Enunciados de Problemas ******* CÁLCULO

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ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE CÁLCULO *******
Enunciados
de
Problemas
*******
CÁLCULO ESCUELA SUPERIOR DE LA MARINA CIVIL DIPLOMADO EN MÁQUINAS NAVALES DIPLOMADO EN NAVEGACIÓN MARÍTIMA
ISIDORO PONTE­E.S.M.C. 1 ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE CÁLCULO EL NÚMERO REAL 1.­ Sea x ¹ o un número racional e y un número irracional. i) ¿ Cómo es x + y ?. ii) ¿ Cómo es x × y ?. 2.­ i) ¿ Existen dos números irracionales distintos cuya suma sea irracional y su producto racional?. Por qué. ii) ¿ Existen dos números irracionales distintos cuya suma sea racional y su producto irracional?. Por qué. iii) ¿ Existen dos números racionales distintos cuya suma o producto sea irracional?. Por qué. 3.­ Sea x un número real ; i) ¿ Puede ocurrir que x 3 sea irracional y x 6 racional ?.Por qué. ii) ¿ Puede ocurrir que x 3 sea racional y x 6 irracional ?.Por qué. 4.­ Probar que entre dos números racionales existe siempre otro número racional. 5.­ Sean a y b dos números enteros positivos. Demuestra que a a + 2 b y . 2 está comprendido entre b a + b
6.­ Demuestra que 3 + 2 es un número irracional. 7.­ Sea r Î Q / r 2 < 2 . Demuestra que siempre existe un número racional mayor que r ; ( r + h ) / ( r + h ) 2 < 2 .
h >0 ISIDORO PONTE­E.S.M.C. 2 ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE CÁLCULO 8.­ Sea r Î Q / r 2 > 2 . Demuestra que siempre existe un número racional menor que r ; ( r - h ) / ( r - h ) 2 > 2 . h >0 9.­ Sean x e y números reales positivos, prueba que se x + y verifica: ³ x × y
2 10.­ Sean a , b , c y d Î Q , x Î I . Demuestra que ax + b es cx + d
irracional, indicando las excepciones. 11.­ Decir que resultados de los siguientes son ciertos: /
a) ( -1 ) 1 3 = 3 -1 = -1 / b) ( -1 ) 1 3 = ( -1 ) 2 / 6 = 6 ( -1 ) 2 = 6 1 = 1 12.­ Demuestra que: / / ( a 2 + a 4 / 3 b 2 / 3 ) 1 2 + (b 2 + a 2 / 3 b 4 / 3 ) 1 2 = ( a 2 / 3 + b 2 / 3 ) 3 / 2
b > 0. con a > 0 y 13.­ Dados x , y Î R prueba los siguientes resultados: i) Si x > 0 Þ 1 / x > 0 . ii) Si y > x > 0 Þ 1 / x > 1 / y . 14.­ Sean x , y Î R +
x y . £
1 + x 1 + y con x £ y
prueba entonces que: 15.­ Usando el resultado del ejercicio anterior resuelve:
ISIDORO PONTE­E.S.M.C. 3 ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE CÁLCULO Sean x , y y z ³ 0 números reales, verificando que x y z x + y ³ z , prueba entonces que: . +
³
1 + x 1 + y 1 + z 16.­ Resuelve la desigualdad: x + 4 > 2 . 3 - x
17.­ Calcula el conjunto de números reales, solución a la inecuación: x 2 - 7 > 5 . 18.­ Sean x , y Î R
con 0 < x < y prueba entonces que entre x 2xy x + y
e y se encuentran los números y .¿ Cuál de ellos x + y
2 es mayor?. 19.­ Resuelve la ecuación: 5 × 6 2 x +1 - 20 × 6 x +1 + 18 = 0 . 20.­ Desarrolla : ln 1 . a c - x
7 æ 3 ö
21.­ Resuelve la ecuación: log 3 x ç ÷ + log 2 3 x - 1 = 0 . è x ø
x y = y x ü
22.­ Resuelve el sistema: ý . y = 3 x þ
x ln x ü
ln =
ï
23.­ Resuelve el sistema: y ln y ý .
x 3 = y 4 ïþ
ISIDORO PONTE­E.S.M.C. 4 ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE CÁLCULO 24.­ Dado el polinomio: P x ( ) = ( a 2 - 1 )x 2 + 2 ( a - 1 )x + 1 ; calcula los valores de a en el campo real para los que P x ( ) ³ 0 " x Î R . 25.­ Demuestra que dada una ecuación : n n - 1 a 0 x + a x + L + a n = 0 con coeficientes a i Î Z , las raices 1 ·
·
racionales p han de ser tales que a n = p y a 0 = q ( p q y q primos entre sí ).
ISIDORO PONTE­E.S.M.C. 5 ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE CÁLCULO EL NÚMERO COMPLEJ O 1.­ Sean z 1 = x 1 + y 1 i complejos . æ z ö mod z 1 mod ç 1 ÷ =
è z 2 ø mod z 2 y Û
2 z 2 = x 2 + y 2 i Comprueba z z 1 = 1 z 2 z 2
2 dos números que 2 2 2.­ Demuestra que : z 1 + z 2 + z 1 - z 2 = 2 ( Z 1 + Z 2 ) . 3.­ Describir geométricamente el conjunto de los afijos de los números complejos z que cumplen las condiciones: a) z < 1 b) z £ 1 y parte real de z > 1 2 2 c) z - z = i
d) z + z = z . 4.­ a) Describir geométricamente el conjunto de puntos z del z - 3 plano complejo que verifican la ecuación: = 2 . z + 3 b) Calcula el lugar geométrico de los afijos de los números complejos z z - 3 p
que verifican : arg = . z + 3 4
5.­ Encuentra los números complejos z que verifican : z - 3 = 2 y z + 3 z - 3 p
arg = .
z + 3 4
ISIDORO PONTE­E.S.M.C. 6 ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE CÁLCULO 6.­ Calcula dos números complejos z 1 z 1 + z 2 = 5 + 5i ü
ý
z 1 z 2 = i þ
7.­ Halla a y b para que y z 2 tales que: 3 b - 2 ai sea real y de módulo 4 - 3 i
unidad. 8.­ Dado el complejo z = ( 2 3 - 2 i ) 10 , calcula su módulo y su argumento. 9.­ Calcula: a) 5 + 3 i 6 + 2i 10.­ Halla las raíces : a) b)
5 1 b) 3 -8 . 6 1 . 11.­ Calcula las raices de 5º grado de la unidad imaginaria,expresándolas en forma binómica ( con dos decimales ). 12.­ a) Descompón en factores de primer grado : x 5 - 1 . b) Descompón en factores de primer y segundo grado con coeficientes reales : x 5 - 1 . 13.­ Deterrmina los números complejos a + bi
igual a su conjugado. cuyo cuadrado es 14.­ Calcula los números complejos cuyo cuadrado coincide con el opuesto de su módulo. 15.­ Calcula todos los números complejos que multiplicando su cubo por su conjugado se obtenga la unidad imaginaria.
ISIDORO PONTE­E.S.M.C. 7 ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE CÁLCULO 16.­ Sea z un número complejo que verifica z +
1 = 1 .¿ Cuál es z
el máximo valor que puede tomar z ?. 17.­ Resuelve : z 6 - 2 z 3 + 2 = 0 . 18.­ Resuelve la ecuación: z 2 +
16 = 1 . z 2 19.­ Las soluciones del ejercicio anterior son aproximadas. ¿ Se podrían calcular exactas ?.¿ Cuales serían sus valores ?. 20.­ Calcula : a)
3 5 b)
-2 + 2 i 1 + pi 21.­ a) Simplifica la expresión: -4 + 3 i . 4 e 4 -
4 k + 1 - ( ) p
2
b) Comprueba que i = e e ( 1 + i ) 2 k Î Z . 22.­ Calcula : a) ln i b) i 3 i 23.­ Calcula : a) ln ( 3 - 3 i ) 1 - i b) ln . 1 + i 24.­ Calcula: a) ln ( 2 + 2i ) c) ( -1 )1 -i b) ( 1 + 3 i ) i d) i cos i . c) lg 10 ( -3) . 25.­ Calcula las siguientes potencias complejas: b) ( -2 ) 2 c) ( 1 + i ) ( 2 - 3 i ) d) ( i i ) i . e)
2 ( 1 + 3 i [( 1 + i ) ]
3 +
a) e p
i 4
.
ISIDORO PONTE­E.S.M.C. 8 ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE CÁLCULO 26.­ Calcula: z = lg ( 4 - 4 i ) ( 1 + 3 i ) usando el logaritmo principal. 27.­ Calcula: 28.­ Calcula: ( 1 + 3 i ) ( 1 - 3 i ) 2 - 2 i usando el logaritmo principal. 1 + 3 i 2 - 2 i usando el logaritmo principal. 29.­ Expresa el siguiente complejo en forma binómica ( con cuatro decimales): ln ( x + y i ) 3 + 2 i
sabiendo que: ( 6 + i )( x + yi ) = 3 - i , usando el logaritmo principal. 30.­ Calcula el valor de a y b ÎR para que se verifique la ln
igualdad: e a + bi 4 + 2 i = 7 p . 4 31.­ Expresa en forma binómica el valor principal del complejo x + y i con x = i - i , y = sen 2a siendo a = arg( 3 + 4i ) . 32.­ Resuelve la ecuación: z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0 . nota: sabemos n n - 1 n - 2 ( x + x + x +L + x + 1 ) × ( x - 1 ) = ( x n +1 - 1 ) . que 33.­ Resuelve la ecuación: cos z = 4 . 34.­ Resuelve la ecuación: en forma binómica. sen Z = i , expresando el resultado 35.­ Resuelve la ecuación: tg ( zi ) = 2 . Calcula el complejo z de menor módulo que verifica esta ecuación.
ISIDORO PONTE­E.S.M.C. 9 ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE CÁLCULO 36.­ Calcula, si tiene, las soluciones de la ecuación: (tg z ) i = 1 . 37.­ Resuelve la ecuación: z + i = z ln( 1 - i ) , usando el logaritmo principal. 38.­ a) Halla las soluciones de la ecuación: (tg z ) i = 2 . b) Resuelve la ecuación : tg z + 2 i = 0 . 39.­ Sea z un número complejo, calcula el valor de 2 sen z + cos 2 z . 40.­ Resuelve la ecuación: sen z + cos z = 1 . 41.­ Calcula : c tg i . 42.­ Encuentra, si existe, x > 0 número real tal que ( - x ) ( - x ) sea imaginario puro, usando valores principales. 43.­ Calcula los valores del complejo: 4 i 4 i 4 i 4 i × × × × × × × ×
, expresando los resultados en forma binómica. 44.­ Calcula, expresando los resultados en forma binómica,los valores del complejo: 3
( 1 + 3 i ) 3 ( 1 + 3 i ) 3 ( 1 + 3 i ) 3 ( 1 + 3 i ) × × × × × × × × , 45.­ Calcula cuanto vale el producto de las raíces n­ésimas de la unidad (n > 1).
ISIDORO PONTE­E.S.M.C. 10 ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE CÁLCULO 46.­ Demuestra que la suma de de las raíces n­ésimas de la unidad es 0 (n > 1). 47.­ Calcula el valor de la suma de la suma de las raíces n­ésimas de la unidad negativa (n > 1). 48.­ Sabiendo que la suma de las raíces n­ésimas de la unidad es 2 p
4 p
2 (n - 1) p
0 Calcula el valor de cos + cos + × × × × + cos . n n n
49.­ Sabiendo que la suma de las raíces n­ésimas de la unidad es 2 p
4 p
2 (n - 1) p
0 Calcula el valor de sen + sen + × × × × + sen . n n n
50.­ Encontrar una condición necesaria y suficiente para que tres puntos del plano complejo z 1 , z 2 y z 3 estén en linea recta.
ISIDORO PONTE­E.S.M.C. 11 ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE CÁLCULO F UNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL .LÍMITES.CONTINUIDAD 1.­ Dada la función f ( x ) = x 2 - 2 , calcula : a) f(­2) b) f( 3 ) . 2 d) f ( a 2 ) , [ f ( a ) ] . c) f ( a + 1 ) , f(a)+1 2.­ Dada la función: f ( x ) =
æ 1ö
a) f ç ÷
è x ø
3.­ Dada la función: f ( x ) =
æ 2ö
a) f ç ÷
è x ø
æ x ö
c) f ç ÷
è 2ø
1 c) . 2 f ( x ) 4.­ 5.­ Sea f ( x ) = ln
x - 4 , calcula: x 2 + 1 æ 1 ö
b) 2 f ç ÷
è xø
1 c) f ( x ) 2 1 - x æ a + b ö
, comprueba que f ( a ) + f (b) = f ç
÷ . è 1 + a × b ø
1 + x ì4 x ï
Sea f ( x ) = í 2 x ï -1 î
a) f(­1) c) f 1 2 ( )
2 x + 1 , calcula : x - 3 1 b) . f ( x ) si - 2 £ x < 0 si si x = 1 , calcula: 1 < x b) f(0) d) f(8) .
ISIDORO PONTE­E.S.M.C. 12 ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE CÁLCULO 6.­ ì
ï3 - x + 1 si - 1 £ x < 0 ï
Dada la función í tg x si 0 £ x < p
, Calcula : 2 ï x 2
ï
si p < x £ 7 2 î x + 5 f(­2) , f(­1) , f(0) , f p , f( p ) , f( 2p ) y f(8) . 4 ( )
36 2 6 + x para los puntos en los que + x = 4 . 2 x x 7.­ Calcula f ( x ) =
8.­ Halla una función de la forma: f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ,verificando las condiciones: f(­1)=­4 , f(0)=­1, f(1)=2 y f(3)=56 9.­ Halla una función de la forma : f ( x ) = a + be x + ce 2 x , verificando las condiciones: f(0)=5 , f(1) = e(2+3e) , f ( 2 ) = e 2 ( 2 + 3 e 2 ) . 10.­ Halla el dominio natural de definición de las funciones: a) y = x 2 + 2 b) y = x - 1 + 6 - x . 11.­ Halla el dominio de definición de las funciones: a) y = 1 - x 2 b) y = x 2 - x - 2 +
1 3 + 2 x - x 2 12.­ Halla el campo de definición de las siguientes funciones: a) y = cos x - 1 b) y = ln sen x . 13.­ Halla el dominio de definición de las siguientes funciones: 5 x - x 2 1 a) y = ln b) y =
.
2 2 x - x
ISIDORO PONTE­E.S.M.C. 13 ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE CÁLCULO 14.­ Halla el recorrido de las siguientes funciones: a) y = cos x - 1 b) y = ln sen x . 15.­ Construir las gráficas de las siguientes funciones: a) y=­2x+ 5 b) y = x 2 + 2 x
c) y = cos 4 x . 16.­ Construir las gráficas de las siguientes funciones: a) y = x
1 3 b) y = + x
1 2 . 17.­ Construir las gráficas de las siguientes funciones: 1 a) y = lg 2 x
b) y = lg 2 con x>0 . x
18.­ Representa ìx 3 + 1 f x ( ) = í
î 4 gráficamente si 0 £ x £ 1 la función: si 1 < x < 3 ì
ïcos x ï
19.­ Representa la función: f ( x ) = í 2 x ï 1 ïî x - 2 si - 2 p £ x £ 0 si 0 < x £ 2 . si 2 < x £ 5
20.­ Sean f ( x ) = ln x y g x ( ) = x 2 + 1 , calcula si se puede: a) ( f o g )( 3 ) b) ( g o f )( 4 ) c) ( g o f )( -5 ) . 21.­ Halla las composiciones de las funciones: 4 2 a) f ( x ) = sen x x 3 b) g x ( ) = ln
.
x - 1 ISIDORO PONTE­E.S.M.C. 14 ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE CÁLCULO 22.­ Halla la recíproca de las siguientes funciones: a) y = 4 ln 2 x
b) y = 3 x - 2 . 23.­ Dada una función en forma implícita e x + e y = a , calcula la función recíproca siendo a Î R . ¿ Qué relación existe entre ambas funciones ?. 24.­ Prueba que la función recíproca de f ( x ) =
1 - x es ella misma. 1 + x 2 con D f = R - { 1 } : 1 - x a) Calcula una función g tal que ( g o f o f ) sea la identidad. b) Dominio de ( g o f o f ) . 25.­ Dada la función f ( x ) =
26.­ Sabiendo que f (cos x ) = e x , calcula sen f ( x ) . 27.­ Estudia la simetría de las siguientes funciones: 4 - x a) f ( x ) = ln 3 x + 1 + 9 x 2 b) f ( x ) = ln
4 + x 2 c) f ( x ) = 2 x + 4 x . (
)
28.­ Estudia la simetría de las siguientes funciones: x 2 1 +
3
(
) . a) f ( x ) = x 4 - x b) f ( x ) =
3 x 29.­ Demuestra utilizando la definición de límite de una función en un punto, que lim x 2 = 9 .Halla un valor de d cuando
x® 3 e = 0, 02 . 30.­ Demuestra que :
ISIDORO PONTE­E.S.M.C. 15 ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE CÁLCULO 1 a) lim = 1 x® 0 x + 1 x 2 - 4 x + 1 b) lim = 3 . x® 2 x - 3 31.­ Demuestra que: 3 a) lim = +¥
x ® 0 x x 2 + 1 b) lim 2 = +¥
x ®1 x - 1 32.­ Demuestra que: 2 a) lim = 0 x ® +¥
x x 2 1 b) lim 2 =
x ® +¥
2 x + 1 2 +
+
3 x + 2 3 33.­ Demuestra que: lim =
x ®+¥
2 x + 1 2 2 x 2 - 3 2 34.­ Demuestra y comprueba que: lim 2 = . x®+ ¥
3 x + 4 x - 2 3 x 2 + 2 x + 5 35.­ Calcula los siguientes límites: a) lim . x® 1 x 2 + 1 2 5 ö
æ
æ 1 + 2 + × × × + n ö
b) lim ç 2 - + 2 ÷
c) n®+
lim ç
÷ . ¥è
ø
x® ¥ è
x x ø
n 2 36.­ Calcula los siguientes límites: x 2 - 5 x + 6 3 ù
é 1 a) lim b) lim . 2 ê
x® 2 x ®1 ë 1 - x x - 12 x + 20 1 - x 3 úû
37.­ Halla los siguientes límites: x 2 + 9 - 3 a) lim 2 x® 0 x + 5 - 5 b) xlim
x ( x 2 + 2 - x ) . ®+ ¥
x - 32 38.­ Calcula: lim 5 .
x ® 32 x - 2 ISIDORO PONTE­E.S.M.C. 16 ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE CÁLCULO 39.­ Calcula: lim x® 0 2 + ln( 1 + x ) - 2 - ln( 1 + x ) . x 40.­ Calcula: lim 1 + 2 ln( 1 + x ) - 1 - 2 ln( 1 + x ) . x x® 0 1 + ln( 1 + x ) 3 - 1 - ln( 1 + x ) 3 41.­ Calcula: lim . x® 0 x 3 ln e 3 ( 1 + x ) - ln e 42.­ Calcula: lim x® 0 x 1 + x . 1 æ 4 3 ö
43.­ Calcula: lim ç
÷ . x® 2 2 x - 4 è x + 2 2 x - 1 ø
44.­ Halla los límites laterales cuando x ® 1 de : ì -2 x + 3 a) f ( x ) = í
î 3 x - 6 si x £ 1 si x > 1 x 3 - 1 b) f ( x ) =
. x - 1 x n - t n 45.­ Dada la función: f ( x ) =
, n Î N* par t Î R +
x - t Calcula: lim f(x) con x ® +¥ `y con x ® -¥ `. ì 2 x ïï
46.­ Dada la función : f ( x ) = í sen x ï
ïî 0 existe, lim f ( x ).
fijo . si x ¹ 0 estudia, si si x = 0 x®0 ISIDORO PONTE­E.S.M.C. 17 ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE CÁLCULO x ® +¥
5 x + 2 x 47.­ Calcula: lim con x ® -¥ . 4 x - 3 x x ® 0 48.­ Calcula: lim 3 x + 4 x 7 x - 2x x ® +¥
con x ® -¥ . 49.­ Dada la función: f ( x ) =
x ® 0 sen 5 x . Calcula, si existe, lim f ( x ). x®0 4 x 50.­ Teniendo en cuenta que cada número real se obtiene como el límite de una sucesión de números racionales y también como el límite de una sucesión de números irracionales . Demuestra si x Î Q ì x que la función: f ( x ) = í
no tiene x si x Ï
Q Û
x Î
I î
límite en ningún punto de R­{0} Û no $ lim f ( x ) , x ® a a Î R - { 0 } . 51.­ Demuestra que toda función polinómica, con coeficientes reales, es continua en todo R. 52.­ Sea f(x) una función continua, demuestra que f ( x ) también es una función continua. 53.­ Demuestra que la función de DIRICHLET si x Î Q ì 1 f ( x ) = í
es discontinua en todo R.
0 si x Î
R Q î
ISIDORO PONTE­E.S.M.C. 18 ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE CÁLCULO 54.­ Dada la siguiente función de dominio todo R si x Î Q ì 0 f ( x ) = í
calcula c para que f sea c si x Î
R Q î
continua en todo R. 55.­ Escribe una función que sólo sea continua en un punto en todo su dominio de definición. 56.­ Sabemos que si: f es continua en R Þ f es continua en R. Al revés el resultado no es cierto, es más existen funciones reales de 1 variable real, tales que f es continua en R y f es discontinua en todo R, pon un ejemplo de una de ellas 57.­ Demuestra que dada una función continua, ésta puede ponerse como diferencia de dos funciones positivas y continuas. 58.­ Estudia el intervalo de continuidad de la función: f ( x ) = + 2 x . si - 3 £ x £ 1 ì2 x ï
59.­ Dada la función: f ( x ) = í 2 si 1 < x < 3 2 ï x si 3 £ x £ 4 î
continuidad en los puntos x=1 y x=3. Estudia la si x < 2 ì x + 4 60.­ Sea la función: f ( x ) = í 2 . Calcula a para si 2 £ x î x + a que dicha función sea continua en R.
ISIDORO PONTE­E.S.M.C. 19 ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE CÁLCULO ì x 2 si x £ 2 ï
61.­ Dada la función: f ( x ) = í ax + b si 2 < x £ 3 . Calcula a y ï x - 2 si 3 < x î
b para que dicha función sea continua en R. 62.­ Dada la función f(x)=E(x) (parte entera de x) , estudia su continuidad. 63.­ Estudia la continuidad de la función: f ( x ) =
x 3 - 3 x 2 + 4 . x - 2 64.­ Estudia la continuidad de la función: f(x)=x+ E(x) . 65.­ Dada la función f(x)=x­ E(x) , estudia su continuidad . 66.­ Estudia si existen puntos de discontinuidad y de que tipo en la ì x 2 + 2 si x £ 0 función: f ( x ) = í
. x >
0 x +
2 si î
67.­ Estudia la continuidad de la función: ì( x - 5 ) ln( x 2 - 4 x - 5 ) si x ¹ 5 , x ¹ -1 ï
f ( x ) = í
0 si x = 5 ï
-1 si x = -1 î
68.­ Estudia la continuidad de la función: ì( x - 5 ) ln( - x 2 + 4 x + 5 ) si x ¹ 5 , x ¹ -1 ï
f ( x ) = í
0 si x = 5 .
ï
-1 si x = -1 î
ISIDORO PONTE­E.S.M.C. 20 ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE CÁLCULO 69.­ Estudia la continuidad de la función: ì x + 1 si x ¹ 0 ï x ï
. f ( x ) = í
ï 0 si x = 0 ï
î
70.­ Estudia la continuidad de la función: ì sen x si x ¹ 0 ï 2 x ï
. f ( x ) = í
ï 2 si x = 0 ï
î
71.­ Estudia la continuidad de: f ( x ) =
x + 1 - x + 1 . x + 1 72.­ Estudia la continuidad de la función: si x £ 0 ìcos x ï
f ( x ) = í x + 1 si 0 < x < 2 . ï x 2 - 1 si 2 £ x î
73.­ Estudia la continuidad de la función: 1 ì
si x ¹ 0 ï x sen x ï
f ( x ) = í
.
ï
0 si x = 0 ïî
ISIDORO PONTE­E.S.M.C. 21 ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE CÁLCULO 74.­ Calcula, si existe, a para que la función siguiente sea continua ì e tg x - 1 si x ¹ p
ï e tg x + 1 2 ï
en x = p , f ( x ) = í
. 2 ï a si x = p
2
ï
î
75.­ Demuestra que la función: f ( x ) =
x 2 - 1 es continua en toda la x + 1 recta real si se define f(­1)=­2 . -1 x 4 76.­ Demuestra que la función: f ( x ) = e recta real si se define f(0)= 0 . es continua en toda la 77.­ Dadas las funciones: f(x)= ln x y g x ( ) = e x + 1 , estudia el intervalo de continuidad de ( g o f ) y de ( f o g ) . 78.­ Estudia la continuidad de la función h x ( ) = e - cos x , obtenida como composición de funciones. 79.­ Estudia la continuidad de la función h x ( ) = e - tg x , obtenida como composición de funciones. 80.­ ¿ Corta la función f ( x ) = x 3 + 4 x + 2 al eje de abcisas? .¿ Y 2 x 2 - 4
la función f ( x ) =
?. x + 3 81.­ Demuestra que la siguiente ecuación admite al menos una raíz real: x - sen x - 1 = 0 . 82.­ Resolver las ecuaciones siguientes, por aproximación: a) e x + x = 0 b) e x - x = 0 .
ISIDORO PONTE­E.S.M.C. 22 ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE CÁLCULO 83.­ Resuelve, por aproximación, la ecuación: 4 - x - 2 x = 0
84.­ Halla con un error menor que una diezmilésima una raiz de la ecuación 3 x - e x = 0 . 85.­ Dada la función: f ( x ) = - x 3 + 3 x - 1 , demuestra que corta al eje de abcisas en tres puntos. Determina uno de esos puntos con un error menor que una décima. 86.­ Estudia la ì x - 3 1 ï
x - 3 ïï 1 + e f ( x ) = í
ï 0 ï
ïî
87.­ Estudia ì 1 + e 2 x ï
2 ïï 1 - e x f ( x ) = í
ï 1 ï
ïî
la 88.­ Estudia ì sen 1 x ï
1 ïï 1 + e x f ( x ) = í
ï 1 ï
ïî
la continuidad de la función: si x ¹ 3 . si x = 3 continuidad de la función: de la función: si x ¹ 0 . si x = 0 continuidad si x ¹ 0 .
si x = 0 ISIDORO PONTE­E.S.M.C. 23 ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE CÁLCULO 89.­ Sea f: [ 0 , 1 ]
Demuestra que
90.­ Sea f: [ 0 , 1 ]
Demuestra que
[0 , 1 ] definida y $ x Î [ 0 , 1 ] / f ( x ) = x . ¾
¾®
continua en
[0 , 1 ] definida y continua $ x Î [ 0 , 1 ] / f ( x ) = 1 - x . ¾
¾®
91.­ Sean f y g continuas en
f(b)<g(b) . ¿ $ a Î ( a , b )
[a , b ]
en
[0 , 1 ] . [0 , 1 ] . tales que f(a)>g(a) y / f ( a ) = g ( a ) ?.Demuéstralo. 92.­ Sean f y g continuas en ( a , b ) tales que f(a)>g(a) y f(b)<g(b) . ¿ $ a Î ( a , b ) / f ( a ) = g ( a ) ?.En caso afirmativo demuéstralo, y en caso negativo, escribe un ejemplo con el que se vea que no es cierto 93.­ Demuestra que para todo número real positivo existe una única raiz n­ésima positiva. 94.­ Sea f: [ a , b ] ¾
¾® R definida tal que f ( a ) ¹ f (b) y sólo toma una vez cada uno de los valores comprendidos entre f(a) y f(b). ¿ Implica esto que f es continua en [ a , b ] ?. 95.­ Sea la función: f ( x ) = x 2 + x + 1 .¿ Se puede afirmar que toma todos los valores en el intervalo imagen [ 7 , 13 ] ?. x 3 - 4 x + 5 96.­ ¿ Toma la función: f ( x ) el valor x + 1
intervalo [1 , 3 ] ?. 7 dentro del 97.­ Sea f una función continua en todo R verficando que Im f Ì Q
Prueba que f es constante.
ISIDORO PONTE­E.S.M.C. 24 ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE CÁLCULO x 3 - 4 x + 5 98.­ Dada la función f ( x ) =
. ¿ Se puede afirmar que x + 1 está acotada en el intervalo [ -2 , 0 ] ?. ¿ Y en el intervalo
[0 , 2 ] ?. 99.­ Demuestra que la función f ( x ) = x 2 es uniformemente continua en (0 , 2 ) . 100.­ Demuestra que la función f ( x ) =
1 no es uniformemente x continua en (0 , 2 ) .
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