Solución del cuarto examen de evaluación continua

Solución del cuarto examen de evaluación continua

Examen de integración
Ingeniería Técnica de Obras Públicas (E.T.S.E.C.C.P.B.)
1.- (3 puntos) Calcular las integrales indefinidas siguientes:
Z
Z
Z √x
ln x
x arcsin x
e
√
(i)
dx
(ii)
dx
(iii) √ dx
2
x
x
1−x
SOLUCIÓN
Z
ln x
1
dx = ln 2 x + C
x
2
(i)
Z
(ii)
Z
(iii)


dx
√
u
=
arcsin
x
−→
du
=
√
x arcsin x

1 − x2 
√
=
−
1 − x2 arcsin x + x + C
dx = 

√
x
2
1 − x2
√
−→ v = − 1 − x
dv =
1 − x2
√
√
e x
√ dx = 2e x + C
x
2.- (4 puntos) Sea f : [−1, 2π] ⊂ IR −→ IR definida
 3
x
−1



sin(2x)
0
f (x) =


 (x − π)3
π
Z
≤ x < 0,
≤ x < π,
≤ x ≤ 2π.
x
Hallar la función integral de f (x), F (x) =
bilidad.
por:
f (t)dt y estudiar su continuidad y deriva−1
SOLUCIÓN
Para hallar la función integral de f (x) debemos estudiarla en los distintos tramos:
¯x
Z x
Z x
x4 1
t4 ¯¯
3
• x ∈ [−1, 0], F (x) =
f (t)dt =
t dt = ¯ =
−
4 −1
4
4
−1
−1
¯0
¯x
Z 0
Z x
cos(2t) ¯¯
−1 cos(2x)
t4 ¯¯
3
=
• x ∈ [0, π], F (x) =
t dt +
sin(2t)dt = ¯ −
−
+
¯
4 −1
2
4
2
−1
0
0
1 cos(2x)
1
= −
2
4
2
Z
0
Z
• x ∈ [π, 2π], F (x) =
t dt +
−1
¯x
(x − π)4 ¯¯
−1 (x − π)4
=
+
¯
4
4
4
π
Z
π
3
x
sin(2t)dt +
0
π
¯0
¯π
cos(2t) ¯¯
t4 ¯¯
+
(t − π) dt = ¯ +
4 −1
2 ¯0
3
Comprobamos la continuidad de f (x). Si x pertenece a [−1, 0), (0, π) o (π, 2π], f (x)
es continua por ser funciones elementales. Miremos en 0 y en π:
lı́m− x3 = lı́m+ sin(2x) = 0
x→0
x→0
lı́m sin(2x) = lı́m+ (x − π)3 = 0
x→π −
x→π
Luego podemos afirmar por el Teorema fundamental del cálculo, que su función integral
F (x) será continua y diferenciable en todo el intervalo.
√
3.-(3 puntos) Sea la función f (x) = x, calcular el volumen de revolución alrededor del
eje x del recinto determinado por f (x), el eje x y las rectas x = 0 y x = 4. Calcular
también el volumen de revolución alrededor del eje y del mismo recinto.
SOLUCIÓN
Para calcular el volumen de revolución generado Zcuando una cierta funcion f (x) que
gira alrededor del eje x basta con calcular la integral πf 2 (x)dx. En este caso particular,
el volumen generaado será:
Z 4
Z 4
√ 2
π( x) dx =
πxdx = 8π
0
0
Examen de integración
Ingeniería Técnica de Obras Públicas (E.T.S.E.C.C.P.B.)
1.- (3 puntos) Calcular las integrales indefinidas siguientes:
Z
Z
Z
3x
x
(ii) √
(i) e cos xdx
dx
(iii) sin x cos xdx
1 − x2
SOLUCIÓN
"
Z
x
(i)
e cos xdx =
u = cos x
−→ du = − sin xdx
x
x
#
Z
x
= e cos x +
ex sin xdx =
dv = e dx −→ v = e
"
#
Z
u = sin x −→ du = cos xdx
x
x
=
= e cos x + e sin x − ex cos xdx ⇒
dv = ex dx −→ v = ex
Z
ex
⇒ ex cos xdx = (sin x + cos x) + C
2
Z
√
(ii)
√
3x
dx = −3 1 − x2 + C
1 − x2
Z
(iii)
sin x cos xdx =
sin2 x
+C
2
2.- (3 puntos) Sea f : [−1, 1] ⊂ IR −→ IR definida por:
(
f (x) =
ex
−1 ≤ x < 0,
x2 − x + 1
0 ≤ x ≤ 1,
Z
x
Hallar la función integral de f (x), F (x) =
f (t)dt.
−1
SOLUCIÓN
Para hallar la función integral de f (x) debemos estudiarla en los distintos tramos:
Z x
Z x
¯x
1
• x ∈ [−1, 0], F (x) =
f (t)dt =
et dt = et ¯−1 = ex −
e
−1
−1
Z
• x ∈ [0, 1],
1−
0
F (x) =
1 x3 x2
+
−
+x
e
3
2
Z
x
t
e dt +
−1
2
(t − t + 1)dt =
0
¯0
et ¯−1
µ
+
¶¯x
¯
t3 t2
− + t ¯¯ =
3
2
0
3.- (4 puntos) Se necesita fabricar una pieza con el área resultante de intersecar la elipse
x2 y 2
+
= 1 con la parábola y = x2 .
2
9
(a) Calcular el área de material que será necesario sabiendo que el área de una elipse es
πab.
(b) Si la piezas se fabrican a partir de la elipse anterior, calcular el área del material que
se desecha.
2
1
x
−2
−1
0
1
2
0
−1
y −2
−3
−4
SOLUCIÓN
Para resolver estre problema primero debemos encontrar los puntos de corte de las dos
curvas.

r
√
x2 y 2

y y2
−9 + 81 + 144
3
3
+
=1
=⇒ +
= 1 =⇒ y =
= =⇒ x = ±
2
9

2
9
4
2
2
y = x2
Calcularemos el área de la parte superior de la pieza. Dado que sabemos que el área
de la elipse es πab dónde a y b son los semiejes de la elipse, el área de la mitad inferior
será




=


1 √
π3 2. El área de la parte superior A:
2
Ãr !3
Z √2 r
Z √3
Z √2 r
2
2
A
x
1
3
x2
=
+3 √
1 − dx =
x2 dx + √ 3 1 − dx =
3
3
2
2
3
2
2
0
2
2
√

2 sin t
√

√
√
¶
µ
dx = 2 cos tdt 
√ Z π2
√ Z π2 1 + cos 2t
3
3

2
q
dt =
cos tdt = √ + 3 2
= √ +3 2
π
π
2
2
2
2
2
x = 32 → t = π3 
3
3

√
π
x= 2→t= 2
√
√
√
√
µ
¶¯ π
√
π − 23
3
t sin 2t ¯¯ 2
3
π
3 3
= √ +3 2
+
¯ π = 2√2 + 2√2 − 4√2 = 2√2
2
4
2 2
3
x=
Luego el área de la pieza es:
√
π− 3
1 √
π3 2 + √ 2
2
2
El área del material desechado sera:
√
π3 2 −
Ã
√
π− 3
1 √
π3 2 + √ 2
2
2
!
√
π− 3
1 √
= π3 2 − √ 2
2
2
Examen de integración
Ingeniería Técnica de Obras Públicas (E.T.S.E.C.C.P.B.)
1.- (3 puntos) Calcular las integrales indefinidas siguientes:
Z
Z
Z √
ex
2
(iii) cos2 xdx
(i)
dx
(ii) x 9 − x dx
1 − 2ex
SOLUCIÓN
Z
(i)
1
ex
dx = − ln (1 − 2ex ) + C
x
1 − 2e
2
Z
√
1
x 9 − x2 dx = − (9 − x2 )3/2 + C
3
Z
Z
1 + cos 2x
x sin 2x
2
(iii) cos xdx =
dx = +
+C
2
2
4
(ii)
2.- (3 puntos) Sea f : [−1, 2π] ⊂ IR −→ IR definida por:

(x − 1)2
−1 ≤ x < 0,




π
cos(x)
0 ≤x< ,
f (x) =
2

³
´

π
π

 x−
≤ x ≤ 2π.
2
2
Z
x
f (t)dt y estudiar su continuidad y
Hallar la función integral de f (x), F (x) =
−1
derivabilidad.
SOLUCIÓN
Para hallar la función integral de f (x) debemos estudiarla en los distintos tramos:
¯x
Z x
Z x
(x − 1)3 8
(t − 1)3 ¯¯
2
=
+
• x ∈ [−1, 0], F (x) =
f (t)dt =
(t − 1) dt =
3 ¯−1
3
3
−1
−1
¯0
Z 0
Z x
7
(t − 1)3 ¯¯
2
π
+ sin x|x0 = + sin(x)
• x ∈ [0, 2 ], F (x) =
(t − 1) dt +
cos(t)dt =
¯
3
3
−1
0
−1
Z 0
Z π
Z x³
2
π´
2
π
• x ∈ [ 2 , 2π], F (x) =
(t − 1) dt +
cos(t)dt +
x−
dt =
π
2
−1
0
2
¯0
³
´2 ¯¯π
2
2
π
1
10
(t − 1)3 ¯¯
π
x
π
π
¯ =
+ sin x|02 +
x−
+
− x+
3 ¯−1
2
2 ¯π
3
2
2
8
2
Comprobamos la continuidad de f (x). Si x pertenece a [−1, 0), (0, π2 ) o ( π2 , 2π], f (x)
es continua por ser funciones elementales. Miremos en 0 y en π2 :
lı́m (x − 1)2 = lı́m cos(x) = 1
x→0
x→0
lı́mπ cos(x) = lı́mπ (x −
x→ 2
x→ 2
π
)=0
2
Luego podemos afirmar por el Teorema fundamental del cálculo, que su función integral
F (x) será continua y diferenciable en todo el intérvalo.
3.- (4 puntos) Encontrar el volumen de revolución del sólido
√ obtenido al girar alrededor
del eje x la región limitada por la semicircunferencia y = 1 − x2 , la parábola y = x2 y
el eje x, tal y como muestra el dibujo.
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−1
−0.5
0
0.5
1
SOLUCIÓN
Para calcular el volumen de revolución generado
Z cuando una cierta funcion f (x) gira
alrededor del eje x basta con calcular la integral
πf 2 (x)dx. En este caso particular, el
volumen generado será:
µZ
Z
x0
V =2
2 2
1
π(x ) dt +
0
π
³√
1 − x2
´2
¶
dt
x0
dónde x0 es el punto de corte positivo de las dos curvas.
x2 + y 2 = 1
y=x

q
Z
V = 2
0
2
√
−1+ 5
2
)
−1 +
=⇒ y + y − 1 = 0 =⇒ y =
2
2
Z
πx4 dt +
√

5
=⇒ x = ±
q
¯
x ¯
2


π(1 − x )dt = 2π
5 ¯0
5¯
1
q

s
√
−1+ 5
2
√
−1+ 5
2
µ
+
−1 +
2
√
5

¶¯1
¯
x ¯

x−
q
3 ¯ −1+√5
3
2