchy se reduce a
f (z0 ) =
Teorı́a de variable compleja.
1
2πi
Z
γ
f (z)
dz.
z − z0
147
11 Integrales de lı́nea complejas
Proposición 11.21 – Si f es analı́tica en E ∗ (z0 , r) y γ1 y γ2 son dos circunferencias de centro
z0 y cuyos radios verifican que 0 < ρ1 < ρ2 < r , entonces, para todo z tal que ρ1 < |z − z0 | < ρ2
se verifica que
Z
Z
1
f (w)
f (w)
1
f (z) =
dw −
dw
2πi γ2 w − z
2πi γ1 w − z
donde γ1 y γ2 se recorren en sentido positivo.
Demostración:
Sea A = {z ∈ C : ρ1 < |z − z0 | < ρ2 }, el anillo circular encerrado por las circunferencias γ1
y γ2 . Consideremos los segmentos α1 , α2 , α3 y α4 que dividen a A en cuatro conjuntos A1 ,
A2 , A3 y A4 , de forma que z está en uno de ellos; y consideremos las curvas que rodean dichos
conjuntos, como en la figura.
Si denotamos esas curvas, respectivamente, por
−
β1 = γ21 t α2 t γ11
t α1
γ21
−
β2 = γ22 t α3 t γ12
t α2−
¡
¡
ª
I
−
γ22
@
α−
α2 A1 @
β3 = γ23 t α4− t γ13
t α3−
2 6?
A
2
−
−
−
β4 = γ24 t α1 t γ14 t α4
z
−¡
µ
γ12
−
@
R γ11
se verifica que
4 Z
X
k=1 βk
f (w)
dw =
w−z
Z
γ2
f (w)
dw −
w−z
Z
γ1
α3
¾
f (w)
dw.
w−z
Z
γ2
f (w)
dw −
w−z
Z
γ1
4
X
f (w)
dw =
w−z
k=1
z0
α−
3
@
I
Ahora bien, como cada uno de los Ak puede
meterse en un abierto convexo contenido en
E ∗ (z0 , r), aplicando la fórmula integral de
Cauchy a cada una de ellas, se tiene que:
α1
¾
A3
@
R
@
−
¡
ª γ14
−
γ13
α−
4
α−
1
A4
6?α4
µ
¡
¡
γ23
Z
βk
³
γ24
4
X
f (w)
dw =
2πif (z) Ind βk (z)
w−z
k=1
´
= 2πi f (z) + 0 + 0 + 0 = 2πif (z),
pues Ind βk (z) = 1 si z ∈ Ak y 0 si z ∈
/ Ak , obteniendose el resultado propuesto.
11.4
Desarrollo de una función analı́tica en serie de potencias
Teorema de Taylor 11.22 – Sean A ⊆ C abierto y f : A −→ C una función analı́tica. Para
cada entorno E(z0 , r) contenido en A existe un desarrollo en serie de potencias
con radio de convergencia mayor o igual que r , tal que f (z) =
z ∈ E(z0 , r). Los coeficientes de este desarrollo vienen dados por
an =
1
2πi
Z
γ
f (z)
dz,
(z − z0 )n+1
∞
P
n=0
∞
P
n=0
an (z − z0 )n ,
an (z − z0 )n , para todo
para n = 0, 1, 2, . . . ,
donde γ es cualquier circunferencia de centro z0 y radio ρ < r , recorrida en sentido positivo.
Demostración:
Sea z0 ∈ A y E(z0 , r) ⊆ A. Sea z ∈ E(z0 , r) y consideremos γ una circunferencia de centro
z0 y radio ρ < r que encierre a z . Es decir, el conjunto γ = {w ∈ C : |z−z0 | < |w−z0 | = ρ < r}.
148
Teorı́a de variable compleja.
11.4 Desarrollo de una función analı́tica en serie de potencias
Por la fórmula integral de Cauchy,
1
f (z) =
2πi
1
w−z
Veamos que para todo w ,
para todo w ∈ γ , se tiene
Z
γ
f (w)
dw.
w−z
puede expresarse como una serie de potencias. como w − z0 6= 0
f (w)
f (w)
f (w)
=
·
w−z0 =
w − z (w − z) w−z0
w − z0
w−z
w−z0
¯
¯
¯
¯
1
=
f (w)
·
w − z0
1
w−z0 +z0 −z
w−z0
=
f (w)
1
·
z−z0
w − z0 1 − w−z
0
z−z0
como |z − z0 | < |w − z0 |, se tiene que ¯ w−z
¯ < 1 y, por tanto, que
0
¶
µ
¶
∞ µ
∞
f (w) X
z − z0 n X
f (w)
z − z0 n
=
=
.
w − z0 n=0 w − z0
w − z0 w − z0
n=0
Además, f es continua en A luego existe M > 0 tal que |f (w)| < M para todo w ∈ γ , luego
¯
³
´ ¯
¯ f (w) z−z0 n ¯
¯ w−z0 w−z0 ¯ ≤ M
ρ
¯
¯
³
´n
∞
P
¯ z−z0 ¯n
f (w)
z−z0
¯ ρ ¯ , para todo w ∈ γ , y, en consecuencia, la serie
w−z0 w−z0
n=0
converge uniformemente en γ .
Entonces,
1
f (z) =
2πi
=
=
Z
γ
1
f (w)
dw =
w−z
2πi
∞
1 X
2πi n=0
Z
f (w)
w − z0
γ
Z
∞ µ
X
1
n=0
2πi
γ
µ
µ
¶ !
Z ÃX
∞
f (w)
z − z0 n
γ
z − z0
w − z0
n=0
¶n
w − z0
dw =
¶
w − z0
∞
1 X
2πi n=0
Z
γ
dw
f (w)
(z − z0 )n dw
(w − z0 )n+1
∞
X
f (w)
dw (z − z0 )n =
an (z − z0 )n
(w − z0 )n+1
n=0
Z
1
f (w)
dw , donde la circunferencia γ verifica que |z − z0 | < ρ. Pero la
2πi γ (w − z0 )n+1
integral no depende del z elegido y su valor es el mismo para cualquier circunferencia, luego
y an =
an =
1
2πi
Z
γ
f (w)
dw
(w − z0 )n+1
para cualquier circunferencia γ contenida en E(z0 , r).
Corolario 11.23 – Sean A un subconjunto abierto de C y f : A −→ C una función analı́tica.
Entonces f tiene derivadas de todos los órdenes en cada punto de A.
Demostración:
La función suma de una serie de potencias tiene derivadas de todos los órdenes.
Corolario 11.24 – Sean A un subconjunto abierto de C y f : A −→ C una función analı́tica.
Entonces, para cada z0 ∈ A se verifica
f (n) (z0 ) =
n!
2πi
Z
γ
f (z)
dz,
(z − z0 )n+1
para n = 0, 1, 2, . . .
donde γ es cualquier circunferencia de centro z0 contenida en A, recorrida en sentido positivo.
Teorı́a de variable compleja.
149
11 Integrales de lı́nea complejas
Demostración:
Por la proposición anterior, existe un cı́rculo abierto E(z0 , r) ⊆ A tal que, para todo z ∈
E(z0 , r) se verifica que
f (z) =
∞
X
an (z − z0 )n ,
siendo
an =
n=0
1
2πi
Z
γ
f (z)
dz,
(z − z0 )n+1
para n = 0, 1, 2, . . . ,
y γ es cualquier circunferencia de centro z0 y radio ρ < r . Ahora bién, como an =
tiene que
n!
2πi
f (n) (z0 ) = n!an =
Z
γ
f (z)
dz,
(z − z0 )n+1
f (n) (z0 )
,
n!
se
para n = 0, 1, 2, . . . .
Corolario 11.25 – Sean f y g analı́ticas en E(z0 , r), con f (z0 ) = g(z0 ) = 0. Si g 0 (z0 ) 6= 0,
entonces
f (z)
f 0 (z)
lim
= lim 0 .
z→z0 g(z)
z→z0 g (z)
Demostración:
Como f y g son analı́ticas en E(z0 , r) y f (z0 ) = g(z0 ) = 0, en ese entorno pueden expresarse
por f (z) =
∞
P
n=1
an (z − z0 )n y g(z) =
∞
P
∞
P
n=1
bn (z − z0 )n . Luego
∞
P
an (z−z0 )n−1
an (z−z0 )n−1
a1
f 0 (z)
f (z)
n=1
n=1
= lim
=
lim
.
lim
=
lim
=
∞
∞
P
z→z0
z→z0 g 0 (z)
z→z0 g(z)
z→z0 P
b1
(z−z0 )
bn (z−z0 )n−1
bn (z−z0 )n−1
(z−z0 )
n=1
n=1
De las fórmulas integrales para las derivadas sucesivas de una función analı́tica resultan
inmediatamente las llamadas desigualdades de Cauchy:
Lema 11.26 – Si f es una función analı́tica en el entorno E(z0 , r) y |f (z)| ≤ M , para todo
z ∈ E(z0 , r), entonces
n!M
|f (n) (z0 )| ≤ n , n = 0, 1, 2, . . .
r
Demostración:
Sea γ la circunferencia definida por γ(t) = z0 + ρeit , t ∈ [0, 2π], donde ρ < r . Entonces,
para n = 0, 1, 2, . . ., se tiene
f
(n)
n!
(z0 ) =
2πi
Z
γ
f (z)
n!
dz =
n+1
(z − z0 )
2πρn
y, por tanto,
|f
(n)
n!
(z0 )| ≤
2πρn
Z 2π
0
Z 2π
f (z0 + ρeit )
0
|f (z0 + ρeit )|dt ≤
eint
dt
n!M
ρn
y como se cumple para todo ρ < r ,
|f (n) (z0 )| ≤ inf
ρ<r
150
n!M
n!M
= n ,
ρn
r
para n = 0, 1, 2, . . .
Teorı́a de variable compleja.
11.5 Ejercicios
Teorema de Liouville 11.27 – Si f es una función entera y acotada, entonces f es constante.
Demostración:
Como f es analı́tica en C, para cada z0 ∈ C existe un desarrollo en serie
∞
P
n=0
an (z − z0 )n
con radio de convergencia infinito cuya suma coincide con f (z) para todo z ∈ C y, por las
desigualdades de Cauchy, para n = 1, 2, . . .,
¯
¯
¯ f (n) (z ) ¯
M
0 ¯
¯
|an | = ¯
¯ ≤ n,
¯ n! ¯
r
para todo r > 0, luego an = 0 para n = 1, 2, ... y, por tanto, f (z) = a0 .
Teorema fundamental del Álgebra 11.28 – Todo polinomio no constante P (z) = a0 + a1 z +
· · · + an z n con coeficientes complejos y an 6= 0, tiene al menos una raiz en C.
Demostración:
Si P (z) 6= 0 para todo z ∈ C, entonces la función f (z) =
como
¯
1
P (z)
es analı́tica en C. Además,
¯
¯ 1 ¯
1
1
¯ = lim
lim ¯¯
lim
¯ |z|→∞ |P (z)| = |z|→∞
|a0 + a1 z + · · · + an z n |
|z|→∞ P (z)
1
¯
¯
= lim
¯
¯
an−1
a
a
1
0
n
|z|→∞ |z| ¯
+
+
·
·
·
+
+
a
n¯
zn
z
z n−1
= lim
|z|→∞
1
z→∞ P (z)
se tiene que lim
1
lim ¯
|z|n |z|→∞ ¯¯ an0 +
z
1
a1
z n−1
+ ··· +
1
an−1
z
¯ =0
=0
¯
|an |
+ an ¯
= 0 y para cada para cada ε > 0 existe un K > 0 tal que
1
|P (z)|
<ε
1
para |z| > K , es decir, la función P (z)
está acotada fuera del entorno cerrado E(0, K); y por
ser continua también está acotada en E(0, K) luego está acotada en C. En consecuencia, es
una función analı́tica y acotada en todo el plano y, por el teorema de Liouville, es una función
constante, lo que es absurdo.
11.5
Ejercicios
Z
Calcular las integrales
γ
f (z) dz , para los siguientes casos:
2
11.1 f (z) = e|z| Re(z) y γ el segmento [[0, 1 + i]].
11.2 f (z) = cos z y γ el segmento [[ π2 , π + i]].
11.3 f (z) =
√1
z
11.4 f (z) =
ez cos(πz)
z 2 +2z
11.5 f (z) =
sen z sen(z−1)
z 2 −z
11.6 f (z) =
cos z
z3
11.7 f (z) =
sen( π4 z)
(z−1)2 (z−3)
y γ la semicircunferencia |z| = 1 con Im(z) ≥ 0. Para
√
de la función para la cual es 1 = 1.
√
z , se toma la rama
y γ es la circunferencia |z| = 1 recorrida en sentido positivo.
y γ la circunferencia |z| = 2 recorrida en sentido positivo.
y γ la circunferencia |z| = 1 recorrida en sentido positivo.
Teorı́a de variable compleja.
y γ la circunferencia |z − 1| = 1 recorrida en sentido positivo.
151