E. P. E. T. N ° 20 M

E. P. E. T. N° 20
MATEMÁTICA 2°
TRABAJO PRÁCTICO: PROPORCIONALIDAD
PROFESORES: Carlos Pavesio
Mauro Candellero
María Angélica Netto
Sergio Garcia
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MATEMÁTICA – 2° AÑO
Contenidos Conceptuales - Matemática - 2° año - Año 2014
Unidad Nº 1: Razones y proporciones.
Razones y proporciones: definición, propiedad fundamental. Cálculo de los medios y
los extremos. Magnitudes directa e inversamente proporcionales: problemas de
aplicación. Función de proporcionalidad directa e inversa: representación gráfica.
Teorema de Thales. Aplicaciones referidas al cálculo de perímetros, áreas y volúmenes.
SIMELA. Semejanza de triángulos. Ejercicos y problemas de aplicación.
Unidad Nº 2: Trigonometría.
Razones entre los lados de un triángulo rectángulos. Funciones trigonométricas. Uso
de la calculadora. Teorema de Pitágoras. Características de los irracionales:
representación gráfica. Resolución de triángulos rectángulos. Problemas de aplicación.
Unidad Nº 3: Sistema de ecuaciones lineales
Función lineal: pendiente y ordenada al origen, representación y análisis. Rectas
paralelas y perpendiculares.
Planteo y resolución de problemas mediante ecuaciones. Planteo y resolución de
problemas que requieren de dos incógnitas. Método de resolución gráfico de sistemas:
clasificación.
Métodos de resolución analíticos: sustitución, igualación y determinantes. Análisis del
conjunto solución obtenido. Ejercicios y problemas de aplicación.
Unidad Nº 4: Polinomios.
Definición de polinomio. Polinomio en una indeterminada. Grado de un polinomio.
Polinomio nulo. Polinomio completo e incompleto. Polinomio ordenado. Valor
numérico de un polinomio. Operación con polinomios: sumas, restas, multiplicación y
división de polinomios. Regla de Ruffini. Divisibilidad de los polinomios.
Unidad N° 5: Factoreo
Factorización de los polinomios: Factor común, Factor común en grupos, Trinomio
cuadrado perfecto, Cuatrinomio cubo perfecto, Diferencia de cuadrados, Suma o
diferencia de potencias de igual grado. Ejercicios y problemas de aplicación.
Unidad N° 6: Expresiones algebraicas racionales
Simplificación de fracciones algebraicas. Multiplicación y división. Adición y
sustracción. Ecuaciones racionales.
Unidad N° 7; Vectores
Definición. Componentes de un vector. Representación gráfica. Operaciones con
vectores. Aplicaciones.
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ACTIVIDAD INICIAL
DEFINICIÓN
Hallar el valor de x aplicando la propiedad fundamental:
a)
=
f)
=
=
b)
=
g)
c)
=
h)
d)
e)
=
i)
=
j)
=
=
=
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MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
Las siguientes tablas corresponden a distintas relaciones entre dos cantidades de
magnitudes diferentes:
X: tela Y: precio
4
43
2
86
6
10,75
12
53,75
X: volumen en cm3 Y: peso en g
240
400
120
100
30
90
450
1. Completa las tablas.
2. Si las cantidades de la 1° columna aumentan ¿Qué ocurre con las
correspondientes a la 2° columna?
3. Efectúa los cocientes correspondientes de la 2° columna y sus correspondientes
de la 1° columna.
4. ¿Qué puedes decir de los resultados obtenidos?
5. ¿Qué representa ese valor?
6. Analiza que tipo de relación existe entre el conjunto de cantidades de la 1°
magnitud y el conjunto de las cantidades de la 2° magnitud.
7. Para cada una de las tablas realiza el grafico en un mismo sistema de ejes
cartesiano.
8. ¿Qué gráfico obtienes?
9. ¿Qué sucede si x es cero?
MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES
Imagina que quieres cortar rectángulos de superficie igual a 36
. Siendo las
medidas de la base y de la altura, números naturales
1. Completa la tabla.
X: base
Y: altura
2. Si las cantidades de la 1° columna aumenta,
¿Qué
ocurre
con
las
cantidades
correspondientes a la 2° columna?
3. Efectúa los productos entre cada cantidad
de la 2° columna y su correspondiente de la
1°
4. Analiza que tipo de relación existe entre el conjunto de las cantidades de la
magnitud y el conjunto de cantidades de la 2° magnitud.
5. Realiza el gráfico en un sistema de ejes cartesianos.
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6. ¿Qué gráfico obtienes?
EJERCITACIÓN:
1) En cuáles de los siguientes cuadros las magnitudes relacionadas
corresponden a magnitudes directamente proporcionales
x
y
x
y
x
y
4
10
1/2
1/3
2
0,6
2
5
3/4
1/2
1,2
0,36
6
15
3
2
0,5
0,15
4/3
10/3
1
3/2
7
2,1
6/5
3
3/2
1
2,5
0,75
2) La tabla corresponde a una función directamente proporcional.
Completa con los x
números que faltan
y
12
6,3
4
12,6
3
3,675
5
3)
Peso en Precio
kg x
en $ y
1
2
1,5
4
3
8
4,5
10
4) Completa la tabla:
X: velocidad
Y: tiempo
(km/h)
(hs)
80
3
a)
b)
c)
d)
Completar la tabla
Graficar
Hallar la constante de proporcionalidad
Hallar en el gráfico
el precio
correspondiente a 3,5 kg
e) Hallar en el gráfico el peso correspondiente
a $5
120
100
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6
1,5
a) Qué
clase
de
magnitudes
representan?
b) Halla la constante de proporcionalidad
5) Completen cada una de las siguientes tablas que relacionan magnitudes
directamente proporcionales, escriban la constante de proporcionalidad y grafiquen.
a)
x
b)
y
x
2
3
5
c)
y
3
y
1
4
10
x
2
12
1
7
21
10
4
9
6) Completen las siguientes tablas que relacionan magnitudes inversamente
proporcionales, hallen la constante de proporcionalidad y grafiquen:
a)
x
y
4
2
x
y
1
2
0,5
b)
24
c)
x
y
1
2
15
4
5
10
30
6
4
5
10
Plantear y resolver los siguientes problemas:
a) En un taller 8 obreros producen 48piezas diarias. Trabajando al mismo ritmo,
¿cuántos obreros deberán agregar para triplicar la producción?
b) Para alfombrar un piso se utilizaron 15 rollos de 0,90m de ancho. ¿Cuántos
rollos se necesitarán, para alfombrar la misma superficie, con rollos de 0,75m
de ancho?
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c) 7 máquinas envasadoras tardan 12 horas para llenar un stock de botellas.
¿Cuánto se tardará, para efectuar el mismo trabajo, si solo funcionan 4
máquinas?
d) Una rueda de 18cm de diámetro tarda 45segundos en recorrer cierta distancia.
¿Cuánto tardará una rueda de 24cm de diámetro?
e) El equipo de handball de mi escuela ganó el 75% de los 48 partidos jugados.
¿Cuántos partidos perdieron?
f) El precio de un producto es de $ 125. ¿Cuánto se pagará por el mismo luego de
aplicarle el 21% del IVA?
g) Se hizo una fotocopia reducida en un 75% de una página de 20cm de ancho por
28cm de largo. ¿Cuáles son las dimensiones de la página obtenida?
h) El precio de un producto en enero fue de $76,50 y en marzo es de $83,60. ¿Qué
porcentaje de aumento sufrió?
PROPORCIONALIDAD GEOMÉTRICA
TEOREMA DE THALES
Thales de Mileto, filósofo, comerciante y matemático griego del siglo VI antes de Cristo, contribuyó al desarrollo de la
geometría como ciencia deductiva al preguntarse el porqué de ciertas relaciones.
En un viaje a Egipto midió, en forma indirecta la altura de la pirámide de Keops. Con solo medir la longitud de un bastón, la
sombra de este
y la sombra de la pirámide, planteó una
proporción que le permitió calcular la altura de dicha pirámide.
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altura de la pirámide
altura del bastón

sombra de la pirámide sombra del bastón
T
A
a
B
C
L
m
b
p
c
q
“Si tres o más paralelas son
cortadas por dos transversales,
la razón de las longitudes de
los segmentos determinados en
una de ellas , es igual a la
razón
de
los
segmentos
correspondientes determinados en
la otra transversal”
ab mp

bc pq
EJERCICIOS
___
1. Hallar el valor de
___
ab y bc
en cada una de las siguientes figuras:
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2. Para medir el ancho de un río, un topógrafo fijó puntos
___
sobre el terreno como indica la figura, en la misma
___
cd
___
son paralelas;
___
también
del río.
cd
ab
ab
y
___
y
bc
son
perpendiculares
y
___
y
bc
son perpendiculares. Calculen el ancho
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3. Un alumno está parado junto al mástil izando la
bandera. Si la sombra que proyecta el mástil es de 1,2
m y la del alumno 50 cm. ¿Cuál es la altura del mástil si
el alumno mide 1,60 m?
7) Resuelve los siguientes problemas aplicando el Teorema de Thales.
a) ¿Cuál es la altura de un edificio que a determinada hora del día proyecta una sombra de 7,5 m, si un poste muy
cercano de 1,5 m produce en el mismo momento 98 cm de sombra?
b) Una sierra tiene una altura de 400 m sobre el nivel del mar y su ladera, desde el pie hasta la cumbre, 560m. ¿A qué
altura, sobre el nivel del mar, se encuentra un andinista que ya recorrió 350 m por la ladera?
c) Una torre proyecta una sombra de 32 m en el mimo momento que un bastón de 1,30 m de altura proyecta una
sombra de 1,50 m. ¿Cuál es la altura de la torre?
d) Las longitudes de los lados de un triángulo son 9, 12 y 15 cm. Se traza una paralela a uno de sus lados y se obtiene
un triángulo cuyo perímetro es de 12 cm. Calculen las longitudes de los lados del segundo triángulo.
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