1 Hoja de formulas: Transformada Fourier

1 Hoja de formulas: Transformada Fourier

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Hoja de formulas: Transformada Fourier
1.1
Transformada de Fourier
Consideramos una señal h(t). La integral de Fourier es
h̃(f ) =
Z
∞
h(t)e2πitf dt
−∞
y da medida de la presencia de la frecuencia f en la señal h(t). Si elegimos un
intervalo de muestreo ∆, podemos presentar la función h(t) con las muestras
hk en los momentos k∆:
hk ≡ h(k∆).
Teorema de Nyquist Si para todo |f | > 1/(2∆) se cumple h̃(f ) = 0,
la señal h(t) es continua, recuperable y la funcion h(t) se da con:
h(t) =
∞
X
n=−∞
hn
sin[2πfc (t − n∆)]
,
2πfc (t − n∆)
donde fc ≡ 1/(2∆) se denomina frecuencia de Nyquist 1 .
Teorema: Si la señal h(t) tiene frecuencias mayores de 1/(2∆), utilizando
hk como aproximacion de h(t), toda la potencia de la señal con |f | > fc se
proyecta dentro del intervalo de frecuencias |f | < fc .
Consecuencias:
* Antes de muestrear una señal con periodo de muestreo ∆ tenemos que
aplicar filtro de baja frecuencia que elimina los componentes de la señal con
frecuencias mas de 1/(2∆).
* Si no aplicamos tal filtro vamos a meter ruido en la señal transformada
(Ver figuras al final de estas paginas).
* Resolución espacial. Los cambios de la intensidad en una imagen tienen
que estar suaves comparados con la resolución de la imagen.
Ejercicio: Considerando una señal que cumple las condiciones del teorema de Nyquist, utilizando la formula del teorema, dar una formula que
recupera exacto hn+1/2 = h((n + 1/2)∆) para todo n. Comparar con la
formula del trapecio hn+1/2 = [hn + hn+1 ]/2.
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Las premisas del teorema también requieren que todos los integrales/sumas existen y
que h(t) tiene norma L2 limitada.
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Transformada de Fourier discreta
Necesidad: 1) Los ordenadores son discretos. 2) No podemos presentar
función continua salvo como aproximación. 3) El rango de tiempo/distancia
en que hay influencia en una señal real es limitado.
Una aproximación de la integral de Fourier sobre la muestra hn , n =
{1...N } es:
h̃k = N −1/2
N
−1
X
hn e2πink/N ,
(1)
n=0
donde h̃k representa la frecuencia k/(N ∆). Con parte real y imaginara explicitas:
F [h](k) ≡ h̃k ≡ N −1/2
X
hn cos(2πnk/N ) + iN −1/2
n
X
hn sin(2πnk/N ).
n
Ejercicio Comprobar que h̃k es representación exacta de la transformada
de Fourier si se cumplen las condiciones del teorema de Nyquist y la senal es
periodica con periodo ∆N .
2.1
Transformada de Fourier Inversa
La inversa transformada de Fourier F −1 [.] es:
hn = N −1/2
X
h̃k e−2πink/N .
k
Comprobación:
h0n = N −1/2
X
h̃k e−2πikn/N =
(2)
k
= N −1
X
hm
X
hm
m
= N −1
m
X
e2πikm/N e−2πikn/N =
k
N
−1
X
e2πik(m−n)/N
k=0
La suma por k, si m 6= n es
N −1
−1
X NX
1 − e2πiN (m−n)/N
m k=0
1 − e2πi(m−n)/N
2
=
1 − e2πi(m−n)
= 0.
1 − e2πi(m−n)/N
(3)
(4)
N −1
Si m = n la suma es k=0
1 = N . Utilizando el sı́mbolo de Kronecker δx,y ,
definido como δx,y = 1 si x = y y δx,y = 0 si x 6= y, podemos escribir
P
h0n = N −1 N
X
δm,n hm = hn .
m
Complexidad: Si N = 2k , la transformada de Fourier requiere N log 2 N
operaciones (Fast Fourier Transform) FFT.
Los componentes de h̃k con distintos k representan diferentes frecuencias.
Si consideramos e2πikn/N como función de n/N , tenemos el siguiente aspecto
de estas funciones con diferentes k:
1.2
k=0
0.6
0
−0.6
−1.2
0
1
2
3
4
5
6
1.2
k=1
0.6
0
−0.6
−1.2
0
2
4
6
1.2
k=N−1
0.6
0
−0.6
−1.2
0
2
4
6
1.2
k=3
0.6
0
−0.6
−1.2
0
2
4
6
1.2
k=N/2
0.6
0
−0.6
−1.2
0
0.5
1
Figure 1: Funciones base de transformada de Fourier. Negro – parte real,
rojo – parte imaginaria.
Normalización: Los coeficientes K1 , K2 = N −1/2 en la transformada directa y inversa podemos elegirles en cualquier manera con el fin que K1 K2 N =
1. En comunicaciones se elige K1 = 1, K2 = 1/N .
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Podemos ver que:
1) La componente 0 representa la media de la señal.
2) Las componentes 1 y N − 1 son con menor frecuencia. Tienen igual
frecuencia. En general, k tiene la misma frecuencia como N − k. Si la
señal es real, entonces Re[h̃k ] = Re[h̃N −k ] y Im[h̃k ] = −Im[h̃N −k ], es decir
h̃k = h̃∗N −k .
3) La frecuencia de cada componente sube al cambiar k de 0 a N/2.
4) La frecuencia máxima se consigue con k = N/2, donde la componente
de cosenos cambia del signo con cada n y la de senos es igual a 0.
Otras propiedades básicas:
F [ah + bg]
F [h(at)](k)
F [h(t + a)]
F [h0 (t)](k)
=
=
=
=
aF [h] + bF [g]
(1/|a|)F [h](k/a)
F [h]e2πia/N
kF [h],
(5)
(6)
(7)
(8)
donde F [h] expresa la transformada de Fourier de h.
Potencia de una señal:
(hn − h)2 =
X
n
N
−1
X
|hk |2 .
k=1
Convolución de señales (todos los filtros lineares son convolución):
(f ∗ g)(x) =
X
f (x − y)g(y).
y
Con transformada de Fourier:
F [f ∗ g]k = f˜k g̃N −k .
¡Sin suma!
Lo que nos da el siguiente algoritmo de hacer convolución:
1) Calculamos g̃ y h̃,
2) Calculamos F [g ∗ h]k = g̃k h̃N −k .
3) Con la transformada inversa F −1 encontramos g ∗ h: (g ∗ h)(x) =
−1
F [F [g ∗ h]k ]].
4
3
Transformada de cosenos
Se da con las siguientes formulas:
Fk =
N
−1
X
fj cos
j=0
fj =
−1
1 NX
πk(j + 1/2)
k 6= 0; F0 =
fj
N
2 j=0
−1
πk(j + 1/2)
2 NX
Fk cos
N k=0
N
Las primeras funciones base
1.2
0.6
0
−0.6
−1.2
4
0
1
2
3
4
5
6
Transformadas generales
Si consideramos {hn } como un vector ~h y los coeficientes de la transformada
como una matriz Akn ≡ N −1/2 e2πikn/N , entonces podemos escribir:
˜
~h
= A.~h
y
˜
~h = A+ .~h.
La matriz A de la transformada de Fourier es unitaria: A+ A = 1.
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Transformada de Fourier de 2 dimensiones
Definición:
Si la señal es hx,y , x ∈ {1...N }, y ∈ {1...M }, la transformada de Fourier
se define como:
5
F [h]k,l ≡ h̃k,l = (M N )
−1/2
−1
N
−1 M
X
X
hx,y e2πi(xk/M +yl/N ) =
(9)
−1
N
−1 M
X
X
e2πixk/N hx,y e2πiyl/M =
(10)
x=1 y=1
= (M N )−1/2
x=1 y=1
=
−1
N
−1 M
X
X
Ak,x hx,y By,l ,
(11)
x=1 y=1
donde Ak,x = N −1/2 e2πixk/N y By,l = M −1/2 e2πiyl/M . Es decir, la transformada de Fourier en 2 dimensiones no es nada mas que la transformada de
Fourier aplicada a las filas y después a las columnas de la imagen. Este tipo
de transformada se llaman separables. El coste de computación es menor
para este tipo de transformadas.
Los ejercicios de este apartado son de dificultad elevada. Resolverles solo
con preparacion matematica adecuada.
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Figure 2: Ejemplo de muestreo correcto e incorrecto. El muestreo de la figura
de la izquierda esta hecho después de eliminar las frecuencias por enzima da
la frecuencia de Nyquist. El la figura a la derecha no se ha respetado esta
condición. Subsample de Lena de resolución 512x512 a resolución 128x128
después de filtro low-pass (∆ = 4 puntos) – izquierda y sin filtro LP filtro –
derecha.
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