. 2 )(: − = ee x x x xff

Examen 6toArq Matemática 1ª PP
1/7/15
1) a) i) Verdadero o Falso? Justificar :
ii) Calcular los límites:
lím
Liceo Nº3N
25 x 2 = 5 x ∀x ∈ R
x+2
25 x 2 + x + 3
b) Estudiar dominio, signo, calcular límites y hacer un bosquejo gráfico de :
x→ ±∞
 x2 − 1

f : f ( x) = ( x + 3).L
 3 
2) a) Verdadero o Falso? Justificar.
−2
x2 + x−2
x 2 − 2x x − 2
x
x +1
i)
=
∀x ≠ 0 ii) e .e = e x +1
∀x ≠ −1
x
x2
−2
x 2 − 2 x x x+1 i) Estudiar dominio y signo de f
e .e
ii) Calcular límites y hacer un bosquejo
b) Sea f : f ( x) =
x2
gráfico de f.
Examen 6toArq Matemática 2ª PP
1/7/15
Liceo Nº3N
3) a) Sea f una función que cumple : d ( f ) = R
lím x → −∞ f ( x) = 0, lím− f ( x) = −∞ lím x → −3+ f ( x) = f (−3) = 0 , lím f ( x) = +∞
x → +∞
x → −3
sig f ’ (x)
f ( −4) = −1
- - -? - - -? + + 0 - - - 0 + +
-4
-3 -2
1
f ( −2 ) = 1
lím f ( x) = f (−3) = 0
x → − 3+
i)
ii)
iii)
x
f ( −1) = f ( 2) = 0, f (1) = −2
f ( x ) − f ( −4)
lím
= −2
x→ −4
x+4
Determinar si f es continua y derivable en -4 y -3.
Ecuación de la recta t, tangente a la gráfica de f en el punto (-4,-1)
Efectuar una gráfica de f ,que cumpla con todos los datos, incluyendo t.
b) EA y RG de g : g ( x) =
f : f ( x) =
4) Sea:
10 x 2
ex
e x +1 + 2
si x < −1
...........
si − 1 ≤ x ≤ 1
x−Lx−2
si x > 1
3
-1
1
a) Completar la definición de f en [-1,1] , teniendo en cuenta la gráfica de f que
se adjunta para dicho intervalo.
b) Estudiar la continuidad y derivabilidad de f en -1 y en 1.
c) Calcular lím± f ( x) , lím f (x )
x→ 2
x→ + ∞
d) Hallar f ’(x) y estudiar su signo.
e) Graficar f y deducir su signo.
Examen 1/7/15-RESOLUCIÓN:
25 x 2 = 5 x ∀x ∈ R Falso, no se cumple si x<0, por ej., si x= -1:
1) a) i)
25( −1) 2 ≠ 5( −1)
ii) Calcular xlím
→ ±∞
lím
x→ ±∞
pues
x+2
25 x 2 + x + 3
25 ≠ −5
x
= lím
x→ ±∞
25x 2
x
=
x → ± ∞ 5. x
= lím
x
1
=±
± 5.x
5
 x2 − 1
b) f : f ( x) = ( x + 3).L
 3 


x2 −1
x2 −1
> 0 sig
Dominio:
+ + + +0 - - - - - 0 + + + + +
3
3
⇒ Df = (−∞ ,−1) ∪ (1,+∞ )
-1
1
Signo:
sig ( x + 3)
− − − − 0 ++++++++++++++
−3
 x2 −1
 + + + + + + 0 − −∃/ ∃/ ∃/ − − − 0 + + + + +
 3 
: sig .L
sig
− 2 −1 1
2
f ( x) − − − − − 0 + + 0 − − ∃/ ∃/ ∃/ − − − 0 + + + + + +
− 3 − 2 −1 1
2
→ -∝
 x − 1
 = −∞
lím ( x + 3). L
x → −1−
 3 
2
2
0+
 x 2 − 1
 = ±∞
lím ( x + 3). L
x→ ± ∞
 3 
±∝
+∝
→ -∝
 x2 −1
 = −∞
lím ( x + 3). L
x → 1+
 3 
4
0+
x
2) a) Verdadero o Falso? Justificar.
x 2 − 2 x x ( x − 2) x − 2
i)
=
=
∀x ≠ 0 ⇒ Verdadero
x
x2
x2
x
ii ) e .e
−2
x +1
=e
x +
−2
x +1
=e
x2 + x−2
x +1
∀x ≠ −1 ⇒ Verdadero
x 2 − 2x
⋅e
b) i) f : f ( x) =
x2
x2 + x−2
x +1
Df= R-{0,-1}
x2 − 2x
sig
+ + + + ∃/ − − − 0 + + + +
x2
0
2
sig e
x 2 + x −2
x +1
+ +∃/ + + + + + + + + + + +
−1
sig f ( x) + + + ∃/ + ∃/ − − − 0 + + + + +
−1 0
2
+∝
ii)
x−2
lím−
⋅e
x → −1
x
3
x + x −2
x +1
2
= +∞
+∝
-∝
x−2
lím+
⋅e
x → −1
x
x + x −2
x +1
2
0+
3
-2
x−2
límm
⋅e
x→ 0
x
x + x −2
x +1
2
= ±∞
e-2>0
~x→-∝
±∝
x−2
lím
⋅e
x → −∞
x
1
x 2 + x −2
x +1
=0
0+
=0
~x→+∝
x−2
lím
⋅e
x→ +∞
x
1
x + x −2
x +1
2
+∝
= +∞
3) a) Sea f una función que cumple : d ( f ) = R
lím x → −∞ f ( x) = 0, lím− f ( x) = −∞ lím x → −3+ f ( x) = f (−3) = 0 , lím f ( x) = +∞
x → +∞
x → −3
sig f ’ (x)
- - -? - - -? + + 0 - - - 0 + +
-4
-3 -2
1
f ( −4) = −1
f ( −2 ) = 1
lím f ( x) = f (−3) = 0
x → − 3+
i)
x
f ( −1) = f ( 2) = 0, f (1) = −2
f ( x ) − f ( −4)
lím
= −2
x→ −4
x+4
Determinar si f es continua y derivable en -4 y -3.
f ( x ) − f ( −4)
por teo .
= −2 ∈ R def
.deriv

.→ f derivable en − 4 
→ f cont.en − 4
x+4
lím − f ( x) = −∞
def
.cont

.→ f no es cont. en − 3 teo
.contrarrec

.→ f no deriv.en − 3
lím
x→ −4
x → −3
lím x → −3+ f ( x) = f (−3) = 0
ii)
Ecuación de la recta t, tangente a la gráfica de f en el punto (-4,-1)
mt=f ’(-4)=-2 → t) y+1=-2(x+4) → t) y=-2x-9
iii)
Efectuar una gráfica de f ,que cumpla con todos los datos, incluyendo t.
t
10 x 2
= 10 x 2 ⋅ e − x
ex
sig g ( x) + + + +0 + + + +
b) EAyRG de g : g ( x) =
Dg = R
0
2
10 x
= 0 ( por órdenes)
x→ +∞ e x
lím
lím 10 x 2 .e − x = +∞
x→ −∞
+∝ +∝
g ' ( x) = 20 x.e
−x
−x
−x
+ 10 x .e .(−1) = e (−10 x 2 + 20 x)
2
sig g ' ( x) + + + + + 0 − − − − −
2
g (2) = 40.e − 2 ≅ 5,4
g : g ( x) =
4) f : f ( x) =
10 x 2
ex
e x +1 + 2
si x < −1
3
− ( x − 1)
si − 1 ≤ x ≤ 1
2
x − L x − 2 si x > 1
-1
1
a) Completar la definición de f en [-1,1] , teniendo en cuenta la gráfica de f que
se adjunta para dicho intervalo.
Hallamos la ecuación de la recta por los puntos (-1,3) y (1,0) :
m=
0−3
3
3
= − → r ) y − 0 = − ( x − 1)
1 − (−1)
2
2
b) Estudiar la continuidad y derivabilidad de f en -1 y en 1.
f (−1) = e 0 + 2 = 3
lím (e x +1 + 2) = 3
x → −1−
por def .


→ f es cont. en − 1
3
lím+ − ( x − 1) = 3
x → −1
2
f ( x ) − f ( −1)
e x +1 + 2 − 3
e x +1 − 1
x +1
= lím−
= lím−
= lím−
=1
→
x → −1
x → −1
x → −1
x → −1 x + 1
x − ( −1)
x +1
x +1
3
3
3
3
− ( x − 1) − 3
− x−
− ( x + 1)
f ( x ) − f ( −1)
3
2 = lím 2
lím
= lím+ 2
= lím+ 2
=−
+
x → −1+
x
1
x
1
x
1
→
−
→
−
→
−
x − ( −1)
x +1
x +1
x +1
2
lím−
por def .


→ f no es derivable en − 1
3
f (1) = − ⋅ 0 = 0
2
3
lím− − ( x − 1) = 0
x →1
2
lím+ (x − L x − 2 ) = 1
por def .
por teo contrarrec.


→ f no es cont. en 1 
  → f no deriv. en1
x →1
c) Calcular :
lím (x − L x − 2 ) = +∞
x→ 2±
d)
f ' ( x) =
e x +1
3
−
2
1−
~x→+∝(teorema1, infinitos en la suma.)
lím (x − L x − 2 ) = +∞
x→ +∞
si x < −1
si − 1 < x < 1
1
x−3
=
x−2 x−2
si x > 1
sig f ' ( x) + + + +∃/ − − − − − ∃/ + + + ∃/ − − − 0 + + +
−1
1
2
3
(recordar que en -1 y en 1 f no es derivable)
e) f(3)=3
sig f ( x) + + + + + + + 0 + + + ∃/ + + +
−1
1
2