repaso de álgebra matricial - Centro de Geociencias ::.. UNAM

REPASO DE ÁLGEBRA
MATRICIAL
1. ¿Porqué necesitamos matrices? ¿Qué son las matrices? ¿Dónde está la matriz en este
cuadro?
(que por cierto fué hecho por
Alberto Durero en 1514 y se
llama “Melancolía”)
Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas
de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas
parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones
lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística,
economía, informática, física, etc...
La utilización de matrices (o arreglos, “arrays”) constituye actualmente una
parte esencial de los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los
datos se introducen en las computadoras como tablas organizadas en filas y
columnas ej: hojas de cálculo, bases de datos...
Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por
J.J. Sylvester
El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853
En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada
de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.
DEFINICIONES BÁSICAS
CONCEPTO DE MATRIZ
Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque,
en general, suelen ser números ordenados en filas y columnas.
Se llama matriz de orden "m × n" a un conjunto rectangular de
elementos aij dispuestos en m filas y en n columnas. El orden de una
matriz también se denomina dimensión o tamaño, siendo m y n números
naturales.
Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C, ... y los
elementos de las mismas con letras minúsculas y subíndices que indican el
lugar ocupado: a, b, c, ... Un elemento genérico que ocupe la fila i y la
columna j se escribe aij .
Si el elemento genérico aparece entre paréntesis también representa a toda
la matriz : A = (aij)
O sea que una matriz es algo así:
Esta es una matriz de 3 x 3
Ahora las matemáticas
matemáticas:
Cuando nos referimos indistintamente a filas o columnas hablamos
de lineas.
El número total de elementos de una matriz Am×n es m·n
En matemáticas, tanto las Listas como las Tablas reciben el nombre
genérico de matrices.
Se escribe así
OJO ¡¡ La suma y diferencia de dos matrices NO está definida si sus
dimensiones son distintas !! O sea que no se pueden sumar ni restar en
este caso
Propiedades de los Determinantes
MATRIZ INVERSA
Se llama matriz inversa de una matriz cuadrada A y la representamos por A-1 , a
la matriz que verifica la siguiente propiedad :
A-1·A = A·A-1 = I
Ejemplo
Sólo existe matriz inversa de una matriz cuadrada si ésta es regular.
La matriz inversa de una matriz cuadrada, si existe, es única.
Entre matrices NO existe la operación de división, la matriz inversa realiza
funciones análogas (similares).
Las matrices son sumamente importantes cuando queremos resolver sistemas de
ecuaciones. Muchos problemas se pueden trasladar a sistemas de ecuaciones por
lo que el uso de matrices es necesario en gran parte de las soluciones.
Esta es una liga útil para una introducción a la resolución de sistemas de
ecuaciones por varios métodos.
http://www.math.com.mx/docs/sec/sec_0014_Sistemas_Lineales.pdf
EJEMPLO DE SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES
CON MATRICES Y DETERMINANTES
Tenemos que resolver el sistema:
Nuestro sistema de 2*2 lo podemos interpretar como una matriz (2*2) y un vector columna (2*1):
La matriz de 2*2 tiene dos vectores columna: x e y. Al otro vector columna lo llamaremos T
Luego podemos calcular el determinante G:
= 4*5 - 3*2 = 20 -6 = 14
Para calcular ΔX (det X) sustituimos en G el vector columna de x
por el vector columna de T:
= 22*5 - 3*2 = 110 -54 = 56
Para calcular ΔY (det Y) sustituimos en G el vector columna de y
por el vector columna de T:
= 4*18 - 22*2 = 72 -44 = 28
Ahora podemos hallar el valor de x efectuando:
Finalmente podremos hallar el valor de y efectuando:
Tarea resolver por medio de matrices y determinantes el siguiente
sistema de ecuaciones, describiendo cada paso con detalle: