U.R.U. Facultad de Ingenier´ıa Departamento de Ciencias Básicas

U.R.U. Facultad de Ingenier´ıa Departamento de Ciencias Básicas

U.R.U.
Facultad de Ingenierı́a
Departamento de Ciencias Básicas
Matemática II — C, D
TAREA 4
Dr. <amón J. Cova
2010-A
Resumen
Resolver las siguientes cuestiones empleando un cambio/substitución de variable.
Cuestiones
. 1
Z
(a)
Z
cos 3xdx,
Z
−3
(e)
x(4 + x2 )10 dx.
(b)
4(1 + 2x)
Z
(k)
dx,
(ln x)2
dx,
x
√
Z
(p)
Z
(s)
a
x
Z
(l)
p
(i) √
(n)
Z
(q)
x+1
dx,
x2 + 2x
[c 6= 0, a 6= −1],
√
sin x
√ dx,
x
2x(x2 + 3)4 dx,
(g)
Z
(j)
Z
cos4 x sin xdx,
Z
cxa+1 dx
(d)
2
dt
(t + 1)6
Z
√
(ll) sec x tan x 1 + sec xdx,
1 + 4x
dx,
1 + x + 2x2
t sin(t2 )dt,
exp(x) + 1dx,
cot x cosec2 (x)dx,
b+
Z
x3 + 1dx,
exp(cos θ) cos θdθ,
Z
p
exp(x)
p
Z
(f )
dx/(5 − 3x),
Z
(m)
x2
Z
Z
(h)
Z
(c)
(t)
(o)
Z
(r)
1+x
dx,
1 + x2
dx/(x ln x),
sec3 (x) tan xdx,
Z
x
dx.
(x + 2)1/4
(u)
ý ý ý ý ý ý ý ý ý ý ý ý ý ý ý ý ý ý ý ý
. 2
2
Z
25
(x − 1) dx,
(a)
1
Z
2
(b)
0
Z
3 5
x (1 + 2x ) dx,
(c)
0
Z
(e)
0
π/3
sin θ
dθ,
cos2 θ
1
Z
cos(πt)dt,
(d)
0
Z
(f )
e
e4
1
dx,
x ln x
1
Z
(g)
0
4
dx
,
(x − 2)3
1
Z
(h)
0
4
1 + (1/x)
dx
x2
1
x exp (−x2 )dx.
. 3 Una respiración dura aproximadamente 5 segundos, desde el principio de la inhalación
hasta el final de la exhalación (ie, un ciclo). Si la razón de cambio del flujo de aire que entra
en los pulmones (litros por segundo) viene dada por f (t) = 21 sin(2πt/5), determinar (a) el
volumen de aire inhalado en el tiempo t; (b) el flujo de aire máximo fmax .
. 4 Una compañia está produciendo una calculadora nueva. Después de t semanas, la razón
de cambio en la producción obedece la ecuación:
dx
100
)
= 5000(1 −
dt
(t + 10)2
calculadoras/semana.
Hallar el número de calculadoras producidas desde el principio de la 3ra. semana hasta el
final de la 4ta. semana.
. 5 Si f es continua y
R4
. 6 Si f es continua y
R9
0
0
f (x)dx = 10, obtener
R2
0
f (x)dx = 4, encontrar
f (2x)dx.
R3
0
xf (x2 )dx.
. 7 Sea f una función continua en <. Demostrar que :
Z
b
−a
Z
f (−x)dx =
f (x)dx.
−b
a
. 8 Demostrar que el área debajo del gráfico de y = sin
debajo del gráfico de y = 2x sin x desde 0 hasta 2.
√
x desde 0 hasta 4, es igual al área
. 9 Si a y b son números positivos, demuestre que
1
Z
xa (1 − x)b dx =
1
Z
xb (1 − x)a dx.
0
0
. 10 Usando el cambio u = π − x, demostrar que
Z
0
π
π
xf (sin x)dx =
2
Z
π
f (sin x)dx
0
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - . Nota: Por favor revise la bibliografı́a y haga tantos ejercicios como pueda. No debe conformarse solamente con los ejercicios de las Tareas.
. Nota: Si el estudiante prefiere los ejercicios abstractos, puede parafrasear los problemas
de aplicación en una terminologı́a libre de semántica cientı́fica/tecnológica. Empero, este
Profesor recomienda resolver los ejercicios de aplicaciones tal cual.
2