- 1 - = + = = + + 0 2 2 1 z ay ax zyx 23 12
Transcripción
- 1 - = + = = + + 0 2 2 1 z ay ax zyx 23 12
ENUNCIADOS ÁLGEBRA ⎧ x + y + z =1 ⎪ = 2 se pide: P.-1 Dado el sistema de ecuaciones ⎨ax ⎪ ay + 2 z = 0 ⎩ a) Encontrar para qué valores de a el sistema tiene solución única b) Resuelve el sistema para a = 2 P.- 2 Despeja la matriz X en la siguiente ecuación y halla su valor ⎛2 1⎞ ⎛ 1 − 1⎞ ⎟⎟ y B = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 3 2⎠ ⎝0 2 ⎠ 2 A – A X = B X siendo A = ⎜⎜ CUESTIONES C.-1 Demuestra sin desarrollar que el determinante de Vandermonde 1 a a2 1 b b2 1 c =(b – a)(c – a) (c – b) c2 ⎛ 2 0⎞ ⎟⎟ y 3X + 2Y = ⎝ − 4 15 ⎠ C.-2 Halla las matrices X e Y sabiendo que: 5 X + 3 Y = ⎜⎜ ⎛ 1 − 1⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝− 2 0 ⎠ ANÁLISIS CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD PROBLEMAS P1.- Demostrar que la ecuación e-x + 2 = x tiene al menos una solución real. P2.- Sea f(x) = x 3 + a x 2 + b x + 5 . Halla a y b para que la curva y = f(x) tenga en x = 1 un punto de inflexión y que la recta tangente en él sea horizontal CUESTIONES C.-1.-Sea la función f(x) = x2 − 4 . El segundo miembro de la igualdad carece de sentido cuando x = 2 x−2 ¿ Cómo elegir el valor de f(2) para que la función sea continua en ese punto ? C.- 2 Calcula, utilizando la regla de L´Hôpital lim x →0 -1- ax − bx x REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES E INTEGRACIÓN 4 − 2x 2 se pide: P1.- Dada la función y = x a) Su dominio b) Sus asíntotas c) Sus puntos singulares d) Su gráfica con los datos obtenidos en los apartados anteriores ( NO con calculadora) P.2.- Resuelve la integral ∫x 2 .senx dx C.1.- ¿ Cuántos puntos de inflexión puede tener, como máximo, una función polinómica de cuarto grado? ¿ Qué se precisa para que no tenga puntos de inflexión? C.2.- Dadas las funciones x y = 6 y x + y – 7 = 0, calcula el área limitada por las dos funciones En cada apartado, cada problema vale 2 puntos y cada cuestión 1 puntos NOTA: Se considerará que el alumnos ha superado esta parte cuando haya alcanzado la nota de 3 puntos. SOLUCIONES ÁLGEBRA ⎧ x + y + z =1 ⎪ = 2 , para que tenga solución única, es necesario que rango A = 3, P1.- a) El sistema ⎨ax ⎪ ay + 2 z = 0 ⎩ siendo A la matriz de los coeficientes del sistema 1 1 1 Encontremos el valor de | A | = a 0 0 = a ( a – 2 ) ≠ 0 0 a 2 Cuando a ≠ 0 y a ≠ 2 el sistema tiene solución única. ⎧ x + y + z =1 ⎪ = 2 donde la matriz ampliada es b) Para a = 2 tendremos el sistema ⎨2 x ⎪ 2 y + 2z = 0 ⎩ -2- ⎛1 1 1 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2 0 0 2⎟ ⎜0 2 2 0⎟ ⎝ ⎠ Vemos que C1 = C4 y que C2 = C3 por lo que rango matriz ampliada = rango matriz A = 2 < nº incóg Tenemos un sistema compatible e indeterminado Tomemos el menor M= =2 2 0 ⎧ 2x = 4 ≠ 0 y a partir de él formemos el sistema: ⎨ cuya 0 2 ⎩ 2 y + 2z = 0 solución es x = 2 e y = - z => ( 2, - z , z ) ⎛2 1⎞ ⎛ 1 − 1⎞ ⎟⎟ y B = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 3 2⎠ ⎝0 2 ⎠ P2.- Sea la ecuación 2 A – A X = B X .donde A = ⎜⎜ ⎛ 4 2⎞ ⎛3 0⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ . X (1) ⎝ 6 4⎠ ⎝3 4⎠ Despejamos X => 2 A = A X + B X = ( A + B ) X => ⎜⎜ ⎧ A11 = 4 ⎪ A = −3 3 0 ⎪ 12 = 12 ≠ 0 ; esta matriz tiene su inversa y sus adjuntos son : ⎨ de donde Como 3 4 ⎪ A21 = 0 ⎪⎩ A22 = 3 ⎛3 0⎞ = 1 ⎛ 4 0⎞ ⎟⎟ 12 ⎜⎜ ⎟⎟ = M ⎝3 4⎠ ⎝ − 3 3⎠ Inversa de ⎜⎜ Multiplicando, a la izquierda de los dos miembros de la relación (1), resulta 1 12 1 ⎛ 4 0⎞ ⎛3 0⎞ 1 ⎛16 8 ⎞ ⎛ 4 0⎞ ⎛ 4 2⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎜⎜ ⎟⎟ = 12 ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎜⎜ ⎟⎟ . X => 12 . ⎜⎜ ⎟⎟ = X ⎝ − 3 3⎠ ⎝ 6 4⎠ ⎝ − 3 3⎠ ⎝3 4⎠ ⎝ 6 6⎠ 1 1 1 C1.- Sea el determinante a b 2 2 c−a = c => F1, F2 – a.F1, F3 – a F2 => 0 b − a 2 2 0 b − ab c 2 − ac c a 1 1 b 1 1 1 1 1 1 c − a = (b - a ) ( b – c ). 0 1 1 0 b(b − a ) c(c − a ) 0 b c 0 b−a desarrollando por la 1ª columna = (b - a ) ( b – c ). 1 1 = (b - a ) ( b – c ). (c – b ) b c C2.- Tenemos el sistema ⎛ 2 0⎞ ⎟⎟ ⎝ − 4 15 ⎠ 5 X + 3 Y = ⎜⎜ ⎛ 1 − 1⎞ ⎟⎟ ⎝− 2 0 ⎠ 3X + 2Y = ⎜⎜ -3- 1 Resolvemos por reducción. Multiplicando a la 1ª ecuación por 3 y a la 2ª por – 5 tenemos: 0⎞ ⎛ 6 ⎟⎟ ⎝ − 12 45 ⎠ 15 X + 9 Y = ⎜⎜ ⎛ − 5 5⎞ ⎟⎟ . Sumando m. a. m. y multiplicando por – 1 => Y = ⎝ 10 0 ⎠ - 15 X - 10Y = ⎜⎜ ⎛−1 − 5 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 2 − 45 ⎠ 3⎞ ⎛ 1 ⎟⎟ ⎝ − 2 30 ⎠ De igual modo. Multiplicando a la 1ª por 2 y a la 2ª por – 3 y sumando => X = ⎜⎜ ANÁLISIS A) CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD P1.- P1.- Tenemos la ecuación e-x + 2 = x y a partir de ella consideremos la función f(x) = e-x + 2 - x Esta función es continua en todo R por ser combinación lineal de funciones continuas Busquemos un intervalo donde la función pueda cambiar de signo en sus extremos y así, por ejemplo: Para x = 0 => f( 0 ) = e 0 + 2 – 1 = 2 > 0 Para x = 3 = > f( 0 ) = e - 3 + 2 – 3 = 1 +2–3<0 e3 Por el T. De Bolzano la función f(x) se anulará para algún valor x = c € ( 0, 3 ). Para él f( c ) = e-c + 2 – c = > de donde e-c + 2 = c P2.- Tenemos la función f(x) = x 3 + a x 2 + b x + 5 . • Si para x = 1 tiene un punto de inflexión => f´´(1) = 6 . 1 + 2 a = 0 de donde a = - 3 • Si en x = 1 tiene una recta tangente horizontal es que f´(1) = 3. 1 2 +`2.a.1 + b = 0 de donde b = 3 C1.- Una función es continua en x = a si se verifica que f(a) = lim f(x) x→a según esto f(2) = lim x→2 x2 − 4 ( x + 2)( x − 2) . = lim = lim (x + 2) = 4 x → 2 x→2 x−2 x−2 C2.- Aplicando la regla de L´Hôpital lim x →0 Podemos aplicar L´Hôpital => lim x →0 ax − bx 0 = x 0 ax − bx a x . ln a − b x ln b a = lim = ln a – ln b = ln x → 0 x 1 b -4- REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES E INTEGRACIÓN 4 − 2x 2 se pide: P1.- Dada la función y = x a) Su dominio: R - { 0 } porque elñ denominador se anula para x = 0 b) Sus asíntotas Sólo pueden ser de dos tipos 1.- Verticales: como lim x→0 4 − 2x 2 4 = = ± ∞ podemos afirmar que x = 0 es una a. vertical x 0 Aunque no se pide directamente será necesario averiguar la posición entre asíntota y curva para contestar correctamente al d) 4 − 2x 2 4 lim+ = =+ ∞ x→0 x + lim− x→0 4 − 2x 2 4 = =- ∞ x − 2.- Oblicuas 4 4 − 2x 2 =-2x+ x x Asíntota oblicua y = - 2 x Diferencia entre curva y asíntota y c – y a = 4 x Cuando x tiende a + infinito y c – y a > 0 => curva por encima de la asíntota Cuando x tiende a - infinito y c – y a < 0 => curva por debajo de la asíntota c) Sus puntos singulares Aquellos donde f ´(x) = 0 => f´(x) = 40 − 2x − 4 = 0 => - 2 x 2 – 4 = 0 2 x 2 20 Esta ecuación carece de soluciones reales por lo que no habrá puntos singulares. La monotonía de la función será constante a lo 0 -4 -3 -2 -1 0 largo de todo su dominio ( crecimiento -20 negativo) -40 d) Su gráfica con los datos obtenidos en los apartados anteriores ( NO con calculadora) -5- 1 2 3 4 P.2.- Resuelve la integral ∫x 2 .senx dx ⎧u = x 2 ⎨ ⎩dv = senx dx Es una integral que se resuelve por partes I= ∫x 2 .senx dx = x 2 .(- cos x ) + 2 ∫ x cos x dx A su vez ⎧u = x ∫ x cos x dx => ⎨⎩dv = cos x dx du = 2 xdx v = − cos x (1) du = dx con lo que v = senx ∫ x cos x dx = x . sen x - ∫ senx dx = x sen x + cos x Si llevamos este resultado a (1) tendremos finalmente I = x 2 .(- cos x ) + 2 ( x sen x + cos x ) + C C.1.- una función polinómica de 4º grado es de la forma f(x) = a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e f ´(x) = 4 a x 3 + 3 b x 2 + 2 c x + d f ´´ (x) = 12 a x 2 + 6 b x + 2c f ´´´( x) = 24 a x + 6b Para que existan puntos de inflexión f ´´ (x) = 12 a x 2 + 6 b x + 2c = 0 El número de puntos de inflexión que, como máximo pueden existir, coincidirá con las raíces reales de una ecuación de 2º grado que pueden ser dos como máximo y ninguno como mínimo C.2.- Dadas las funciones x y = 6 y x + y – 7 = 0, calcula el área limitada por las dos funciones Consideremos la función d(x) = Sus raíces son : Área pedida A = 6 - ( 7 – x) x 6 - ( 7 – x) = 0 => x 2 – 7 x + 6 = 0 cuyas raíces son x = 1 y x = 6 x ∫ 6 1 6 x2 ( + x − 7) dx = 6.ln x + - 7x x 2 -6- 6 1 = 6 ln 6 + 18 – 42 –( 1 - 7) 2