Tarea4 - algebrafm

Álgebra Moderna 1
Mat. Frank Patrick Murphy Hernandez
Tarea 4
G-conjuntos, el teorema de Cauchy y los teoremas de Sylow.
Sea G un grupo y p un primo.Demuestre
(1) Sean X un G-conjunto, x, y ∈ X y g ∈ G. Si gx = y entonces Gy = gGx g −1 ;
concluya que |Gx | = |Gy |.
Sea X un G-conjunto, diremos que es transitivo si Gx = G para alguna
x ∈ X.
(2) Sea X un G-conjunto, entonces todas orbita es un G-conjunto transitivo.
(3) Si H ≤ G, entonces G actua transitivamente en el conjunto de clases izquierdas de H y en el conjunto de conjugados de H.
T
(4) Sea X un G conjunto y K = x∈X Gx , entonces:
• K E G.
• X es un G/H-conjunto.
• Si X es un G-conjunto transitivo, entonces X es un G/H-conjunto transitivo.
(5) Sea X un G-conjunto finito y H ≤ G. Si H actua transitivamente entonces
HGx = G para toda x ∈ X.
(6) Sea G un p-grupo finito. Si H < G entonces H < NG (H).
(7) Sea G un p-grupo finito. Si H es un subgrupo máximo de G entonces H E G
y [G : H] = p.
(8) Sea H E G. Si H y G/H son p-grupos entonces G es un p-grupo.
(9) Si |G| = pn y 0 ≤ k ≤ n, entonces existe H E G con |H| = pk .
(10) Sea G un p-grupo finito y H un subgrupo normal no trivial de G. Entonces
H ∩ Z(G) 6= e
1
2
(11) Sea G un p-grupo finito, si H es un subgrupo normal de G de orden p entonces
H ≤ Z(G).
(12) Sea H un subgrupo propio de un p-grupo finito G. Si |H| = pk entonces
existe un subgrupo de orden pk+1 que contiene a H.
(13) Sean G un grupo finito cuyo orden es un multiplo de p y P ∈ p − SS(G)
entonces aP a−1 ∈ p − SS(G) para toda a ∈ G.
(14) Sean G un grupo finito cuyo orden es un multiplo de p y P ∈ p − SS(G). Si
|p − SS(G)| = 1 entonces P E G.
(15) Si G es un grupo no abeliano de orden p3 entonces el orde del centro de G es
p y G/Z(G) ∼
= Zp × Zp .
(16) Sea G es un p-grupo finito, entonces el número de subgrupos normales de
orden pk es congruente con 1 módulo p.
(17) Sea H ≤ G y P ∈ p − SS(G). Si NG (P ) ≤ H entonces NG (H) = H.
(18) Sea H E G y P ∈ p − SS(G) entonces H ∩ G ∈ p − SS(H) y HP/H ∈
p − SS(G/H).
(19) Sean G finito y QEG p-subgrupo, entonces Q ≤ P para todo P ∈ p−SS(G).
(20) Sea G un grupo finito. Si pk es un divisor del orden de G, entonces G contiene
un subgrupo de orden pk .