Funciones cuadráticas

Funciones cuadráticas
MATE 3171
Funciones cuadráticas
• Una función , f , es una función cuadrática si
f(x) = ax2 + bx + c ,
• a , b , y c se llaman coeficientes.
o a es el coeficiente principal
o b es el coeficiente de término lineal
o c es el coeficiente constante
Características generales
• La gráfica tiene la forma de U, o U invertida llamada
parábola.
• Su dominio es el conjunto de los Reales.
• No son monotónicas. Cambian de creciente a
decreciente o de decreciente a creciente una vez en su
dominio.
• El punto donde cambian de creciente a decreciente (o
viceversa) se llama el vértice.
• La coordenada en y del vértice es el valor máximo o
mínimo de la función
• La parábola tiene 1 intercepto en y; (0, c) .
• La parábola tiene a lo más 2 interceptos en x; f(x) = 0
Ejemplo
• Trazar la gráfica de f(x) = - ½ x2
• f es una función par.
• f es un encogimiento vertical y una
reflexión sobre el eje de x de x2
• Algunos puntos que pertenecen a la gráfica:
•
•
•
•
f(0) =
f(1)=
f(2)=
f(3)=
Constuya la gráfica:
Ejemplo
Trazar la gráfica de g(x) = - ½ x2 + 4
• g es una función par.
• g (x) = - ½ (x2 – 8)
• g es una traslación vertical de x2 de 8 unidades
hacia abajo
• g es un encogimiento vertical de x2
• g es una reflexión sobre x de x2
• g es una traslación vertical de f(x)= - ½ x2 de 4
unidades hacia arriba
• g(0) =
• g(1)=
• g(2)=
• g(3)=
Construya la gráfica:
Usando la forma estándar
• La forma estándar de una parábola es
y = a(x – h)2 + k :
o la gráfica de y = a(x – h)2 + k es una
• traslación horizontal de y = ax2 .
• traslación vertical de y = a(x – h)2:
Coeficiente principal
Dado y = a(x – h)2 + k
• Si a > 0 , entonces el punto (h, k) es el
punto más bajo en la parábola, y la función f
tiene su valor mínimo en f(h) = k .
• Si a < 0 , entonces el punto (h, k) es el
punto más alto en la parábola, y la función f
tiene su valor máximo en f(h) = k .
• Además, si a >0 la gráfica abre hacia arriba
(); si a<0 la gráfica abre hacia abajo ()
Forma Estándar
• La forma general de una ecuación cuadrática
f(x) = ax2 + bx + c ,
se puede cambiar a su forma estándar
f(x) = a(x – h)2 + k .
• La forma estándar nos permite ver
características útiles de la gráfica de f :
o (h,k) es el vértice de la gráfica
o a es coeficiente principal: a >0 gráfica abre
hacia arriba (U); si a<0 la gráfica abre hacia
abajo
Teorema para hallar el
vértice
El vértice de la gráfica de una función cuadrática
f(x) = ax2 + bx + c,
tiene coordenada de x igual a
𝑏
𝑥=−
2𝑎
y coordenada de y igual a
y=
𝑏
𝑓(− )
2𝑎
Ejemplo
• Determinar el vértice de la gráfica de
f(x) = 2x2 + 10x - 12
Escriba la función en forma estándar y grafique la
función.
Coordenada de x:
Coordenada de y:
𝑏
𝑏
y=
𝑓(−
)
𝑥=−
2𝑎
2𝑎
Como a>0, el vértice es un mínimo, y la parábola abre hacia arriba.
Ejemplo (cont.)
• Determinar el vértice de la gráfica de
f(x) = 2x2 + 10x - 12
Escriba la función en forma estándar y grafique la
función.
Solución (continuación)
vértice →
Ecuación en forma estándar:
𝑓 𝑥 =
Intercepto en y:
f(0) =
Ejemplo (cont.)
• Determinar el vértice de la gráfica de
f(x) = 2x2 + 10x - 12
Escriba la función en forma estándar y grafique la
función.
Solución (continuación)
Determinar interceptos en x:
2x2 + 10x – 12 = 0
Ejemplo
Dado f(x) = 2x2 – 6x + 4 determinar
a) si la gráfica de f abre hacia arriba () o
b)
c)
d)
e)
f)
g)
hacia abajo ()
el intercepto en y
el (los) intercepto(s) en x
la forma estándar de f
el vértice
el máximo o mínimo de f
la traslación en el plano la gráfica de f
Ejemplo (cont.)
Solución (cont.)
Dado f(x) = 2x2 – 6x + 4
3) determinar el (los) intercepto(s) en x
Los interceptos son
.
Ejemplo
Solución (cont.)
Dado f(x) = 2x2 – 6x + 4
4) determinar la forma estándar de f
5) el vértice
6) el máximo o mínimo de f
7) la traslación en el plano de la gráfica de f
Ejemplo
Hallar la ecuación (en forma general) de una
función cuadrática, f(x) = ax2 + bx + c , que
tiene vértice V(2, 3) y que pasa por (5, 1) .
Solución:
• Usando la ecuación estándar con h = 2 y
k = 3 tenemos
f(x) = a(x – 2)2 + 3 .
Ejemplo (cont)
• Que (5, 1) sea un punto en la gráfica de f
implica que satisface la ecuación
y = a(x – 2)2 + 3
Aplicaciones
Los problemas de aplicación para funciones cuadráticas,
generalmente se relacionan con
o Evaluar para algún valor de la variable independiente.
• Ej. ¿Qué altura tiene el objeto después de 5
segundos?
o Resolver para algún valor de la variable dependiente.
• Ej. ¿Cuántas camisetas se pueden ordenar por $350?
o Determinar el máximo o mínimo (buscar vértice)
• ¿Cuál es la temperatura mínima que alcanza la taza
de café?
• ¿Luego de cuántos segundos alcanza la taza de café
su temperatura mínima?
Aplicaciones:
Ejemplo 1: Un objeto se lanza verticalmente hacia
arriba con una velocidad inicial de v0 pies por
segundo. La distancia s(t) en pies sobre el suelo
después de t segundos de lanzado el objeto está dada
por
s(t)= -16t 2 + v0t
(a) Si el objeto cae al suelo después de 12 segundos de
lanzado, determine la velocidad incial v0.
(b) Determine la distancia máxima sobre el suelo
que alcanza el proyectil.
Aplicaciones:
Ejemplo 2: Un objeto se lanza a 19.6 metros por
segundo (m / s) desde una plataforma de altura
58.8 metros. La ecuación para la altura del objeto
(s) en el tiempo (t segundos) después del
lanzamiento es
s(t) = -4.9t2 + 19.6t + 58.8,
donde s es en metros.
Aplicaciones
• Ejemplo 3: Se estudiaron los efectos
nutricionales en ratas variando el porcentaje, P,
de levadura como una fuente de proteína. Se
estimó que el peso promedio ganado (en
gramos) de una rata en un período está dado
por f( P) , donde:
𝟏 𝟐
𝒇 𝑷 =−
𝑷 + 𝟐𝑷 + 𝟐𝟎 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝟎 ≤ 𝑷 ≤ 𝟏𝟎𝟎
𝟓𝟎
• Encuentre el máximo peso ganado por las
ratas.
Aplicaciones
• Ejemplo 5 (Localización de la Escalera) Una
escalera se reclina contra el edificio, como se indica
en el dibujo. La escalera es 20 pies de largo. La
distancia al tope de la escalera es 4 pies mayor que
la distancia, d, de la base de la escalera al edificio.
Encuentre la distancia d y la distancia al tope de la
escalera.
20 ft
d 4
d
Ejemplos adicionales
Ejemplo
• Hagamos el mismo ejercicio para
f(x) = – x2 – 2x + 8 .
• intercepto en y:
(0, 8)
• interceptos en x:
– x2 – 2x + 8 = 0
– (x2 + 2x – 8) = 0
x2 + 2x – 8 = 0
(x + 4) (x – 2) = 0
x = -4 x = 2 En forma de punto (-4,0), (2,0).
Ejemplo – continuación
f(x) = – x2 – 2x + 8 .
• Completar el cuadrado nos da
f(x) = – (x2 + 2x ) + 8
f(x) = – (x2 + 2x + 1) + 8 + 1
f(x) = – (x + 1)2 + 9
• h = – 1 and k = 9; el vértice es (-1, 9)
• a < 0 , la parábola abre hacia abajo ().
• 9 es el valor máximo de f(x)
Ejemplo (cont)
Ejemplo (cont)
Ejemplo
• Determinar el vértice de la gráfica de
f(x) = -2x2  12x  13
Luego, grafique la función.
Coordenada de x:
Coordenada de y:
𝑏
𝑏
y= 𝑓(− )
𝑥=−
2𝑎
2𝑎
−12
12 y= 𝑓 −3 = −2(−3)2 − 12(−3) − 13
𝑥=−
=
y= −18 + 36 − 13
2 −2
−4
𝑥 = −3
y= 5
vértice (-3, 5)
como a<0, el vértice es un máximo
la parábola tiene la forma U
Ejemplo (cont)
Determinar interceptos.
1) int-y = f(0)
y = -2(0)2 – 12(0) – 13
y = - 13
2) int-x  f(x) = 0
Localizar vértice e interceptos.
Aplicaciones
• Ejemplo 4 (Jardinería) Un jardín rectangular
mide 60 pies por 80 pies. Parte del jardín será
removido para instalar una acera de ancho
uniforme alrededor de él. El área del nuevo
jardín es la mitad del área del viejo jardín.
Determine el ancho de la acera.
Aplicaciones
Ejemplo (Jardinería) …
1. Familiarizarnos con el problema.
x
x
x
x
Acera
60’
60 – 2x
80 – 2x
x
x
x
x
80’
Como no sabemos el ancho de la acera,
llamamos su ancho x.
Jardín
viejo
Jardín
nuevo
Aplicaciones
Ejemplo (Jardinería) …
2. Traduzca a álgebra. El área de un rectángulo
es lw (largo por ancho).
Área de jardín viejo = 60 ∙ 80;
Área del nuevo jardín = (60 - 2x)(80 – 2x)
Debido a que el área del nuevo jardín es ½ del
viejo jardín, tenemos
(60 – 2x)(80 – 2x) = ½ ∙ 60 ∙ 80
Aplicaciones
3. Solución. Resolvemos la ecuación.
Usando en la izquierda
el método FOIL
Coleccionando los términos iguales
Dividiendo entre 4
Factorizar, buscar factores de
600 que sumen -70
Usando el principio de
cero como producto
Aplicaciones
4. Verifique. En la ecuación original verificamos:
Verifica porque da el ancho
y largo números positivos
x = 60 no puede ser porque el
ancho y largo dan negativo y
no puede ser negativo.
5. Concluya.
El ancho de la acera es de 10 pies.