Solución Práctica 7

Solución Práctica 7
Programación Dinámica
Ejercicio 1: Problemas dinámicos en forma secuencial y recursiva
Partimos de la ecuación secuencial:
∞
X
máx
{ct ,kt+1 }∞
t=0
β t u(ct ),
t=0
s.t. ct = F (kt ) − kt+1 − (1 − δ)kt ,
ct , kt+1 ≥ 0, ko dado.
Definimos la función de valor:
V (k0 ) =
∞
X
máx
{ct ,kt+1 }∈C(k)
β t u(ct )
t=0
(
=
máx
u(c0 ) +
{ct ,kt+1 }∞
0
∞
X
)
β t u(ct )
t=0
∞
X
(
= máx
{c0 ,k1 }
= máx
u(c0 ) +






{c0 ,k1 } 

máx
{ct ,kt+1 }∞
1
)
β t u(ct )
t=0
∞
X
u(c0 ) + β máx ∞ β t u(ct+1 )
{ct ,kt+1 }0



|
t=0
{z
V (k1 )









}

Supuesto: consistencia temporal ⇒ máx(máx) = máx
t
t+1
t
V (k0 ) = máx {u(c0 ) + βV (k1 )}
{c0 ,k1 }
⇒ V (kt ) =
máx
{ct ,kt+1 }∈C(k)
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{u(ct ) + βV (kt+1 )}
1
Ejercicio 2: Decisiones de consumo y la ecuación de Euler
máx
∞
X
β t ln(ct ),
t=0
s.a. at+1 = yt + (1 + r)at − ct ,
ct ≥ 0, ao dado.
1. Variables de estado: at
Variables de control: ct , at+1
2.
V (a) =
máx
a0 ∈[0,Ra+y]
{u(c) + βV (a0 )}
CPO
∂c
+ βV 0 (a0 ) = 0
∂a0
u0 (c) = βV 0 (a0 )
u0 (c)
ET
Función de polı́tica (en el óptimo): a0 = h(a)
Demostración de Teorema de la Envolvente:
V (a) = [Ra − h(a)] + βV [h(a)]
|
{z
}
c óptimo
∂V (a)
≡ V 0 (a) = u0 (c)[R − h0 (a)] + βV 0 (a0 )h0 (a)
∂a
= Ru0 (c) + [−u0 (c) + βV 0 (a0 )]h0 (a)
{z
}
|
CP O
V 0 (a) = Ru0 (c) ⇒ V 0 (a0 ) = Ru0 (c0 )
Combinando CPO y ET:
u0 (ct ) = βRu0 (c0 )
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2
Como u(ct ) = ln(ct ) ⇒ u0 (ct ) =
1
ct
1
1
= βR
ct
ct+1
⇒ ct+1 = βRct
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3
Ejercicio 3: Decisiones de consumo y trabajo en una economı́a
con producción
máx
∞
X
β t u(ct , lt ),
t=0
s.a. ct + it = f (kt−1 , lt ) ,
kt = δkt−1 + it , k−1 dado
1. El problema del agente consiste en elegir su trayectoria óptima de consumo y trabajo,
sujeto a una restricción de riqueza y otra de movimiento del capital. La única variable
de estado del problema es kt−1 , ya que es la única predeterminada al momento que
el agente toma su decisión. Las variables de control del problema son kt y ct o lt (al
determinar dos de ellas, queda determinada la otra).
V (k−1 ) =
máx
∞
X
{kt ,lt }∈C(k−1 )
β t u(ct , lt )
t=0
2.
V (kt−1 ) = máx (u(ct , lt ) + βV (kt ))
{kt ,lt }
s.a.kt = δkt−1 + f (kt−1 , lt )−ct
3. Dos posibilidades
V (kt−1 ) = máx {u(δkt−1 + f (kt−1 , lt ) − kt , lt ) + βV (kt }
V (kt−1 ) = máx {u(ct , lt ) + βV (δkt−1 + f (kt−1 , lt ) − ct )}
4. Funciones de polı́tica: l = g(k−1 ), c = h(k−1 )
5. Uso la primera ecuación de Bellman
CPO c.r.a. kt
−uc (ct , lt ) + βV 0 (kt ) = 0
CPO c.r.a. lt
uc (ct , lt )fl + ul (ct , lt ) = 0
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4
ET
∂ct
∂kt−1
= uc (ct , lt )(δ + fk )
V 0 (kt−1 ) = uc (ct , lt ).
Esto conduce a dos pares de ecuaciones de Euler.
Ecuación de Euler intertemporal:
uc (ct , lt ) = βuc (ct+1 , lt+1 )(δ + fk (kt , lt+1 ))
Notar que el último término entre paréntesis hace las veces de “tasa de interés”, o
en cuanto yo puedo transformar una unidad de capital hoy en unidades de producto
o capital mañana (teniendo en cuenta también la depreciación del mismo).
Ecuación de Euler para consumo y ocio (juntando las CPO):
ul + uc fl (kt−1 , lt ) = 0
ul = −uc fl (kt−1 , lt )
ul
−1
⇒
=
uc
fl
Al tener el signo negativo, el término fl representa la utilidad marginal del ocio. Por
cada unidad adicional de ocio, el consumo aumenta en fl .
c1−γ
(1 − lt )1−φ
t
+
1−γ
1−φ
−γ
= ct
= −lt−φ
u(ct , lt ) =
uc
ul
α
lt1−α
f (kt−1 , lt ) = Akt−1
1−α
lt
fk = Aα
k−1
α
k−1
fl = A(1 − α)
lt
Ecuación de Euler intertemporal en el caso de la función explı́cita de la letra:
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5
"
c−γ
t
=
βc−γ
t+1
δ + Aα
lt
k−1
1−α #
Consumo-trabajo:
cγt =
1
A(1 − α)
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k−1
lt
α ltφ
6