Tarea #6.

ANÁLISIS FUNCIONAL II
TAREA #ÚLTIMA (6)
FECHA DE ENTREGA:
MARTES 29 DE MAYO DE 2012.
Esta es la última tarea. Ya saben que pueden cambiar cualquier problema obligatorio por un
problema opcional. En total, deben de tener 10 problemas para entregar.
(1) Sección 10.2, problema 6, Kreyszig.
∞
Demuestre que y = {ηk }∞
k=1 = T x = {ξk /k}k=1 define un operador lineal, acotado,
2
2
auto-adjunto, T : l → l , el cual tiene una inversa auto-adjunta no acotada.
(2) Sección 10.2, problema 10, Kreyszig.
Si un operador lineal auto-adjunto T : D(T ) → H es inyectivo, demuestre que:
(a) Ran(T ) = H, y que
(b) T −1 es auto-adjunto.
(3) Sección 10.3, problema 2, Kreyszig.
La gráfica Γ(T ) de cualquier operador lineal T : D(T ) → H tiene una cerradura Γ(T ) ⊂
H × H. ¿Por qué ésto no implica que todo operador lineal es cerrable?
(4) Sección 10.4, problema 5, Kreyszig.
Sea T : D(T ) → H un operador lineal cuyo operador adjunto T ? existe. Demuestre que
si λ ∈ σres (T ), entonces λ ∈ σdisc (T ? )
(5) Sección 10.4, problema 7, Kreyszig.El espectro residual.
Use el problema 4 para demostrar que el espectro residual de T , σres (T ), de un operador
lineal, auto-adjunto, T : D(T ) → H es vacı́o. (Note que ésto implica que el Teorema
9.4-2 del texto sigue siendo válido para el caso de operadores no acotados).
(6) Sección 10.5, problema 3, Kreyszig.
Demuestre que U : L2 (R) → L2 (R), definido por [U x](t) = x(t + c) es unitario; aquı́, c
es una constante real fija.
(7) Sección 10.5, problema 6, Kreyszig.
Demuestre que λ es valor propio de un operador unitario U : H → H si, y solo si,
Ran(Uλ ) 6= H.
(8) Sección 10.6, problema 8, Kreyszig.
Si la transformación de Cayley
U = (T − iI)(T + iI)−1 ,
de un operador lineal simétrico T : D(T ) → H es unitaria, demuestre que T es autoadjunto.
(9) Sección 10.6, problema 10, Kreyszig.
Demuestre que el operador corrimiento a la derecha, U : i2 → l2 definido por U (ξ1 , ξ2 , . . . ) =
(0, ξ1 , ξ2 , . . . ) es isométrico pero no unitario (creo que ya lo habı́an hecho en otra tarea del
texto de Reed-Simon). Verifique que U es la transformación de Cayley de T : D(T ) → l2 ,
definido por T x = y, donde y = {ηk }∞
k=1
η1 = iξ1 ,
y
∞
{ηk }∞
k=2 = {i(2ξ1 + 2ξ2 + · · · + 2ξk−1 + ξk )}k=2 ,
Date: May 20, 2012.
1
A
2 NÁLISIS FUNCIONAL II
TAREA #ÚLTIMA (6)
FECHA DE ENTREGA: MARTES 29 DE MAYO DE 2012
cuyo dominio es
D(T ) = {x = {ξk }∞
k=1 /
|ξ1 |2 + |ξ1 + ξ2 |2 + |ξ1 + ξ2 + ξ3 |2 + · · · < ∞}.
(10) Sección 10.7, Kreyszig.
En la página 567 del texto, se menciona la familia de proyecciones {Eλ } para el operador
Multiplicación por una constante. Dé los detalles de la construcción de dicho operador.
¿Qué sucede si se considera el espacio Ker(Tλ− ) en esta construcción?
Los siguientes problemas son opcionales.
(11) Opcional. Sección 10.2, problema 9, Kreyszig.
Un operador lineal maximalmente simétrico se define como un operador lineal simétrico
que no tiene extensiones propias simétricas. Muestre que un operador auto-adjunto es
maximalmente simétrico.
(12) (Opcional). Sección 10.3, problema 1, Kreyszig.
2
Sea T : D(T ) → l2 , donde D(T ) consiste de todas las sucesiones x = {ξk }∞
k=1 en l ,
∞
que contienen solo un número finito de términos ξk 6= 0, y y = T x, con y = {ηk }k=1 =
{kξk }∞
k=1 . Este operador es no acotado (Problema 8, sección 10.1, del texto). Pruebe
que T no es cerrado.
(13) (Opcional). Sección 10.3, problema 4, Kreyszig.
Sea T : D(T ) → H un operador lineal cerrado. Si T es inyectivo, pruebe que T −1 es
cerrado.
(14) (Opcional). Sección 10.3, problema 5, Kreyszig.
Muestre que T en el problema 12 tiene una extensión cerrada T1 con dominio
(
, ∞
)
X
∞
2
2
2
D(T1 ) = x = {ξk }k=1 ∈ l
k |ξk | < ∞ ,
k=1
{kξk }∞
k=1 .
y definido por T1 x =
(Use el Problema 13).
(15) (Opcional). Sección 10.4, problema 3, Kreyszig. Valores propios aproximados.
Sea T : D(T ) → H un operador lineal. Si para cada número complejo λ existe una
sucesión {xk }∞
k=1 en D(T ) tal que kxk k = 1 y
(T − λI)xk −→ 0,
as
n −→ ∞,
se dice que λ es un valor propio aproximado. Demuestre que el espectro de un operador
lineal auto-adjunto T consite solamente de valores propios aproximados.
(16) (Opcional). Sección 10.4, problema 4, Kreyszig.
Sea T : D(T ) → H un operador lineal. Caracterize el hecho de que λ ∈ ρ(T ), σdisc (T ),
σcont (T ) y σres (T ), respectivamente, en términos de las siguientes propiedades.
(a) Tλ no es inyectivo,
(b) Ran(Tλ ) no es denso en H,
(c) λ es un valor propio aproximado. (Vea problema 15).
(17) (Opcional). Sección 10.4, problema 5, Kreyszig.
Sea T : D(T ) → H un operador lineal cuyo adjunto T ∗ existe. Demuestre que si λ ∈
σres (T ), entonces λ ∈ σdisc (T ∗ ).
(18) (Opcional). Sección 10.4, problema 6, Kreyszig.
Con las mismas hipótesis que el problema 17, pruebe que si λ ∈ σdisc (T ∗ ), entonces λ ∈
σres (T ) ∪ σdisc (T ). (Creo que hay un problema similar en Reed-Simon, para operadores
acotados, y creoq ue lo probamos en clase. ¿O se les quedó de tarea?).