Cálculo III Gu´ıa #2: Curvas en Rn 22109 1. Sea α : [a, b] → R n una

Cálculo III Gu´ıa #2: Curvas en Rn 22109 1. Sea α : [a, b] → R n una

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE
FACULTAD DE CIENCIA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Cálculo III
Guı́a #2: Curvas en Rn
22109
Rodrigo Vargas
1. Sea α : [a, b] → Rn una curva parametrizada diferenciable integrable.
Demuestre que
Z b
Z b
≤
α(t)dt
kα(t)kdt .
a
a
2. Sea α : [a, b] → R2 una curva parametrizada por arco parámetro tal que
1
κα (s) = para una constante positiva r. Demuestre que α está conter
nida en una circunferencia de radio r.
3. Sea γ una curva contenida en una esfera de radio R en R3 tal que todas
las rectas binomormales son tangentes a la esfera. Demostrar que γ es
un arco de circunferencia máxima.
4. Sea α : [a, b] → Rn una curva parametrizada de clase C 1 con α(a) = p,
α(b) = q.
a) Pruebe que si ~v es un vector unitario, entonces
Z b
Z b
′
h(q − p), ~vi =
hα (t), ~v idt ≤
kα′ (t)kdt
a
a
b) Escogiendo ~v apropiado, deduzca que
Z b
kα(a) − α(b)k ≤
kα′ (t)kdt
a
5. Parametrizar la curva que se forma de un cı́rculo sobre una hoja al
doblarse ésta sobre un cilindro. Comprobrar que el largo de la curva es
igual al del cı́rculo.
6. Sea α : I → Rn una curva cerrada que no pasa por p. Probar que en
los puntos sobre α donde la distancia a p es máxima o mı́nima la recta
tangente a α es perpendicular al segmento lineal a p.
1
7. Sea α una curva plana y sea l la tangente en un punto p. Sea L una
paralela a la recta normal en p a distancia d de p, y sea h largo del
segmento determinado sobre L por α y l. Probar que
2h
.
p→0 d2
|κ(p)| = lı́m
8. Probar que si α es una curva cerrada contenida en un disco de radio r
entonces existe un punto p en la curva donde
|κ(p)| ≥
1
.
r
9. Encuentre, si es posible, el punto en el cual la curva y = ex tiene
máxima curvatura.
10. Demuestre que una condición necesaria y suficiente para que una curva
α : I → R3 esté sobre una esfera es que
′ ′
τ
κ
=
.
κ
κ2 τ
11. Reparametrice α(t) = (et cos t, et sen t, et ) por longitud de arco y determine si β(t) es una curva de rapidez uno:
√
√
√
1
1
2
2
√
, 2 ln(t + t + 1) .
β(t) =
t + t + 1,
2
t + t2 + 1
12. Sea
Z κ : (a, b) → R una función con κ(t) > 0 para todo t. Sea θ(s) =
κ(s)ds cualquier antiderivada de κ. Demuestre que
α(s) =
Z
cos θ(s)ds + a,
Z
sen θ(s)ds + b
es una curva regular con curvatura la función dada κ(s). Use esto para
1
determinar la curva plana que tiene κ(s) = √ .
s
13. Suponga que una curva plana es dada en coordenadas polares ρ = ρ(θ),
a ≤ θ ≤ b. Demuestre que el largo de arco es dado por
Z bp
ρ2 + (ρ′ )2 dθ
a
2
Además, demuestre que la curvatura con signo es dada por la fórmula
κ(θ) =
2(ρ′ )2 − ρρ′′ + ρ2
.
[(ρ′ )2 + ρ2 ]3/2
14. Probar que si α está contenida en una esfera de radio r entonces su
1
curvatura satisface κ(s) ≥ .
r
15. Calcule κ, τ , t, n y b para cada una de las siguientes curvas, y verifique
las ecuaciones de Frenet-Serret
1
t
3/2 1
3/2 √
(a) α(t) =
.
(1 + t) , (1 − t) ,
3
3
2
4
3
(b) β(t) =
cos t, 1 − sen t, − cos t .
5
5
Demuestre que la curva β es un cı́rculo, y halle su centro, radio y el
plano al que pertenece.
16. Describa todas las curvas en R3 que tienen curvatura constante κ > 0
y torsión constante τ .
17. Si α es una curva plana α(t) = (x(t), y(t)), pruebe que la curvatura con
signo es dada por
x′ y ′′ − x′′ y ′
κ=
.
kα′ k3
18. Sea α una curva regular en R3 . Demuestre que la curvatura es dada
por
kα′ × α′′ k
.
κ=
kα′ k3
19. Sea α una curva regular en R3 con curvatura no nula. Demuestre que
la torsión es dada por
τ=
hα′ × α′′ , α′′′ i
.
kα′ × α′′ k2
3