La representación de la superficie esférica terrestre sobre un mapa

Transcripción

Historia de la cartografía
HISTORIA DE LA CARTOGRAFÍA
INTRODUCCIÓN
MAPAS ANTERIORES AL SIGLO XVIII
COORDENADAS GEOGRÁFICAS. RED DE MERIDIANOS Y PARALELOS DEL MAPA
EL PROBLEMA DE LA DETERMINACIÓN DE LA LONGITUD
LÍNEAS DE RUMBO (LOXODROMOS) SOBRE LA ESFERA
GEODÉSICAS SOBRE LA ESFERA
TIPOS DE PROYECCIONES CONOCIDAS ANTES DEL RENACIMIENTO
PROYECCIONES DE PERSPECTIVA
GNÓMICA
ORTOGRÁFICA
ESTEREOGRÁFICA
PROYECCIONES DE PTLOMEO
PROYECCIÓN RECTANGULAR
PROYECCIÓN DE MERCATOR
BIBLIOGRAFÍA
Curso de formación continua en matemáticas, UAM. 2004-2005
Módulo: Problemas de la matemática clásica
Araceli Gutiérrez Llorente
1
2
INTRODUCCIÓN
La representación de la superficie esférica terrestre sobre un mapa plano
conlleva necesariamente una distorsión en área, forma, escala,...Según la finalidad del
mapa se imponen determinadas condiciones (conservación de ángulos, de áreas,...) lo
cual determina un tipo de proyección.
La elaboración de un mapa supone la localización geográfica de los puntos
terrestres mediante coordenadas geográficas: latitud y longitud. La transformación
matemática o geométrica de esa localización en posiciones sobre un mapa plano está
determinada por el tipo de proyección. Precisamente, la cartografía matemática es el
estudio de las proyecciones para elaborar mapas.
Históricamente uno de los primeros pasos en la elaboración de mapas es
considerar una red de meridianos y paralelos terrestres o líneas de longitud y de latitud,
respectivamente. No obstante, el hecho de que hasta el siglo XVIII la medida de la
longitud geográfica en el mar no fuera precisa no impidió el desarrollo de diferentes
tipos de proyecciones.
Aunque la esfericidad de la tierra se negó durante la Edad Media muchos
científicos y filósofos antiguos aportaron argumentos racionales para apoyar la
afirmación de que la tierra tiene, básicamente, forma de esfera. Por ello, algunos tipos
de proyecciones de una esfera en un plano se conocían desde la época griega. Por
ejemplo, la proyección estereográfica (principalmente utilizada en astronomía), la
proyección gnómica (utilizada para elaborar relojes de sol) y las proyecciones cónicas
de Ptolomeo.
La transición de la Edad Media al Renacimiento supuso un cambio notable en el
concepto de proyección cartográfica. El desarrollo de las matemáticas fue
contemporáneo al desarrollo de la cartografía. Antes del Renacimiento (antes de 1470)
se conocían una docena de proyecciones cartográficas. En los dos siglos siguientes se
desarrollaron o se mejoraron otros diez tipos. La mayoría se desarrollaron con el fin de
reducir la distorsión del mapa, al menos para la región que se proyectaba. Sin embargo,
la proyección de Mercator (1569) presenta características que no presentaban otras
proyecciones. Esta proyección involucra la
∫ secθ dθ
cuya primitiva es ln (tan θ2 + π4 ) .
3
Sin embargo, Mercator desarrolló la proyección que lleva su nombre antes de la
aparición del cálculo diferencial e integral y antes de la aparición de los logaritmos.
Algunas proyecciones importantes, como la proyección estereográfica, pueden
construirse de forma geométrica. Sin embargo, no es posible una construcción
geométrica en otras muchas como la proyección de Mercator. El cálculo fue aplicado
por primera vez en cartografía por Lambert (1772) desarrollando nuevos tipos de
proyecciones. Cuando se aplica a una proyección cartográfica ya existente, el cálculo
diferencial se utiliza para calcular el factor de escala1 en una determinada dirección en
un punto dado lo cual determina la distorsión en ese punto. El calculo integral permite
obtener la expresión matemática para una proyección a partir de una condición en la
distorsión. Una de las preocupaciones de Lambert era encontrar proyecciones que a
escala infinitesimal no tuvieran distorsión en los ángulos, es decir, en un punto dado del
mapa la escala fuera la misma en todas las direcciones. Las proyecciones que presentan
esta propiedad se denominan conformes (u ortomórficas). Gauss resolvió el problema
de la transformación conforme de una superficie en otra en 1825. El tratamiento
matemático riguroso de este concepto se asocia con las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
A finales del siglo XIX los trabajos del matemático francés Tissot culminaron en la
teoría de la distorsión de las proyecciones terrestres2.
1
Podemos imaginar la proyección de la esfera terrestre en el plano en dos fases. En la primera
el globo terrestre se reduce a otra superficie esférica. La razón de semejanza entre los radios de ambas
superficies es la escala principal o nominal. En el segundo paso, el globo reducido se proyecta
matemáticamente sobre el plano. La escala real a la que aparecen las distancias sobre el mapa no
coincidirá, en general, con la escala nominal ya que la superficie de la esfera no es “desarrollable”. Se
define el factor de escala como el cociente entre la escala real y la escala principal. Por tanto, el factor de
escala será 1 a lo largo de aquellas direcciones o en aquellos puntos en los que se haya mantenido la
escala principal. En general, el factor de escala en un punto determinado puede ser diferente según la
dirección.
2
En cada punto de la esfera hay un número infinito de pares de direcciones ortogonales entre sí.
Cuando se transforma en un plano dichos pares no se transforman necesariamente en direcciones
ortogonales. Un teorema formulado por Tissot establece que dada cualquier transformación de la
superficie esférica existe, al menos, un par de direcciones ortogonales que continúan siendo ortogonales
después de la transformación (direcciones principales).
4
MAPAS ANTERIORES AL SIGLO XVIII
Los mapas actuales se basan en la cartografía matemática que se inició en
Grecia. Se atribuye a Tales de Mileto (siglo VII-VI a.C) la idea de la esfericidad de la
tierra. A comienzos del siglo IV a.C Pitágoras apoya esta afirmación con razonamientos
astronómicos y matemáticos. Aristóteles (siglo IV a.C) apunta, también, seis
argumentos físicos y lógicos que apoyan la idea de que la Tierra tiene forma de esfera..
Eratóstenes de Cirene (276-194 aC) fue el primero en medir el meridiano
terrestre comparando la inclinación de los rayos solares en Alejandría y Siena (Assuán)
durante el solsticio de verano. Su medida de 39500 km resulta muy aproximada a los
40000 km que mide. Sin embargo, Posidonio de Rodas (135-50 aC) creyó encontrar un
error en el cálculo de Eratóstenes y redujo éste a 28400 Km. El resultado de Posidonio
pasó a los geógrafos posteriores y llegó incluso hasta el siglo XV. La Figura 1 muestra
una recreación del mapa de Eratóstenes (siglo III a.C). En el extremo norte figura la isla
de Thule3 que aparecerá frecuentemente en la cartografía hasta la Edad Media y que ha
sido identificada con Islandia y con las costas de Noruega.
Figura 1: Mapa de Eratóstenes
Hiparco de Rodas (190-125 aC) introdujo en Grecia el sistema sexagesimal
babilónico y realizó un gran catálogo de estrellas, fundamental en la navegación para
marcar los rumbos.
3
En el año 330 a.C Pitias parte de Marsella con el objetivo de determinar las latitudes de
regiones remotas. En la descripción de sus viajes menciona el territorio de Thule.
5
La obra que más influencia ejerció en la cartografía islámica y renacentista
europea fue la Geografía de Ptolomeo (siglo I dC). Esta obra consta de ocho
volúmenes: el primero está dedicado a la construcción de globos terrestres; los tomos II
a VII detallan las coordenadas geográficas de 8000 lugares; en el VIII expone dos tipos
de proyecciones cartográficas que consideraremos más abajo.
La cultura árabe se convirtió durante la Edad Media en la continuadora del
desarrollo científico interrumpido en Europa. La recuperación en Occidente, a partir del
siglo XV, de la obra de Ptolomeo fue posible gracias a la traducción árabe que se había
conservado. Hacia el siglo XII o XIII comenzaron a aparecer en Constantinopla las
primeras traducciones griegas de la Geografía de Ptolomeo, que no se traduciría al latín
hasta comienzos del siglo XV. La Figura 2 muestra un mapamundi del siglo XII o XIII
de Ptolomeo realizado según una proyección que en la actualidad clasificaríamos como
cónica. A partir del siglo XV aparecieron nuevos mapas (tabulae novae) basados en la
obra de Ptolomeo en los que se añaden nuevos territorios. La Figura 3 muestra la
versión que realizó Nicolò Germano de la tabula nova realizada por el geógrafo danés
Clavus hacia 1424 y que apareció en Ulm en 1482. En este mapa, realizado según el
segundo tipo de proyección de Ptolomeo, se ha añadido la península de Escandinavia.
Figura 2: Mapa de Ptolomeo (según la primera de sus proyecciones “pseudocónica”) en una
edición del siglo XV.
6
Figura 3: Mapa ptolomeico (según la segunda de sus proyecciones). Edición de Ulm de 1482
El retroceso cultural que se produjo en Europa durante la Edad Media supuso
que la Tierra volviese a considerarse un disco flotando en el océano. Desaparece el
sistema de localización por coordenadas geográficas (meridianos y paralelos). La
geografía matemática se sustituye por ciertas expresiones de la Biblia que inducen a
pensar en una Tierra plana con Jerusalén en el centro. Aparece un mapamundi circular o
mapa de “T en O” que representa el mundo como un disco rodeado por un océano
circular (la “O”) y dividido en tres partes en forma de “T” (Figura 4).
Figura 4: Mapa medieval de “T en O” que aparece en la obra “Etimologías” de Isidoro de
Sevilla (560-636).
7
Los mapas eclesiásticos medievales no tenían ninguna utilidad en la navegación.
A partir de la introducción de la brújula en el Mediterráneo (siglo XIII) aparecen las
cartas portulanas o “portulanos” elaborados, en principio, por navegantes genoveses. En
estas cartas náuticas no se utilizaba un esquema de coordenadas, tan sólo detallaban los
puertos, cabos y peligros para la navegación. Aparecen las líneas de rumbo o rosa de los
vientos junto con ciertas particularidades históricas o comerciales representadas
mediante imágenes. Las dos grandes escuelas de trazado de portulanos fueron la italiana
y la mallorquina. El primer portulano importante de ésta última escuela es el de
Angelino Dulcert, realizado en Mallorca en 1339 que representa Europa y el litoral del
norte de África (Figura 5). La obra maestra de los mapas portulanos data
aproximadamente de 1375 y fue realizado por el judío mallorquín Abraham Cresques
(Figura 6)4.
Figura 5: Carta portulana elaborada por Angelino Dulcert, Mallorca 1339. Es el primer
portulano conocido elaborado en Mallorca. Como en otros portulanos catalanes, la cadena
montañosa Atlas se representa con forma de pata de gallo, los Alpes en forma de T y los montes
de Bohême en forma de herradura.
4
Se conoce habitualmente como “Atlas Catalán”.
8
Figura 6: Fragmento del mapa portulano realizado por Abraham Cresques en 1375.
Entre 1405 y 1410 Jacobus Angelus tradujo al latín la Geografía de Ptolomeo
que había sido conservada por los científicos árabes. Así, se revitalizó el concepto de la
esfericidad de la Tierra y se introdujo en los mapas la graduación por medio de
coordenadas. Durante la segunda mitad del siglo XV los navegantes portugueses,
españoles, franceses, ingleses e italianos revelan la existencia de nuevos territorios que
irán incluyéndose en los mapas de la época.
Los cartógrafos fundamentales del siglo XVI ya no son navegantes sino que han
recibido formación matemática. La proyección con más influencia en el desarrollo
posterior de la cartografía fue la propuesta por Mercator en 1569 (Figura 7), que había
trabajado con el astrónomo y cartógrafo G. Frisius. Más abajo consideraremos en detalle
esta proyección.
9
Figura 7: Mapa de G. Mercator (1569) elaborado según la proyección que llevaría su
nombre a partir de entonces
Figura 8: Mapamundi (Typus orbis Terrarum) de A. Ortelius publicado en 1570
en la colección de mapas (Theatrum Orbis Terrarum).
A. Ortelius publica en 1570 una colección de mapas (Theatrum Orbis Terrarum)
que se considera el primer atlas, es decir, la primera publicación que reúne una
colección de mapas de tamaño manejable. Entre ellos figura el mapamundi que se
10
muestra en la Figura 8, Typus Orbis Terrarum. En él utilizó una proyección oval5
siendo el meridiano central 15ºO. Los polos se representan como rectas cuya longitud es
la mitad que la del ecuador. Los paralelos son rectas horizontales equiespaciadas y los
meridianos son arcos circulares equiespaciados en el ecuador. Los meridianos de
longitud mayor de 90º con respecto al meridiano central se representan como
semicírculos de igual radio; y, los meridianos de longitud menor de 90º con respecto al
meridiano central, como arcos circulares que pasan por los extremos del meridiano
central y son equidistantes en el ecuador.
A partir de Mercator y Ortelius Holanda se convirtió en un centro de
publicaciones cartográficas de gran calidad pero que tenían un fin comercial y no
científico.
Durante el siglo XVII se produjo un gran desarrollo científico y técnico (por
ejemplo, el proceso de triangulación desarrollado por G. Frisius y T. Brahe): hacia 1615
en Inglaterra e Italia se realizaron las primeras medidas por triangulación, en 1669 Jean
Dominique Cassini y Jean Picard completaron el mapa topográfico de Francia. Los
trabajos cartográficos van a desarrollarse a partir de entonces en las academias de
ciencia. Los cartógrafos franceses del siglo XVIII eran científicos que trabajaban para la
Academia de Ciencias y cuya misión, por tanto, era mejorar desde un punto de vista
científico los mapas existentes (Figura 9).
Figura 9: Mapa realizado en 1693 por La Hire que aparece en la Memoria de la Academia de
Ciencias Francesa de 1729
5
Este tipo de proyección fue raramente utilizada después de 1600 aunque algunas proyecciones
modernas pseudocilíndricas son similares. Por ejemplo, la proyección Eckert III en la que los meridianos
se representan como elipses.
11
En 1720 Picard y Jacques Cassini completaron la medida del arco de meridiano
entre Paris y Amiens. En 1735 una nueva expedición midió el arco de meridiano entre
Perú y Laponia y confirmó las predicciones de Newton de que la tierra tiene forma
esférica achatada por los polos. A partir de entonces se añadía una complicación más
para proyectar la superficie terrestre sobre un plano.
COORDENADAS GEOGRÁFICAS
RED DE MERIDIANOS Y PARALELOS DEL MAPA
Eratóstenes (ca. 275-194 a.C) fue el primero en diseñar un sistema similar a los
meridianos y paralelos que utilizamos en la actualidad. Eratóstenes eligió el paralelo
que pasa por Rhodas como origen de latitudes (con respecto al Ecuador su localización
es 36º N) ya que esta línea dividía el mundo conocido en dos mitades iguales. Hiparco
(aprox. 150 a.C. ) consideró que la retícula diseñada por Eratóstenes estaba determinada
de forma arbitraria. Sugirió que esta retícula debía diseñarse según un criterio
astronómico. Ptolomeo (140 d.C) tomó el cero de latitudes en el ecuador y el cero de
longitudes (cuya ubicación no sigue ningún criterio científico) en las llamadas Islas
Afortunadas (Islas Canarias). Para establecer la correspondencia adecuada entre grados
de longitud y distancias es necesario conocer el radio de la Tierra. Ptolomeo no utilizó
la estimación de Eratóstenes (que es bastante precisa) sino la que realizó Posidonius
(100 d.C) que tiene bastante error. Por ello, la extensión en longitud del Mar
Mediterráneo es de 62º y no de 42º como debería ser.
La latitud de un punto de la superficie terrestre es el ángulo formado por la
normal a la superficie terrestre y el plano que pasa por el ecuador. La longitud de un
punto es el ángulo diedro formado por el plano que contiene el meridiano del punto
dado y el meridiano que se toma como origen. Las líneas de latitud constante se
denominan paralelos. Los puntos de la misma longitud forman las líneas de longitud o
meridianos.
La representación de los meridianos y paralelos en un mapa se denomina red de
líneas de latitud y longitud del mapa. La forma de esta red dependerá de las ecuaciones
matemáticas de la proyección utilizada. Precisamente, la primera característica del mapa
que puede ayudarnos a identificar el tipo de proyección es el aspecto de la red de
paralelos y meridianos: si los meridianos y paralelos se representan como rectas o no, si
es una red ortogonal, simétrica, cómo se representan los polos, cuál es la separación de
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paralelos a lo largo del meridiano central y entre los meridianos a lo largo del ecuador o
meridiano central.
EL PROBLEMA DE LA DETERMINACIÓN DE LA LONGITUD EN LA NAVEGACIÓN
Para poder elaborar un mapa es necesario conocer con precisión las coordenadas
geográficas (latitud y longitud) de los territorios que se representan. El procedimiento
para la determinación de la latitud no planteaba dificultades y era conocido por los
griegos. Se hacía a partir de la altitud del sol o a partir del ángulo entre el horizonte y la
estrella polar. Sin embargo, para averiguar la longitud en el mar hay que saber qué hora
es en el barco y en otro lugar de longitud conocida en ese mismo instante y convertir la
diferencia horaria en separación geográfica. Como la tierra gira 360º en 24 horas, cada
hora de diferencia supondrá una diferencia en longitud de 15º. Además, esos 15º no
corresponden a la misma distancia en el Ecuador que al norte o al sur de esta latitud.
Los primeros astrónomos medían diferencias de tiempo (es decir, diferencias de
longitud geográfica) por medio de los eclipses de la luna. Sin embargo, los eclipses no
se producían con suficiente frecuencia como para convertirse en un sistema de
determinación de longitudes en la navegación. Otro método (propuesto en el siglo XVI)
se conocía como método de la distancia lunar. Se basa en que luna recorre cada hora
una distancia aproximadamente igual a su diámetro. Por la noche se puede estudiar su
posición respecto a ciertas estrellas fijas. Además, durante la mitad de cada mes la luna
es visible por el día y se puede observar si se acerca o se aleja del Sol. Galileo propuso
medir la longitud geográfica a partir las observaciones de las lunas de Júpiter. Elaboró
tablas en las que predecía los eclipses de cada satélite y consideraba que sus
movimientos eran absolutamente predecibles.
No obstante, el método que se acabaría imponiendo no requería la observación
astronómica. Se trataba de fabricar un reloj que a bordo de un barco funcionara con
suficiente exactitud como para medir diferencias horarias con precisión y convertirlas
en diferencias de longitud respecto a un punto de longitud cero arbitrariamente elegido.
Objetivamente, el obstáculo fundamental para la aplicación de este método era de
carácter técnico. Los relojes que existían a principios del siglo XVIII no soportaban las
diferencias de humedad y de temperatura en alta mar ni los movimientos del barco. En
1730 John Harrison terminó de elaborar el H-1, un reloj que podía medir el tiempo con
suficiente precisión a bordo de un barco. No obstante, H1 sería sucesivamente mejorado
por H2, H3 y H4. Hacia la década de 1780 los diarios de navegación empiezan a
mostrar referencias diarias de cálculos de longitud por medio de relojes. En pruebas de
13
comparación los cronómetros mostraban una precisión y una facilidad de uso mayores
que las tablas de distancia lunar que se había convertido en el método rival de éste.
Hacia 1910 los gobiernos de Estados Unidos, Inglaterra y Francia tomaron la decisión
de dejar de publicar las tablas de las distancias lunares que, desde la utilización
generalizada del cronómetro, habían dejado de utilizarse para determinar la longitud.
Hacia 1940 se comenzaron a utilizar señales de radio para determinar la posición
de los barcos (sistema LORAN6, Long Range Navigation). En la década de 1970 se
introdujo el uso de satélites. Los primeros sistemas que utilizaban satélites para
establecer la posición estaban basados en el efecto Doppler. En la actualidad se utiliza el
GPS (Global Positioning System) 7.
LÍNEAS DE RUMBO SOBRE LA ESFERA
Una línea de rumbo o loxodroma (loxos= oblicuo, dromo= camino) es una curva
que forma con cada meridiano un ángulo constante, α. En navegación es muy utilizada
porque corresponde a la trayectoria marcada por una posición constante en la brújula.
Sobre el globo terrestre es una espiral que tiene el polo como punto asintótico ya que la
distancia entre dos puntos de esta curva que están sobre el mismo meridiano disminuye
a medida que la latitud aumenta desde el ecuador al polo (Figura 10). Para determinar
una línea de rumbo necesitamos conocer un punto por el que pasa y el ángulo α . Esta
curva fue estudiada por Pedro Nunes (Nuñez) en 1535, matemático admirado por
Mercator. Precisamente, un globo terrestre fabricado por Mercator unos años después,
en 1541, fue el primero que mostraba líneas de rumbo. El estudio de esta curva fue
fundamental para demostrar que sobre un mapa en el que la red de paralelos y
meridianos es cuadrada la representación de un línea de rumbo constante no es una
recta.
6
El sistema Loran utiliza estaciones situadas en puntos conocidos A, B y C que emiten una señal
simultáneamente. Un barco registra el tiempo que pasa entre las señalas recibidas de las estaciones A y B
y determina su posición en una hipérbola que es la curva de diferencias de tiempo constante. Para
determinar su posición exacta en dicha hipérbola necesita una tercera estación. Determina entonces una
segunda hipérbola a partir de las señales de las estaciones B y C. El punto de intersección de ambas
hipérbolas le permite determinar su posición exacta después de realizar algunas correcciones para tener en
cuenta la forma de la tierra.
7
En el artículo de R. B Thompson publicado en Mathematics Magazine 71(4), 1998 se presenta
una descripción matemática del funcionamiento de los receptores de GPS.
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Figura 10: Representación de una línea de rmbo (o loxodromo) sobre una esfera
Consideramos sobre una esfera (de radio 1) los puntos A (φ ,θ ) y B (φ + dφ , θ + dθ ) que
pertenecen a una línea de rumbo que forma un ángulo α con los meridianos. Un
segmento infinitesimal de paralelo dl p puede expresarse como:
dl p = dθ ⋅ tan α
dl p = cosθ ⋅ dφ
por tanto, combinando esas dos expresiones obtenemos la ecuación diferencial de la
línea de rumbo en coordenadas esféricas:
dθ
1
=
dφ
cosθ tan α
Como es una ecuación diferencial de variables separables, integrando a ambos lados
1
∫ secφ dφ = tan α ∫ dθ
 θ π 
⇒ φ = tan α ⋅ ln tan +   + C (I)
  2 4 
 θ π 
La función ln tan +   puede expresarse también como:
  2 4 
 θ π 
ln tan +   = arg senh (tan θ ) = arg tanh (senθ ) = arg cosh (secθ ) (II)
  2 4 
15
Entonces, tomando C = 0 en (I) podemos escribir:
 φ 
φ = tan α ⋅ arg tanh (senθ ) ⇒ senθ = tanh
 (III)
 tan α 
φ = tan α ⋅ arg cosh (secθ ) ⇒ cosθ =
1
 φ 
cosh

 tan α 
(IV)
A partir de las expresiones (III) y (IV) podemos obtener la ecuación del loxodromo en
paramétricas ( f x (φ ), f y (φ ), f z (φ ) ) :
f x (φ ) =
cosφ
 φ 
cosh

 tan α 
f y (φ ) =
senφ
 φ 
cosh

 tan α 
 φ 
f z (φ ) = tanh
 (V)
 tan α 
Para obtener el valor del ángulo α que forma la línea de rumbo que une los puntos
A1 (φ1 , θ 1 ) y A2 (φ 2 , θ 2 ) con los meridianos integramos la ecuación diferencial entre A1
y A2 :
tan α =
φ 2 − φ1
(VI)
  θ1 π  
 θ2 π 
ln tan +   − ln tan +  
  2 4 
  2 4 
La distancia recorrida entre esos dos puntos al seguir la línea de rumbo está dada por:
A1 A2
l . rumbo
=
R
θ 2 − θ1
cosα
donde R es el radio terrestre (que en las expresiones anteriores habíamos considerado
igual a 1).
GEODÉSICAS SOBRE LA ESFERA
La curva más corta que conecta dos puntos en un espacio es una geodésica. El
camino más corto entre dos puntos sobre una esfera es un arco de circunferencia
máxima, que es la intersección entre la esfera y un plano que pasa por el centro de la
esfera.
16
Un triángulo geodésico (Figura 11) es un triángulo en el que los tres vértices
están conectados por geodésicas. Un triángulo esférico es un triángulo geodésico sobre
la superficie de una esfera. Sea ∆ ABC un triángulo esférico con lado a opuesto al
vértice A , lado b opuesto al vértice B y lado c opuesto al vértice C sobre una esfera
con centro en O . Este triángulo ∆ ABC tiene seis ángulos: tres ángulos de arco a , b ,
c y tres ángulos de vértice A , B , C :
B
B
c
A
a
A
O
b
C
C
ángulos de vértice de ∆ABC
ángulos de arco de ∆ABC
Figura 11: Triángulo geodésico en geometría esférica.
Vamos a calcular la longitud del camino más corto entre dos puntos de la
superficie esférica (camino ortodrómico).
En geometría esférica se cumple la siguiente relación (ley de cosenos para los
lados)
cos b = cos a cos c + sen a sen c cos B
En la Figura 11suponemos que B es el polo de la esfera. Los ángulos a, c y A se
relacionan con la latitud y longitud de los puntos A y C de la siguiente forma:
a=
π
− λC
2
c=
π
− λA
2
B = φC − φ A
17
Por tanto,
cos b = sen λC sen λ A + cos λC cos λ A cos (φ C − φ A )
Entonces, la distancia entre A y C siguiendo la trayectoria geodésica está dada por
AC
geod
= R ⋅ arccos b = R ⋅ arccos (sen λC sen λ A + cos λC cos λ A cos (φ C − φ A ) )
TIPOS DE PROYECCIONES CONOCIDAS ANTES DEL RENACIMIENTO
Existen tres tipos de superficies que pueden transformarse en un plano sin
distorsión y que se denominan superficies desarrollables8: el cono, el cilindro y el
propio plano. Desde el último tercio del siglo XIX, según el tipo de superficie
desarrollable que se utiliza para proyectar la esfera, se habla de proyecciones cónicas,
cilíndricas y azimutales (Figura 12).
Cilíndrica regular
Cónica regular
Cilíndrica transversal
Azimutal polar
Cilíndrica oblicua
Azimutal oblicua
Las proyecciones cartográficas más
antiguas son las denominadas azimutales. En
este tipo de proyecciones todas las direcciones
desde el centro de proyección son correctas. Por
tanto, una trayectoria que sigue un círculo
máximo desde el centro de proyección hasta
cualquier otro punto se muestra como una línea
recta. Si el punto de tangencia está en uno de los
polos de la esfera se dice que la proyección tiene
un aspecto polar o normal. En este caso, las
líneas de latitud son círculos concéntricos y los
meridianos son radios equiespaciados. Si el
plano es tangente a algún punto del ecuador se
dice que presenta un aspecto ecuatorial o
meridional.
Figura 12
8
Superficie reglada tal que el plano tangente es el mismo en todo punto de la generatriz.
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PROYECCIONES AZIMUTALES
Hay tres tipos de proyecciones azimutales que son proyecciones de perspectiva:
ortográfica, estereográfica y gnómica. Éstas son proyecciones en el sentido geométrico:
los puntos de la esfera se proyectan sobre el plano tangente mediante líneas rectas que
pasan por un punto fijo. Eran conocidas por los astrónomos egipcios y griegos.
PROYECCIÓN ORTOGRÁFICA
La proyección ortográfica se utilizó raramente para
elaborar mapas geográficos. Un hemisferio se proyecta sobre
el plano a una distancia infinita. La Figura 13 muestra el
esquema de este tipo de proyección cuando el plano de
proyección es tangente al polo terrestre Todos los meridianos
y paralelos aparecen como elipses, circunferencias o rectas.
Hiparco utilizó esta proyección en el siglo II a.C para
Figura 13
representar medidas astronómicas. En la actualidad se utiliza
para representar el aspecto de la tierra desde el espacio exterior pero no para elaborar
mapas ya que la distorsión cerca de los bordes es muy grande.
PROYECCIÓN GNÓMICA
En la proyección gnómica el centro de proyección es el centro de la esfera y el
plano tangente (Figura 14) se denominaba horologium u horoscopo por su relación con
los relojes de sol. Tales de Mileto (siglo VI a.C) utilizaba este tipo de proyección en su
aspecto oblicuo. Los ángulos entre las marcas de un reloj de sol diseñado para una
latitud particular son los ángulos que forman los meridianos en una proyección gnómica
en la que el punto de tangencia del plano y la esfera tiene dicha latitud, y señalando cada
15º de longitud a partir del meridiano tangente como una hora.
Figura 14: Diagrama de la proyección gnómica
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En un mapa construido según la proyección gnómica una línea recta corresponde
a un círculo máximo o geodésica de la esfera. Si el punto de tangencia es uno de los
polos los meridianos se proyectan como líneas rectas radiales desde el punto de
tangencia y los paralelos como circunferencias concéntricas cuyo centro común es el
punto de tangencia. Si el plano de proyección es tangente a la esfera en un punto
distinto del polo los meridianos se proyectan como líneas rectas que radian desde el
punto donde el eje de la tierra interseca al plano de proyección y los paralelos se
proyectan como cónicas.
La mayor ventaja de la proyección gnómica es que todas las geodésicas se
muestran como líneas rectas (y no solo aquellas que pasan por el punto de tangencia,
como ocurre en otras proyecciones azimutales). La proyección gnómica fue raramente
utilizada para elaborar mapas antes de 1600. Kepler la utilizó en una carta celeste de
1606.
PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA
Es la primera proyección conforme conocida (E. Halley lo demostró en 1695).
En la proyección estereográfica el centro de proyección es el punto opuesto al punto de
tangencia (Figura 15). En este tipo de proyección todos los meridianos, paralelos y
geodésicas se proyectan como circunferencias excepto aquellos meridianos y geodésicas
que pasan a través del punto de tangencia que se proyectan como rectas. En el aspecto
polar los paralelos son circunferencias concéntricas y los meridianos sus radios. La
separación entre paralelos aumenta al
alejarse del polo.
Figura 15
Figura 16
En la antigüedad Hiparco y Ptolomeo utilizaron este tipo de proyección en su
aspecto polar para elaborar cartas celestes. El aspecto oblicuo fue utilizado por Theon
de Alejandría (siglo IV a.C). El astrónomo árabe Azarquiel de Toledo en el siglo XI
utilizó el aspecto ecuatorial de la proyección estereográfica para la construcción de un
20
astrolabio. El mapamundi en dos hemisferios (este y oeste) de Rumold Mercator (hijo
de G. Mercator) publicado en 1587 (Orbis Terrae Compendiosa Descriptio) utilizaba la
proyección estereográfica en aspecto ecuatorial (Figura 16).
PROYECCIÓN RECTANGULAR
Aunque en muchos mapas antiguos no se muestra la red de paralelos y
meridianos algunas marcas en el margen del mapa (ecuador, trópico de Cáncer, Trópico
de Capricornio) señalan que éste era el tipo de proyección utilizada. Actualmente la
clasificaríamos como una proyección cilíndrica9. Los paralelos aparecen como líneas
rectas equiespaciadas. Los meridianos son también líneas rectas paralelas
equiespaciadas perpendiculares a las líneas de latitud. Se puede diseñar de forma que la
escala sea correcta a lo largo de los meridianos y del ecuador (en cuyo caso la red de
meridianos y paralelos es cuadrada si se toman intervalos iguales de longitud y latitud)
o bien a lo largo de los meridianos y un par de líneas de latitud equidistantes del
ecuador.
En un paralelo de latitud φ el arco de meridiano se multiplica por el factor cos φ
respecto al mismo arco de meridiano en el ecuador. Marino de Tiro (110 aC) elaboró un
mapa con este tipo de proyección de forma que conservaba las distancias a lo largo de
todos los meridianos y del paralelo de Rodas, cuya latitud es 36ºN. Como
cos 36º ≈ 0,809 ≈ 4 5 representa los meridianos como rectas paralelas separadas entre sí
una distancia igual a 4 5 del espaciado entre paralelos. Es decir, el espaciado para la
red de meridianos es en todo el mapa el mismo que existe realmente para una latitud
para la cual cos φ = 4 5 , condición que se cumple para φ = 36º que es, precisamente, la
latitud de Rodas. Como cos φ es decreciente en el intervalo (0,π 2) en el mapa
elaborado de esta forma las distancias longitudinales de latitudes entre el ecuador y el
paralelo de Rodas aparecen acortadas y al norte del paralelo de Rodas aparecen
alargadas respecto a las distancias longitudinales sobre la superficie esférica.
Ptolomeo recomendaba utilizar este tipo de proyección únicamente para elaborar
mapas de regiones pequeñas. Además, la modificó ligeramente de forma que el paralelo
a lo largo del cual el factor de escala es 1 es el que aparece en el centro de la región
proyectada. Varios mapas elaborados en el siglo XV, cuando se recuperó la obra de
Ptolomeo, utilizaban este tipo de proyección. Fue la más utilizada en las cartas náuticas
9
Se conoce también como proyección cilíndrica equidistante. Si la latitud a la cual no hay
distorsión en la escala es la del ecuador se denomina plate carrée o cilíndrica simple.
21
del siglo XVI hasta que la proyección de Mercator fue aceptada, años después de su
elaboración en 1569 (este aspecto se trata en detalle más abajo).
PROYECCIONES DE PTOLOMEO
Las proyecciones propuestas por Ptolomeo son mucho más sofisticadas que la
proyección rectangular. Según la terminología actual dos de ellas corresponden a
proyecciones pseudocónicas. Son proyecciones en el sentido matemático moderno: no
se obtienen como la perspectiva de los puntos de la superficie esférica desde una
posición determinada. Se definen relaciones matemáticas entre un punto de la esfera de
coordenadas (φ ,θ ) y un punto en coordenadas polares en el plano (r ,δ ) .
PRIMERA PROYECCIÓN
El mapa que se muestra en la Figura 2 ha sido
elaborado según el tipo de proyección que vamos
a describir a continuación (Figura 17). La ventaja
sobre la proyección rectangular es que no sólo
conserva las distancias a lo largo de los
meridianos y del paralelo de Rodas, también se
representa correctamente la relación de distancias
en el paralelo de Thule (63ºN, θ = 63º ) y el
Figura 17
ecuador. Ptolomeo considera latitudes entre 63ºN y 16,25ºS (latitud simétrica al paralelo
de Meroe). Los paralelos se representan como arcos de circunferencia de radio
constante con centro en H y los meridianos como radios, ri , de dichos arcos (i=1 para
Thule, i=2 para Rodas, i=3 para el Ecuador y i=4 para 16,25ºS).
No es exactamente una proyección cónica ya que al sur del ecuador
aparece una discontinuidad. Sobre la figura K cae sobre el paralelo de Rodas, el arco
Ξ O π representa 180º del paralelo de Thule; P Σ T , del ecuador: y, φ Z X representa
180º del paralelo a θ = −16,25 (que aparece dividido en segmentos de la longitud que
correspondería al paralelo de latitud 16;25ºN). Ptolomeo diseña esta proyección de
forma que satisfaga tres condiciones:
i.
No hay distorsión en la longitud de los meridianos, es decir,
∆r = − ∆θ
⇒ r = 90 − θ + c (VII)
22
donde c es una constante.
ii.
Se conserva el cociente entre la longitud del paralelo de Thule (radio r1 sobre el
mapa y latitud θ 1 = 63º ) y el ecuador (radio r3 sobre el mapa y latitud θ 3 = 0º ):
cosθ 1 r1
=
(VIII)
cosθ 3 r3
imponiendo la condición (VII) en la ecuación anterior podemos calcular el valor de la
constante c
cos 63º 90 − 63º + c
=
cos 0º
90 − 0º +c
⇒ c = 25,028º ≈ 25º
Por tanto, r1 = 52, r2 = 79, r3 = 115, r4 = 131,4 .
iii.
No hay distorsión en la longitud del paralelo de Rodas, lo que permite calcular la
longitud del arco de circunferencia que representa el paralelo de Rodas θ = 36º
ΘΚ = ΚΛ = cos 36º⋅90º = 4 5 ⋅ 90 = 72
SEGUNDA PROYECCIÓN
La que se conoce como segunda proyección de Ptolomeo fue utilizada en las copias
manuscritas de la Geografía de Ptolomeo a partir de 1470 (Figura 3). En este caso
construye un mapa donde los meridianos se representan como arcos circulares y las
distancias a lo largo de los paralelos de Thule (θ = 63º ), Siena (θ = 23,8º ) y AntiMeroe (θ = −16,25º ) no se distorsionan.
H
B
E
D
Z
Figura 18
Figura 19
23
Sea O el centro de la Tierra y AEZ el meridiano que pasa por Rodas y por Siena (el
punto E es Siena) (Figura 18). Suponemos que la Tierra es vista desde un punto en la
recta OE a infinita distancia. Entonces, el meridiano AEZ y el círculo máximo BED se
verán como rectas perpendiculares entre sí (Figura 19). Se asume que las distancias a lo
largo del meridiano central AEZ y del círculo máximo BED no se distorsionan. Por
tanto,
ZE = 23,8 EB = 90 = ED
Se impone, además, que el ecuador BZD se transforme en un arco de círculo siendo H el
centro. H se obtiene como intersección de la mediatriz de BZ y de la mediatriz de BD
(puesto que equidista de B, Z y D). Aplicando el Teorema de Pitágoras se obtiene el
radio del arco de circunferencia que representa el Ecuador:
( BH ) 2 = ( HZ − EZ ) 2 + ( BE ) 2
imponiendo las condiciones anteriores sabemos que
BH = HZ
EZ = 23,8
BE = 90
por tanto,
BH = HZ ≈ 182
(Ptolomeo tomó este valor como 180). Los paralelos de Thule (θ = 63º ) , de Siena
(θ = 23,8º ) y el paralelo denominado Anti-Meroe (θ = −16,4º ) se representen también
como arcos de circunferencia con centro en H. Igual que en la proyección anterior
impone la condición de que la diferencia en las distancias radiales reflejen diferencias
en latitud aunque los radios de los arcos que representan los paralelos ya no representen
los meridianos.
Ptolomeo representa 18 meridianos a cada lado del meridiano central, es decir,
los meridianos están espaciados 5º. Impone la condición de que las distancias a lo largo
de los paralelos de Thule, Siena y Anti-Meroe no se distorsionen. Esta condición
permite dibujar cada arco circular de meridiano a partir de tres puntos de la misma
longitud. El arco de 5º de longitud en el ecuador se multiplica por el factor cosθ a lo
largo de una línea de latitud θ . Por tanto, el espaciado entre meridianos en cada uno de
los tres paralelos considerados está dado por 5 cosθ . Por ejemplo, si tomamos el
24
paralelo de Thule, los puntos de intersección de los sucesivos meridianos con este
paralelo estarán a una distancia k ⋅ 5 cos 63º , donde k = 1, 2...,18 .
Mediante este procedimiento se obtiene la red de paralelos y meridianos que
aparece sobre el mapa mostrado en la Figura 3. Esta segunda proyección de Ptolomeo se
considera el precedente de la proyección de Bonne10 que es una proyección que
conserva el área y que ha sido muy utilizada en mapas de continentes hasta mediados
del siglo XX. La condición impuesta para tres paralelos en la de Ptolomeo se impone
para todos los paralelos en la proyección de Bonne y los meridianos ya no son arcos
circulares.
PROYECCIÓN DE MERCATOR
La proyección desarrollada por Mercator en 1569 fue diseñada con un objetivo
determinado: las líneas de rumbo sobre la esfera debían representarse por líneas rectas
en el mapa. De esta forma, sobre un mapa realizado con la proyección de Mercator los
navegantes podrían unir los puntos extremos de la ruta mediante una recta y leer el
ángulo de rumbo constante que, fijado en la brújula, les llevaría al puerto de llegada.
Como hemos visto, las líneas de rumbo constante sobre la esfera (cuando no se sigue
una línea de latitud o de longitud) es una espiral con el polo como punto asintótico.
Antes de la aparición de la proyección de Mercator los navegantes del siglo XVI
utilizaban fundamentalmente cartas náuticas en las que la red de paralelos y meridianos
era cuadrada, plate carrée 11 (Figura 20).
Figura 20: Mapa “plate carrée”. Los meridianos y paralelos forman una red cuadrada
10
Bonne.
11
Toma su nombre del geógrafo francés R. Bonne (1727-1795) aunque fue utilizada antes de
Ver página 8 de SNYDER J.P: “Flattering the earth: two thousand years of map projections”.
University Chicago Press (1993) y referencias ahí.
25
Este tipo de proyección equivale a representar sobre ejes cartesianos ( x, y ) las
coordenadas geográficas (φ ,θ ) . En una retícula de este tipo el ángulo formado entre los
meridianos (rectas verticales) y el segmento que tiene por extremos los puntos de
llegada y de salida de una ruta no es el ángulo de la línea de rumbo que une dichos
puntos. Vamos a verlo con un ejemplo.
EJEMPLO
Consideramos la ruta marítima desde Nueva York hasta Ciudad del Cabo:
φ NY = 73,98º = 1.291 rad
θ NY = 40,77º = 0,712 rad
φ CC = −18,36º = −0,320 rad
θ CC = −35,1º = −0,612 rad
A partir de la ecuación (VI) calculamos el valor del ángulo, α , que forma la línea de
rumbo considerada con los meridianos
tan α = 1,122 ⇒ 0,843 rad = 48,3º
Entonces, la ecuación del loxodromo Nueva York-Ciudad del Cabo es
 θ π  
 tan +  
2 4 
φ = 1,291 + 1,122 ⋅ ln 
 2,1839 




Denotamos por α~ el ángulo que forma la ruta Nueva York-Ciudad del Cabo sobre una
carta plana (red cuadrada) con los meridianos:
tan α~ =
φ1 − φ 2
= 1,216 ⇒ α~ = 50,58º
θ1 − θ 2
Para ver el error que se cometería si se marcara en la brújula el ángulo α~ vamos a
calcular la expresión de la línea de rumbo que parte de Nueva York y que mantiene un
rumbo constante correspondiente a α~ :
26
 θ π  
 tan +  
2 4 
φα~ = 1,291 + 1,216 ⋅ ln 
 2,1839 




La Figura 21 muestra la diferencia de las dos líneas de rumbo en la ruta NuevaYorkCiudad del Cabo. La línea de rumbo correcto se representa en negro. Ambas curvas
parten de Nueva York pero la curva calculada según el rumbo α~ no pasa por Ciudad
del Cabo. La desviación en longitud para la latitud correspondiente a Ciudad del Cabo
es
φα~ (θ = −0,612) − φ CC = − 26,03º −(−18,36º ) = 7,7 º hacia el este
que corresponde a una distancia de R ⋅
7,7
π ⋅ cos(−0,612) ≈ 700 km
180
45
l atit ud
30
15
0
-15
-30
-75 -60 -45 -30 -15
longitud
0
15
30
45
Figura 21:Representación de sobre una red cuadrada de la línea de rumbo Nueva York-Ciudad
del Cabo (trazo negro) y de la “falsa” línea de rumbo (trazo rojo).(Las longitudes oeste figuran
como negativas pero en el cálculo se han considerado positivas , según la convención habitual.)
♦
En la proyección de Mercator (Figura 22) los meridianos se proyectan como
líneas rectas paralelas equiespaciadas. La separación entre meridianos corresponde a su
separación en el ecuador. Los paralelos también se representan por líneas rectas,
perpendiculares a los meridianos. Sin embargo, la separación entre paralelos aumenta a
medida que nos alejamos del ecuador.
27
Figura 22: Mapamundi realizado según la proyección de Mercator; las líneas de latitud no
están equiespaciadas
Vamos a ver cómo se calcula separación entre paralelos. Estamos buscando una
proyección que en un punto dado (a escala infinitesimal) no hay distorsión en los
ángulos. Es decir, dado un punto el factor de escala debe de ser el mismo en todas las
direcciones (proyección conforme). Puesto que la red de meridianos y paralelos es una
red ortogonal bastará con que el factor de escala sea el mismo (a escala infinitesimal) a
lo largo de meridianos y paralelos.
P
ecuador
B
C
A
D
Paralelo θ
B
A
C
D
P’
Figura 23
En la terminología actual la proyección de Mercator es una proyección
cilíndrica. Podemos imaginar, por tanto, que proyectamos la superficie de la esfera
sobre un cilindro tangente a la esfera en el ecuador. En la Figura 23, el arco de longitud
BC a una latitud θ y el arco de longitud en el ecuador están relacionados por
BC
= AD . Entonces, al dibujar los meridianos como rectas paralelas equiespaciadas
cosθ
28
estamos haciendo el factor de escala a lo largo de los paralelos igual a secθ . Si
queremos que la proyección sea conforme el factor de escala debe ser el mismo a lo
largo de los meridianos. Sin embargo, θ varía de forma continua a lo largo de un
meridiano y, por tanto, requiere calcular
θ
∫
0
secθ dθ .
Cuando Mercator publicó la proyección que lleva su nombre no se había
desarrollado el cálculo diferencial e integral. Mercator explicó explícitamente cómo
calcular la separación de las líneas de latitud en su mapa. Edward Wright en un trabajo
publicado en Londres en 1599 calculó la posición de los paralelos (“partes
meridionales”) en un mapa de Mercator a partir de sumas de Riemann de la función
secθ a intervalos de 1’.
En los apartados anteriores hemos utilizado que
θ
π
∫ secθ dθ = ln tan 2 + 4  . Sin
embargo, el trabajo de J. Napier sobre logaritmos no fue publicado hasta 1614. En 1616
Wright publicó la traducción inglesa de la obra de Napier (escrita en latín), junto con
una tabla de logaritmos de senos que se utilizaba en astronomía. Poco después se
publicaron también tablas de logaritmos de la tangente. Hacia 1640 H. Bond se dio
cuenta de la coincidencia entre la tabla de Wright de “partes meridionales” para la
proyección de Mercator y la tabla de logaritmos de la tangente. En 1645 estableció
como una conjetura (por tanto, no demostrada) que
θ
π
∫ secθ dθ = ln tan 2 + 4  .
Esta
conjetura fue demostrada por Harriot, Gregory, Halley, Wallis y Barrow. Parece que el
primero en conocer este resultado hubiera sido Harriot aunque no publicó su resultado12.
La proyección de Mercator ha sido una de las que se ha modificado con mayor
frecuencia para aplicar al elipsoide terrestre.
El primer matemático que aplicó el cálculo diferencial e integral al estudio de las
proyecciones cartográficas fue Lambert en 1772. Su trabajo supone un cambio radical
en la cartografía. Sus predecesores habían estudiado un método de proyección
determinado. Sin embargo, Lambert consideró el problema de la representación de una
esfera sobre un plano desde un punto de vista general, estableciendo ciertas condiciones
que tiene que cumplir una representación para que se conserven los ángulos o el área de
la región proyectada.
12
J. V Pepper: “The study of Thomas Harriot’s Manuscripts, II: Harriot unpulished papers”,
History of Science,6 (1967) 17-40.
29
Una de las proyecciones desarrolladas por Lambert es la que se conoce como
Transversal de Mercator (TM). Lambert dio la expresión matemática para la esfera. La
proyección transversal de Mercator se obtiene rotando el cilindro de proyección 90º de
forma que es tangente en un meridiano (a lo largo del cual la escala es constante) y no
del Ecuador. Actualmente es el tipo de proyección más utilizada. Es especialmente
adecuada para proyectar regiones que se extienden fundamentalmente de norte a sur.
Motivado por los estudios de la conformalidad publicados en 1779 por
Lagrange, Gauss comenzó a estudiar la transformación de una superficie en otra,
incluida la transformación conforme del elipsoide en el plano. En 1822 Gauss desarrolló
la forma elipsoidal de la proyección transversal de Mercator en la que se mantiene
constante la escala en el meridiano central. Gauss también desarrolló la proyección
conforme del elipsoide en la esfera que es luego proyectada mediante la proyección
transversal de Mercator en el plano. Esta versión de la transversal de Mercator es
conforme pero la escala no es constante a lo largo del meridiano central.
Por otro lado, el trabajo de N.A Tissot entre 1859 y 1881 tuvo un gran impacto
en las proyecciones cartográficas del siglo XX. Introdujo el concepto de elipse
indicatriz o de distorsión que, trasladada a cada punto del mapa, establece la distorsión
de la proyección. Cada círculo infinitesimal sobre la esfera o el elipsoide terrestre se
dibuja sobre el mapa plano como un círculo o una elipse centrada en el punto
proyectado. Si los círculos infinitesimales tienen el mismo radio y se proyectan en
diversos puntos del mapa (intersecciones entre paralelos y meridianos), la distorsión en
cada uno de estos puntos se indica por la forma y el tamaño del círculo o elipse. Por
ejemplo, en una proyección conforme, que conserva localmente los ángulos, todos los
círculos infinitesimales sobre la esfera se proyectan como círculos en el mapa pero su
radio variará según la escala en dicho punto (Figura 24).
Figura: 24: Representación de la indicatriz de Tissot en los puntos de intersección de para
delos y meridianos en una proyección de Mercator.
30
En la década de 1940 el servicio topográfico del ejército d Estados Unidos
diseñó el llamado sistema UTM (Universal Transverse Mercator) para elaborar mapas.
La esfera se divide en 60 zonas de 6º de amplitud longitudinal entre las latitudes 84ºN y
80ºS. En cada una de esas zonas se realiza un proyección TM de forma que el factor de
escala alo largo del meridiano central de cada zona es 0,9996.
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31
SOBEL, D.: “Longitud. La verdadera historia de un genio solitario que resolvió el
mayor problema científico de su tiempo”, Debate (1998)
http://www.3dsoftware.com/Cartography/

La representación de la superficie esférica terrestre sobre un mapa

Transcripción

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