FUNCIONES DERIVABLES EN UN INTERVALO Las funciones que

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DERIVADAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS.
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FUNCIONES DERIVABLES EN UN INTERVALO
Las funciones que son continuas en un intervalo cerrado [a, b] y derivables en un intervalo abierto (a, b) tienen propiedades importantes.
Teorema de Rolle.
Sea f una función que verifica las siguientes hipótesis:
a) Es continua en el intervalo cerrado [a, b]
b) Es derivable en el intervalo abierto (a, b)
c) Toma el mismo valor en los extremos del intervalo, es decir f(a) = f(b)
Entonces, existe un punto c∈(a, b) tal que f´(c) = 0 es decir, con tangente horizontal.
Teorema de Rolle
Hipótesis:
f es continua en [a, b]
f es derivable en (a, b)
f(a) = f(b)
Tesis:
∃ c∈(a, b) / f´(c) = 0
Demostración:
Como f es continua en un intervalo cerrado [a, b] alcanza en dicho intervalo un valor
máximo y otro mínimo. (Teorema de Weierstrass)
Pueden darse dos casos:
Si el máximo y el mínimo están en los extremos, estos son iguales, ya que f(a) = f(b).
Entonces se trata de una función constante y , por tanto, f ′(c) = 0
Si el valor máximo o mínimo se encuentran en un punto c de (a, b) la función alcanza
un máximo y un mínimo (teorema de Weierstrass) y como f es derivable en c, se cumple
que f ′(c) = 0
Ejemplo1:
La función f: [1, 3] → R definida por f(x) = x2 – 4x + 11 verifica las siguientes hipótesis:
a) Es continua en [1, 3] por ser polinómica
b) Es derivable en (1, 3) por se polinómica.
c) f(1) = 8; f(3) = 8
Entonces existe un punto c en el intervalo abierto (a, b) con derivada nula en dicho punto. Veamos:
f´(x) = 2x – 4; f´(c) = 2c – 4 = 0 2c = 4
c=2
El punto c esta en el interior del intervalo.
Teorema del valor medio
Sea f una función que verifica las siguientes hipótesis:
• Es continua en el intervalo cerrado [a, b]
• Es derivable en el intervalo abierto (a, b)
Entonces, existe un punto c∈(a, b) tal que
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f (b) − f (a )
= f ′(c)
b−a
Teorema del Valor Medio
Hipótesis:
f es continua en [a, b]
f es derivable en (a, b)
Tesis:
∃ c∈(a, b)/
f (b) − f (a )
= f ′(c)
b−a
Interpretación geométrica: Existe un punto en la curva cuya tangente es paralela a la
cuerda.
Demostración:
Formamos la función h( x) =
que:
•
•
f (b) − f (a )
x − f ( x) y aplicamos el teorema de Rolle ya
b−a
Es continua en [a, b] por serlo f.
Es derivable en (a, b) por serlo f.
Además h(a ) =
y h (b ) =
af (a ) − af (b)
af (a ) − af (b) − bf (a ) + af (a ) af (b) − bf (a )
− f (a) =
=
b−a
b−a
b−a
bf (b) − bf (a )
bf (b) − bf (a ) − bf (b) + af (b) af (b) − bf (a )
− f (b) =
=
b−a
b−a
b−a
es decir,
• h(a) = h(b)
Como se cumplen las hipótesis del teorema de Rolle, existe un punto c ∈ (a, b) tal que
h(c) = 0, por tanto, si h ′( x) =
h ′(c) =
fb) − f (a )
− f ′( x) ,
b−a
f (b) − f (a )
− f ′(c) = 0
b−a
f (b) − f (a )
= f ′(c)
b−a
Ejemplo 2:
La función f(x) = 3x2 es continua y derivable en todo R, podemos encontrar un punto,
por ejemplo, en el intervalo (0, 4) cuya tangente a la curva sea paralela a la cuerda que
une los puntos de abscisas x = 0; x = 4.
f(x) = 6x; f´(c) =6c f(0) = 0; f(4) = 48
f ′(c) =
f ( 4) − f ( 0)
4−0
6c =
48 − 0
4−0
6c = 12
c=2
Pág. 3
Teorema de Cauchy.
Si f y g son dos funciones continuas en [a. b] y derivables en (a, b), existe un punto c en
f (b) − f (a ) f ′(c)
=
(a, b) tal que
g (b) − g (a ) g ′(c)
Demostración:
Nos ayudamos de la función auxiliar h( x) = f ( x)[ g (b) − g (a )] − g ( x)[ f (b) − f (a )]
A esta función podemos aplicar el teorema de Rolle ya que
• Es continua en [a, b] por ser diferencia de funciones continuas
•
Es derivable en (a, b) por ser derivable de funciones derivables.
• h(a) = h(b)
Derivando la función, h ′( x) = f ′( x)[ g (b) − g (a )] − g ′( x)[ f (b) − f (a )]
Y si h ′(c) = 0 , f ′( x)[ g (b) − g (a )] − g ′( x)[ f (b) − f (a )] = 0
f (b) − f (a) f ′(c)
=
g (b) − g (a) g ′(c)
(Siempre que g (b) − g (a ) ≠ 0 y g ′(c) ≠ 0 )
Ejemplo 3:
Halla el valor de c del intervalo (1, 4) donde se cumple la tesis del teorema de Cauchy,
siendo f ( x) = 3 x + 2 y g ( x) = x 2 + 1
Las funciones son continuas y derivables en todo R por se funciones polinómicas
f ′( x) = 3 ; f ′(c) = 3
g ′( x) = 2 x ; g ′(c) = 2c
Valores de las funciones en los extremos del intervalo:
f(1) = 5; f(4) = 14
g(1) =2; g(4) = 17
luego
14 − 5 3
=
17 − 2 2c
9
3
=
15 2c
18c = 45
c=
45 5
= ;
18 2
5
∈ (1,4)
2
Regla de L´Hôpital.
Es una consecuencia del teorema de Cauchy y nos permite obtener fácilmente ciertos
límites que, sin esta regla, resultarían complicadísimos.
Esta regla dice:
f ′( x)
Si lím f ( x) = 0 , lím g ( x) = 0 y existe lím
entonces se cumple que
x→a
x→a
x → a g ′( x)
f ( x)
f ′( x)
lím
= lím
x → a g ( x)
x → a g ′( x )
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Demostración:
Si f y g son continuas en [a, x] y derivables en (a, x) se cumplirá :
f ( x) − f (a ) f ′(c)
=
donde c ∈ (a, x) (Teorema de Cauchy)
g ( x) − g (a ) g ′(c)
Pero f (a ) = lím f ( x) = 0 y g (a ) = lím g ( x) = 0
x→a
x →a
f ( x) f ′(c)
luego
=
g ( x) g ′(c)
Si x → a entonces c → a ya que c ∈ (a, x)
f ( x)
f ′(c)
luego lím
= lím
x→a g ( x)
c → a g ′(c )
f ′( x)
f ′(c)
Como existe lím
por hipótesis, existirá también lím
y ambos serán iguales.
x → a g ′( x)
c → a g ′(c )
f ( x)
f ′( x)
= lím
Queda, por tanto, que lím
x → a g ( x)
x → a g ′( x )
La regla de L´Hôpital también puede ser aplicada al caso de indeterminaciones del tipo
∞
.
∞
Ejemplo 4:
1 − cos x
x →0
x2
lím
0
por lo que podemos aplicar la regla:
0
1 − cos x
0
senx
0
cos x 1
lím
=
= lím
=
= lím
=
2
x →0
x→0 2 x
x→0
0
0
2
2
x
La regla puede aplicarse una o más veces, mientras se mantenga la indeterminación.
Este es un caso de indeterminación del tipo
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Ejercicios resueltos
1.- La función f: [- 1, 1] → R definida por f ( x) = 3 x 2 toma el mismo valor en los extremos del intervalo, f ( −1) = 3 (−1) 2 = 1 ; f (1) = 3 12 = 1
Encontrar su derivada y comprobar que no se anula nunca. ¿Contradice esto el teorema
de Rolle?.
Solución:
2 − 13 2 1
2 1
x
= . 1 = .3
3
3 x 3 3 x
Si intentamos anular la derivada resulta:
2 1
= 0 2 = 0 ¡absurdo!
33 x
Esto no contradice el teorema de Rolle porque la segunda hipótesis no se verifica. La
función no es derivable en todos los puntos del intervalo.
Concretamente, en el punto x = 0, no existe la derivada como podemos ver calculándola a través del límite:
2
f ( x) = 3 x 2 = ( x ) 3 ;
f ′(0) = lím
h →0
f ′( x) =
3
3
f ( 0 + h ) − f ( 0)
h2 − 0
h2
1 3
1
= lím
= lím
= lím
= lím = ∞
h→0
h →0 3
h→0 h
h
h
h 3 h →0 h
2.- Calcula b para que la función f(x) = x3 - 4x +3 cumpla las hipótesis del teorema de
Rolle en el intervalo [0, b]. ¿Dónde se cumple la tesis?.
Solución:
Por ser una función polinómica, es continua y derivable en todo R. y se cumplen las
dos primeras hipótesis.
Tercera hipótesis: f(0) = 3;
f(b) = b3 – 4b +3 = 3
b3 –4b = 0
b(b2 – 4) =0
Cuyas soluciones son b = 0; b = 2; b = -2 : La única solución válida es b = 2.
¿Dónde se cumple la tesis?: f´(x) = 3x2 – 4; f´(c ) = 3c2 – 4 = 0
c= 2
3
2 x + 2 si − 1 ≤ x < 1
2
2
5 − ( x − 2) si 1 ≤ x ≤ 4
Cumple las hipótesis del Teorema de Rolle.
Averigua dónde cumple la tesis.
3.- Comprueba que la función f ( x) =
Solución:
En cada uno de los intervalos es una función polinómica que es continua y derivable.
El único punto dudoso es x =1, luego hemos de estudiar la continuidad y derivabilidad
en dicho punto:
Continuidad:
lím− f ( x) = lím− (2 x + 2) = 4 ;
x →1
x →1
[
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]
lím f ( x) = lím+ 5 − ( x − 2) 2 = 4
x →1+
x →1
Existe límite en dicho punto y vale 4.
Además el valor de la función para x = 1, también es 4, luego es continua. Se cumple la
1ª hipótesis.
Derivabilidad:
f ′( x) =
2 si − 1 ≤ x < 1
2
− 2 x + 4 si 1 ≤ x ≤ 4
f ′(1− ) = 2
f ′(1+ ) = 2
Las derivadas laterales son iguales, luego es derivable en x = 1 y se cumple la 2ª hipótesis.
1
f ( 4 ) = − 4 2 + 4 .4 + 1 = 1
Además, f (− 1 ) = 2(− ) + 2 = 1 ;
2
2
Como toma el mismo valor en los extremos del intervalo, se cumple la 3ª hipótesis.
Veamos dónde se verifica la tesis:
2 si − 1 ≤ c < 1
2
f ′(c) =
− 2c + 4 si 1 ≤ c ≤ 4
Haciendo f ′(c) = 0 , resulta:
0 = 2 que es absurdo.
0 = –2c + 4, es decir,
c=2
La tesis se verifica en c = 2
4.- Siendo f(x) = (x – 2)2(x + 1), hallar un número c, en el intervalo (0, 4) de modo que
se verifique el teorema del valor medio.
Solución:
Como es una función polinómica, es continua y derivable en todo R, luego podemos
aplicar el teorema:
f (b) − f (a )
= f ′(c)
b−a
f(0) = (0 – 2 )2(0 + 1) = 4 ;
f(4) = (4 – 2 )2(4 + 1) = 20
f´(x) = 2(x – 2 )(x + 1 ) + 1. (x – 2 )2 = (x – 2 )[2(x + 1 ) + (x – 2 )] = (x – 2 )3x
f´(c) = (c – 2)3c
20 − 4
= (c − 2)3c
4−0
3c2 – 6c = 4
3c2 – 6c – 4 = 0
Pág. 7
21
6 ± 36 + 48 6 ± 84 6 ± 2 21 1 +
3
La solución válida es la 1ª.
c=
=
=
=
6
6
6
21
1−
3
3 − x2
si x < 1
2
5.- Prueba que la función f ( x) =
1
si x ≥ 1
x
satisface las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [0, 2] y calcula el o los
valores vaticinados por el teorema.
Solución:
La función es continua en el intervalo [0, 2]
-x
f ′( x) = − 1
x2
si x < 1
si
x ≥1
f´(1-) = -1
f´(1+)= -1
La función es derivable en el punto de abscisa x = 1, único punto dudoso, luego se
cumplen las hipótesis del teorema del valor medio.
f (b) − f (a )
= f ′(c) resulta:
b−a
− c si c < 1
f(2) = 1/2 ; f(0) = 3/2 , f ′(c) = − 1
si c ≥ 1
c2
Aplicando la fórmula
luego
1 −3
−c
2
2=
−1
2−0
si c < 1
si c ≥ 1
c2
De la primera ecuación se obtiene: –1/2 = -c
Y de la segunda ecuación: -1/2 = - 1/c2
c = 1/2.
c2 = 2
c= 2
6.- Aplica el teorema de Cauchy a las funciones f ( x) = x 2 − 2 ; g ( x) = 3x 2 + x − 1
en el intervalo [0, 4]
Solución:
Las funciones son continuas y derivables por tratarse de funciones polinómica, por tanto,
f ′( x) = 2 x ; f ′(c) = 2c
g ′( x) = 6 x + 1 ; g ′(c) = 6c + 1
Pág. 8
Valores de las funciones en los extremos de los intervalos:
f (0) = −2 ; f (4) = 14
g (0) = −1 ; g (4) = 51
14 − (−2)
16
2c
4
2c
2c
Entonces,
=
=
=
51 − (−1) 6c + 1
52 6c + 1
13 6c + 1
es decir, 24c + 4 = 26c
2c = 4
c=2
La tesis se verifica en c = 2
7.- Resuelve el siguiente límite aplicando la regla de L´Hôpital:
ax − bx
lím
x →0
x
Solución:
ax − bx
a0 − b0 1 − 1 0
a x .La − b x .Lb
lím
=
=
=
= lím
= lím( a x La − b x Lb ) =
x →0
x
→
0
x →0
0
0
0
1
x
= a 0 La − b 0 Lb = La − Lb
8.- Calcula los límites siguientes:
lím+ ( xLx ) ;
lím
x→0
x→0
x − senx
sen 2 x
Solución:
1
2
Lx
∞
x = lím x = lím (− x) = 0
lím+ ( xLx) = (0.∞) = lím+
=
= lím+
x→0
x→0 1
x →0 − 1
x →0 + − x
x →0 +
∞
2
x
x
(Las indeterminaciones de la forma 0.∞ se pueden resolver también aplicando
L´Hôpital)
lím
x→0
x − senx
0
1 − cos x
1 − cos x
0
senx
0
=
= lím
= lím
=
= lím
= =0
2
x
→
0
x
→
0
x
→
0
sen 2 x
0
2 senx. cos x
0
cos 2 x.2 2
sen x
xsenx
x → 0 1 − cos x
9.- Resuelve el siguiente límite: lím
Solución:
cos x + 1. cos x + (− senx).x 2
xsenx
0
1.senx + x cos x
0
=
= lím
=
= lím
= =2
x → 0 1 − cos x
x→0
x→0
0
senx
0
cos x
1
lím
Pág. 9
10.- Calcula lím+ x x
x →0
Solución:
Hacemos A = lím+ x x y aplicamos logaritmos: LA = lím+ ( x.Lx ) = (0.∞) , es decir,
x→0
x→0
1
Lx
∞
x = lím (− x) = 0 .
LA = lím+
=
= lím+
x→0 1
x →0 − 1
x →0+
∞
x
x2
Si LA = 0 entonces e0 = A, es decir A = 1 y, por tanto, lím+ x x = 1
x →0
e x − e −x − 2x
x →0
x − senx
11.- Calcula lím
Solución:
e x − e −x − 2x
e x + e−x − 2
0
0
e x − e−x
0
e x + e−x
=
= lím
=
= lím
=
= lím
=2
x →0
x→0
x →0
x − senx
0
1 − cos x
0
0
cos x
senx
lím
x →0
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Ejercicios propuestos
1.- ¿Se puede aplicar el teorema de Rolle a la función f ( x) =
[0, 4]?. Razona la contestación.
x 2 − 4x
en el intervalo
x−2
2.- Comprueba si se verifica el teorema de Rolle para la función f ( x) = x 2 − 4 x + 11 ,
en el intervalo [1, 3].
3.- Aplica el teorema del valor medio, si es posible, a la función f ( x) = x 2 − 3 x + 2 en
el intervalo [-2, -1].
(Solución: c = -3/2 )
4.- Calcula a y b para que f ( x) =
ax − 3
si
x<4
cumpla las hipótesis del
− x + 10 x − b si x ≥ 4
teorema del valor medio en el intervalo [2, 6]. ¿Dónde cumple la tesis?
2
(Solución: a = 2; b = 19; c = 9/2 )
5.- Se considera la función f ( x) =
x 2 + nx si x < −2
x 3 + m si x ≥ −2
a. Determina m y n para que se cumplan las hipótesis del teorema del valor medio
en el intervalo [-4, 2]
b. Halla los puntos del intervalo cuya existencia garantiza el teorema.
6.- Calcula lím
x →0
x − senx
x3
(Solución 1/6 )
7.- Calcula el siguiente límite aplicando la regla de L´Hôpital:
2arctgx − x
lím
x →0 2 x − arcsenx
(Solución: 1)
1
x
8.- Calcula lím x 2 1 − cos
x→∞
transformándolo en un límite del tipo
pués la regla de L´Hôpital
(Solución: ½ )
9.- Halla los siguientes límites:
lím x
1
1− x
x →1
(Solución: e-1; 1 )
;
lím x x
x→∞
0
y aplicando des0
Pág. 11

FUNCIONES DERIVABLES EN UN INTERVALO Las funciones que

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