Práctica 5

CPE (SEGUNDO CURSO)
PRÁCTICA 5
(Curso 2016–2017)
1.– La carga crı́tica de pandeo a flexión de una columna vertical biarticulada en sus extremos (ver
Figura) viene dada por la denominada carga de Euler, P , y se calcula como
P = π2
E×I
L2
siendo P la carga de Euler (en N) E el módulo de Young (en Pa), I el momento
de inercia de la sección de la columna (en m4 ) y L la longitud de la misma entre
apoyos (en m). Para una columna de sección estrictamente constante y de material
homogéneo e isótropo, tanto E como I pueden considerarse constantes. Supongamos
que, en cambio, L sufre ligeras variaciones, de forma que puede suponerse que la
longitud de la columna es una variable aleatoria uniformemente distribuida con rango
[9.95 m, 10.05 m]. Calcular la distribución de P . Si la carga axial a la que va a estar
sometido el pilar es de R= 870 KN, el módulo de elasticidad del material es de 27000
MPa y la columna es de sección cuadrada con lado 0.25 m, ¿cuál es la probabilidad
de que dicha columna pandee? O, lo que es lo mismo, ¿cuál es la probabilidad de que
la carga axial supere la carga de Euler?
P
L
Nota: con estos datos π 2 (E × I) = 86.7446 106 N × m2
2.– Un cierto programa de ordenador incluye el cálculo de una integral. El tiempo necesario, T ,
para calcular dicha integral es una variable aleatoria con función de densidad
{
t≥0
λe−λt
fT (t) =
t<0
0
El tiempo total de cálculo del programa es Y = (T − 1)2 + 2. Calcular la distribución de Y .
3.– Un punto A se elige al azar sobre la circunferencia de radio r y centro en el origen de
coordenadas. Calcular la distribución de la abscisa de A.
4.– En una cierta empresa (situada obviamente en el Sudeste Asiático) se trabaja un número de
horas teóricas anuales uniformemente distribuido entre 10 y 20 millones. Las horas perdidas
por absentismo laboral representan con igual probabilidad entre el 10 % y el 50 % del total
de horas trabajadas. Obténgase la distribución del número de horas perdidas anualmente por
absentismo.
5.– Sea J una variable aleatoria discreta con función de probabilidad
PJ (1) = 0.25, PJ (2) = 0.50, PJ (3) = 0.25
a) Calcular PK (k) donde K = 2J + 3
b) Calcular PM (m) donde M = g(J), siendo g(1) = g(3) = 1, g(2) = 2
√
c) Calcular PX (x) donde X = 3.4 J + J 2
6.– Los apoyos de obras de fábrica elevadas (viaductos, pasarelas, acueductos, etc.) en una cierta
ciudad latinoamericana sometida a un alto riesgo sı́smico se van a diseñar en el futuro utilizando
sistemas elásticos similares al que se presenta en la Figura. En una primera aproximación, el
comportamiento de estos apoyos puede estudiarse mediante la Ley de Hooke que, prescindiendo
de signos, puede escribirse como
G = kδ,
k=
A×E
L
siendo G la fuerza aplicada, δ la elongación del sistema elástico, k la constante elástica del
sistema, A su sección transversal, L la longitud del sistema en reposo y E el módulo de
elasticidad del sistema.
Calcular la elongación del apoyo cuando está sometido a una fuerza aleatoria G, con la sección
transversal A también aleatoria y todos los demás parámetros (E y L) constantes. Si el sistema
soporta una elongación de 1.5 sin plastificar ni romper, ¿cuál es la probabilidad de que el apoyo
resista ante los esfuerzos anteriormente indicados?
Para simplificar los cálculos, utilı́cense las siguientes distribuciones, en las que las unidades
han sido adecuadamente reducidas:
fG (g) = 1/2,
0 ≤ g ≤ 2;
fA (a) = 5,
1/5 ≤ a ≤ 2/5
con las constantes E = 50 y L = 10.
Realı́cense las hipótesis necesarias.
7.– Por una resistencia de valor aleatorio R ohmios circula una corriente aleatoria de I amperios.
Calcular la distribución de la potencia W en vatios.
fR (r) = 2r,
0<r<1
fI (i) = 6i(1 − i),
Nota: W = RI 2
0<i<1