Guillermo Umbricht

SOBRE UN MÉTODO DE REGULARIZACIÓN PARA UN
PROBLEMA ESTACIONARIO DE CONDUCCIÓN DE CALOR
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Guillermo Umbricht#,&,1 y Diana Rubio#,2
Centro de Matemática Aplicada, ECyT, Universidad Nac. Gral. San Martı́n
B.A., Argentina.
&
Consejo Nacional de Investigaciones Cientı́ficas y Técnicas (CONICET)
B.A., Argentina. 1 [email protected], 2 [email protected]
Abstract
El problema de la identificación de la fuente desconocida ha sido muy estudiado y ha recibido considerable
atención de muchas investigaciones actuales debido esencialmente a que se han encontrado disı́miles y múltiples
aplicaciones en los distintos campos de la ciencia tales como la conducción de calor, la identificación de fisuras,
la teorı́a electromagnética, la prospección geofı́sica, la detección de contaminantes, la tomografı́a, la tomografı́a
de impedancia eléctrica y la determinación de tumores en un tejido biológico, entre otros.
Particularmente el problema inverso de estimar la fuente unidimensional en la ecuación estacionaria de calor
en dos dimensiones espaciales a partir de mediciones en un punto interno del dominio es un problema mal
planteado en sentido de Hadamard. Esto significa que las soluciones no varián de forma continua con respecto a
los datos del problema y debido a ello una pequenã perturbación en la entrada, por ejemplo ocasionado por los
errores de medición, puede desembocar en una gran variación en la solución. Este hecho hace que el problema
sea imposible de resolver mediante la utilización de métodos clásicos teniendo que recurrir a un método de
regularización.
En este trabajo estudiamos un método introducido por Xiao-Xiao et al. 1 que ha sido aplicado a otras
situaciones y consiste en el agregado de un penalizador en la ecuación a estudiar. Una caracterı́stica común de
las técnicas de regularización es que todas ellas requieren la utilización de un parámetro, µ, que depende del
problema a regularizar, por lo general, se denomina parámetro de regularización. Este parámetro controla el
peso dado a la minimización del término penalizador en la ecuación estudiada.
El autor del método estudiado propone en su trabajo una expresión analı́tica para dicho parámetro que
depende directamente de la amplitud del ruido de los datos de medición y realiza una estimación de tipo Holder
para el error cometido en la identificación de la fuente. Numéricamente se puede observar que el valor óptimo
para el parámetro depende fuertemente de la fuente a estimar y tomando un rango más amplio que el propuesto
por Xiao-Xiao et al. se pueden obtener mejores aproximaciones. Se presentan aquı́ algunos ejemplos a modo de
ilustración, para casos particulares de fuentes conocidas, que se estiman a partir de valores de observación con
distintos niveles de rı́udo.
1 XIAO X.L, HENG Z.G, SHI M.W AND FAN Y., Inverse Source Identification by the Modified Regularization Method on Poisson
Equation, Journal of Applied Mathematicsts, 2011.
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