Matrices y determinantes.

Transcripción

Matrices y determinantes
Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM
Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
MATRICES Y DETERMINANTES
TEMA V
V.1 DEFINICIÓN DE MATRIZ
Una matriz es un conjunto de números, objetos u operadores, dispuestos en un arreglo bidimensional de
renglones y columnas, encerrados entre paréntesis rectangulares, que obedecen a ciertas reglas
algebraicas.
Ejemplos de matrices:
1 − 8
6 10  ,


a
c

e

g
 7 1 5
 0 − 1 2 ,


13 − 4 3
b
d 
,
f

h
[3 + 2i
5 − 7i ]
Cada una de las partes integrantes del arreglo es llamado elemento de la matriz y su localización en el
arreglo es identificado por un sistema de doble subíndice, en el cual el primer subíndice indica el renglón
y el segundo subíndice indica la columna.
 a11
a
 21
A =  a31

 M
 an1
a13 K a1m 
a23 K a2 m 
a33 K a3m 

M
M
M 
an3 K anm 
a12
a22
a32
M
an 2
En donde el elemento a ij está localizado en el renglón i-ésimo y la j-ésima columna del arreglo A .
Una matriz que tiene n renglones y
matriz de orden n por m ).
m columnas se dice que es una matriz de orden n x m (se lee como
Cuando se trata de matrices muy grandes se representan con una sola letra mayúscula, o por un solo
elemento con doble índice:
[ ]
A = aij
donde i va desde 1 hasta
n y j va desde 1 hasta m
Una matriz con un solo renglón o con una sola columna es conocida como vector renglón o vector
columna respectivamente. Por ejemplo, la matriz B es un vector renglón de 1× 5 y la matriz C es un
vector columna de 3× 1 :
B = [b1 b2
b3
b4
b5 ] ,
1
 c1 
C = c2 
c3 
Una matriz es cuadrada si posee el mismo número de renglones y de columnas:
Ejemplo.
1 
 4 −2 6
− 7 0 − 8 − 3 

D=
 1 10 5
4 


 3 − 4 9 − 11 4×4
La diagonal principal de una matriz cuadrada es el conjunto de elementos que aparecen sobre la diagonal del
arreglo que va desde el extremo superior izquierdo al extremo inferior derecho, es decir, aquellos elementos
aii . En el ejemplo anterior los elementos de la diagonal principal son 4, 0, 5, − 11 .
La traza de una matriz cuadrada es la suma de los elementos de su diagonal principal. Se denota como
tr A .
( )
Ejemplo.
Para la matriz anterior, su traza es:
tr (D ) = 4 + 0 + 5 + (− 11) = −2
La transpuesta de una matriz A es la matriz designada por A' ó
las columnas de
AT en donde los renglones de A son
AT , esto es, si:
[ ]
A = aij
⇒
[ ]
AT = a ji
Ejemplos.
 5 −1 2 
− 7 3 9 
 ;
a) E = 
− 2 0 8 


 6 − 4 11 4×3
a
f
b) F = 
b
c
d
g
h
i
 5 −7 −2 6 
E = − 1 3
0 − 4
 2
9
8 11  3×4
T
a
b

F T = c

d
 e
e
;
j  2×5
f
g 
h

i
j  5×2
Dos matrices se dice que son iguales si son del mismo orden y todos los elementos de la matriz son
idénticos a sus correspondientes elementos de la otra matriz.
Ejemplo.
8

Q=2
12

2
4 − 1 3 0 8 
P=
 ;
6 1 − 2 5 − 7  2×5
P=Q
2
6
6
4
4
−
9
0
3
2
14 15
−7 3
− 16 
−2 
− 28 

4  2×5
V.2 OPERACIONES CON MATRICES
Suma
La suma de matrices
C = A + B se define como cij = aij + bij . Esto es, la suma de matrices es igual a
la suma de los elementos correspondientes de ambas matrices que tienen el mismo orden.
Ejemplo.
5 
 2 6 −7 0 
− 6 8 − 2
; B=
A=


− 1 11 3 − 4 2×4
 4 − 2 1 − 10 2×4
− 4 14 − 9 5 
A+ B = 

 3 9 4 − 14 2×4
La operación suma cumple con las siguientes propiedades:
( A + B ) + C = A + (B + C )
Propiedad conmutativa: ( A + B ) = (B + A)
Propiedad asociativa:
Ejemplos.
5
4 8  11 − 3
6 13
11 − 3
17 10

+
+
=
+
=


  







 − 1 3 2×2 3 0 2×2   5 9  2×2 2 3  2×2  5 9  2×2  7 12 2×2
 2
a)  

 4 8
 2 5
11 − 3   2 5
15 5
17 10


+
+
=
+
=
 − 1 3


  







 2×2  3 0 2×2  5 9  2×2  − 1 3 2×2  8 9 2×2  7 12 2×2
1 2 3 
2 0 − 3
2 0 − 3
1 2 3 
 3 2 0
+
=
+
=





4 − 5 6 2×3 7 8 − 1 2×3 7 8 − 1 2×3 4 − 5 6 2×3 11 3 5 2×3
b) 
Diferencia
La diferencia o resta de matrices
C = A − B se define como cij = aij − bij . Esto es, la diferencia de
matrices es igual a la resta de los elementos correspondientes de ambas matrices que tienen el mismo
orden.
Ejemplo.
 7 − 9
 0 5


C= 5
8  ; D = − 3 2
− 3 − 1 3×2
 − 1 4 3×2
 7 − 14
C − D =  8
6 
− 2 − 5  3×2
3
Multiplicación de una matriz por un escalar
El producto de una matriz A por un escalar
k se define como: k ⋅ A = k ⋅ aij , esto es, se multiplica cada
uno de los elementos de la matriz por el escalar.
Ejemplo.
 2 4 − 6 10 7 
C=
 ;
− 5 8 0 − 9 − 1 2×5
− 6 − 12 18 − 30 − 21
k ⋅C = 
3  2×5
 15 − 24 0 27
k = −3 ;
Multiplicación de matrices
Para efectuar el producto de dos matrices se requiere que el número de columnas de la primera matriz
sea igual que el número de renglones de la segunda. Cuando sucede esto se dice que las matrices son
conformables para la multiplicación. Esto es, si A es de orden p × n y B es de orden n × q el orden de
la matriz producto es p × q .
Los elementos de la matriz producto A ⋅ B se definen de la siguiente manera:
n
cij = ∑ aik ⋅ bkj
k =1
donde i va desde 1 hasta p y
j va desde 1 hasta q .
El elemento que ocupa la posición
(i, j ) de la matriz C
de p filas y q columnas, se obtiene sumando los
productos de los elementos de la fila i de A por los elementos de la columna
j de B .
Ejemplos.
− 1
1 − 5
 4
; B=
A=


6 4  2×2
− 10 2  2×2
1(4 ) + (− 5)(− 10 ) 1(− 1) + (− 5)(2 )
 4 + 50 − 1 − 10
 54 − 11
A⋅ B = 
=
=


6(− 1) + 4(2 )  2×2 24 − 40 − 6 + 8  2×2 − 16 2  2×2
 6(4 ) + 4(− 10 )
1)
 a11 a12 

 ; B = b11 b12 b13 b14 
2) A = a21 a22
b


b22 b23 b24  2×4
21

 a31 a32  3×2
 a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22 a11b13 + a12b23
A ⋅ B = a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22 a21b13 + a22b23
 a31b11 + a32b21 a31b12 + a32b22 a31b13 + a32b23
0 
5
 1 − 2
 ; B = 1 − 2 1
3) A = 
3 0 5
3
4 

 2×3


−
1
6

 4×2
4
a11b14 + a12b24 
a21b14 + a22b24 
a31b14 + a32b24  3×4
 5 + 0 − 10 + 0 5 + 0 
 5 − 10 5 
 1− 6

− 5 − 2 − 9
− 2 − 0 1 − 10 


=
A⋅ B =
 3 + 12 − 6 + 0 3 + 20 
 15 − 6 23 




2+0
− 1 + 30 4×3  17
2
29  4×3
− 1 + 18
4)
10i 1 2i 
A = [4 − 5i ]1×2 ; B = 

 − 1 0 3i  2×3
[
A ⋅ B = 40i + 5i 4 − 0i 8i − 15i 2
5)
]
1×3
= [45i
4 15 + 8i ]1×3
3 − 1 9 4 
A=
 ; B = [1 7 9]1×3
0 5 − 2 6 2×4
No son conformables para el producto.
En general, el producto de matrices no es conmutativo: A ⋅ B ≠ B ⋅ A
Ejemplo.
1 5
A =  3 2
10 4
1
A ⋅ B =  3
10
− 1
1 
2 4


0  ; B = 5 − 1 − 2
3 0
− 2 3×3
7  3×3
5 − 1  2 4
1 


2 0  5 − 1 − 2
4 − 2 3 0
7 
1(4) + 5(− 1) + (− 1)(0)
1(1) + 5(− 2 ) + (− 1)(7 ) 
 1(2) + 5(5) + (− 1)(3)

3(4) + 2(− 1) + 0(0)
3(1) + 2(− 2) + 0(7 ) 
=  3(2) + 2(5) + 0(3)
10(2) + 4(5) + (− 2)(3) 10(4) + 4(− 1) + (− 2)(0) 10(1) + 4(− 2) + (− 2)(7 ) 3×3
24 − 1 − 16
= 16 10 − 1 
34 36 − 12 3×3
1   1 5 − 1
2 4
B ⋅ A = 5 − 1 − 2  3 2 0 
3 0
7  10 4 − 2
2(5) + 4(2) + 1(4 )
2(− 1) + 4(0) + 1(− 2) 
 2(1) + 4(3) + 1(10)
= 5(1) + (− 1)(3) + (− 2)(10) 5(5) + (− 1)(2 ) + (− 2)(4 ) 5(− 1) + (− 1)(0) + (− 2)(− 2)
 3(1) + 0(3) + 7(10)
3(5) + 0(2) + 7(4)
3(− 1) + 0(0) + 7(− 2 )  3×3
 24 22 − 4 
= − 18 15 − 1 
 73 43 − 17 3×3
5
A⋅ B ≠ B ⋅ A
El producto definido de matrices acepta las siguientes propiedades:
Propiedad asociativa:
A ⋅ (B ⋅ C ) = ( A ⋅ B ) ⋅ C
Propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma:
C ⋅ (A + B) = C ⋅ A + C ⋅ B
V.3 MATRICES ESPECIALES
1. Matriz cero (matriz nula)
Es aquella matriz, la cual puede ser de cualquier orden, en la que todos sus elementos valen cero.
0 0 0 K
0 0 0 K
0=
M M M M

0 0 0 K
0
0
M

0 m×n
sus propiedades son:
0⋅ A = 0
0+ A= A
Ejemplo.
3 − 1
0 0 
; 0=
A=


5 2  2×2
0 0 2×2
0 0 3 − 1 0(3) + 0(5) 0(− 1) + 0(2 ) 0 0
0⋅ A = 

=
=

0 0 5 2  0(3) + 0(5) 0(− 1) + 0(2 ) 0 0
0 0 3 − 1 0 + 3 0 + (− 1) 3 − 1
0+ A= 
=
+
=
0 + 2  5 2 
0 0 5 2  0 + 5
Sean:
2. Matriz identidad (matriz unitaria)
Es una matriz cuadrada de orden
elementos fuera de ella son cero.
n tal que todos los elementos de su diagonal principal son uno y los
1
0

I = 0

M
0
0 0 K 0
1 0 K 0
0 1 K 0

M M M M
0 0 K 1  n×n
La propiedad principal de una matriz cuadrada es que:
I ⋅ A = A⋅ I = A
Ejemplo.
6
 4 − 2
1 0 
; I =
A=


− 3 1  2×2
0 1 2×2
 4 − 2 1 0 4(1) + −2(0 )
A⋅ I = 

=
− 3 1  0 1  − 3(1) + 1(0 )
1 0  4 − 2 1(4 ) + 0(− 3)
I⋅A=

=
0 1  − 3 1  0(4 ) + 1(− 3)
Sean:
4(0 ) + −2(1)  4 − 2
=
− 3(0 ) + 1(1) − 3 1 
1(− 2 ) + 0(1)  4 − 2
=
0(− 2 ) + 1(1) − 3 1 
3. Matriz diagonal
n tal que todos los elementos fuera de su diagonal principal son cero.
d11 0
0 d
22

D= 0
0

M
 M
 0
0
0
0
d 33
M
0
0 
K 0 
K 0 

M
M 
K d nn  n×n
K
Ejemplo.
12 0 0 
D =  0 6 0 
 0 0 − 7
4. Matriz triangular superior
cero.
n en la cual todos los elementos debajo de la diagonal principal son
u ij = 0 para i > j
u11 u12
0 u
22

U =0
0

M
M
 0
0
u13
u 23
u33
M
0
Ejemplo.
7i 8i 5i − 13i 
 0 − 4i 3i
6i 
U =
0
0 2i − i 


0
0 − 9i 
0
7
K u1n 
K u 2 n 
K u3n 

M
M 
K u nn  n×n
5. Matriz triangular inferior
cero.
n en la cual todos los elementos por arriba de la diagonal principal son
lij = 0 para i < j
l11 0
l
 21 l 22
L = l31 l32

M
M
l n1 ln 2
0
0
l33
M
ln3
0
K 0 
K 0

M
M
K lnn  n×n
K
Ejemplo.
0 
6
L=

− 9 − 17 
6. Matriz simétrica
Se dice que una matriz cuadrada es simétrica si es igual a su propia transpuesta:
A = AT
aij = a ji para toda i y para toda j
Ejemplo.
3
2
A=
2

− 8
− 8
4 5
0 
= AT
5 −7 4 

0 4
6
2
2
7. Matriz antisimétrica
Se dice que una matriz cuadrada es antisimétrica si es igual al negativo de su propia transpuesta:
A = − AT
aij = − a ji para toda i y para toda j
Ejemplo.
 0 − 2 3
A =  2
0 4 ⇒
− 3 − 4 0
 0 2 − 3
 0 − 2 3


T
A = − 2 0 − 4 ⇒ − A =  2
0 4 = A
 3 4 0 
− 3 − 4 0
T
8. Matriz conjugada
Sea A una matriz de números complejos. Si se reemplaza cada elemento por su complejo conjugado se
obtiene A que es su matriz conjugada.
8
Ejemplo.
8i
− 3 + 6i 1 − i 
5 − 2i

A = 8 − 4i 6 + 7i 14 − 11i
9 
 10i 16 − 5i − 13 + 17i 6 
− 8i
− 3 − 6i 1 + i 
5 + 2i

A = 8 + 4i 6 − 7i 14 + 11i
9 
 − 10i 16 + 5i − 13 − 17i 6 
9. Matriz hermitiana
Se dice que una matriz de números complejos cuadrada es hermitiana, denotada como
su propia transpuesta conjugada:
A* , si es igual a
A= A = A
T
*
aij = a ji para toda i y para toda j
Ejemplo.
2 − 6i 
 5
A=
4 
2 + 6i
2 + 6i 
 5
A=
4 
2 − 6i
2 − 6i 
 5
A T = A* = 
=A
4 
2 + 6i
10. Matriz antihermitiana
1
Se dice que una matriz de números complejos cuadrada es antihermitiana si es igual al negativo de su
propia transpuesta conjugada:
A = − A T = − A*
aij = − a ji para toda i y para toda j
Ejemplo.
11i − 9 
A=

 9 − 6i 
− 11i − 9
A=
6i 
 9
− 11i 9 
A T = A* = 
 = −A
 − 9 6i 
1
Las matrices simétricas son un caso especial de las hermitianas y las matrices antisimétricas son un caso especial de las
antihermitianas. Por lo tanto, toda matriz simétrica es hermitiana, pero una matriz hermitiana no necesariamente es simétrica. De la
misma forma, toda matriz antisimétrica es antihermitiana, pero una matriz antihermitiana no necesariamente es antisimétrica.
9
11i − 9 
− A* = 
=A
−
i
9
6


V.4 DETERMINANTES
V.4.1 DEFINICIÓN
Sea A una matriz cuadrada de orden
n . Se define como determinante de A (denotado como A ,
det ( A) ó ∆ A ) a la suma de los n productos (signados) formados por n-factores que se obtienen al
multiplicar n-elementos de la matriz de tal forma que cada producto contenga un sólo elemento de cada
fila y columna de A .
Esto significa que un determinante es un valor numérico κ que está relacionado con una matriz
cuadrada y que sigue ciertas reglas para su cálculo .
a11 a12
a21 a22
det ( A) = a31 a32
M
M
an1 an 2
a13
a23
a33
M
an 3
K a1n
K a2 n
K a3n = κ
M
M
L ann
Dos matrices diferentes (tanto en orden como en elementos) pueden tener igual determinante. Nótese
como la notación de determinante no presenta los corchetes (a diferencia de las matrices) sino sólo
líneas.
V.4.2 CÁLCULO DE DETERMINANTES DE SEGUNDO Y TERCER ORDEN. REGLA DE SARRUS
Para calcular determinantes de segundo y tercer grado el método más simple es el de multiplicación
diagonal, mejor conocido como Regla de Sarrus.
Esta regla establece que para una matriz de segundo orden
a12 
a
A =  11
 , su determinante se calcula
a21 a22 
de la siguiente manera:
det ( A) =
a11 a12
= a11a22 − a21a12
a21 a22
esto significa que el determinante de segundo orden es el producto de los elementos de la diagonal
principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria.
Ejemplos.
1)
3 5
2 4
= 3(4 ) − 2(5) = 12 − 10 = 2
10
2)
3)
4 −8
3 −7
= 4(− 7 ) − 3(− 8) = −28 + 24 = −4
− 12 − 6
−4
5
= −12(− 4 ) − 5(− 6 ) = 48 + 30 = 78
 a11 a12

La regla de Sarrus aplicada a una matriz de tercer orden A = a21 a 22

a31 a32
a13 
a23  , establece que su
a33 
determinante se calcula como:
a11 a12
det ( A) = a21 a22
a31 a32
a13
a23 = a11a22 a33 + a21a32 a13 + a31a12 a23 − a31a22 a13 − a21a12 a33 − a11a32 a23
a33
esto significa que el determinante de segundo orden es la suma de los productos de los elementos de la
diagonal principal y sus dos paralelas, menos la suma de los productos de los elementos de la diagonal
secundaria y sus dos paralelas.
Ejemplos.
1 −3 5
4 − 1 = 1(4 )(6) + 7(0)(5) + (− 2)(− 3)(− 1) − (− 2)(4)(5) − (7 )(− 3)(6) − 1(0)(− 1)
1) 7
−2 0
6
= 24 + 0 − 6 + 40 + 126 + 0 = 184
2 −1 0
2) 3 5 10 = 2(5)(− 8) + 3(7 )(0 ) + 1(− 1)(10) − 1(5)(0 ) − 3(− 1)(− 8) − 2(7 )(10)
1 7 −8
= −80 + 0 − 10 − 0 − 24 − 140 = −254
3 −5 8
2
3 = 3(2)(− 1) + (− 4 )(9)(8) + 7(− 5)(3) − 7(2)(8) − (− 4)(− 5)(− 1) − 3(9)(3)
3) − 4
7
9 −1
= −6 − 288 − 105 − 112 + 20 − 81 = −572
V.4.3 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
1. Si todos los elementos de una columna o de un renglón son cero, entonces el determinante es cero.
Ejemplos.
1)
2 0
6 0
= 2(0 ) − 6(0 ) = 0 − 0 = 0
11
2)
−9 1
0
0
= (− 9 )(0 ) − 0(1) = 0 − 0 = 0
2. El determinante de la matriz A es igual al determinante de la matriz
AT
Ejemplo.
5 − 1
A=

8 3 
5 −1
det ( A) =
= 5(3) − (8)(− 1) = 15 + 8 = 23
8 3
 5 8
AT = 

− 1 3
5 8
det AT =
= 5(3) − (− 1)(8) = 15 + 8 = 23
−1 3
( )
3. Si cada elemento de un renglón o una columna es multiplicado por un escalar
también multiplicado por k .
k , el determinante es
Ejemplos.
2 3
4 5
= 2(5) − 4(3) = 10 − 12 = −2
Multiplicando el primer renglón por
6 9
4 5
k =3
= 6(5) − (4 )(9 ) = 30 − 36 = −6
Multiplicando la primera columna por
6
3
12 5
k =3
= 6(5) − 12(3) = 30 − 36 = −6
en general:
k
L a1n
ka11
L a1n
a12
a21
M
a22 L a2 n ka21
=
M
M
M
M
a22 L a2 n
a
= 21
M
M
M
M
a22
M
L
M
a2 n
M
an1
an 2 L ann
an 2 L ann
an 2
K
ann
kan1
a12
ka11
ka12 L ka1n
a11
an1
4. Si se intercambian dos renglones o (columnas) el signo del determinante cambia.
Ejemplos.
4 5
1 2
= 4(2 ) − 1(5) = 8 − 5 = 3
intercambiando renglones:
12
1 2
4 5
= 1(5) − 4(2 ) = 5 − 8 = −3
intercambiando columnas:
5 4
2 1
= 5(1) − 2(4 ) = 5 − 8 = −3
5. Si un renglón (o columna) se traslada p renglones (o columnas) entonces el determinante obtenido
es igual a: (− 1) ∆
p
Ejemplo.
4 2
3
∆ = 1 0 − 1 = 4(0)(− 2) + 1(− 1)(3) + 0(2 )(− 1) − (0)(0)(3) − 1(2 )(− 2) − 4(− 1)(− 1)
0 −1 − 2
= 0 − 3 + 0 − 0 + 4 − 4 = −3
si se mueve la primera columna, dos posiciones, entonces:
2
3 4
∆1 = 0 − 1 1 = 2(− 1)(0) + (0)(− 2)(4) + (− 1)(3)(1) − (− 1)(− 1)(4) − (0)(3)(0) − 2(− 2)(1)
−1 − 2 0
= 0 − 0 − 3 − 4 − 0 + 4 = −3 = (− 1) ∆
2
si se mueve el primer renglón, una posición, se tiene:
1 0 −1
∆2 = 4 2
3 = 1(2)(− 2) + 4(− 1)(− 1) + 0(0 )(3) − (0)(2)(− 1) − 4(0)(− 2) − 1(− 1)(3)
0 −1 − 2
= −4 + 4 + 0 + 0 + 0 + 3 = 3 = (− 1) ∆
1
6. Si dos renglones o dos columnas son iguales, entonces el determinante es cero.
Ejemplos.
1)
2)
1 1
6 6
= 1(6 ) − 6(1) = 6 − 6 = 0
−2 5
−2 5
= (− 2 )(5) − (− 2 )(5) = −10 + 10 = 0
7. Un determinante no cambia de valor si a todos los elementos de un renglón (o columna) le son
sumados o restados los elementos de otro renglón (o columna) multiplicados por un escalar:
L a1n
a11 + ka1 j
a11
a12
a21
M
a22 L a2 n a21 + ka2 j
=
M
M
M
M
an1 + kanj
an 2 L ann
an1
a12
L a1n
a22 L a2 n
=
M
M
M
an 2 L ann
13
a11
a12
L
a1n
a21
M
a22
M
L
M
a2 n
M
an1 + kai1
an 2 + kai 2 K ann + kain
Ejemplo.
2 3
∆=
1 4
= 2(4 ) − 1(3) = 8 − 3 = 5
sumando a la primera columna la segunda multiplicada por 2 :
2 + 2(3) 3
8 3
= 8(4 ) − 9(3) = 32 − 27 = 5
9 4
al segundo renglón de ∆ se le resta tres veces el primer renglón:
2
3
2
3
∆2 =
=
= 2(− 5) − (− 5)(3) = −10 + 15 = 5
1 − (3)(2 ) 4 − (3)(3) − 5 − 5
∆2 =
1 + 2(4 ) 4
=
Esta propiedad es muy empleada para obtener ceros y así simplificar el cálculo del determinante.
Ejemplo.
3 − 1 1 3 − 2(1) − 1 1 1 − 1 1
∆ = 4 5 2 = 4 − 2(2) 5 2 = 0 5 2 = 15
6 0 3 6 − 2(3) 0 3 0 0 3
V.4.4 MENOR DE UN ELEMENTO
Sea un determinante de orden
det ( A) =
n , correspondiente a una matriz A :
L a1n
a11
a12
a21
M
a22 L a2 n
M
M
M
an1
an 2 L ann
Se define el menor de un elemento a ij al determinante que resulta de eliminar el renglón i y la columna
j . Si se denota como M ij a tal determinante, se tiene:
M ij =
a11
a12
L a1 j
L a1n
a21
a 22
L a2 j
L a2 n
L
L
L
L
L
L
a j1
a j2 L
aij
L
ain
L
L
L
L
L
a n1
an 2 L anj
L
Ejemplos.
Dado el determinante:
−1 5 − 3
∆= 2 1 4
10 6 − 2
14
L ann
Algunos menores son:
−1 5 − 3
−1 − 3
M 22 = 2 1 4 =
= 2 + 30 = 32
10 − 2
10 6 − 2
−1 5 − 3
5 −3
M 31 = 2 1 4 =
= 20 + 3 = 23
1 4
10 6 − 2
−1 5 − 3
−1 5
M 23 = 2 1 4 =
= −6 − 50 = −56
10 6
10 6 − 2
Ejemplo.
Dado el determinante:
∆=
5
1
3
2
9
0
2 10
8
7
5
4
2 −3 1
6
Encontrar el menor M 43
Solución:
M 43 =
5
1
3
2
9
0
2 10
8
7
5
4
2 −3 1
6
5 1
2
= 9 0 10 = 0 + 126 + 80 − 0 − 36 − 350 = −180
8 7
4
V.4.5 COFACTOR DE UN ELEMENTO
Se define el cofactor de un elemento a ij , el cual se denota Aij , como:
Aij = (− 1) M ij
i+ j
es decir, el cofactor es igual al menor multiplicado por 1 ó − 1 , dependiendo si la suma de los dos
subíndices es par o impar, respectivamente.
Ejemplo.
Calcular los cofactores del siguiente determinante:
det ( A) =
4
11
−5 −8
Solución:
A11 = −8
A12 = 5
15
A21 = −11
A22 = 4
Ejemplo.
Calcular los cofactores de los elementos correspondientes al primer renglón del siguiente determinante:
1
0
1
det ( A) = − 2 5 4
3 10 2
Solución.
A11 =
5
10 2
A12 = −
A13 =
4
= 10 − 40 = −30
−2 4
3
2
−2
5
3
10
= −(− 4 − 12 ) = 16
= −20 − 15 = −35
El determinante de una matriz A de cualquier orden puede obtenerse mediante la suma de los productos
de los elementos de cualquier renglón o columna por sus respectivos cofactores:
n
n
j =1
i =1
det ( A) = ∑ akj Akj = ∑ ail Ail
Para el renglón
k o la columna l .
Así, para un determinante de tercer orden, se tiene:
a11 a12
det ( A) = a21 a22
a31 a32
a13
a23 = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13
a33
= a11
a22
a32
a23
a
a23
a
a22
− a12 21
+ a13 21
a33
a31 a33
a31 a32
esto significa que se elige el primer renglón y se suman los elementos por sus respectivos cofactores.
Este procedimiento también puede aplicarse a columnas, por ejemplo, para el caso anterior:
det ( A) = a13
a21 a22
a
a
a
a12
− a23 11 12 + a33 11
a31 a32
a31 a32
a21 a22
esto significa que se elige la tercera columna y se suman los elementos por sus respectivos cofactores.
Ejemplo.
Calcular el siguiente determinante aplicando cofactores:
16
1 2 −8
det ( A) = 6 − 4 5
2 −1 3
Tomando el primer renglón se tiene:
−4 5
6 5
−2
+ (− 8)
6 −4
= 1(− 12 + 5) − 2(18 − 10 ) + (− 8)(− 6 + 8)
−1 3
2 3
2 −1
= 1(− 7 ) − 2(8) + (− 8)(2 ) = −7 − 16 − 16 = −39
=1
Ahora, tomando la segunda columna se tiene:
6 5
+ (− 4 )
1 −8
− (− 1)
1 −8
= −2(18 − 10 ) + (− 4 )(3 + 16 ) − (− 1)(5 + 48)
2 3
2 3
6 5
= −2(8) − 4(19 ) + 1(53) = −16 − 76 + 53 = −39
= −2
Cuando aparecen varios ceros en un renglón o en una columna, a fin de simplificar el cálculo de un
determinante, es conveniente utilizar ese renglón o columna.
Ejemplo.
1 2 −1
det ( A) =
4
0 2
1
−2
0 3
2
5
0 4 −1 3
= 1A11 + 0 A21 + 0 A31 + 0 A41 = A11
A11 y tomando el segundo renglón se tiene:
2 5
3 5
3 2
=2
−1
+ (− 2 )
= 2(6 + 5) − 1(9 − 20 ) + (− 2 )(− 3 − 8)
−1 3
4 3
4 −1
= 2(11) − 1(− 11) + (− 2 )(− 11) = 22 + 11 + 22 = 55
calculando el cofactor
V.4.6 MATRIZ ADJUNTA
Si A = aij es una matriz cuadrada y Aij es el cofactor de a ij , se define la matriz adjunta de A ,
denotada Adj A , como la matriz de cofactores de su transpuesta.
A11
A
Adj A = 21
M
An1
A12 L A1n
A22 L A2 n
M
M
M
An 2 L Ann
Esto significa que para encontrar la matriz adjunta primero se traspone la matriz y después, con base en
ella, se calcula la matriz de cofactores.
Ejemplo.
Obtener la matriz adjunta de:
17
 3 7
A=

− 1 8
La matriz transpuesta es:
3 − 1
AT = 

7 8 
La matriz de cofactores de la matriz transpuesta es:
8 − 7 
Adj A = 

1 3 
Ejemplo.
Encontrar la matriz adjunta de:
1 2 3 
A = 2 3 2
3 3 4
Solución.
1 2 3 
A = 2 3 3
3 2 4
 3 3

 2 4
 2 3
Adj A = −
 2 4
 2 3
 3 3

T
−
2 3
3
1
3
1
−
2
4
3
4
3
3
2 3 

3 2 
1 − 5
6
1 2 
−
= − 2 − 5 4 

3 2
 − 3 3 − 1
1 2  
2 3 
V.5 MATRIZ INVERSA
V.5.1 MATRIZ INVERSA POR EL MÉTODO DE LA ADJUNTA
En el álgebra matricial, la división no está definida. La inversión de matrices es la contraparte de la
división en álgebra.
La inversa de una matriz está definida como aquella matriz, que multiplicada por la original da por
resultado la matriz identidad, se denota como
A−1 :
A −1 ⋅ A = A ⋅ A −1 = I
esto se cumple siempre y cuando
det ( A) ≠ 0 .
La matriz inversa se obtiene en su forma clásica, de la siguiente manera:
18
A11
A21
1
1
A−1 =
⋅ Adj A =
det ( A)
det ( A) M
An1
A12 L A1n
A22 L A2 n
M
M
M
An 2 L Ann
El procedimiento para obtener la matriz inversa de una matriz A por el método de la adjunta es el
siguiente:
det ( A) ≠ 0 entonces tiene matriz inversa (en caso contrario se
•
Se calcula el determinante de A . Si
dice que es una matriz singular)
•
Se obtiene la transpuesta de A , es decir,
•
Se calcula la matriz de cofactores de
•
Se forma el producto
AT
AT , dando lugar a la matriz adjunta de A , esto es, Adj A
1
⋅ Adj A .
det ( A)
Ejemplo.
Obtener la matriz inversa de:
− 2 − 1
A=
4 
 3
Solución.
det ( A) =
− 2 −1
3
4
= −8 − (− 3) = −5
− 2 3
AT = 

 − 1 4
1 
4
Adj A = 

− 3 − 2
 4
4
1
− 5


1
1
A−1 =
⋅ Adj A =
=

−5
− 5 − 3 − 2  3
 5
1
− 
5
2 

5 
Comprobación:
 4
−
2
−
1
− 5


−1
A⋅ A = 

4   3
3
 5
1 0 
=
=I
0 1
1  8 3
−  
−
5 =
5 5
2   12 12
 − +
5
5   5
2 2 
−
5 5 
3 8
− + 
5 5
Ejemplo.
19
 2 − 1 0
A = − 5 1 2
 4 − 3 6
Solución.
det ( A) = 12 + 0 − 8 − 0 − 30 + 12 = −14
 2 −5 4 
T
A = − 1 1 − 3
 0
2
6 
 1 −3

 2 6
 −5 4
Adj A = −
 2 6
 −5 4
 1 −3

−
−1 − 3
0
6
2 4
0 6
2
4
−
−1 − 3
−1 1 

0 2 
12 6 − 2
2 −5 
−
= 38 12 − 4

0 2 
11 2 − 3
2 −5  
− 1 1 
 12
−
12 6 − 2  14
1
1 
38
A −1 =
⋅ Adj A =
38 12 − 4 = −

− 14
− 14
14
11 2 − 3  11
−
 14
6
2
14 14 
12 4 
−

14 14 
2
3
−
14 14 
−
Comprobación:
6
2
 12
−
−

14 14 
 2 − 1 0  14
38
12 4 
A ⋅ A −1 = − 5 1 2 −
−

14
14 14 

 4 − 3 6  11
2 3
−
−
 14
14 14 
12 12
 24 38
− + +0
 − 14 + 14 + 0
14 14
 60 38 22
30 12 4
=
−
−
− −
14 14 14
 14 14 14
− 48 + 114 − 66 − 24 + 36 − 12
 14 14 14
14 14 14
1 0 0 
= 0 1 0 = I
0 0 1
4
4

− +0 
14 14
10 4
6
− + + 
14 14 14 
8 12 18 
− +
14 14 14 
La inversa de una matriz diagonal se obtiene invirtiendo sus términos, esto es, si:
20
a11
0
A=
 M

0





L ann  n×n
0 L
a22 L
M
M
0
0
0
M
 1
a
 11
 0
⇒
 M

 0

0
1
a22
M
0

0 

L 0 

M
M 
1 
L

ann 
L
La inversa de un producto de matrices se obtiene de la siguiente regla:
( A ⋅ B )−1 = B −1 ⋅ A −1
V.5.2 MATRIZ INVERSA POR TRANSFORMACIONES ELEMENTALES
El método se basa en agregar a la matriz original una matriz identidad del mismo orden. El objetivo de
este método es producir ceros y unos en el lado de la matriz original, los unos deben estar alojados en la
diagonal principal, y los ceros fuera de la diagonal principal, cuando se termine el proceso, la matriz que
resulta del lado donde se añadió la matriz unitaria, será la matriz inversa.
Ejemplo.
 3 − 2
A=

− 5 4 
Solución.
Se agrega una matriz unitaria de segundo orden:
 3 − 2 1 0
A=

− 5 4 0 1
dividiendo entre 3 el primer renglón:

2 1 
1 −
0

A=
3
3
 − 5 4 0 1


multiplicando por 5 el primer renglón y sumando al segundo:


2 1
1 − 3 3 0
A=

2 5
0
1


3 3
2
dividiendo entre
el segundo renglón:
3
1


1 − 2 3 0 
A=
3 5 3
0 1


2 2
21
multiplicando por
1 0 2
5
A=
0 1 2
2
el segundo renglón y sumando al primero:
3
1
3
2 
por lo tanto:
2
A−1 =  5
 2
1
3
2 
Comprobación:
 3 − 2  2
A ⋅ A−1 = 
 5
− 5 4   2
1 0 
=
=I
0 1 
1  6 − 5
3−3 
3 = 
− 10 + 10 − 5 + 6
2  
Ejemplo.
 7 9 − 6
A =  3 2 5 
15 10 8 
Solución.
Se agrega una matriz unitaria de tercer orden:
 7 9 − 6 1 0 0


A= 3 2
5 0 1 0
15 10 8 0 0 1
dividiendo entre 7 el primer renglón:


9
6 1
 1 7 − 7 7 0 0
A= 3 2
5 0 1 0


15 10 8 0 0 1 


multiplicando por − 3 el primer renglón y sumando al segundo:


9
6 1
−
0 0
1
7
7 7


13 53
3

A= 0 −
−
1 0
7
7
7


8
0 0 1
15 10




multiplicando por − 15 el primer renglón y sumando al tercero:
22


9
6 1
−
0 0
1
7
7 7


13 53
3

A= 0 −
−
1 0
7
7
7


65 146 15


−
0 1
0 − 7
7
7


13
dividiendo entre −
el segundo renglón:
7


9
6
1
−
0
0
1
7
7
7


53 3
7
A = 0
1
−
−
0
13 13
13 

65 146
15


−
0
1
0 − 7
7
7


9
multiplicando por −
el segundo renglón y sumando al primero:
7


399
14 63
0
−
0
1
91
91 91


53 3
7
A = 0
1
−
−
0
13 13
13 

65 146
15


−
0
1
0 − 7
7
7


65
multiplicando por
el segundo renglón y sumando al tercero:
7


399 14 63
1 0 91 − 91 91 0


53 3
7
A = 0 1 −
−
0
13 13
13


65 
0 0 − 17
0
−
1

13


dividiendo entre − 17 el tercer renglón:


399
14 63
0 
1 0 91 − 91 91


53 3
7
A = 0 1 −
−
0 
13 13
13


1
5
1
0 0
0
− 

17
17 

399
multiplicando por −
el tercer renglón y sumando al primero:
91
23
14
132 57 

−
−
1 0
0
91
221 221 


53 3
7
−
0 
A = 0 1 −
13 13
13


1
5
1
0 0
0
− 

17
17 
53
multiplicando por
el tercer renglón y sumando al segundo:
13
14
132
57 

1 0 0 − 91 − 221 221 

3
146
53 

A = 0 1 0
−
13
221
221

5
1 
0 0 1 0
−

17
17 
por lo tanto:
132
57 
 14
− 91 − 221 221 
 3
146
53 

A −1 = 
−
221
221
 13
5
1 
 0
−

17
17 
Comprobación:
132
57 
 14
−
−

221 221 
 7 9 − 6  91
3
146
53 

−
A ⋅ A −1 =  3 2
5  
221
221
 13
5
1 
15 10 8  
0
−

17
17 
924 1314 30
 98 27
 − 91 + 13 + 0 − 221 + 221 − 17
 42 6
396 292 25
= −
+ +0
−
+
+
221 221 17
 91 13
− 210 + 30 + 0 − 1980 + 1460 + 40
 91 13
221 221 17
1 0 0 
= 0 1 0 = I
0 0 1
399 477 6 
−
+
221 221 17 
171 106 5 
−
− 
221 221 17 
855 530 8 
−
−
221 221 17 
24
V.6 SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Muchos problemas de la vida real obligan a resolver simultáneamente varias ecuaciones lineales para
hallar las soluciones comunes a todas ellas. También resultan muy útiles en geometría (las ecuaciones
lineales se interpretan como rectas y planos, y resolver un sistema equivale a estudiar la posición relativa
de estas figuras geométricas en el plano o en el espacio).
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales que se puede escribir de forma
tradicional así :
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + K + a2 n xn = b2 

K
L
L
K 
am1 xn + am 2 x2 + K + amn xn = bm 
Un sistema así expresado tiene
m ecuaciones y n incógnitas, donde aij son los coeficientes reales del
sistema, los valores bm son los términos independientes del sistema y las incógnitas xi
son las
variables del sistema. La solución del sistema es un conjunto ordenado de números reales s1 , s 2 , L , sn
tales que al sustituir en las incógnitas satisfacen a la vez las
m ecuaciones del sistema.
Este mismo sistema de ecuaciones lineales en notación matricial tiene esta forma :
[A] ⋅ [x] = [B]
 a11
a
 21
L

am1
a12
a22
L
am 2
L a1n   x1   b1 
L a2 n   x2   b2 
=
L L  K K 
   
L amn   xn  bm 
donde:
A es una matriz de coeficientes
[ ]
[B] es un vector de constantes
[x] es un vector de incógnitas
V.6.1 MÉTODO DE LA MATRIZ INVERSA
Sea la ecuación matricial:
[A] ⋅ [x] = [B] que denota un sistema de ecuaciones lineales.
[x] , premultiplicando [A] por su inversa, y para no alterar el
resultado, también se premultiplica [B ] por la inversa de [ A] :
Esta ecuación puede ser resuelta para
[A]−1 ⋅ [A] ⋅ [x ] = [A]−1 ⋅ [B ] , esto es:
25
[x ] = [A]−1 ⋅ [B ]
Ejemplos.
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
1)
3x1 + 4 x2 = 15

2 x1 + x2 = 5 
Solución.
 3 4
A=

2 1
3 4
det ( A) =
= 3 − 8 = −5
2 1
3 2
AT = 

4 1 
 1 − 4
Adj A = 

− 2 3 
 1 4 
−
1
4
− 5 5 


1
1
⋅ Adj A =
A−1 =
=


−5
− 5 − 2 3   2 − 3 
5
 5
 1 4 
− 3 + 4 1
−
 15
−1
[x] = [A] ⋅ [B] =  25 53    = 
 = 3
5
6
−
3



  

− 
5
 5
∴ x1 = 1; x2 = 3
x + 4 y + 5 z = 11 

2) 3 x − 2 y + z = 5 
4 x + y − 3z = −26
Solución.
5
1 4

A = 3 − 2 1 
4 1 − 3
det ( A) = 6 + 15 + 16 + 40 + 36 − 1 = 112
4
1 3

T
A = 4 − 2 1 
5 1 − 3
26
− 2

 1
 3
Adj A =  −
 1
 3
 −2

1
−3
4
−3
4
1
−
4
1
5 −3
1 4
5 −3
1 4
−
4 1
4 − 2

5 1 
14 
 5 17
1 3 
−
= 13 − 23 14 
5 1  
11 15 − 14
1 3  
4 − 2 
17
14 
 5

112 112
112 
14 
 5 17

1
1 
14 
 =  13 − 23
13
23
14
A −1 =
⋅ Adj A =
−

 112
112
112 
112 112 
11 15 − 14  11
15
− 14 
112 112
112 
17
14 
85 364   − 224 
 5
 55
+
−
112 112


112  11 
112 112 112   112  − 2

 



[x] = [A]−1 ⋅ [B ] =  13 − 23 14   5  = 143 − 115 − 364  = − 336  =  − 3
112 112 
112
112 112 112   112 
15
− 14  − 26  121 75 364   560   5 
 11
+
+
112 112
112 112 112   112 
112 
∴ x = −2; y = −3; z = 5
V.6.2 MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS
Dado un sistema de m ecuaciones con n incógnitas el método de eliminación de Gauss consiste en
obtener un sistema equivalente cuya primera ecuación tenga n incógnitas, la segunda n − 1 , la
tercera n − 2 , y así sucesivamente hasta llegar a la última ecuación, que tendrá una sola incógnita.
Hecho esto, se resuelve la última ecuación, a continuación la penúltima, y así hasta llegar a la primera.
Es decir, el método de Gauss consiste en triangular la matriz de coeficientes.
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + L + a1n xn = b1 

a 22 x2 + a 23 x3 + K + a 2 n xn = b2 

a33 x3 + L + a3 n xn = b3 

L
K

a mn xn = bm 
Esto significa que se deben eliminar
y
x1 en la segunda ecuación, x1 y x2 en la tercera ecuación, x1 , x2
x3 en la tercera ecuación, etc. Finalmente en la última ecuación, se deben eliminar todos los
coeficientes excepto el de la variable
xn . Una vez que se modificaron todas las ecuaciones, la solución
es completada por sustitución desde la última ecuación hacia las anteriores.
Ejemplos.
27
1)
5 x + 2 y = 16

4 x + 3 y = 10 
_ (1)
_ (2 )
Solución.
multiplicando la ecuación
x+
1
:
5
_ (1')
2
16
y=
5
5
7
14
y=−
5
5
(1) por
(1) por − 4
5
y se suma a la ecuación
(2) :
_ (2')
(2') por
y = −2
5
:
7
(1') y se despeja
conocida y , se sustituye en
x , terminando el proceso:
16 2
16 4 20
− (− 2 ) =
+ =
=4
5 5
5 5 5
∴ x = 4; y = −2
x=
3x1 + 2 x2 + 7 x3 = 4

2) 2 x1 + 3 x2 + x3 = 5 
3x1 + 4 x2 + x3 = 7 
_ (1)
_ (2)
_ (3)
Solución.
Multiplicando la ecuación
x1 +
2
7
4
x 2 + x3 =
3
3
3
(1) por − 2
3
(2) :
_ (2')
5
11
7
x 2 − x3 =
3
3
3
11
7
x3 =
5
5
1
:
3
_ (1')
x2 −
(1) por
(2') por
3
:
5
_ (2' ')
(1) por − 1 y se suma a la ecuación (3) :
(2') por − 6
2 x2 − 6 x3 = 3 _ (3')
−
8
1
x3 =
5
5
5
_ (3' ')
28
(3') :
A fin de apreciar mejor el resultado, se adopta el siguiente orden:
2
7
4
x 2 + x3 =
_ (1')
3
3
3
11
7
x 2 − x3 =
_ (2' ')
5
5
8
1
− x3 =
_ (3' ')
5
5
x1 +
x3 de (3' ') para obtener la solución de esa
5
variable y comenzar la solución hacia atrás, así que se multiplica dicha ecuación por − :
8
1
x3 = −
8
conocida x3 , se sustituye en (2' ') y se despeja x2 :
se observa que se debe convertir en 1 el coeficiente de
x2 =
7 11  1  9
+ −  =
5 5  8 8
estos dos valores se sustituyen en
(1') y se despeja
x1 , terminando el proceso:
4 2 9 7  1 7
−   − −  =
3 3 8 3  8 8
7
9
1
∴ x1 = ; x2 = ; x3 = −
8
8
8
x1 =
V.6.3 REGLA DE CRAMER
La regla de Cramer es aplicable para aquellos sistemas que tienen igual número de ecuaciones que de
incógnitas n = m y el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero. Es decir, para
sistemas de que tienen siempre una solución única (compatibles determinados).
(
)
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 
a21 x1 + a22 x2 + K + a2 n xn = b2 

K
L
L
K
an1 xn + an 2 x2 + K + ann xn = bn 
El valor de cada incógnita x j se obtiene de un cociente cuyo denominador es el determinante de la
matriz de coeficientes y cuyo numerador es el determinante que se obtiene al cambiar la columna
determinante de la matriz de coeficientes por la columna de los términos independientes.
Ejemplos.
1)
3x1 − 4 x2 = 23

5 x1 + 6 x2 = 13 
Solución.
29
j del
∆=
3 −4
5
6
= 18 + 20 = 38
x1 , se sustituyen los términos independientes en la primera columna:
23 − 4
∆x
13 6
138 + 52 190
x1 = 1 =
=
=
=5
∆
∆
38
38
Para calcular x2 , se sustituyen los términos independientes en la segunda columna:
3 23
∆x
5 13 39 − 115 − 76
x2 = 2 =
=
=
= −2
38
38
∆
∆
∴ x1 = 5; x2 = −2
Para calcular
2 x − 3 y + 7 z = 21 

2) 4 x − y + 10 z = 28 
− 6 x − 9 y − 3z = −9
Solución:
2
−3
7
∆ = 4 − 1 10 = 6 − 252 + 180 − 42 − 36 + 180 = 36
−6 −9 −3
x1 , se sustituyen los términos independientes en la primera columna:
21 − 3 7
28 − 1 10
− 9 − 9 − 3 63 − 1764 + 270 − 63 − 252 + 1890 144
∆
x= x =
=
=
=4
∆
∆
36
36
Para calcular y , se sustituyen los términos independientes en la segunda columna:
2 21 7
4 28 10
∆y
− 6 − 9 − 3 − 168 − 252 − 1260 + 1176 + 252 + 180 − 72
y=
=
=
=
= −2
∆
∆
36
36
Para calcular z , se sustituyen los términos independientes en la tercera columna:
2 − 3 21
4 − 1 28
− 6 − 9 − 9 18 − 756 + 504 − 126 − 108 + 504 36
∆
z= z =
=
=
=1
∆
∆
36
36
∴ x = 4; y = −2; z = 1
Para calcular
30

Matrices y determinantes.

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