ejrcicios de probabilidad

EJRCICIOS DE PROBABILIDAD
1º) Ante un examen, un alumno sólo ha estudiado 15 de los 25 temas correspondientes a la
materia del mismo. Éste se realiza extrayendo al azar dos temas y dejando que el alumno escoja
uno de los dos para ser examinado del mismo. Hallar la probabilidad de que el alumno pueda
elegir en el examen uno de los temas estudiados.
2º) Un estudiante cuenta, para un examen con la ayuda de un despertador, el cual consigue
despertarlo en un 80% de los casos. Si oye el despertador, la probabilidad de que realiza el
examen es 0.9 y, en caso contrario, de 0.5.
a) Si va a realizar el examen, ¿cuál es la probabilidad de que haya oído el despertador?
Si no realiza el examen, ¿cuál es la probabilidad
de que no haya oído el despertador?
3º) Tenemos dos dados A y B, ambos trucados. En el dado A hay tres "1" y tres "2" y en el
dado B hay dos "1" y cuatro "2". Se elige un dado al azar y se tira.
a.
¿Cuál es la probabilidad de obtener un "1"?
b. Sabiendo que se ha obtenido un "2", ¿Cuál es la probabilidad de que se haya elegido el
dado B?
1 3 1 2 5
P (1) = P ( D A ) ⋅ P  1  + P ( DB ) ⋅ P  1  = ⋅ + ⋅ =
D
D
A
B


2 6 2 6 12
1 4
P( DB ) ⋅ P 2 
⋅
D
5
7
4
D

B
b) P ( 2) = 1 − P (1) = 1 −
=
;
P B  =
= 2 6 =
2
5

12 12
P ( 2)
5
12
a)
4º) En una urna se tienen 5 bolas azules, 4 rojas y 3 amarillas en una bolsa. Se extraen 3
bolas al azar. Calcula la probabilidad de:
a) Obtener bolas de diferente color en las tres extracciones
Sol:
5 4 3  3 4
3
⋅ ⋅ ⋅   =
⋅6 =
12 11 10  3  88
11
b) Obtener solo bolas de un color.
Sol:
5 4 3
4 3 2
3 2 1
1
1
1
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =
+
+
= 0,068
12 11 10 12 11 10 12 11 10 22 55 220
c) Obtener 2 azules y una roja.
Sol:
5 4 4
2
⋅ ⋅ ⋅3 =
12 11 10
11
d) Que la primera sea azul, la segunda amarilla y la tercera roja.
Sol:
5 3 4
1
⋅ ⋅ =
12 11 10 22
5º) Sean A y B dos sucesos tales que:
P ( A)
a)
b)
b)
( )
P (B )
P( B ) = 1 − P( B ) = 1 −
2
3
1
; P( A ∪ B ) =
; PA ∩ B ) = . Calcula:
3
4
4
A
c) P ( A ∩ B )
d) P
B
P( B ) =
2 1
=
3 3
3 1 1 2
− + =
4 3 4 3
1 1 1
c) P ( A ∩ B ) = P ( B ) − P ( A ∩ B ) = − =
3 4 12
∩
P
(
A
B
)
3
=
d) P A
=
B
4
P( B )
a)
P( A) = P( A ∪ B ) − P( B ) + P( A ∩ B ) =
( )
En un espacio probabilístico se consideran los sucesos Ay B tales que:
6º)
P( A) = 0,3 y
P( B ) = 0,6 . Calcula P( A ∩ B ) en los siguientes casos:
a)
P( A ∩ B ) = 0,2
b) A y B son independientes.
Sol:
P( A ∩ B ) = P( A) − P( A ∩ B ) = 0,3 − 0,2 = 0,1
b) A y B independientes ⇒ P ( A ∩ B ) = P ( A) ⋅ P ( B ) = 0,3 ⋅ 0,6 = 0,18 , por lo que
a)
P ( A ∩ B ) = P ( A) − P ( A ∩ B ) = 0,3 − 0,18 = 0,12
7º) En una baraja hemos suprimido varia cartas. Entre las que quedan, se dan las siguientes
probabilidades de ser extraídas:
P(REY)=0.15 ;
P(BASTOS)=0.3;
P("carta que no sea REY ni BASTOS")=0.6.
a) ¿Está entre ellas el REY de BASTOS? En caso afirmativo, da su probabilidad.
b) ¿Cuántas cartas hay?
Sol:
a) P( ni REY ni BASTOS )=P(
P( REY
)
P( REY
BASTOS ) = P( REY ) + P( BASTOS ) - P( REY
0.4 = 0.15 + 0.3 - P( REY
BASTOS )
P( REY
BASTOS ) = 1 - 0.6 = 0.4
BASTOS )=
BASTOS ) = 0.05
Por tanto, el REY de BASTOS está y su probabilidad es:
P( REY de BASTOS ) = P( REY BASTOS ) = 0.05 = 1/20
b) Una porción de cartas de una baraja es un instrumento aleatorio "de Laplace", pues la
probabilidad de extraer cada una de ellas es la misma. Si en este montón la probabilidad del rey
de bastos es 1/20, es porque hay 20 cartas
8º) Se lanzan dos dados equilibrados
a) Halla la probabilidad de que la suma de los valores que aparecen en la cara superior sea
múltiplo de tres.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que los valores obtenidos difieran en una cantidad mayor de
dos?
El espacio muestral del experimento es:
E = {(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6); (2,1); ...; (6,6)}
y está formado por 36 sucesos elementales equiprobables. Constituyen el número de casos
posibles del experimento. Utilizando la regla de Laplace, calculamos las probabilidades de los
sucesos que nos piden:
a) Si llamamos A al suceso "obtener una suma múltiplo de 3", los casos favorables al
suceso A son:
A = {(1,2); (2,1); (1,5); (2,4); (3,3); (4,2); (5,1); (3,6); (4,5); (5,4); (6,3); (6,6)}.
Por lo que:
P ( A) =
12 1
=
36 3
b) Llamamos B al suceso valores obtenidos difieren en 2 unidades. Los casos favorables son:
A={(1,4), (1,5), (1,6), (2,5), (2,6), (3,6), (4,1), (5,1), (5,2), (6,1), (6,2), (6,3)}
Por lo que:
P ( A) =
12 1
=
36 3
9) Se lanzan dos dados:
a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma de puntos igual a 7?
b) Si la suma de puntos ha sido 7, ¿cuál es la probabilidad de que en alguno de los dados
haya salido un tres?
Sean los sucesos A="la suma de los puntos es 7" y B="en alguno de los dados ha salido un
tres".
a) Los casos posibles al lanzar dos dados son 36 y los casos favorables al suceso A son los seis
siguientes: (1,6); (2,5); (3,4); (4,3); (5,2) y (6,1).
Por tanto, P( A )=6/36=1/6
b) En este caso, el suceso B/A es salir en algún dado 3, si la suma ha sido 7. Observamos que
esta situación ocurre en las parejas (3,4) y (4,3).
Por tanto, P( B/A )=2/6=1/3
10º) Para una siembra de trigo mezclaron granos de cuatro tipos I, II, III y IV. En las
siguientes proporciones: 96% de I, 1% de II, 2% de III y 1% de IV. Por otro lado se sabe que el
50% de las semillas del tipo I, el 20% del tipo II, el 15% del tipo III, y el 5% del tipo IV
germina. Determine:
a) La probabilidad de
P(germinar)=0,4855)
que
una
semilla
cualquiera
germine.
(sol:
probabilidad
total.
b) La probabilidad de que si se sabe que una semilla germinó, aquella sea del tipo I. (sol: Bayes.
P(TipoI Ger min ar ) = 0,9886)
11º) En un curso de 60 alumnos, 1/3 de los alumnos habla inglés, 1/4 habla francés y 1/10
habla los dos idiomas. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno elegido al azar hable sólo un
idioma?. Sol:
9
10
12º) En un congreso asisten 100 congresistas. Un 30% son japoneses y un 70%, alemanes. Si
el 70% de los japoneses y el 60% de los alemanes saben inglés, ¿cuál es la probabilidad de que
al elegir dos congresistas al azar, se entiendan? (sol: 0,7539)
13º)
Se consideran los sucesos A y B tales que:
Calcula:
a) P ( A ∪ B )
(sol: 0,6)
b)
P( A ∪ B )
(sol: 0,9)
c)
PA
(sol:
( B)
1
)
3
P ( A) = 0,4 ; P ( B ) = 0,7 ;
P ( A ∩ B ) = 0,1 .