Funciones cuadráticas
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Funciones cuadráticas
Funciones cuadráticas MATE 3171 Funciones cuadráticas • Una función , f , es una función cuadrática si f(x) = ax2 + bx + c , • a , b , y c se llaman coeficientes. o a es el coeficiente principal o b es el coeficiente de término lineal o c es el coeficiente constante Características generales • La gráfica tiene la forma de U, o U invertida llamada parábola. • Su dominio es el conjunto de los Reales. • No son monotónicas. Cambian de creciente a decreciente o de decreciente a creciente una vez en su dominio. • El punto donde cambian de creciente a decreciente (o viceversa) se llama el vértice. • La coordenada en y del vértice es el valor máximo o mínimo de la función • La parábola tiene 1 intercepto en y; (0, c) . • La parábola tiene a lo más 2 interceptos en x; f(x) = 0 Ejemplo • Trazar la gráfica de f(x) = - ½ x2 • f es una función par. • f es un encogimiento vertical y una reflexión sobre el eje de x de x2 • Algunos puntos que pertenecen a la gráfica: • • • • f(0) = f(1)= f(2)= f(3)= Constuya la gráfica: Ejemplo Trazar la gráfica de g(x) = - ½ x2 + 4 • g es una función par. • g (x) = - ½ (x2 – 8) • g es una traslación vertical de x2 de 8 unidades hacia abajo • g es un encogimiento vertical de x2 • g es una reflexión sobre x de x2 • g es una traslación vertical de f(x)= - ½ x2 de 4 unidades hacia arriba • g(0) = • g(1)= • g(2)= • g(3)= Construya la gráfica: Usando la forma estándar • La forma estándar de una parábola es y = a(x – h)2 + k : o la gráfica de y = a(x – h)2 + k es una • traslación horizontal de y = ax2 . • traslación vertical de y = a(x – h)2: Coeficiente principal Dado y = a(x – h)2 + k • Si a > 0 , entonces el punto (h, k) es el punto más bajo en la parábola, y la función f tiene su valor mínimo en f(h) = k . • Si a < 0 , entonces el punto (h, k) es el punto más alto en la parábola, y la función f tiene su valor máximo en f(h) = k . • Además, si a >0 la gráfica abre hacia arriba (); si a<0 la gráfica abre hacia abajo () Forma Estándar • La forma general de una ecuación cuadrática f(x) = ax2 + bx + c , se puede cambiar a su forma estándar f(x) = a(x – h)2 + k . • La forma estándar nos permite ver características útiles de la gráfica de f : o (h,k) es el vértice de la gráfica o a es coeficiente principal: a >0 gráfica abre hacia arriba (U); si a<0 la gráfica abre hacia abajo Teorema para hallar el vértice El vértice de la gráfica de una función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c, tiene coordenada de x igual a 𝑏 𝑥=− 2𝑎 y coordenada de y igual a y= 𝑏 𝑓(− ) 2𝑎 Ejemplo • Determinar el vértice de la gráfica de f(x) = 2x2 + 10x - 12 Escriba la función en forma estándar y grafique la función. Coordenada de x: Coordenada de y: 𝑏 𝑏 y= 𝑓(− ) 𝑥=− 2𝑎 2𝑎 Como a>0, el vértice es un mínimo, y la parábola abre hacia arriba. Ejemplo (cont.) • Determinar el vértice de la gráfica de f(x) = 2x2 + 10x - 12 Escriba la función en forma estándar y grafique la función. Solución (continuación) vértice → Ecuación en forma estándar: 𝑓 𝑥 = Intercepto en y: f(0) = Ejemplo (cont.) • Determinar el vértice de la gráfica de f(x) = 2x2 + 10x - 12 Escriba la función en forma estándar y grafique la función. Solución (continuación) Determinar interceptos en x: 2x2 + 10x – 12 = 0 Ejemplo Dado f(x) = 2x2 – 6x + 4 determinar a) si la gráfica de f abre hacia arriba () o b) c) d) e) f) g) hacia abajo () el intercepto en y el (los) intercepto(s) en x la forma estándar de f el vértice el máximo o mínimo de f la traslación en el plano la gráfica de f Ejemplo (cont.) Solución (cont.) Dado f(x) = 2x2 – 6x + 4 3) determinar el (los) intercepto(s) en x Los interceptos son . Ejemplo Solución (cont.) Dado f(x) = 2x2 – 6x + 4 4) determinar la forma estándar de f 5) el vértice 6) el máximo o mínimo de f 7) la traslación en el plano de la gráfica de f Ejemplo Hallar la ecuación (en forma general) de una función cuadrática, f(x) = ax2 + bx + c , que tiene vértice V(2, 3) y que pasa por (5, 1) . Solución: • Usando la ecuación estándar con h = 2 y k = 3 tenemos f(x) = a(x – 2)2 + 3 . Ejemplo (cont) • Que (5, 1) sea un punto en la gráfica de f implica que satisface la ecuación y = a(x – 2)2 + 3 Aplicaciones Los problemas de aplicación para funciones cuadráticas, generalmente se relacionan con o Evaluar para algún valor de la variable independiente. • Ej. ¿Qué altura tiene el objeto después de 5 segundos? o Resolver para algún valor de la variable dependiente. • Ej. ¿Cuántas camisetas se pueden ordenar por $350? o Determinar el máximo o mínimo (buscar vértice) • ¿Cuál es la temperatura mínima que alcanza la taza de café? • ¿Luego de cuántos segundos alcanza la taza de café su temperatura mínima? Aplicaciones: Ejemplo 1: Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de v0 pies por segundo. La distancia s(t) en pies sobre el suelo después de t segundos de lanzado el objeto está dada por s(t)= -16t 2 + v0t (a) Si el objeto cae al suelo después de 12 segundos de lanzado, determine la velocidad incial v0. (b) Determine la distancia máxima sobre el suelo que alcanza el proyectil. Aplicaciones: Ejemplo 2: Un objeto se lanza a 19.6 metros por segundo (m / s) desde una plataforma de altura 58.8 metros. La ecuación para la altura del objeto (s) en el tiempo (t segundos) después del lanzamiento es s(t) = -4.9t2 + 19.6t + 58.8, donde s es en metros. Aplicaciones • Ejemplo 3: Se estudiaron los efectos nutricionales en ratas variando el porcentaje, P, de levadura como una fuente de proteína. Se estimó que el peso promedio ganado (en gramos) de una rata en un período está dado por f( P) , donde: 𝟏 𝟐 𝒇 𝑷 =− 𝑷 + 𝟐𝑷 + 𝟐𝟎 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝟎 ≤ 𝑷 ≤ 𝟏𝟎𝟎 𝟓𝟎 • Encuentre el máximo peso ganado por las ratas. Aplicaciones • Ejemplo 5 (Localización de la Escalera) Una escalera se reclina contra el edificio, como se indica en el dibujo. La escalera es 20 pies de largo. La distancia al tope de la escalera es 4 pies mayor que la distancia, d, de la base de la escalera al edificio. Encuentre la distancia d y la distancia al tope de la escalera. 20 ft d 4 d Ejemplos adicionales Ejemplo • Hagamos el mismo ejercicio para f(x) = – x2 – 2x + 8 . • intercepto en y: (0, 8) • interceptos en x: – x2 – 2x + 8 = 0 – (x2 + 2x – 8) = 0 x2 + 2x – 8 = 0 (x + 4) (x – 2) = 0 x = -4 x = 2 En forma de punto (-4,0), (2,0). Ejemplo – continuación f(x) = – x2 – 2x + 8 . • Completar el cuadrado nos da f(x) = – (x2 + 2x ) + 8 f(x) = – (x2 + 2x + 1) + 8 + 1 f(x) = – (x + 1)2 + 9 • h = – 1 and k = 9; el vértice es (-1, 9) • a < 0 , la parábola abre hacia abajo (). • 9 es el valor máximo de f(x) Ejemplo (cont) Ejemplo (cont) Ejemplo • Determinar el vértice de la gráfica de f(x) = -2x2 12x 13 Luego, grafique la función. Coordenada de x: Coordenada de y: 𝑏 𝑏 y= 𝑓(− ) 𝑥=− 2𝑎 2𝑎 −12 12 y= 𝑓 −3 = −2(−3)2 − 12(−3) − 13 𝑥=− = y= −18 + 36 − 13 2 −2 −4 𝑥 = −3 y= 5 vértice (-3, 5) como a<0, el vértice es un máximo la parábola tiene la forma U Ejemplo (cont) Determinar interceptos. 1) int-y = f(0) y = -2(0)2 – 12(0) – 13 y = - 13 2) int-x f(x) = 0 Localizar vértice e interceptos. Aplicaciones • Ejemplo 4 (Jardinería) Un jardín rectangular mide 60 pies por 80 pies. Parte del jardín será removido para instalar una acera de ancho uniforme alrededor de él. El área del nuevo jardín es la mitad del área del viejo jardín. Determine el ancho de la acera. Aplicaciones Ejemplo (Jardinería) … 1. Familiarizarnos con el problema. x x x x Acera 60’ 60 – 2x 80 – 2x x x x x 80’ Como no sabemos el ancho de la acera, llamamos su ancho x. Jardín viejo Jardín nuevo Aplicaciones Ejemplo (Jardinería) … 2. Traduzca a álgebra. El área de un rectángulo es lw (largo por ancho). Área de jardín viejo = 60 ∙ 80; Área del nuevo jardín = (60 - 2x)(80 – 2x) Debido a que el área del nuevo jardín es ½ del viejo jardín, tenemos (60 – 2x)(80 – 2x) = ½ ∙ 60 ∙ 80 Aplicaciones 3. Solución. Resolvemos la ecuación. Usando en la izquierda el método FOIL Coleccionando los términos iguales Dividiendo entre 4 Factorizar, buscar factores de 600 que sumen -70 Usando el principio de cero como producto Aplicaciones 4. Verifique. En la ecuación original verificamos: Verifica porque da el ancho y largo números positivos x = 60 no puede ser porque el ancho y largo dan negativo y no puede ser negativo. 5. Concluya. El ancho de la acera es de 10 pies.