Teoría - Departamento de Matemática Aplicada (DMA).

Teoría - Departamento de Matemática Aplicada (DMA).

Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM
1
Curvas en Rn
2
2.1
Definición
Se dice que Γ ⊂ Rn es una curva si existe un intervalo compacto I = [a, b] ⊂ R y una
aplicación α : I −→ Rn continua tal que α(I) = Γ.
El origen de Γ es α(a), el extremo es α(b), y el sentido el que va de α(a) a α(b). La
función α se llama parametrización de Γ.
Si α(a) = α(b) la curva se llama cerrada, y si α es inyectiva sobre [a, b) (o (a, b]) la
curva se llama simple.
Una curva Γ se llama suave si admite una parametrización α(t) = (x1 (t), . . . , xn (t))
derivable, siendo
¡
¢
α0 (t) = x01 (t), x02 (t), . . . , x0n (t)
el vector velocidad de la curva (o vector tangente a la curva), y
à n
!1/2
X
¯ 0 ¯
0
2
¯α (t)¯ =
(xi (t))
i=1
la velocidad en el punto α(t).
Si α es derivable salvo quizás en un número finito de puntos, la curva se llama suave
a trozos. Llamaremos camino a cualquier curva simple y suave a trozos.
2.2
Algunas parametrizaciones de curvas planas
1. Una parametrización del segmento que va de P = (x1 , y1 ) a Q = (x2 , y2 ) es α(t) =
(x(t), y(t)), 0 ≤ t ≤ 1, con
(
x(t) = x1 + t(x2 − x1 )
y(t) = y1 + t(y2 − y1 )
2. Las funciones
α(t) = (x0 + r cos t, y0 + r sen t) ,
t ∈ [0, 2π]
β(t) = (x0 + r cos πt, y0 + r sen πt) ,
t ∈ [0, 2]
son dos parametrizaciones de la circunferencia de centro (x0 , y0 ) y radio r recorrida
en sentido positivo (contrario al sentido de avance de las agujas del reloj). En sentido
negativo lo es
γ(t) = (x0 + r cos t, y0 − r sen t) ,
t ∈ [0, 2π]
3. Una parametrización de la elipse
(x − x0 )2 (y − y0 )2
+
=1
a2
b2
recorrida en sentido positivo es α(t) = (x0 + a cos t, y0 + b sen t), 0 ≤ t ≤ 2π.
4. Una parametrización del grafo de la función continua f : [a, b] −→ R es
α(t) = (t, f (t)) ,
a≤t≤b
Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM
2.3
2
Parametrización de −Γ
Se llama −Γ a la curva Γ recorrido en sentido contrario. Si α : [a, b] −→ Rn es una
parametrización de Γ, entonces β : [−b, −a] −→ Rn definida por β(t) = α(−t) es una
parametrización de −Γ.
2.4
Longitud de una curva
Si Γ ⊂ Rn es un camino parametrizado por α : [a, b] −→ Rn , se define su longitud por
Z
L(Γ) =
a
¯
¯α0 (t)¯ dt
b¯