Trinomios cuadráticos - Mate 0008 – UPRA – Profa. Caroline

Trinomios cuadráticos - Mate 0008 – UPRA – Profa. Caroline

Factorización de
polinomios:
Trinomios cuadráticos
Adaptado por Profa. Caroline Rodriguez
Departamento de Matemáticas
Universidad de Puerto Rico en Arecibo
Introducción
• Factorizar un polinomio es hallar factores de éste.
Ejemplo:
Como 2x (x + 3) = 2x2 + 6x decimos que
2x y x + 3 son factores de 2x2 + 6x.
• Cuando un polinomio sólo tiene como factores a 1
y a él mismo, decimos que es un polinomio
irreducible o primo.
• Factorizar completamente un polinomio es hallar
los factores que sean irreducibles o primos.
Multiplicación de binomios
Repasemos la multiplicación de dos binomios, que
resulta en un trinomio.
(x + n)(x + m) =x(x + m) + n (x + m)
= x2 + mx + nx + nm
= x2 + (m + n)x + nm
La factorización invierte este proceso de
multiplicación.
Factorización de trinomios de la
forma x2 + bx + c
Tenemos que la factorización de
x2 + (m + n)x + nm =
(x + n)(x + m)
Esto implica que existen polinomios cuadráticos de
la forma x2 + bx + c, donde b y c son racionales,
que se pueden expresar como el producto de dos
binomios de la forma (x + n)(x + m)
donde n y m son factores de c y la suma, m + n, es
igual a b.
Factorización de trinomios
Ejemplos: Factorice
a) x2 + 5x + 6 = (x
)(x
)
buscamos dos números cuyo producto sea 6 y
cuya suma sea 5.
Esos números son 2 & 3, por lo que
x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
Factorización de trinomios
b) y2 – 10y + 24 =
(y
)(y
)
buscamos dos números cuyo producto sea 24
y cuya suma sea -10
Esos números son -6 & -4, por lo que
y2 – 10y + 24 = (y + -6)(y + -4)
= (y – 6)(y – 4)
c) a2 – a – 30 = (a
)(a
)
buscamos dos números cuyo producto sea -30
y cuya suma sea -1
Esos números son -6 & 5, por lo que
a2 – a – 30 = (a + -6)(a + 5)
= (a – 6)(a + 5)
Factorización de trinomios
d) x2 + x – 5 = (x
)(x
)
buscamos dos números cuyo producto sea -5
y cuya suma sea 1
Estos números NO EXISTEN.
Note que este trinomio cuadrático NO
factoriza.
e) a2 + 5a – 36 = (a
)(a
)
buscamos dos números cuyo producto sea -36
y cuya suma sea 5
Esos números son 9 & -4, por lo que
a2 + 5a – 36 = (a + 9)(a + -4)
= (a + 9)(a – 4)
Factorización de trinomios
f) 28 – 26y – 2y2 = – 2y2 – 26y + 28
= -2(y2 + 13y – 14)
buscamos dos números cuyo producto sea -14
y cuya suma sea 13
Esos números son 14 & -1, por lo que
-2(y2 + 13y – 14) = -2(y + 14)(y + -1)
= -2(y + 14)(y – 1)
Forma general de los trinomios
cuadráticos
• Los trinomios cuadráticos, en general,
tienen la forma
ax2 + bx + c , donde a, b,c son reales;
a≠0
• Ejemplos:
2 x2  25x  12
4z 2  6z  2
32 − 12𝑥 − 8𝑥 2
Factorización de trinomios con la
forma ax2 + bx + c
• Factorización invierte el proceso de buscar
el producto de dos binomios.
• Cuando el término principal, a, es diferente
de 1, existen casos para los cuales usar
agrupación para invertir el proceso de
multiplicación es más eficiente que el
tanteo.
• El método se conoce como el método AC
Ejemplo con tanteo
Factorice completamente: 9 x  15x  4
factores de 9: 1(9)  3(3)
factores de 4: 1(4)  2(2)
2
Las posibles combinaciones son:
2

9
x
 13x  4
(9 x  4)( x  1)
2
(9 x  1)( x  4)  9 x  37 x  4
2
(9 x  2)( x  2)  9 x  20 x  4
(3x  2)(3x  2)  9 x2  12 x  4
2
(3x  1)(3x  4)  9 x  15x  4
Por lo tanto, 9 x 2  15x  4 = (3x  1)(3x  4).
Factorizar trinomios con la forma
ax2 + bx + c , a≠1 – método AC
Ejemplo: Factorizar 6𝑥 2 +𝑥 − 15
6𝑥 2 + 𝑥 − 15 =
En este trinomio a= 6, b = 1, c= -15 y ac = -90
Buscamos dos números cuyo producto sea
-90 y cuya suma sea 1
Esos números son 10 & -9, por lo que
6𝑥 2 + 𝑥 − 15 = 6𝑥 2 + 10𝑥 − 9𝑥 − 15
= 2𝑥 3𝑥 + 5 − 3(3𝑥 + 5)
= (2𝑥 − 3)(3𝑥 + 5)
Factorización de trinomios
Ejemplo: Factorice 10x2 + 31x + 15
En esta expresión a=10, b=31, c=15, ac=150
Buscamos factores de 150 que sumen 31.
Los factores son: 25 y 6
= 10x2 + 25x + 6x + 15
= 5x(2x + 5) + 3(2x + 5)
= (5x + 3)(2x + 5)
Factorización de trinomios
Ejemplo: Factorice 12w2 – 11w + 2
• a=12, b= -11, c = 2, ac=24
• Buscamos factores de 24 que sumen -11
• Los factores son: -8 y -3
= 12w2 – 8w – 3w + 2
= 4w(3w – 2) – (3w – 2)
= (3w – 2)(4w – 1)
Factorización de trinomios
Ejemplo: Factorice 25a2 + 3a – 2
a=25, b= 3, c = – 2, ac= -50
Buscamos factores de -50 que sumen 3
Estos factores NO existen, el polinomio no
factoriza.
Ejemplo: Factorice: 6y2 + 23y + 20
a=6, b= 23, c = 20, ac= 120
Buscamos factores de 120 que sumen 23
Los factores son: 15 y 8
= 6y2 + 15y +8y + 20
= 3y(2y + 5) + 4(2y + 5)
= (2y + 5)(3y + 4)