Notas del curso en formato PDF

Laboratorio de Simulación
Jorge Garza
[email protected]
Versión 1.1
Índice
1. Objetivos del curso
1.1. Temario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
3
2. Introducción
5
3. Máximos, mı́nimos y series de Taylor en funciones de una
variable
6
3.1. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2. Series de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4. La función logaritmo natural y derivadas implı́citas
9
4.1. Propiedades de la función logaritmo natural . . . . . . . . . . 9
4.2. Derivadas implı́citas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5. La función exponencial
13
5.1. Simulación de la resistencia del aire sobre un móvil . . . . . . 13
6. Números Complejos
6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Operaciones entre números complejos . . . . . . . . . . . . . .
6.3. Representación Polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1. Potencias de un número complejo: Fórmula de De Moivre
6.4. Rotación de un número complejo . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5. Raı́ces del 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
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2
7. Sistemas oscilantes
7.1. Oscilador armónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2. Análisis de la energı́a en el oscilador armónico . . . . .
7.3. Oscilador amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
+ γ dx(t)
+ ω02 x = 0
7.3.1. Solución de la ecuación d dtx(t)
2
dt
2
7.3.2. Análisis de la solución cuando γ < 4ω02 . . . .
7.3.3. Análisis de la solución cuando γ 2 = 4ω02 . . . . .
7.3.4. Análisis de la solución cuando γ 2 > 4ω02 . . . . .
8. Métodos de interpolación: Integración numérica
8.1. Interpoladores de Lagrange . . . . . . . . . . . . .
8.1.1. Aproximación lineal . . . . . . . . . . . . .
8.1.2. Aproximación cuadrática . . . . . . . . . .
8.2. Integración Numérica . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1. La regla del trapecio . . . . . . . . . . . .
8.2.2. La regla de Simpson . . . . . . . . . . . .
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30
30
30
31
32
32
33
9. Ajuste de curvas por el método de mı́nimos cuadrados
34
9.1. Ajuste de una función cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . 34
9.2. Ajuste de una función lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
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1.
3
Objetivos del curso
Profesor:
Oficina:
Trimestre:
Grupo:
Horario
Teorı́a:
Laboratorio:
Asesorı́a:
Jorge Garza Olguı́n
AT-248
08-0
CC01A
Lunes de 11:00 a 12:30 (Salón B201)
Miércoles de 11:00 a 14:00 (Sala E del edificio anexo al A)
Martes de 15:00 a 16:00 (AT-248)
El Laboratorio de Simulación usa como herramienta software, basado en
un lenguaje simbólico, para resolver problemas propios del tronco general de
asignaturas de la División de Ciencias Básicas e Ingenierı́a de la Universidad
Autónoma Metropolitana-Iztapalapa. En particular, en este curso se usará el
paquete Mathematica.
De ninguna manera se pretende enseñar un lenguaje de programación
para la solución de dichos problemas.
1.1.
Temario
Introducción a Mathematica: Operaciones básicas y creación de gráficas.
Máximos, mı́nimos y series de Taylor en funciones de una variable.
La función logaritmo natural y derivadas implı́citas.
Números Complejos
La función exponencial: Ecuaciones de Newton.
Manejo de datos y Métodos de Interpolación.
Integración y diferenciación numérica.
1.2.
Evaluación
Prácticas
Exámenes
[0, 6)
[6,0, 7,5)
[7,5, 8,4)
[8,4, 10,0]
70 %
30 %
NA
S
B
MB
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4
La asistencia es muy importante para aprobar el curso, por lo tanto se tendrán
10 minutos de tolerancia para entrar a las prácticas y como máximo una inasistencia al laboratorio. Después de terminar la sesión del taller, el alumno
debe de enviar la práctica correspondiente al profesor por el correo electrónico que le asignó la UAM. No se permite el uso de teléfono celular en ninguna
de las sesiones.
Bibliografı́a:
Notas y prácticas del laboratorio:
http://www.fqt.izt.uam.mx/Profes/JGO/Simulacion/Simulacion.html
Manual de Prácticas:Taller de Simulación.UAMI,1999.
Eugene Don. Theory and problems of Mathematica. Schaum’s Outline
Series. McGraw-Hill, USA 2001.
Nino Boccara. Essentials of Mathematica with Applications to Mathematics and Physics. Springer, USA 2007.
William T. Shaw and Jason Tigg. Applied Mathematica. AddisonWesley Publishing Company, USA 1994.
Richard E. Crandall, Mathematica for the Sciences. Addison-Wesley,
USA 1991.
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2.
5
Introducción
El alumno debe buscar información relacionada con los conceptos de simulación y modelaje en las ciencias básicas. Discutir estos conceptos en clase
y enmarcar los objetivos del curso alrededor de estos conceptos.
En clase discutiremos las definiciones de modelo, modelaje, simulación y
simular, obtenidas de un diccionario en español. Dentro de la discusión se
debe de contrastar estas definiciones con lo encontrado por los alumnos. Entendemos por modelo matemático aquel modelo que imita la realidad usando
un lenguaje matemático. Esto significa que usaremos un lenguaje preciso, seremos explı́citos sobre las suposiciones que hagamos, por supuesto que se
hará uso de la computadora y de todos los conocimientos adquiridos hasta
el primer ño de la universidad.
Usemos como ejemplo el problema de la recolección de basura en el Distrito Federal. ¿Cómo hacerlo más eficiente? ¿Podemos dar solución a este
problema modelándolo? ¿En qué variables debemos pensar? Cantidad de basura. Métodos de recolección. Primero pensemos en la cantidad de basura
que generamos. Seguramente la cantidad generada de basura dependerá de
la zona. Por ejemplo, si es una zona rural, una ciudad, una zona industrial,
un parque, un deportivo, etc. Entonces es claro que nuestro modelo se debe
ajustar a nuestras necesidades. Ya delimitada la zona, ¿Cómo saber la cantidad de basura que se genera por dı́a, por semana o por mes? Probablemente
con esto podemos determinar el tipo de método de recolección que se debe
de usar. Ahora pensemos en las formas que se tienen en la recolección: Pasa
el camión de la basura, pasa un señor con su bote, hay botes de recolección
en cada calle, ¿alguna más? ¿Con esto podemos solucionar el problema?
Lo primero que haremos en el curso será recordar algunos conceptos de
matemáticas y familiarizarnos con el programa que usaremos, en este caso
será Mathematica. A la mitad del curso empezaremos a usar el modelaje y
finalmente acoplaremos este modelaje con el manejo de datos.
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3.
6
Máximos, mı́nimos y series de Taylor en
funciones de una variable
Recordemos que los máximos y mı́nimos en una función se encuentran
cuando se satisface la relación
df (x)
= 0.
dx
Para un máximo, además de esta condición se debe de cumplir con que
d2 f (x)
< 0,
dx2
y para un mı́nimo que
d2 f (x)
> 0.
dx2
Se obtiene un punto de inflexión cuando
d2 f (x)
= 0.
dx2
En clase hay que encontrar los máximos, mı́nimos y puntos de inflexión de
las funciones:
y = x2 − 3x + 1.
y = x3 − 7x2 + 15x − 9.
Con Mathematica podemos abordar estos problemas de la siguiente manera.
Por ejemplo, para la primer función definimos
f[x ]=xˆ2 - 3 x + 1;
Luego la derivamos con respecto a x para obtener la primer y segunda derivada
primera=D[f[x],x]
segunda=D[f[x],{x,2}]
finalmente debemos de buscar las x’s para las cuales la primer derivada es
igual a cero
criticos=NSolve[derivada == 0,x]
Ya que estamos interesados en evaluar a la segunda derivada en los puntos
crı́ticos encontrados es recomendable asignar a una variable lo que se obtuvo
en criticos
x1=x/.criticos[[1]]
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7
x2=x/.criticos[[2]]
y luego hacemos la respectiva evaluación en la segunda derivada
segunda/.x→x1
segunda/.x→x2
3.1.
Aplicaciones
Una parte interesante de la búsqueda de máximos y mı́nimos son las
aplicaciones. Por ejemplo:
Hallar dos números no negativos de suma 1 que hagan máxima la suma
de sus cuadrados.
Lo mismo del inciso anterior para minimizar la suma.
Hallar las dimensiones del rectángulo de máximo perı́metro que puede
inscribirse en un cı́rculo de radio a.
3.2.
Series de Taylor
En muchas ocasiones es necesario tener una representación polinomial de
una función para saber su comportamiento alrededor de un punto. Para este
fin la expansión en series de Taylor, de la función f (x) alrededor del punto
x0 , es útil, ya que se obtiene de
Ã
!
∞
X
1 d(n) f (x)
f (x) =
(x − x0 )n .
n
n!
dx
n=0
x=x0
Por ejemplo, si x ∼
= x0 entonces una muy buena representación de f (x) podrı́a
ser una lı́nea recta
df (x)
|x=x0 (x − x0 ),
f (x) ∼
= f (x0 ) +
dx
la cual se le conoce como aproximación primer orden. La aproximación a
segundo orden tiene la forma
df (x)
1 d2 f (x)
f (x) ∼
|x=x0 (x − x0 ) +
|x=x0 (x − x0 )2 .
= f (x0 ) +
dx
2 dx2
De esta manera podemos representar a una función en un polinomio del orden
que nosotros creamos que es conveniente.
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8
Busquemos el comportamiento de la función
sen(x)
x
alrededor de x0 = 0, haciendo uso de las series de Taylor. Si deseamos obtener
una aproximación a cuarto orden son necesarias cuatro derivadas evaluadas
en x0 = 0. Al evaluar estas derivadas encontramos que alrededor de x0 = 0
la función seno tiene la siguiente forma
1
sen(x) ∼
= x − x3 ,
6
y por lo tanto
sen(x) ∼
=1−
x
Es claro que si deseamos obtener el lı́mite
respuesta será 1.
1 2
x.
6
de esta función cuando x → 0 la
Encuentre el desarrollo en series de Taylor de:
cos(x)
1
cos2 (x)
Haciendo un desarrollo en series de Taylor encuentre el lı́mite cuando
x → 0 de:
tan(x)−x
cos(x)−1
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4.
9
La función logaritmo natural y derivadas
implı́citas
R
Tratemos de evaluar la siguiente integral x1n dx. Todos sabemos que el
resultado es
Z
x−n+1
+ c.
x−n dx =
−n + 1
Sin embargo, se tienen problemas cuando n = 1. Esto es precisamente lo
que motiva a definir a la función logaritmo.
Z x
1
ln(x) =
dt,
1 t
para x > 0.
Del teorema fundamental del cálculo sabemos que si G(x) está definida
como
Z x
f (t) dt
G(x) =
a
para xǫ [a, b]. Entonces G es una antiderivada de f en [a, b], con lo cual
dG(x)
= f (x).
dx
Para nuestro caso se tiene que
Z x
d
1
1
dt = ,
dx 1 t
x
o también
1
d ln(x)
= .
dx
x
4.1.
Propiedades de la función logaritmo natural
A partir de la definición se encuentra que
Z 1
1
dt = 0.
ln(1) =
1 t
Si y = ln(u) y u = g(x), encontramos que
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10
dy
d ln(u)
1 du
=
=
,
dx
dx
u dx
para u = g(x) > 0.
Ahora supongamos que p > 0 y x > 0 forman a u = xp, por lo tanto
d ln(xp)
1 d(xp)
p
1
=
=
= .
dx
xp dx
xp
x
Además sabemos que
1
d ln(x)
= ,
dx
x
por lo que podemos decir que
ln(xp) = ln(x) + c,
ya que sus derivadas son iguales. Esta relación es válida para toda x, en
particular para x = 1 se tiene que
ln(p) = ln(1) + c,
o que c = ln(p). Por lo tanto
ln(xp) = ln(x) + ln(p).
Si x = q con q > 0
ln(qp) = ln(q) + ln(p).
Si p =
1
q
1
1
ln(q ) = ln(q) + ln( ),
q
q
1
ln(1) = ln(q) + ln( ) = 0,
q
1
ln( ) = − ln(q).
q
Por lo tanto
1
1
p
ln( ) = ln(p ) = ln(p) + ln( ) = ln(p) − ln(q),
q
q
q
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11
p
ln( ) = ln(p) − ln(q).
q
Ahora consideremos u = xr
d ln(u)
1 du
1
=
= r rxr−1 ,
dx
u dx
x
d ln(xr )
1
= rx−1 = r .
dx
x
Pero sabemos que
d ln(x)
dx
= x1 , por lo que
r
d ln(x)
1
= r( )
dx
x
o también
1
dr ln(x)
= r( ),
dx
x
lo cual lleva a
dr ln(x)
1
d ln(xr )
=
= r( ).
dx
dx
x
Este resultado sugiere que
ln(xr ) = r ln(x) + c,
para toda x. En particular para x = 1 se tiene
ln(1) = r ln(1) + c,
llevando a que c = 0 y que
ln(xr ) = r ln(x).
4.2.
Derivadas implı́citas
En muchas ocasiones se nos pide encontrar la derivada de una función que
depende en x, sin tener una expresión explı́cita de esa función en términos
de x. En estos casos hay que recurrir a la derivación implı́cita. Supongamos
que tenemos la ecuación
x2 y + y 4 − 6x = 8y 2 + 6,
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12
dy
y nos piden obtener a dx
. Es claro que no podemos despejar a la variable y
para tenerla en términos de x exclusivamente. Por lo tanto, vamos a derivar
ambos lados de la ecuación para tener
2xy + x2
como nos piden a
y factorizamos
dy
,
dx
dy
dy
dy
+ 4y 3
− 6 = 16y ,
dx
dx
dx
agrupamos a los términos que contienen esta cantidad
dy 2
(x + 4y 3 − 16y) = −2xy + 6.
dx
Finalmente despejamos a
dy
dx
dy
(−2xy + 6)
= 2
.
dx
(x + 4y 3 − 16y)
En muchos problemas aparece la función logaritmo natural, trabajemos
dy
a partir
en un ejemplo donde aparece esa función. Encontrar la derivada dx
de la siguiente expresión
x
y 2 + ln( ) − 4x + 3 = 0.
y
Al derivar implı́citamente se obtiene que
(4 − x1 )
dy
.
=
dx
(2y − y1 )
Ejercicios:
Obtener
•
•
•
dy
,
dx
y evaluarla en el punto P indicado:
2xy
+ sen(y) = 2, P (1, π/2).
π
2y 3 + 4xy + x2 = 7, P (1, 1).
x + tan(xy) = 2, P (1, π/4).
Encontrar los puntos sobre la gráfica de la función y = x2 + 4 ln(x), en
los cuales la recta tangente es paralela a la recta y − 6x + 3 = 0.
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5.
13
La función exponencial
La función exponencial, exp(x), es una función inversa a la función logaritmo natural. Por lo tanto
exp(ln(x)) = x,
o también
ln(exp(x)) = x.
Discutir en clase el comportamiento de la función exponencial y la función
logaritmo natural.
Pregunta: ¿Cómo es el crecimiento de la función exp(x) con respecto a
las funciones x, x2 y xn ?
Discutir el comportamiento de las funciones exp(x) y exp(−x).
5.1.
Simulación de la resistencia del aire sobre un móvil
Móvil a velocidad constante
Supongamos que un móvil se mueve en una dimensión a velocidad
constante y se somete a la acción de una fuerza de fricción, en nuestro
caso supondremos que la fricción es provocada por el aire.
Lo primero que debemos recordar es que la velocidad y la aceleración,
en una dimensión, se definen como
v=
dx(t)
,
dt
a=
d2 x(t)
.
dt2
y
2
De acuerdo a la segunda ley de Newton F = m ddt2x . Cuando no está presente el aire, ninguna fuerza actúa sobre el móvil, lo cual lleva a
0=m
d2 x(t)
.
dt2
En clase, este ejemplo servirá para discutir lo que siginifica resolver
una ecuación diferencial, y resolverla para el caso más sencillo; el movimiento rectilı́neo uniforme.
Es claro que la ecuación anterior se puede escribir como
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0=
14
dv(t)
,
dt
ya que la masa pasa dividiendo al lado izquierdo y la aceleración se
expresa en términos de la velocidad. La pregunta ahora es saber la
expresión de v(t) tal que su derivada es cero. La respuesta es sencilla,
la única expresión que puede cumplir esto es
v(t) = k1 ,
siendo k1 una constante. Ya que nos interesa saber la posición del móvil,
entonces recurrimos a la definicón de velocidad
v=
dx(t)
,
dt
y como v(t) = k1 entonces
dx(t)
= k1 .
dt
Nuevamente nos preguntamos, ¿Cómo debe ser x(t) tal que su derivada
sea una constante? Claramente
x(t) = k1 t + k2 .
Siendo k2 otra constante.
Para encontrar los valores de k1 y k2 es necesario dar un par de relaciones que debe de satisfacer tanto la posición como la velocidad. Podemos
suponer que a un determinado tiempo se conocen estas cantidades. A
este conjunto se le conoce como condiciones iniciales,
x(t = 0) = x0 ,
y
vx (t = 0) = v0 .
Con lo cual k1 = v0 y k2 = x0 , por lo tanto
x(t) = vx0 t + x0 .
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15
Discutir en clase lo que se ha hecho, con lenguaje de cálculo integral,
para recalcar que se han integrado las ecuaciones de Newton.
¿Cómo se ven modificadas estas ecuaciones cuando el móvil se encuentra en la presencia de aire?
Lo primero que haremos es modelar la fuerza del aire sobre el móvil.
Supondremos que la magnitud de la fuerza de resitencia del aire es
directamente proporcional a la velocidad del móvil, en términos matemáticos se tiene que
Faire = −αvx (t).
El signo menos indica que la Faire tiene dirección contraria a la velocidad. El parámetro α dependerá de la naturaleza del móvil. Con este
modelaje de la resistencia del aire, la segunda ley de Newton tendrá la
forma
−αvx (t) = m
d2 x(t)
,
dt2
−αvx (t) = m
dvx (t)
.
dt
o también
Muestre que la solución a este problema es
vx (t) = vx0 exp(−
y
x(t) = x0 +
αt
),
m
m
αt
vx0 (1 − exp(− )).
α
m
Móvil bajo la acción de la fuerza gravitacional
Ahora supongamos que nuestro móvil se mueve verticalmente dentro
del campo gravitacional. Con la misma suposición del inciso anterior,
la segunda ley de Newton tendrá la forma
−αvy (t) − mg = m
d2 y(t)
,
dt2
−αvy (t) − mg = m
dvy (t)
.
dt
o
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Encuentre una expresión para y(t) y vy (t), si
y(t = 0) = y0 ,
y
vy (t = 0) = vy0 .
16
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6.
17
Números Complejos
6.1.
Introducción
Tratemos de resolver la ecuación
x2 + 1 = 0.
La solución está dada por
√
x = ± −1.
Definición
i=
√
−1
i 2 = −1 .
En general un número complejo, Z, se puede escribir como
Z = a + ib.
Siendo a la parte real y b la parte imaginaria, estas cantidades también
son denotadas de la siguiente manera:
Re [Z] = a ; Im [Z] = b.
Desde un punto de vista geométrico el número complejo Z puede definirse
como un par ordenado
Z = (a, b)
De esta manera un número real tendrá coordenadas
(a, 0) ,
y un número imaginario puro
(0, b) .
Por lo tanto Z tendrá norma (o módulo),
√
kZk = a2 + b2 ,
y el argumento está dado por
b
tan (θ) = .
a
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6.2.
18
Operaciones entre números complejos
Si Z1 = a1 + ib1 y Z2 = a2 + ib2 representan dos números complejos,
entonces se definen las siguientes operaciones:
Suma
Z1 + Z2 = (a1 + a2 ) + i(b1 + b2 ).
Producto
Z1 Z2 = (a1 + ib1 )(a2 + ib2 ) = (a1 a2 − b1 b2 ) + i(a1 b2 + b1 a2 ).
Si Z1 y Z2 son iguales, entonces
Z12 = a21 − b21 + 2ia1 b1 .
Complejo conjugado
Si Z = a + ib entonces el complejo conjugado, Z̄ (o también Z ∗ ), se
define como
Z̄ = Z ∗ = a − ib.
Con esta definición se tiene que
Z Z̄ = ZZ ∗ = a2 + b2 .
Por lo tanto
Z Z̄ = ZZ ∗ = kZk2 .
Pregunta: ¿(Z ∗ )∗ ?
División
Z1
a1 + ib1
(a1 + ib1 )(a2 − ib2 )
=
=
,
Z2
a2 + ib2
(a2 + ib2 )(a2 − ib2 )
Z1
a1 a2 − ia1 b2 + ib1 a2 + b1 b2
=
Z2
a22 − ib2 a2 + ib2 a2 + b22
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19
Z1
b 1 a 2 − a1 b 2
a1 a2 + b 1 b 2
+i
.
=
2
Z2
kZ2 k
kZ2 k2
¿ Cuál es el resultado si Z2 = Z1 ?
Ejercicios.
Mostrar que
(iZ)∗ = −iZ ∗
{(2 + i)2 }∗ = 3 − 4i
√
√
k(2Z ∗ + 5)( 2 − i)k = 3k2Z + 5k
6.3.
Representación Polar
De la representación cartesiana del número complejo Z se obtiene que
a = kZk cos(θ); b = kZk sin(θ).
Tal que
Z = kZk(cos(θ) + i sin(θ)).
Haciendo uso de la fórmula de Euler
exp(iθ) = cos(θ) + i sin(θ),
se encuentra otra forma de la representación polar de un número complejo
Z = kZk exp(iθ).
6.3.1.
Potencias de un número complejo: Fórmula de De Moivre
La representación polar de un número complejo es conveniente para obtener sus potencias
Z n = kZkn exp(iθn) = kZkn (cos(nθ) + i sin(nθ)),
también es cierto que
Z n = kZkn (cos(θ) + i sin(θ))n ,
y por lo tanto
(cos(θ) + i sin(θ))n = cos(nθ) + i sin(nθ).
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6.4.
20
Rotación de un número complejo
Vamos a suponer que tenemos al número Z = kZk exp(iθ) y lo multiplicamos por exp(iα). ¿Cuál es el resultado de esta oparación?
exp(iα)kZk exp(iθ) = kZk exp(i(α + θ)).
Se encuentra otro número complejo con la misma norma y ángulo α + θ.
Ejemplo. Multiplicar al número 1 por:
exp( π2 i)
exp(πi)
i)
exp( 3π
2
6.5.
Raı́ces del 1
El número Zk representa una raı́z del número 1 si cumple con
Zkn = 1.
Vamos a suponer que estamos interesados en las raı́ces cúbicas del 1. Entonces
proponemos al número Zk = exp( 2πk
i) con k = 0, 1, 2. ¿Cumple este número
3
3
con Zk = 1?
Zk3 = exp(2πki) = cos(2πk) + i sin(2πk).
i) son las raı́ces cúbicas del 1, con k = 0, 1, 2
Por lo tanto, Zk = exp( 2πk
3
Z0 = exp(0) = 1
i) = cos( 2π
) + i sin( 2π
)
Z1 = exp( 2π
3
3
3
Z2 = exp( 4π
i) = cos( 4π
) + i sin( 4π
)
3
3
3
En general, la raı́z n-ésima del 1 está dada por
Zk = exp(
con k = 0, 1, .., (n − 1).
2πk
i),
n
Laboratorio de Simulación, Jorge Garza
7.
21
Sistemas oscilantes
En esta sección trataremos sistemas que están sometidos a fuerzas que
tratan de mantener al sistema en su posición inicial, con lo cual se presentan
oscilaciones. Empezaremos con un sistema que no presenta fuerzas disipativas
y luego tomaremos en cuenta este tipo de fuerzas.
7.1.
Oscilador armónico
Tomemos como ejemplo una partı́cula, de masa m, que se encuentra sujeta
a un resorte. Si el desplazamiento, x, que experimenta la partı́cula es pequeño
entonces una buena aproximación a la fuerza que impone el resorte es
Fresorte = −kx,
(1)
en donde la k dependerá de la naturaleza del resorte. Por supuesto que a
mayor k, mayor será la fuerza a la que esté sometida la partı́cula.
La ecuación de Newton que debemos resolver es
−kx(t) = m
d2 x(t)
,
dt2
(2)
o también
d2 x(t)
+ kx = 0,
dt2
d2 x(t)
k
+ x = 0.
2
dt
m
Otra forma de escribir esta ecuación es
(3)
m
(4)
d2 x(t)
+ ω02 x = 0,
dt2
(5)
k
con ω02 = m
.
Recordemos que en Mathematica podemos resolver esta ecuación diferencial con el comando DSolve. Al usar las condiciones iniciales x(t) = x0 ,
v(0) = v0 , con Mathematica encontramos que
x(t) = x0 cos(w0 t) +
v0
sen(w0 t).
ω0
La velocidad se puede encontrar de esta ecuación ya que v(t) =
v(t) = −x0 ω0 sen(w0 t) + v0 cos(w0 t).
(6)
dx(t)
dt
(7)
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x
22
v
0.10
0.10
0.05
0.05
t
2
4
6
t
8
2
-0.05
-0.05
-0.10
-0.10
4
6
8
Figura 1: Posición y velocidad como funciones del tiempo en el oscilador
armónico
En este momento estamos en posición de hacer las gráficas de x(t) vs. t
y v(t) vs. t. Para esto debemos de asignar valores a x0 , v0 , m y k. Vamos
a suponer que x0 = 0,1 m, v0 = 0 m/s y k/m = 1 s−2 . Con estos datos se
obtienen las gráficas que están en la Figura 1.
Por supuesto que el comportamiento en las dos cantidades es periódico.
Nos podemos dar cuenta que cuando la posición es cero la rapidez (la magnitud de la velocidad) toma su valor máximo. O que cuando la rapidez adquiere
su valor más puequeño la posición toma su valor máximo. Una gráfica de este
tipo describe a lo que se conoce como el espacio fase. Para realizar un análisis
de este tipo es necesario trabajar con gráficas paramétricas.
La gráfica paramétrica de las ecuaciones x(θ) = 3cosθ, y(θ) = 3senθ la
presentamos en la Figura 2.
3
2
1
-3
-2
1
-1
2
3
-1
-2
-3
Figura 2: Gráfica paramétrica de las ecuaciones x(θ) = 3cosθ, y(θ) = 3senθ.
Otro ejemplo de una gráfica paramétrica se muestra en la Figura 3, donde
se tienen las ecuaciones x(θ) = 3cos3 θ, y(θ) = 3sen3 θ
De la misma manera en que se construyeron las gráficas anteriores se
puede construir la gráfica v(t) vs. x(t). En la Figura 4 se presenta el espacio
fase en el oscilador armónico
Laboratorio de Simulación, Jorge Garza
23
3
2
1
-3
-2
1
-1
2
3
-1
-2
-3
Figura 3: Gráfica paramétrica de las ecuaciones x(θ) = 3cos3 θ, y(θ) = 3sen3 θ.
v
0.10
0.05
x
-0.10
0.05
-0.05
0.10
-0.05
-0.10
Figura 4: Gráfica de v(t) vs. x(t) para el oscilador armónico.
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24
De esta figura es más claro que cuando x = 0, |v| toma su valor máximo
y que cuando v = 0 entonces |x| es máximo.
7.2.
Análisis de la energı́a en el oscilador armónico
Partiendo de la ecuación de Newton, vamos a multiplicarla por x′ (t) e
integremos sobre el tiempo
Z
Z
dx d2 x
dx
m dt
+
k
dt
x = 0.
(8)
dt dt2
dt
Estas integrales se pueden evaluar usando la técnica de integración por
partes. La manera en que usemos esta técnica será ligeramente diferente a
como se usa comunmente. Trabajemos con el segundo término de la ecuación
8, y reconozcamos la siguiente igualdad
1d 2
dx
(x ) = x ,
2 dt
dt
(9)
dx
1 d 2
dt (x ) = dtx ,
2 dt
dt
(10)
o también
1
dx
= d(x2 ).
(11)
dt
2
Al multiplicar esta ecuación por k e integrando sobre el tiempo obtenemos
que
Z
Z
dx
1
1
k dtx
= k d(x2 ) = kx2 ,
(12)
dt
2
2
a este resultado hay que sumarle una constante de integración.
Vamos a proceder de la misma manera con el primer término de la ecuación 8
d2 x dx dx d2 x
dx d2 x
d dx dx
(
)= 2
+
=
2
,
(13)
dt dt dt
dt dt
dt dt2
dt dt2
con esto se obtiene que
dtx
dx d2 x
1 d dx dx
=
(
),
dt dt2
2 dt dt dt
multiplicando por dt e integrando se tiene
Z
Z
1
1 dx dx
dx d2 x
d dx dx
=
)=
.
dt
dt (
2
dt dt
2
dt dt dt
2 dt dt
(14)
(15)
Laboratorio de Simulación, Jorge Garza
Con este resultado obtenemos que
Z
dx d2 x
m dx
m dt
= ( )2 .
2
dt dt
2 dt
25
(16)
Entonces, nuestro resultado final queda como
m dx 2 1 2
( ) + kx = E,
2 dt
2
(17)
donde la constante E nos representa las dos constantes de integración. Uno
de los dos términos lo podemos reconocer rápidamente con la energı́a cinética
Ecin =
m dx 2
( ),
2 dt
(18)
y el segundo término nos representará a la energı́a potencial
1
Epot = kx2 .
2
(19)
Por supuesto que con esta información podemos obtener las gráficas pertinentes para hacer un análisis de las componentes de la energı́a como funciones
del tiempo.
7.3.
Oscilador amortiguado
Ahora vamos a utilizar el modelo de la resistencia del aire sobre un móvil,
en el caso del oscilador. Supongamos que el cuerpo que está sujeto al resorte se
mueve en una superficie horizontal donde experimenta una fuerza de fricción,
y esta fuerza es proporcional a la velocidad con la que se mueve
Ff ric. = −αv(t).
(20)
−αv(t) − kx = ma(t),
(21)
En este caso la α es un parámetro que nos permitirá simular la fuerza de
fricción, como en el caso de la resistencia del aire. La ecuación de Newton a
resolver tendrá la forma
en términos de la coordenada x se tendrá
−α
d2 x(t)
dx(t)
− kx = m
.
dt
dt2
(22)
Diviendo la ecuación 22 entre la masa se tiene
−
α dx(t)
k
d2 x(t)
− x=
.
m dt
m
dt2
(23)
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Definiendo γ =
ecuación
7.3.1.
α
m
26
y la ya conocida ω0 como ω02 =
k
,
m
se tiene la siguiente
dx(t)
d2 x(t)
+γ
+ ω02 x = 0.
2
dt
dt
Solución de la ecuación
d2 x(t)
dt2
(24)
+ γ dx(t)
+ ω02 x = 0
dt
La ecuación 23 se puede resolver con Mathematica utilizando DSolve.
Con este comando se obtiene la siguiente solución
i
j
"#########################
2 #y
z
2
- 2€€€ t j
j
z
"#########################
"#########################
"#########################
2 #y
2 #y
2 # y "######################### yy
jΓ+ Γ -4 Ω0 z
z i i
2
2
2
ii
i
k
{ j
ã
j2 j
j-1 + ãt Γ -4 Ω0 z
z v0 + x0 j
jj
j-1 + ãt Γ -4 Ω0 z
zΓ+j
j1 + ãt Γ -4 Ω0 z
z Γ2 - 4 Ω02 z
zz
z
k k
{
kk
{
k
{
{{
x@tD ® €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
"#########################
2 Γ2 - 4 Ω02
1
p
Podemos ver que en la solución para x(t), la cantidad γ 2 − 4ω02 juega
un papel importante ya que si γ 2 − 4ω02 es negativo entonces tendremos una
cantidad imaginaria. Por lo tanto, es conveniente trabajar con una nueva
variable definida como
r
γ2
ω = ω02 − ,
(25)
4
la cual se puede escribir de la siguiente manera
r
q
1
1
4ω02 − γ 2 ,
(26)
ω=
(4ω02 − γ 2 ) =
4
2
o también
q
q
2
2
2ω = −(γ − 4ω0 ) = i γ 2 − 4ω02 .
p
De aquı́ se obtiene una expresión para γ 2 − 4ω02 ,
q
γ 2 − 4ω02 = −2ωi
(27)
(28)
Tarea: Obtener la ecuación 28 a partir de la ecuación 27.
Ahora vamos a sustituir la ecuación 28 en la solución que obtuvimos con
Mathematica para x(t),
e−tγ/2 e−t(−2ωi)/2
{2(−1+e−2tωi )v0 +x0 (−2ωi(1+e−2tωi )+(−1+e−2tωi )γ)}
−4ωi
(29)
al factorizar la exponencial, dentro de las llaves, se obtiene que
x(t) =
x(t) =
e−tγ/2 etωi
{−2v0 − 2x0 ωi − x0 γ + e−2tωi (2v0 − 2x0 ωi + x0 γ)}. (30)
−4ωi
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27
Tarea: Obtener la ecuación 30 a partir de la ecuación 29.
Ahora, el factor etωi será incluido dentro de las llaves para obtener
x(t) =
e−tγ/2
{(−2v0 − 2x0 ωi − x0 γ)etωi + e−tωi (2v0 − 2x0 ωi + x0 γ)}. (31)
−4ωi
Al usar la fórmula de Euler eiθ = cos(θ) + isen(θ) obtenemos
x(t) =
e−tγ/2
{−4ix0 ωcos(ωt) − 2i(2v0 + x0 γ)sen(ωt)},
−4ωi
(32)
de aquı́ se obtiene la expresión final de la solución
x(t) =
e−tγ/2
{2x0 ωcos(ωt) + (2v0 + x0 γ)sen(ωt)}.
2ω
(33)
Tarea: Obtener la ecuación 32 a partir de la ecuación 31.
Analizemos la ecuación 33. Si γ = 0 (no hay fricción y ω = ω0 ) entonces
x(t) = x0 cos(ω0 t) +
v0
sen(ωt).
ω0
(34)
Es claro que obtenemos la solución del oscilador armónico, donde no está presente la fricción.
7.3.2.
Análisis de la solución cuando γ 2 < 4ω02
En este caso ω es real, y podemos darnos cuenta que la ecuación 33 tiene
una parte oscilante
2x0 ωcos(ωt) + (2v0 + x0 γ)sen(ωt),
(35)
y una parte que decae
e−tγ/2
.
(36)
2ω
Dependiendo de los valores de ω dominará la parte de la exponencial y no
se tendrán oscilaciones. En la Figura 5 se presenta una gráfica donde las
condiciones iniciales son x0 = 0,1 m y v0 = 0 m/s. Además k = 0,1 N/s,
m = 0,1 Kg y α = 0,02 Ns/m.
Tarea: Graficar en una hoja cuadriculada x(t) vs. t usando los datos con
los que se construyó la Figura 5, excepto con α = 0,1.
Por supuesto que ahora estamos en posición de obtener a la velocidad del
móvil, ya que al derivar a la posición con respecto al tiempo obtenemos
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28
x HmL
0.10
0.05
t HsL
5
10
15
20
25
30
35
-0.05
-0.10
Figura 5: x(t) vs. t en el oscilador amortiguado.
v HmsL
0.10
0.05
t HsL
5
10
15
20
25
30
35
-0.05
-0.10
Figura 6: v(t) vs. t en el oscilador amortiguado.
v(t) =
e−tγ/2
{4v0 ωcos(ωt) − (2v0 γ + x0 (γ 2 + 4ω 2 ))sen(ωt)}.
4ω
(37)
Usando los mismos valores con que se obtuvo la Figura 5, se obtiene la Figura
6
Recordemos que en el oscilador armónico, cuando la velocidad es cero
su posición es máxima. Para analizar este comportamiento en el oscilador
amortiguado, en la Figura 7 se presenta la gráfica del espacio fase.
vHmsL
0.06
0.04
0.02
xHsL
-0.10
0.05
-0.05
0.10
-0.02
-0.04
-0.06
-0.08
Figura 7: Espacio fase en el oscilador amortiguado.
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29
Evidentemente, el comportamiento del espacio fase en este caso difiere
apreciablemente del oscilador armónico.
7.3.3.
Análisis de la solución cuando γ 2 = 4ω02
En este caso ω = 0 y por lo tanto es conveniente hacer un desarrollo en
series de Taylor de la ecuación 33. En la práctica 1 de este curso encontramos
que
θ2 θ4
cos(θ) ≈ 1 −
+ ,
(38)
2
24
θ5
θ3
+
.
(39)
sen(θ) ≈ θ −
6
120
Sustituyendo estas expresiones en la ecuación 33 se obtiene que
x(t) ≈
e−tγ/2
ω 2 t2 ω 4 t4
ω 3 t3 ω 5 t5
{2x0 ω(1 −
+
) + (2v0 + x0 γ)(ωt −
+
)}, (40)
2ω
2
24
6
120
e−tγ/2
ω 2 t2 ω 4 t4
ω 2 t3 ω 4 t5
{2x0 (1 −
+
) + (2v0 + x0 γ)(t −
+
)}. (41)
2
2
24
6
120
Tomando el lı́mite cuando ω → 0 se obtiene
x(t) ≈
x(t) =
e−tγ/2
{2x0 + (2v0 + x0 γ)t},
2
(42)
como γ = 2ω0 , la forma de la solución es muy sencilla
x(t) = e−tω0 {x0 + (v0 + x0 ω0 )t}.
(43)
Evidentemente, en este caso no existen oscilaciones ya que la coordenada
decae con el tiempo.
Análisis de la solución cuando γ 2 > 4ω02
p
En este caso γ 2 − 4ω02 será una cantidad real y la solución se puede
escribir en términos de funciones hiperbólicas. Con la siguiente instrucción
DSolve[{x”[t]+γx’[t]+ω02 x[t]==0,x’[0]==v0,x[0]==x0},x[t],t][[1]]//FullSimplify
obtenemos
7.3.4.
tΓ
"######################### y
"#########################
#
i "########################
1
1
2 j
ã- €€€€€€
z
jx0 Γ2 - 4 Ω02 CoshB €€2€ t Γ2 - 4 Ω02 F + H2 v0 + x0 ΓL SinhB €€2€ t Γ2 - 4 Ω02 Fz
{
k
:x@tD ® €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ >
"########################
#
Γ2 - 4 Ω02
Para este caso no existen oscilaciones, presentándose solamente un decaimiento exponencial.
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8.
8.1.
30
Métodos de interpolación: Integración numérica
Interpoladores de Lagrange
Vamos a suponer que tenemos un conjunto de datos, por ejemplo y vs.
x. Estos datos pueden provenir de datos experimentales o de haber evaluado
una función en ciertos valores de x. De esta manera se tienen N parejas de
datos; (x1 , y1 ), (x2 , y2 ),..,(xN , yN ). Además, estamos interesados en evaluar
el área bajo la curva que describe este conjunto de datos.
Para evaluar el área bajo la curva vamos a seguir el procedimiento de
los interpoladores de Lagrange. Bajo este método es necesario proponer una
función que pase necesariamente por los puntos tabulados.
8.1.1.
Aproximación lineal
Como punto de partida usaremos una aproximación lineal. En este caso
la función tendrá la forma
flineal (x) = a + bx.
Para poder fijar los parámetros a y b es necesario utilizar la información de los
datos tabulados, ası́ usando los dos primeros puntos de los datos tabulados
se tiene que
flineal (x1 ) = y1 = a + bx1 ,
y
flineal (x2 ) = y2 = a + bx2 .
De esta manera se tienen dos incógnitas con dos ecuaciones, al resolverlas se
tiene que
x 2 y 1 − x1 y 2
a=
,
x 2 − x1
y
y 2 − y1
.
b=
x 2 − x1
Teniendo la función interpoladora la forma
flineal (x) =
x 2 y 1 − x1 y 2
y 2 − y1
+
x,
x 2 − x1
x 2 − x1
la cual puede escribirse como
flineal (x) =
x2 − x
x − x1
y1 +
y2 .
x 2 − x1
x 2 − x1
Laboratorio de Simulación, Jorge Garza
31
Las funciones que están multiplicando a los valores de y son conocidas como
funciones interpoladoras de Lagrange. Es importante mencionar que estas
funciones llegan a tener un valor máximo de 1 y un valor mı́nimo de 0.
Otra manera de encontrar la expresión final de la función interpoladora
es proponiendo
flineal (x) = a1 (x − x1 ) + a2 (x − x2 ).
Evaluando la función en los puntos (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ) se tiene lo siguiente
flineal (x1 ) = a2 (x1 − x2 ) = y1 ,
y
flineal (x2 ) = a1 (x2 − x1 ) = y2 .
De aquı́ se obtienen los valores de los parámetros a1 y a2 ,
a1 =
y
1
y2 ,
(x2 − x1 )
1
y1 .
(x1 − x2 )
Sustituyendo estas expresiones en la expresión original,
a2 =
flineal (x) =
(x − x2 )
(x − x1 )
y2 +
y1 ,
(x2 − x1 )
(x1 − x2 )
la cual puede escribirse como
flineal (x) =
(x2 − x)
(x − x1 )
y1 +
y2 .
(x2 − x1 )
(x2 − x1 )
Esta expresión corresponde a la expresión en donde se tuvo que resolver un
sistema algebraico de dos incógnitas.
8.1.2.
Aproximación cuadrática
En el caso de usar una interpolación cuadrática es necesario usar tres
puntos tabulados ya que hay que fijar tres parámetros, la forma de la función
interpoladora que se propone será de la forma
fcuad (x) = a1 (x − x2 )(x − x3 ) + a2 (x − x1 )(x − x3 ) + a3 (x − x1 )(x − x2 ).
Al resolver para a1 , a2 y a3 se obtiene la forma final de la función interpoladora de segundo orden
fcuad (x) =
(x − x2 )(x − x3 )
(x − x1 )(x − x3 )
(x − x1 )(x − x2 )
y1 +
y2 +
y3 .
(x1 − x2 )(x1 − x3 )
(x2 − x1 )(x2 − x3 )
(x3 − x1 )(x3 − x2 )
Laboratorio de Simulación, Jorge Garza
32
Es interesente mencionar que las funciones interpoladoras de Lagrange se
cancelan en todos los valores de x tabulados, excepto en uno. Y que llegan a
tomar como valor máximo 1.
8.2.
Integración Numérica
Ahora hagamos uso de las funciones interpoladoras para evaluar la integral bajo la curva que describen los puntos tabulados.
8.2.1.
La regla del trapecio
En la aproximación lineal es claro que tenemos que evaluar la integral
total como la suma de contribuciones de cada uno de los elementos definidos
entre x1 y x2 , x2 y x3 , x3 y x4 ,.., xN −1 y xN . Para el primer elemento definido
entre x1 y x2 se tendrá un integral de la forma
Z x2
flineal (x)dx.
Int1 =
x1
Sustituyendo la expresión que se obtuvo en la aproximación lineal, se tiene
que
!
Z x2 Ã
(x2 − x)
(x − x1 )
Int1 =
y1 +
y2 dx.
(x2 − x1 )
(x2 − x1 )
x1
Evaluando la integral se obtiene que
1
Int1 = (x2 − x1 )(y1 + y2 ).
2
El valor correspondiente de la integral para el intervalo definido entre x2 y
x3 será
1
Int2 = (x3 − x2 )(y2 + y3 ).
2
El último intervalo definido entre xN −1 y xN contribuirá a la integral con
1
IntN −1 = (xN − xN −1 )(yN −1 + yN ).
2
De esta forma la integral bajo la curva será obtenida al sumar todas las
contribuciones
Integral = Int1 + Int2 + Int3 + .. + IntN −1 ,
o también
1
1
1
Integral = (x2 −x1 )(y1 +y2 )+ (x3 −x2 )(y2 +y3 )+..+ (xN −xN −1 )(yN −1 +yN ).
2
2
2
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33
En muchas aplicaciones los valores tabulados de x están igualmente espaciados, esto significa que el espaciamiento, h, será constante
h = x2 − x1 = x3 − x2 = .. = xN − xN −1 .
Con esta definición el valor de la integral total será
1
Integral = h(y1 + y2 + y2 + y3 + .. + yN −1 + yN −1 + yN ).
2
Esta manera de evaluar la integral es conocida como la regla del trapecio.
8.2.2.
La regla de Simpson
Si se desea evaluar la integral con un interpolador cuadrático es necesario
usar tres puntos, esto significa que el número de puntos tabulados, N , debe
de cumplir con que (N2−1) sea un número entero. De esta manera el primer
intervalo para evaluar la integral está definido por los puntos x1 , x2 y x3 , el
segundo por x3 , x4 y x5 , el último intervalo estará definido por los puntos
xN2 , xN −1 y xN . La integral del primer intervalo tendrá un valor de
Z x3
Int1cuad =
fcuad (x)dx.
x1
Sustituyendo la expresión de fcuad (x) la integral toma la forma
!
Z x3 Ã
(x − x1 )(x − x3 )
(x − x1 )(x − x2 )
(x − x2 )(x − x3 )
y1 +
y2 +
y3 dx.
Int1cuad =
(x1 − x2 )(x1 − x3 )
(x2 − x1 )(x2 − x3 )
(x3 − x1 )(x3 − x2 )
x1
Tomando en cuenta un espaciamiento de puntos uniforme, la integral tiene
el valor
h
Int1cuad = (y1 + 4y2 + y3 ).
3
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9.
34
Ajuste de curvas por el método de mı́nimos cuadrados
A diferencia de los métodos de interpolación, el método de ajuste de
curvas por mı́nimos cuadrados permite obtener una función que se acerque
lo más posible a una serie de puntos tabulados.
9.1.
Ajuste de una función cuadrática
Supongamos que tenemos la siguiente tabla de datos:
x
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
y
0.0030
0.0092
0.0215
0.0510
0.0653
0.0882
0.1201
0.1708
0.1989
0.2591
Ejercicio: Generar la gráfica correspondiente a la tabla anterior.
Lo que vamos a proponer es una función que permita obtener una curva
que se acerque lo más posible a este conjunto de datos, por ejemplo f (x) =
ax2 . En este caso a será el parámetro que utilizaremos de ajuste. Al proponer
un valor de a, digamos a = 0,2, tendremos una estimación de los valores yi ’s.
La tabla que podemos obtener será de la forma
x
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
y
0.0030
0.0092
0.0215
0.0510
0.0653
0.0882
0.1201
0.1708
0.1989
0.2591
0,2x2
0.0020
0.0080
0.0180
0.0320
0.0500
0.0720
0.0980
0.1280
0.1620
0.2000
Laboratorio de Simulación, Jorge Garza
35
Para saber que tan ”bueno.es el valor propuesto de a podemos obtener el
error entre la estimación fi = f (xi ) y yi
errori = fi − yi
Al sumar sobre todos los errores obtenidos en cada punto se tendrı́a el error
total (ERROR)
N
X
ERROR =
i=1
errori = f1 − y1 + f2 − y2 ...
Sin embargo, estimar de esta manera el error que estamos cometiendo
podrı́a generar un ERROR cercano a cero, ya que podrı́a ser que error1
sea positivo, error2 negativo, error3 positivo, error4 negativo, etc. De tal
manera que los errores individuales se cancelen entre sı́ y consecuentemente
tendrı́amos una idea errónea de nuestro ajuste. Para evitar esta cancelación
de error el método de mı́nimos cuadrados propone medir como ERROR a
ERROR =
N
X
i=1
(errori )2 = (f1 − y1 )2 + (f2 − y2 )2 ...
Otra manera de escribir esta ecuación es
ERROR =
N
X
(ax2i − yi )2 .
i=1
Evidentemente, el ERROR depende del parámetro a y si queremos minimizarlo debemos seguir la receta del cálculo diferencial para la minimización de
una función. Esto significa que debemos de derivar a ERROR con respecto
a a e igualar el resultado a cero para encontrar un punto crı́tico. Derivando
con respecto a a se tiene
N
∂ERROR X
=
2(ax2i − yi )x2i
∂a
i=1
o también
Como
∂ERROR
∂a
N
X
∂ERROR
=2
(ax4i − yi x2i )
∂a
i=1
= 0 entonces
N
X
i=1
(ax4i − yi x2i ) = 0,
Laboratorio de Simulación, Jorge Garza
36
recordemos que necesitamos a la a que minimice a ERROR con lo que
PN
yi x2i
a = Pi=1
.
N
4
x
i=1 i
Al evaluar las sumatorias de la ecuación anterior se encuentra que a = 0,2554.
Ejercicio: Generar la gráfica correspondiente al usar a = 0,2554 y sobreponerla con los datos tabulados.
En la presente discusión se usó una función cuadrática muy particular ya
que en general una función cuadrática tiene la forma f (x) = ax2 + bx + c. Sin
embargo, al proponer una función de esta forma se tendrı́an tres parámetros
y consecuentemente se tendrı́a que derivar el error obtenido con respecto a
tres variable, a, b y c y resolver un sistema de ecuaciones con tres incógnitas.
9.2.
Ajuste de una función lineal
En el caso de un ajuste lineal se propone la función f (x) = b + mx, para
este caso el error tendrá la forma
N
X
ERROR =
(b + mxi − yi )2 .
i=1
De acuerdo a nuestra discusión se tiene que derivar a ERROR con respecto
a b y con respecto a m.
Ejercicio: Muestre que:
Ã
!
N
N
X
X
∂ERROR
= 2(bN + m
xi −
yi )
∂b
i=1
i=1
m
Ã
∂ERROR
∂m
!
b
= 2(b
N
X
i=1
xi + m
N
X
i=1
x2i
−
N
X
xi yi )
i=1
Ejercicio: Iguale las anteriores derivadas a cero y resuelva el sistema de
ecuaciones para encontrar que:
PN
PN
PN
1
i=1 xi yi − N
i=1 yi
i=1 xi
m=
¡
¢
P
PN 2
2
N
1
i=1 xi
i=1 xi − N
PN
PN 2 PN
PN
xi yi
i=1 yi
i=1 xi −
i=1 xi
b=
¢2i=1
PN 2 ¡PN
N i=1 xi −
i=1 xi