Certamen 3 - Alberto Mercado

UTFSM
Departamento de Matemática.
Prof.: Alberto Mercado Saucedo.
Ayud.: Fernando Roldán.
MAT-125 INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA AVANZADA.
CERTAMEN 3.
MARTES 19 DE ENERO
150 MINS.
x2
Problema 1. (35 pts.) Considere fn (x) = p
x2 + 1/n
(1) Determine el lı́mite puntual de {fn } en R.
(2) Determine si hay convergencia uniforme en [−1, 1].
Sugerencia: Intentar acotar |fn (x) − f (x)| por alguna expresión convergente a cero cuando
n → ∞.
(3) Determine si la sucesión de derivadas {fn0 } converge uniformemente en (−1, 1).
Problema 2. (35 pts.)
a) Determine si la función continua f : R −→ R dada por f (x) = cos(x2 ) es uniformemente
continua.
c) Sea f : R −→ R continua tal que lim f (x) = lim f (x) = +∞. Probar que existe x0 ∈ R
x→−∞
x→+∞
tal que f (x0 ) ≤ f (x) para todo x ∈ R.
Problema 3. (30 pts.) Sean f y g dos funciones derivables en R tales que f 0 ≤ g 0 en R, y f (a) = g(a)
para algún a ∈ R. Probar que f (x) ≤ g(x) para todo x ≥ a.
Sugerencia: Aplicar el TVI.
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