Teorema de Gauss “Si el polinomio P(x), de grado n, con

Teorema de Gauss “Si el polinomio P(x), de grado n, con

Teorema de Gauss
“Si el polinomio P(x), de grado n, con coeficientes enteros y término independiente no nulo, admite una raíz racional
p/q (fracción irreducible), entonces p es divisor del término independiente y q lo es del coeficiente principal.”
Para hallar las raíces racionales de P(x)= axⁿ +bxⁿ⁻ +cxⁿ⁻²+….+d
se buscan todos los divisores de d,
llamémoslos p, y todos los de a, sean q, entonces las posibles raíces son de la forma p/q.
Todo polinomio de P(x)=, de grado n, de n raíces reales, puede factorizarse como
P(x)=a.(x-x₁).(x-x₂).(x-x₃)….
donde x₁,x₂,x₃,….x son las raíces.
Por ejemplo:
Factorizar el polinomio P(x)= 2xᶟ-3x² -8x-3
Calculamos los divisores de 3 : ±3 ;±1
Calculamos los divisores de 2 : ±2 ;±1
Posibles raíces : ±3/2 ; ±1/2; ±1 ; ±3
Se calcula el valor del polinomio P(x) para las posibles raíces (se aplica el teorema del resto para comprobar si son
divisores):
P(1)= -12 no es raíz
Por lo tanto,
P(-1)= 0 es raíz
P(3)=0 es raíz
P(-1/2)= 0 es raíz
P(x)= 2.(x+1).(x+1/2).(x-3)
A partir de la primera raíz encontrada, se puede dividir, (aplicando la regla de Ruffini) P(x) por (x+1) y reducir el
polinomio, para calcular otras raíces a partir del cociente obtenido.
Por ej. P(x)= 2xᶟ-3x² - 8x -3
Si comprobamos que P(-1)=0 , entonces sabemos que (x+1) divide a P(x), entonces P(x)=(x+1).Q(x)
P(x)= (x+1). (2x² -5x-3)*
Aplicando Ruffini
Si calculamos las posibles raíces de Q(x)
2 -3 -8 -3
-1
Q( 3)=0
-2 5 3
2 -5 -3 0
Q(x)= (2x²-5x-3) *
Dividimos Q(x) por (x-3)
2
2
2
2x+1
-5
-3
6
3
1
0
(también podemos aplicar Bhaskara cuando el polinomio es de grado 2)
Entonces Q(x)= (x-3).(2x -1)
Reemplazando en*
P(x)= (x+1).(x-3).(2x+1)
P(x) = 2.(x+1).(x-3).(x+1/2)
Un polinomio P(x) tiene una raíz múltiple si al descomponerlo en función de sus raíces hay factores iguales; el
orden de multiplicidad está dado por el exponente del factor. Ej. P(x) = (x+1)²
tiene una raíz doble
x₁=x₂=-1
Ecuaciones polinómicas
Para hallar los valores de x para los cuales se verifica una ecuación, por ejemplo
que igualarla a 0
xᶟ-x²-16x+16 =0
sus factores es 0
, planteamos x-4=0
y luego factorizarla
(x-4).(x+4).(x-1)=0
ᴠ
Teniendo en cuenta que un producto es 0 si al menos uno de
x+4=0 ᴠ x-1=0
Entonces las raíces, o ceros, o soluciones de la ecuación son : x₁=4
Aplicaciones:
1-Hallar las raíces de los polinomios y factorizarlos.
a) P(x)= -xᶟ+4x²-x-6
b) B(x)= -4xᶟ+7x-3
c) A(x)=-4x⁴+12xᶟ-7x²-3x+2
d) N(x)=x⁴+6xᶟ+8x²-6x-9
e) M(x)= xᶟ-3x+2
f) S(x)=x⁵-4xᶟ-8x²+32
g) T(x)=6x⁴-3xᶟ-24x²+12x
2-Expresar los siguientes polinomios en función de sus raíces
a) P(x)=xᶟ+2x²-4x-8 ,que tiene por raíz x=2
b) Q(x)= -3x⁴-6xᶟ+6x+3, que tiene por raíz a x=1
c) M(x)= -xᶟ-9x²-15x+25, que tiene por raíz doble a x=-5
4-Resuelvan las siguientes ecuaciones
a)
x⁴+2xᶟ-13x²-14x-14=-38
b) xᶟ-5x²+7x+7=10
c) x⁵+4xᶟ+16x²=8x²-32
d) xᶟ-x-1=-1
e) 2x⁴-xᶟ-22x²=8x²+3xᶟ
xᶟ-x²-16x=-16 , hay
x₂=-4 x₃=1
S={-4;4;1}